結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力學(xué)規(guī)律歸納一、結(jié)構(gòu)力學(xué)概述

結(jié)構(gòu)力學(xué)是研究結(jié)構(gòu)在各種外力作用下的受力、變形和穩(wěn)定性問題的學(xué)科。其核心在于運(yùn)用力學(xué)原理分析結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、變形和動(dòng)力響應(yīng)。本篇文檔將歸納結(jié)構(gòu)力學(xué)中的主要力學(xué)規(guī)律，并闡述其應(yīng)用方法。

二、基本力學(xué)規(guī)律

（一）靜力學(xué)平衡方程

靜力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)的基礎(chǔ)，其核心是平衡方程。任何處于平衡狀態(tài)的剛體或結(jié)構(gòu)，其受力必須滿足以下三個(gè)條件：

1.合力為零：結(jié)構(gòu)所受的所有外力在任意軸上的投影之和為零。

-數(shù)學(xué)表達(dá)：ΣFx=0，ΣFy=0（平面問題）；ΣFx=0，ΣFy=0，ΣFz=0（空間問題）

2.合力矩為零：結(jié)構(gòu)所受的所有外力矩之和為零。

-數(shù)學(xué)表達(dá)：ΣMx=0，ΣMy=0，ΣMz=0（空間問題）

3.應(yīng)力平衡：結(jié)構(gòu)內(nèi)部各截面的應(yīng)力分布需滿足平衡條件。

（二）材料力學(xué)特性

1.應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：材料的力學(xué)行為由應(yīng)力（σ）和應(yīng)變（ε）之間的關(guān)系決定。

-線彈性材料：σ=Eε，其中E為彈性模量。

-非線性材料：需通過本構(gòu)關(guān)系描述，如彈塑性模型。

2.應(yīng)變能密度：材料在變形過程中儲(chǔ)存的能量。

-計(jì)算公式：U=∫σ·dε

（三）幾何不變性條件

結(jié)構(gòu)在受力后需保持幾何形狀不變，即變形協(xié)調(diào)。具體要求包括：

1.邊界約束條件：結(jié)構(gòu)的支座形式（固定、鉸支、滑動(dòng)等）決定其自由度。

2.連接條件：節(jié)點(diǎn)或接頭的變形需匹配，避免相對(duì)滑動(dòng)或分離。

三、結(jié)構(gòu)分析方法

（一）靜定結(jié)構(gòu)分析

1.基本步驟：

(1)識(shí)別結(jié)構(gòu)的支座類型和約束條件。

(2)列出靜力學(xué)平衡方程。

(3)計(jì)算內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩）。

2.示例：簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的彎矩計(jì)算。

-彎矩：M(x)=(qLx-qx2)/2，其中q為荷載集度，L為梁長(zhǎng)。

（二）超靜定結(jié)構(gòu)分析

1.分析方法：

(1)力法：通過超靜定未知量建立方程組求解。

(2)位移法：基于節(jié)點(diǎn)位移和剛度矩陣計(jì)算內(nèi)力。

2.關(guān)鍵步驟：

(1)確定超靜定次數(shù)。

(2)構(gòu)造補(bǔ)充方程（如力法中的相容方程）。

(3)求解方程組。

（三）動(dòng)力響應(yīng)分析

1.自振頻率計(jì)算：

-無阻尼系統(tǒng)：ω=√(k/m)，其中k為剛度，m為質(zhì)量。

2.強(qiáng)迫振動(dòng)分析：

-受簡(jiǎn)諧荷載作用：響應(yīng)頻率與荷載頻率相關(guān)，可能發(fā)生共振。

四、實(shí)際應(yīng)用案例

（一）框架結(jié)構(gòu)分析

1.步驟：

(1)將框架分解為梁、柱單元。

(2)計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

(3)組裝整體剛度矩陣并施加邊界條件。

（二）薄壁結(jié)構(gòu)分析

1.矩形板彎曲：

-撓度方程：Dω/dx2+q(x)/D=0，其中D為抗彎剛度。

2.軸對(duì)稱殼體：

-應(yīng)力計(jì)算需考慮薄膜力和彎曲力矩的耦合。

五、總結(jié)

結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力學(xué)規(guī)律是解決工程問題的理論基礎(chǔ)。通過靜力學(xué)平衡、材料特性、幾何協(xié)調(diào)等規(guī)律，結(jié)合靜定、超靜定及動(dòng)力分析方法，可系統(tǒng)研究結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。實(shí)際應(yīng)用中需結(jié)合具體結(jié)構(gòu)形式選擇合適的方法，確保計(jì)算精度和效率。

**一、結(jié)構(gòu)力學(xué)概述**

結(jié)構(gòu)力學(xué)是工程學(xué)科中的一個(gè)基礎(chǔ)且核心的分支，它專注于研究各種工程結(jié)構(gòu)（如梁、柱、板、殼、框架等）在承受外部荷載（如重力、風(fēng)、地震作用等）以及其他因素（如溫度變化、材料收縮等）影響時(shí)的響應(yīng)行為。其根本目標(biāo)是確保結(jié)構(gòu)在預(yù)定使用年限內(nèi)能夠安全、可靠地承受各種作用，并且滿足預(yù)定的功能和使用要求。結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究涉及結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性和壽命等多個(gè)方面。理解并掌握其內(nèi)在的力學(xué)規(guī)律，是進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、分析和評(píng)估的前提。本篇文檔旨在系統(tǒng)性地歸納和闡述結(jié)構(gòu)力學(xué)中的核心力學(xué)規(guī)律，并探討這些規(guī)律在結(jié)構(gòu)分析中的具體應(yīng)用，為后續(xù)的工程實(shí)踐提供理論支持。

**二、基本力學(xué)規(guī)律**

（一）靜力學(xué)平衡方程

靜力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)的基石，它處理的是結(jié)構(gòu)在靜止?fàn)顟B(tài)下的力學(xué)問題。當(dāng)結(jié)構(gòu)及其上的所有荷載處于平衡時(shí)，其任何一部分或整體都必須滿足靜力學(xué)的基本原理，即合力與合力矩均為零。這是結(jié)構(gòu)不發(fā)生宏觀運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)的基本條件。

1.合力為零：結(jié)構(gòu)所受的所有外力（包括主動(dòng)力如荷載、約束力等）在任意選定的直角坐標(biāo)軸（通常為x,y,z軸）上的投影代數(shù)和必須分別等于零。這保證了結(jié)構(gòu)在任何一個(gè)方向上都不會(huì)產(chǎn)生加速度。

*數(shù)學(xué)表達(dá)（空間問題）：

*ΣFx=0：所有外力在x軸方向上的分量之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)在x方向上沒有凈推力或拉力。

*ΣFy=0：所有外力在y軸方向上的分量之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)在y方向上沒有凈剪力或水平推力。

*ΣFz=0：所有外力在z軸方向上的分量之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)在z方向上沒有凈垂直力。

*數(shù)學(xué)表達(dá)（平面問題，例如x-y平面）：

*ΣFx=0

*ΣFy=0

這兩個(gè)方程確保了結(jié)構(gòu)在所選平面內(nèi)處于平衡狀態(tài)，沒有水平或垂直的凈運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。

2.合力矩為零：結(jié)構(gòu)所受的所有外力對(duì)于任意選定的點(diǎn)（通常為結(jié)構(gòu)的某一點(diǎn)或某軸）的力矩代數(shù)和必須為零。這保證了結(jié)構(gòu)不會(huì)繞該點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

*數(shù)學(xué)表達(dá)（空間問題）：

*ΣMx=0：所有外力對(duì)于x軸的力矩之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)繞x軸沒有凈轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)。

*ΣMy=0：所有外力對(duì)于y軸的力矩之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)繞y軸沒有凈轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)。

*ΣMz=0：所有外力對(duì)于z軸的力矩之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)繞z軸（通常指向觀察者）沒有凈轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)。

*數(shù)學(xué)表達(dá)（平面問題，例如x-y平面）：

*ΣMz=0：所有外力對(duì)于垂直于該平面的z軸的力矩之和為零。在平面內(nèi)分析時(shí)，通常關(guān)注繞平面上某點(diǎn)的力矩平衡。

合力矩為零的條件確保了結(jié)構(gòu)的整體旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)被抑制。

3.應(yīng)力平衡（內(nèi)部力）：雖然靜力學(xué)平衡主要關(guān)注外力，但內(nèi)部應(yīng)力分布也必須滿足平衡。對(duì)于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的任意一個(gè)微元體，其上作用的應(yīng)力（σx,σy,σz等）必須構(gòu)成一個(gè)平衡力系，使得微元體不會(huì)在內(nèi)部發(fā)生加速運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。這通常在后續(xù)的材料力學(xué)和有限元分析中結(jié)合平衡方程和應(yīng)變-位移關(guān)系來體現(xiàn)，但在靜力分析中，它隱含在整體或局部的截面力（軸力、剪力、彎矩、扭矩）必須滿足平衡的條件里。

（二）材料力學(xué)特性

材料力學(xué)特性是指結(jié)構(gòu)組成部分（材料）在受力時(shí)表現(xiàn)出的力學(xué)行為。理解材料的本構(gòu)關(guān)系對(duì)于準(zhǔn)確預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)至關(guān)重要。

1.應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：這是描述材料變形程度的物理量（應(yīng)力）與其引起的原因（應(yīng)變）之間關(guān)系的核心。應(yīng)力（σ）是單位面積上的內(nèi)力，應(yīng)變（ε）是相對(duì)變形量。

*線彈性材料：這是最常見的理想化模型，認(rèn)為材料在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。比例常數(shù)是材料的彈性模量（E），也稱為楊氏模量。其關(guān)系由胡克定律描述：σ=Eε。這種材料變形后能完全恢復(fù)原狀。泊松比（ν）是描述材料橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之間關(guān)系的無量綱系數(shù)，ν=-ε_(tái)trans/ε_(tái)long。彈性模量和泊松比是材料的基本力學(xué)參數(shù)。

*非線性材料：實(shí)際工程中許多材料不滿足線彈性的假設(shè)。例如：

*彈塑性材料：材料在達(dá)到某個(gè)應(yīng)力（屈服強(qiáng)度）后，會(huì)經(jīng)歷不可恢復(fù)的塑性變形。應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系通常用屈服準(zhǔn)則（如vonMises屈服準(zhǔn)則）和流動(dòng)法則（如Joule-Coulomb流動(dòng)法則）來描述。

*脆性材料：材料在斷裂前幾乎沒有塑性變形，應(yīng)力-應(yīng)變曲線相對(duì)較直，直到突然斷裂。

*黏彈性材料：材料同時(shí)具有彈性和流體的黏性特征，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與時(shí)間相關(guān)，常見于橡膠、高分子材料等。

*各向異性材料：材料的力學(xué)性能在不同方向上不同，如復(fù)合材料、木材等。其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系需要用張量形式描述。

2.應(yīng)變能密度：當(dāng)材料變形時(shí)，外力對(duì)結(jié)構(gòu)做功，這部分功如果只引起彈性變形，就會(huì)以應(yīng)變能的形式儲(chǔ)存在材料內(nèi)部。單位體積儲(chǔ)存的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度（U）。對(duì)于線彈性材料，應(yīng)變能密度可以表示為：U=0.5*σ·ε=0.5*Eε2。應(yīng)變能是評(píng)估結(jié)構(gòu)彈性能量和穩(wěn)定性（如屈曲）的重要指標(biāo)，也是計(jì)算結(jié)構(gòu)勢(shì)能的基礎(chǔ)。

（三）幾何不變性條件

幾何不變性條件，在結(jié)構(gòu)力學(xué)中通常體現(xiàn)為變形協(xié)調(diào)原理和幾何約束條件。它確保結(jié)構(gòu)在受力變形后，其各組成部分之間以及與支座之間的相對(duì)位置關(guān)系仍然滿足結(jié)構(gòu)和連接方式的物理要求。

1.邊界約束條件：結(jié)構(gòu)的支座是將其與基礎(chǔ)或其他結(jié)構(gòu)連接并施加約束的裝置。不同的支座形式提供了不同的約束程度，從而限制了結(jié)構(gòu)的自由度。

*固定支座（FixedSupport）：完全限制結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的三個(gè)方向位移（平移和轉(zhuǎn)動(dòng)），提供三個(gè)反力和一個(gè)反力矩。自由度為0。

*鉸支座（PinnedSupport/SimpleSupport）：限制結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)方向位移（通常水平位移和豎向位移），提供一個(gè)反力。自由度為1。

*滑動(dòng)支座（RollerSupport）：限制結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的另一個(gè)方向位移（通常是水平位移），提供一個(gè)反力。自由度為1。

*邊界條件直接影響結(jié)構(gòu)的受力分布和計(jì)算方法。

2.連接條件：結(jié)構(gòu)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)或接頭將不同的構(gòu)件連接起來。連接方式?jīng)Q定了節(jié)點(diǎn)處的變形關(guān)系。

*理想鉸接節(jié)點(diǎn)：假設(shè)節(jié)點(diǎn)處構(gòu)件之間可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，沒有彎矩傳遞，只傳遞軸力和剪力。這種模型常用于桁架分析。

*理想剛接節(jié)點(diǎn)：假設(shè)節(jié)點(diǎn)處構(gòu)件之間剛性連接，既傳遞軸力和剪力，也傳遞彎矩，節(jié)點(diǎn)處構(gòu)件變形協(xié)調(diào)（無相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)）。這種模型常用于梁、框架結(jié)構(gòu)分析。

*實(shí)際連接通常介于兩者之間。連接條件必須與實(shí)際構(gòu)造相符，以保證分析結(jié)果的合理性。

3.變形協(xié)調(diào)：結(jié)構(gòu)變形后，各構(gòu)件在連接點(diǎn)處的相對(duì)位移和轉(zhuǎn)角必須滿足連接方式的要求。例如，在剛接節(jié)點(diǎn)處，相連構(gòu)件在該節(jié)點(diǎn)的切線必須連續(xù)，轉(zhuǎn)角相等；在鉸接節(jié)點(diǎn)處，相連構(gòu)件在該節(jié)點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角不受約束。變形協(xié)調(diào)是保證結(jié)構(gòu)作為一個(gè)整體協(xié)調(diào)工作的前提，也是建立結(jié)構(gòu)平衡方程組時(shí)必須滿足的內(nèi)在條件。

**三、結(jié)構(gòu)分析方法**

（一）靜定結(jié)構(gòu)分析

靜定結(jié)構(gòu)是指其反力和內(nèi)力可以通過靜力學(xué)平衡方程（ΣFx=0,ΣFy=0,ΣM=0）直接唯一確定的結(jié)構(gòu)。這類結(jié)構(gòu)通常具有足夠的約束，但自由度不高。分析步驟相對(duì)直接。

1.基本步驟：

(1)**識(shí)別結(jié)構(gòu)和荷載**：清晰繪制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，標(biāo)注所有已知荷載（大小、方向、作用位置）和支座類型。

(2)**建立自由體圖（FreeBodyDiagram,FBD）**：選擇研究對(duì)象（整個(gè)結(jié)構(gòu)或某個(gè)分離體），畫出其所有受力的外力（包括荷載和支座反力），并標(biāo)明未知反力的方向（通常先假設(shè)為正方向）。

(3)**應(yīng)用靜力學(xué)平衡方程**：根據(jù)選定的坐標(biāo)系，列出三個(gè)平衡方程（ΣFx=0,ΣFy=0,ΣM=0）。對(duì)于平面結(jié)構(gòu)，是兩個(gè)力的平衡方程和一個(gè)力矩的平衡方程。對(duì)于空間結(jié)構(gòu)，是三個(gè)力的平衡方程和三個(gè)力矩的平衡方程。

(4)**求解未知反力**：利用列出的平衡方程組，求解所有未知的支座反力。

(5)**計(jì)算內(nèi)力**：根據(jù)已知的反力和荷載，逐段分析結(jié)構(gòu)構(gòu)件內(nèi)部的軸力（N）、剪力（V）和彎矩（M）。通常采用截面法：

*在需要求解內(nèi)力的位置，假想切開結(jié)構(gòu)，取一部分作為分離體。

*畫出分離體的自由體圖，包括已知的反力、荷載以及切口處暴露的內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩，通常也先假設(shè)正方向）。

*對(duì)分離體再次應(yīng)用靜力學(xué)平衡方程（ΣFx=0,ΣFy=0,ΣM=0），求解切口處的內(nèi)力。

*根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)，判斷實(shí)際內(nèi)力的方向。

(6)**繪制內(nèi)力圖**：將計(jì)算得到的軸力、剪力和彎矩沿結(jié)構(gòu)軸線的變化情況用圖形表示出來，即軸力圖、剪力圖和彎矩圖。這些圖形對(duì)于理解結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)至關(guān)重要。

2.示例：簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的彎矩計(jì)算。

*考慮一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的簡(jiǎn)支梁，受均布荷載q作用。

*支座：左端鉸支（反力R_A），右端滑動(dòng)支座（反力R_B），反力方向假設(shè)向上。

*整體平衡：

*ΣFx=0：通常梁無水平荷載，此方程自動(dòng)滿足。

*ΣFy=0：R_A+R_B-qL=0。解得R_A=R_B=qL/2。

*ΣM_A=0：取左端A為矩心，右端B的反力R_B產(chǎn)生的力矩與荷載產(chǎn)生的總力矩平衡。R_B*L-qL*(L/2)=0。解得R_B=qL/2，與ΣFy結(jié)果一致。

*內(nèi)力計(jì)算（截面法）：

*在距離左端A為x的位置切開，取左側(cè)分離體。

*未知內(nèi)力：軸力N(x)，剪力V(x)，彎矩M(x)（假設(shè)彎矩使左側(cè)分離體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正）。

*平衡方程：

*ΣFx=0：N(x)=0（簡(jiǎn)支梁通常無軸力）。

*ΣFy=0：R_A-qx+V(x)=0=>V(x)=qL/2-qx。

*ΣM=0：R_A*x-qx*(x/2)+M(x)=0=>M(x)=qx2/2-R_A*x=qx2/2-qLx/2。

*內(nèi)力圖：

*剪力圖：V(x)=q(L/2-x)。是一條斜率為-q的直線，在x=L/2處剪力為零。

*彎矩圖：M(x)=qx(L/2-x)。是一條拋物線，在x=L/2處達(dá)到最大值M_max=qL2/8，在兩端彎矩為零。

（二）超靜定結(jié)構(gòu)分析

超靜定結(jié)構(gòu)是指其反力和內(nèi)力無法僅通過靜力學(xué)平衡方程唯一確定的結(jié)構(gòu)。這類結(jié)構(gòu)通常具有多余的約束（靜不定約束），自由度低于靜力學(xué)方程的數(shù)量。分析超靜定結(jié)構(gòu)需要引入額外的方程，這些方程來源于結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件和材料的力學(xué)特性（應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）。

1.分析方法：

(1)**力法（ForceMethod/FlexibilityMethod）**：

*基本思想：將多余未知力（稱為力法未知量）作為主變量。利用靜力平衡方程建立關(guān)于這些未知力的方程組，同時(shí)引入變形協(xié)調(diào)條件（通常是多余力作用方向上的位移）和材料力學(xué)關(guān)系（如柔度系數(shù)）來建立補(bǔ)充方程。

*步驟：

*確定超靜定次數(shù)n：超靜定次數(shù)等于多余約束的數(shù)量，也等于靜力平衡方程數(shù)（3個(gè)，空間；2個(gè)，平面）與獨(dú)立未知數(shù)（支座反力或內(nèi)力）數(shù)之差。

*選擇基本體系：將n個(gè)多余未知力中的一個(gè)或多個(gè)移除，使結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)（稱為基本體系或靜定基）?；倔w系必須幾何可變且為靜定。

*建立力法方程：根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，建立關(guān)于多余未知力的n個(gè)線性方程。方程的一般形式為：δ十一PP?+δ十二PP?+...+δijnPn=ΔPE，其中δij是柔度系數(shù)，表示在j方向施加單位力時(shí)在i方向產(chǎn)生的位移，ΔPE是在外荷載作用下，在多余力i方向上基本體系產(chǎn)生的位移。

*計(jì)算柔度系數(shù)和自由位移：通過單位荷載法或其他方法計(jì)算柔度系數(shù)矩陣[δ]和自由項(xiàng)向量{ΔPE}。

*求解多余未知力：求解方程組{P}=[-δ]?1{ΔPE}，得到各多余未知力。

*計(jì)算內(nèi)力和反力：利用已求出的多余未知力和靜力平衡方程，計(jì)算基本體系上的內(nèi)力和支座反力。

*適用范圍：適用于各種超靜定結(jié)構(gòu)，特別是當(dāng)多余約束數(shù)量較少時(shí)。

(2)**位移法（DisplacementMethod/StiffnessMethod）**：

*基本思想：將節(jié)點(diǎn)位移（線位移和角位移）作為主變量。利用變形協(xié)調(diào)條件（構(gòu)件的變形必須與節(jié)點(diǎn)的位移一致）和材料力學(xué)關(guān)系（剛度矩陣）來建立關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移的方程組，同時(shí)利用靜力平衡條件建立補(bǔ)充方程。

*步驟：

*確定基本體系：假設(shè)所有節(jié)點(diǎn)位移為零，將結(jié)構(gòu)視為剛性的（或只考慮節(jié)點(diǎn)的位移約束）。

*建立剛度矩陣：根據(jù)各單元的剛度性質(zhì)和連接方式，計(jì)算結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣[K]。剛度矩陣的元素kij表示在節(jié)點(diǎn)i施加單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)j產(chǎn)生的約束力。單元?jiǎng)偠染仃囃ǔＳ山Y(jié)構(gòu)離散化（劃分單元）后得到。

*建立方程組：根據(jù)靜力平衡條件，建立關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移向量{Δ}的方程：[K]{Δ}={F}。其中{F}是節(jié)點(diǎn)荷載向量（由外荷載引起的節(jié)點(diǎn)力）。如果考慮溫度變化、支座沉降等引起的外部效應(yīng)，則{F}中會(huì)包含相應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)荷載。

*求解節(jié)點(diǎn)位移：求解方程組{Δ}=[K]?1{F}，得到所有節(jié)點(diǎn)的位移。

*計(jì)算內(nèi)力：利用節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染仃?，?jì)算各單元的內(nèi)力。

*適用范圍：特別適用于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)分析，特別是大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)（如框架、連續(xù)梁）。

2.關(guān)鍵步驟：

(1)**確定超靜定次數(shù)**：這是選擇分析方法的基礎(chǔ)?？梢酝ㄟ^計(jì)算靜力平衡方程數(shù)與未知數(shù)數(shù)之差來確定。例如，一個(gè)平面桁架，若有n個(gè)節(jié)點(diǎn)（通常3n個(gè)未知數(shù)：每個(gè)節(jié)點(diǎn)的x,y方向力），m個(gè)桿件，如果是幾何不變且無多余桿件，則超靜定次數(shù)為0；如果有冗余桿件，則超靜定次數(shù)為m-3n。

(2)**建立補(bǔ)充方程（力法）**：這是力法分析的核心。補(bǔ)充方程必須確?；倔w系在多余力作用點(diǎn)處的位移與原結(jié)構(gòu)在該點(diǎn)的實(shí)際位移（通常是零，如果該處是固定約束）相協(xié)調(diào)。這通常通過虛功原理或單位荷載法計(jì)算得到。

(3)**求解方程組（力法）**：力法最終需要求解一個(gè)關(guān)于多余未知力的線性方程組。方程組的解決定了超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布。

(4)**組裝整體剛度矩陣（位移法）**：這是位移法的關(guān)鍵。需要將各單元的剛度矩陣按照節(jié)點(diǎn)連接關(guān)系組裝成整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。組裝過程必須遵循結(jié)構(gòu)的幾何約束和節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則。

(5)**施加等效節(jié)點(diǎn)荷載（位移法）**：將外部荷載轉(zhuǎn)換為對(duì)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的作用力或力矩，即等效節(jié)點(diǎn)荷載。這需要根據(jù)荷載作用位置和方向進(jìn)行計(jì)算。

（三）動(dòng)力響應(yīng)分析

動(dòng)力響應(yīng)分析研究結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間變化的荷載（動(dòng)荷載）或初始條件（初速度、初位移）作用下的行為。與靜力分析不同，動(dòng)力分析需要考慮結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和慣性效應(yīng)。結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞、失穩(wěn)甚至破壞。

1.自振頻率計(jì)算：結(jié)構(gòu)在沒有外部干擾且無阻尼的情況下，自由振動(dòng)時(shí)的固有頻率稱為自振頻率（或固有頻率、自然頻率）。自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有屬性，由其質(zhì)量分布和剛度特性決定。結(jié)構(gòu)具有多個(gè)自振頻率，對(duì)應(yīng)不同的振動(dòng)模式（模態(tài)）。

*無阻尼系統(tǒng)：對(duì)于單自由度（SDOF）系統(tǒng)，自振頻率由公式ω=√(k/m)計(jì)算得到，其中k是系統(tǒng)的剛度，m是系統(tǒng)的等效質(zhì)量。ω的單位通常是弧度/秒（rad/s），其頻率f（單位：赫茲Hz）與ω的關(guān)系為f=ω/(2π)。

*多自由度（MDOF）系統(tǒng)：對(duì)于具有多個(gè)自由度的系統(tǒng)，自振頻率需要通過求解特征值問題得到。通常是將結(jié)構(gòu)的剛度矩陣[K]和質(zhì)量矩陣[M]代入特征方程[K]{φ}=ω2[M]{φ}，其中{φ}是特征向量（對(duì)應(yīng)于特定自振頻率的振動(dòng)模式），ω是自振頻率。求解得到的ω2即為特征值，ω即為自振頻率。通常有n個(gè)不同的自振頻率（n為自由度數(shù)）。

*計(jì)算方法：對(duì)于SDOF，直接使用公式；對(duì)于MDOF，常用方法包括瑞利法、鄧克爾斯法、矩陣迭代法等。

2.強(qiáng)迫振動(dòng)分析：結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間變化的動(dòng)荷載p(t)作用下發(fā)生的振動(dòng)。分析強(qiáng)迫振動(dòng)的目的是計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)（位移、速度、加速度、內(nèi)力等隨時(shí)間的變化）。

*無阻尼系統(tǒng)（單自由度）：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的位移可以表示為x_st(t)=X*cos(ωt-φ)，其中X是振幅，ω是系統(tǒng)的自振頻率，φ是相位角。振幅X的大小取決于動(dòng)荷載的特性（幅值、頻率）和系統(tǒng)的自振頻率。當(dāng)動(dòng)荷載的頻率f接近系統(tǒng)的自振頻率f時(shí)，會(huì)發(fā)生共振，振幅X會(huì)急劇增大，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。此時(shí)需要考慮阻尼的影響。

*有阻尼系統(tǒng)（單自由度）：通常采用粘性阻尼模型，阻尼力與速度成正比。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅會(huì)隨頻率比（λ=f/f?，f為動(dòng)荷載頻率，f?為自振頻率）和阻尼比ζ（ζ=c/(2√(km))）的增大而減小。共振時(shí)的振幅不再是無窮大，而是有限值，但仍可能很大。

*多自由度系統(tǒng)：強(qiáng)迫振動(dòng)分析更為復(fù)雜，通常采用振型疊加法（ModeSuperpositionMethod）。步驟如下：

(1)計(jì)算結(jié)構(gòu)的前n個(gè)自振頻率和對(duì)應(yīng)的振型向量{φ}_i。

(2)將結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)表示為各振型響應(yīng)的疊加：{x}(t)=Σ[i=1ton]{φ}_i*q_i(t)，其中{q}_i(t)是第i個(gè)廣義坐標(biāo)的響應(yīng)。

(3)計(jì)算每個(gè)廣義坐標(biāo)的響應(yīng)q_i(t)。這需要求解一個(gè)二階常微分方程組，方程的形式為M{q}_i''(t)+C{q}_i'(t)+K{q}_i(t)={Q}_i(t)，其中{Q}_i(t)是將動(dòng)荷載{p}(t)轉(zhuǎn)換到第i個(gè)廣義坐標(biāo)上的廣義力。通常采用振型分解法求解此方程組。

(4)將計(jì)算得到的各q_i(t)代入疊加公式，得到結(jié)構(gòu)的總響應(yīng)。

*動(dòng)荷載表示：動(dòng)荷載p(t)可以是簡(jiǎn)諧荷載（p(t)=P?cos(ωt)）、脈沖荷載、沖擊荷載或任意時(shí)間函數(shù)。

**四、實(shí)際應(yīng)用案例**

（一）框架結(jié)構(gòu)分析

框架結(jié)構(gòu)由梁和柱通過剛性或半剛性連接組成，是建筑和橋梁中常見的結(jié)構(gòu)形式。其分析通常屬于超靜定結(jié)構(gòu)分析范疇，特別是空間框架。

1.步驟：

(1)**結(jié)構(gòu)建模**：在分析軟件（如ETABS,SAP2000,ABAQUS等）或手算中，建立框架的幾何模型，包括梁、柱的長(zhǎng)度、截面尺寸，以及節(jié)點(diǎn)位置。

(2)**材料屬性定義**：輸入梁、柱所使用的材料信息，主要是彈性模量E和泊松比ν。對(duì)于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，還需要定義材料強(qiáng)度等級(jí)。

(3)**截面屬性定義**：根據(jù)截面尺寸計(jì)算或定義梁、柱的截面慣性矩（Ix,Iy）、抗彎截面系數(shù)（Wx,Wy）、截面面積（A）、扭轉(zhuǎn)慣性矩（J）等幾何屬性。

(4)**荷載定義**：施加設(shè)計(jì)荷載，包括恒載（自重、樓面面層、隔墻等）、活載（人員、設(shè)備、雪、風(fēng)等）。荷載通常按規(guī)范要求施加。

(5)**支座條件定義**：根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置支座條件，如基礎(chǔ)處的固定支座、柱腳的鉸支或滑動(dòng)支座、樓層處的連接方式（剛接、鉸接）。

(6)**選擇分析類型**：進(jìn)行靜力分析（計(jì)算自重、活載下的內(nèi)力和位移）或動(dòng)力分析（計(jì)算地震作用、風(fēng)作用下的響應(yīng)）。

(7)**求解計(jì)算**：運(yùn)行分析程序，軟件會(huì)自動(dòng)進(jìn)行超靜定分析（通常采用位移法）。

(8)**結(jié)果查看與校核**：查看輸出的內(nèi)力圖（彎矩、剪力、軸力）、變形圖（位移、轉(zhuǎn)角）以及應(yīng)力結(jié)果。校核關(guān)鍵部位的內(nèi)力是否滿足設(shè)計(jì)要求，變形是否在允許范圍內(nèi)。對(duì)于動(dòng)力分析，還需查看自振頻率、振型以及地震作用下的層間位移等。

（二）薄壁結(jié)構(gòu)分析

薄壁結(jié)構(gòu)是指壁厚相對(duì)于其長(zhǎng)度、寬度或直徑來說很小的結(jié)構(gòu)，如薄板、薄殼、薄壁桿件（箱形梁、圓管）等。其分析需要考慮剪切變形和薄膜效應(yīng)的影響。

1.矩形板彎曲：

*基本方程：薄板彎曲理論基于小變形假設(shè)，其核心方程是板的撓度微分方程：D(??ω/?x?)+D(??ω/?y?)+q(x,y)=0，其中ω(x,y)是板的撓度函數(shù)，q(x,y)是作用在板上的分布荷載，D是板的抗彎剛度，D=Eh3/(12(1-ν2))，E是彈性模量，h是板厚，ν是泊松比。

*邊界條件：根據(jù)支座形式（簡(jiǎn)支、固支、自由等）設(shè)定邊界條件，如簡(jiǎn)支邊撓度為零且彎矩為零，固支邊撓度和轉(zhuǎn)角均為零。

*解法：對(duì)于簡(jiǎn)單荷載和邊界條件，方程可能有解析解（如四點(diǎn)對(duì)稱受載的簡(jiǎn)支圓板）。對(duì)于復(fù)雜情況，通常采用數(shù)值方法，如有限元法（FEM）離散板單元，將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組求解。

2.軸對(duì)稱殼體：

*基本方程：對(duì)于軸對(duì)稱殼體（如球殼、圓柱殼），其平衡方程和幾何關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化。例如，圓柱殼在軸對(duì)稱荷載下的平衡方程會(huì)包含軸力Nρ、環(huán)向力Nθ、徑向剪力Qρ、彎矩Mρ和Mθ，以及薄膜力（由Nρ和Nθ產(chǎn)生）和彎矩產(chǎn)生的力矩。需要同時(shí)考慮薄膜力引起的伸長(zhǎng)/壓縮和彎矩引起的彎曲。

*應(yīng)力計(jì)算：軸對(duì)稱殼體的應(yīng)力狀態(tài)比較復(fù)雜，需要考慮徑向和環(huán)向應(yīng)力（σρ,σθ），以及可能的經(jīng)向應(yīng)力（對(duì)于球殼）。應(yīng)力計(jì)算需要結(jié)合平衡方程、幾何方程（描述變形）和物理方程（應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）。通常采用解析解（如Lame解）或數(shù)值方法（如有限元法）。

*穩(wěn)定性分析：薄壁殼體在壓力作用下容易發(fā)生屈曲（喪失穩(wěn)定性），其屈曲分析是薄壁結(jié)構(gòu)分析的重要部分，需要考慮臨界荷載和屈曲模態(tài)。

**五、總結(jié)**

結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力學(xué)規(guī)律是理解和預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)行為的基礎(chǔ)。靜力學(xué)平衡方程保證了結(jié)構(gòu)的靜止?fàn)顟B(tài)，材料力學(xué)特性描述了材料在應(yīng)力作用下的變形規(guī)律，幾何不變性條件確保了結(jié)構(gòu)各部分協(xié)調(diào)變形。基于這些基本規(guī)律，發(fā)展出了靜定結(jié)構(gòu)分析、超靜定結(jié)構(gòu)分析和動(dòng)力響應(yīng)分析等多種結(jié)構(gòu)分析方法，以應(yīng)對(duì)不同類型和條件的工程問題。

靜定結(jié)構(gòu)分析直接利用平衡方程求解，步驟清晰，適用于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)分析則需要引入變形協(xié)調(diào)條件和材料特性，形成補(bǔ)充方程，常用的力法和位移法各有側(cè)重，且位移法更易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。動(dòng)力響應(yīng)分析則需考慮質(zhì)量和慣性效應(yīng)，對(duì)于承受動(dòng)荷載的結(jié)構(gòu)至關(guān)重要，其中自振頻率和共振現(xiàn)象是分析的關(guān)鍵點(diǎn)。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，無論是框架結(jié)構(gòu)還是薄壁結(jié)構(gòu)，都需要根據(jù)具體情況選擇合適的分析方法，并遵循嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治霾襟E。精確的材料參數(shù)、合理的荷載施加、準(zhǔn)確的邊界條件設(shè)定以及必要的校核是保證分析結(jié)果可靠性的關(guān)鍵。深入理解和靈活運(yùn)用結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本規(guī)律和分析方法，是結(jié)構(gòu)工程師進(jìn)行安全、經(jīng)濟(jì)、合理結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要能力。

一、結(jié)構(gòu)力學(xué)概述

結(jié)構(gòu)力學(xué)是研究結(jié)構(gòu)在各種外力作用下的受力、變形和穩(wěn)定性問題的學(xué)科。其核心在于運(yùn)用力學(xué)原理分析結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、變形和動(dòng)力響應(yīng)。本篇文檔將歸納結(jié)構(gòu)力學(xué)中的主要力學(xué)規(guī)律，并闡述其應(yīng)用方法。

二、基本力學(xué)規(guī)律

（一）靜力學(xué)平衡方程

靜力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)的基礎(chǔ)，其核心是平衡方程。任何處于平衡狀態(tài)的剛體或結(jié)構(gòu)，其受力必須滿足以下三個(gè)條件：

1.合力為零：結(jié)構(gòu)所受的所有外力在任意軸上的投影之和為零。

-數(shù)學(xué)表達(dá)：ΣFx=0，ΣFy=0（平面問題）；ΣFx=0，ΣFy=0，ΣFz=0（空間問題）

2.合力矩為零：結(jié)構(gòu)所受的所有外力矩之和為零。

-數(shù)學(xué)表達(dá)：ΣMx=0，ΣMy=0，ΣMz=0（空間問題）

3.應(yīng)力平衡：結(jié)構(gòu)內(nèi)部各截面的應(yīng)力分布需滿足平衡條件。

（二）材料力學(xué)特性

1.應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：材料的力學(xué)行為由應(yīng)力（σ）和應(yīng)變（ε）之間的關(guān)系決定。

-線彈性材料：σ=Eε，其中E為彈性模量。

-非線性材料：需通過本構(gòu)關(guān)系描述，如彈塑性模型。

2.應(yīng)變能密度：材料在變形過程中儲(chǔ)存的能量。

-計(jì)算公式：U=∫σ·dε

（三）幾何不變性條件

結(jié)構(gòu)在受力后需保持幾何形狀不變，即變形協(xié)調(diào)。具體要求包括：

1.邊界約束條件：結(jié)構(gòu)的支座形式（固定、鉸支、滑動(dòng)等）決定其自由度。

2.連接條件：節(jié)點(diǎn)或接頭的變形需匹配，避免相對(duì)滑動(dòng)或分離。

三、結(jié)構(gòu)分析方法

（一）靜定結(jié)構(gòu)分析

1.基本步驟：

(1)識(shí)別結(jié)構(gòu)的支座類型和約束條件。

(2)列出靜力學(xué)平衡方程。

(3)計(jì)算內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩）。

2.示例：簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的彎矩計(jì)算。

-彎矩：M(x)=(qLx-qx2)/2，其中q為荷載集度，L為梁長(zhǎng)。

（二）超靜定結(jié)構(gòu)分析

1.分析方法：

(1)力法：通過超靜定未知量建立方程組求解。

(2)位移法：基于節(jié)點(diǎn)位移和剛度矩陣計(jì)算內(nèi)力。

2.關(guān)鍵步驟：

(1)確定超靜定次數(shù)。

(2)構(gòu)造補(bǔ)充方程（如力法中的相容方程）。

(3)求解方程組。

（三）動(dòng)力響應(yīng)分析

1.自振頻率計(jì)算：

-無阻尼系統(tǒng)：ω=√(k/m)，其中k為剛度，m為質(zhì)量。

2.強(qiáng)迫振動(dòng)分析：

-受簡(jiǎn)諧荷載作用：響應(yīng)頻率與荷載頻率相關(guān)，可能發(fā)生共振。

四、實(shí)際應(yīng)用案例

（一）框架結(jié)構(gòu)分析

1.步驟：

(1)將框架分解為梁、柱單元。

(2)計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

(3)組裝整體剛度矩陣并施加邊界條件。

（二）薄壁結(jié)構(gòu)分析

1.矩形板彎曲：

-撓度方程：Dω/dx2+q(x)/D=0，其中D為抗彎剛度。

2.軸對(duì)稱殼體：

-應(yīng)力計(jì)算需考慮薄膜力和彎曲力矩的耦合。

五、總結(jié)

結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力學(xué)規(guī)律是解決工程問題的理論基礎(chǔ)。通過靜力學(xué)平衡、材料特性、幾何協(xié)調(diào)等規(guī)律，結(jié)合靜定、超靜定及動(dòng)力分析方法，可系統(tǒng)研究結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。實(shí)際應(yīng)用中需結(jié)合具體結(jié)構(gòu)形式選擇合適的方法，確保計(jì)算精度和效率。

**一、結(jié)構(gòu)力學(xué)概述**

結(jié)構(gòu)力學(xué)是工程學(xué)科中的一個(gè)基礎(chǔ)且核心的分支，它專注于研究各種工程結(jié)構(gòu)（如梁、柱、板、殼、框架等）在承受外部荷載（如重力、風(fēng)、地震作用等）以及其他因素（如溫度變化、材料收縮等）影響時(shí)的響應(yīng)行為。其根本目標(biāo)是確保結(jié)構(gòu)在預(yù)定使用年限內(nèi)能夠安全、可靠地承受各種作用，并且滿足預(yù)定的功能和使用要求。結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究涉及結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性和壽命等多個(gè)方面。理解并掌握其內(nèi)在的力學(xué)規(guī)律，是進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、分析和評(píng)估的前提。本篇文檔旨在系統(tǒng)性地歸納和闡述結(jié)構(gòu)力學(xué)中的核心力學(xué)規(guī)律，并探討這些規(guī)律在結(jié)構(gòu)分析中的具體應(yīng)用，為后續(xù)的工程實(shí)踐提供理論支持。

**二、基本力學(xué)規(guī)律**

（一）靜力學(xué)平衡方程

靜力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)的基石，它處理的是結(jié)構(gòu)在靜止?fàn)顟B(tài)下的力學(xué)問題。當(dāng)結(jié)構(gòu)及其上的所有荷載處于平衡時(shí)，其任何一部分或整體都必須滿足靜力學(xué)的基本原理，即合力與合力矩均為零。這是結(jié)構(gòu)不發(fā)生宏觀運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)的基本條件。

1.合力為零：結(jié)構(gòu)所受的所有外力（包括主動(dòng)力如荷載、約束力等）在任意選定的直角坐標(biāo)軸（通常為x,y,z軸）上的投影代數(shù)和必須分別等于零。這保證了結(jié)構(gòu)在任何一個(gè)方向上都不會(huì)產(chǎn)生加速度。

*數(shù)學(xué)表達(dá)（空間問題）：

*ΣFx=0：所有外力在x軸方向上的分量之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)在x方向上沒有凈推力或拉力。

*ΣFy=0：所有外力在y軸方向上的分量之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)在y方向上沒有凈剪力或水平推力。

*ΣFz=0：所有外力在z軸方向上的分量之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)在z方向上沒有凈垂直力。

*數(shù)學(xué)表達(dá)（平面問題，例如x-y平面）：

*ΣFx=0

*ΣFy=0

這兩個(gè)方程確保了結(jié)構(gòu)在所選平面內(nèi)處于平衡狀態(tài)，沒有水平或垂直的凈運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。

2.合力矩為零：結(jié)構(gòu)所受的所有外力對(duì)于任意選定的點(diǎn)（通常為結(jié)構(gòu)的某一點(diǎn)或某軸）的力矩代數(shù)和必須為零。這保證了結(jié)構(gòu)不會(huì)繞該點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

*數(shù)學(xué)表達(dá)（空間問題）：

*ΣMx=0：所有外力對(duì)于x軸的力矩之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)繞x軸沒有凈轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)。

*ΣMy=0：所有外力對(duì)于y軸的力矩之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)繞y軸沒有凈轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)。

*ΣMz=0：所有外力對(duì)于z軸的力矩之和為零。這意味著結(jié)構(gòu)繞z軸（通常指向觀察者）沒有凈轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)。

*數(shù)學(xué)表達(dá)（平面問題，例如x-y平面）：

*ΣMz=0：所有外力對(duì)于垂直于該平面的z軸的力矩之和為零。在平面內(nèi)分析時(shí)，通常關(guān)注繞平面上某點(diǎn)的力矩平衡。

合力矩為零的條件確保了結(jié)構(gòu)的整體旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)被抑制。

3.應(yīng)力平衡（內(nèi)部力）：雖然靜力學(xué)平衡主要關(guān)注外力，但內(nèi)部應(yīng)力分布也必須滿足平衡。對(duì)于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的任意一個(gè)微元體，其上作用的應(yīng)力（σx,σy,σz等）必須構(gòu)成一個(gè)平衡力系，使得微元體不會(huì)在內(nèi)部發(fā)生加速運(yùn)動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)。這通常在后續(xù)的材料力學(xué)和有限元分析中結(jié)合平衡方程和應(yīng)變-位移關(guān)系來體現(xiàn)，但在靜力分析中，它隱含在整體或局部的截面力（軸力、剪力、彎矩、扭矩）必須滿足平衡的條件里。

（二）材料力學(xué)特性

材料力學(xué)特性是指結(jié)構(gòu)組成部分（材料）在受力時(shí)表現(xiàn)出的力學(xué)行為。理解材料的本構(gòu)關(guān)系對(duì)于準(zhǔn)確預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)至關(guān)重要。

1.應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：這是描述材料變形程度的物理量（應(yīng)力）與其引起的原因（應(yīng)變）之間關(guān)系的核心。應(yīng)力（σ）是單位面積上的內(nèi)力，應(yīng)變（ε）是相對(duì)變形量。

*線彈性材料：這是最常見的理想化模型，認(rèn)為材料在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。比例常數(shù)是材料的彈性模量（E），也稱為楊氏模量。其關(guān)系由胡克定律描述：σ=Eε。這種材料變形后能完全恢復(fù)原狀。泊松比（ν）是描述材料橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之間關(guān)系的無量綱系數(shù)，ν=-ε_(tái)trans/ε_(tái)long。彈性模量和泊松比是材料的基本力學(xué)參數(shù)。

*非線性材料：實(shí)際工程中許多材料不滿足線彈性的假設(shè)。例如：

*彈塑性材料：材料在達(dá)到某個(gè)應(yīng)力（屈服強(qiáng)度）后，會(huì)經(jīng)歷不可恢復(fù)的塑性變形。應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系通常用屈服準(zhǔn)則（如vonMises屈服準(zhǔn)則）和流動(dòng)法則（如Joule-Coulomb流動(dòng)法則）來描述。

*脆性材料：材料在斷裂前幾乎沒有塑性變形，應(yīng)力-應(yīng)變曲線相對(duì)較直，直到突然斷裂。

*黏彈性材料：材料同時(shí)具有彈性和流體的黏性特征，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與時(shí)間相關(guān)，常見于橡膠、高分子材料等。

*各向異性材料：材料的力學(xué)性能在不同方向上不同，如復(fù)合材料、木材等。其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系需要用張量形式描述。

2.應(yīng)變能密度：當(dāng)材料變形時(shí)，外力對(duì)結(jié)構(gòu)做功，這部分功如果只引起彈性變形，就會(huì)以應(yīng)變能的形式儲(chǔ)存在材料內(nèi)部。單位體積儲(chǔ)存的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度（U）。對(duì)于線彈性材料，應(yīng)變能密度可以表示為：U=0.5*σ·ε=0.5*Eε2。應(yīng)變能是評(píng)估結(jié)構(gòu)彈性能量和穩(wěn)定性（如屈曲）的重要指標(biāo)，也是計(jì)算結(jié)構(gòu)勢(shì)能的基礎(chǔ)。

（三）幾何不變性條件

幾何不變性條件，在結(jié)構(gòu)力學(xué)中通常體現(xiàn)為變形協(xié)調(diào)原理和幾何約束條件。它確保結(jié)構(gòu)在受力變形后，其各組成部分之間以及與支座之間的相對(duì)位置關(guān)系仍然滿足結(jié)構(gòu)和連接方式的物理要求。

1.邊界約束條件：結(jié)構(gòu)的支座是將其與基礎(chǔ)或其他結(jié)構(gòu)連接并施加約束的裝置。不同的支座形式提供了不同的約束程度，從而限制了結(jié)構(gòu)的自由度。

*固定支座（FixedSupport）：完全限制結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的三個(gè)方向位移（平移和轉(zhuǎn)動(dòng)），提供三個(gè)反力和一個(gè)反力矩。自由度為0。

*鉸支座（PinnedSupport/SimpleSupport）：限制結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)方向位移（通常水平位移和豎向位移），提供一個(gè)反力。自由度為1。

*滑動(dòng)支座（RollerSupport）：限制結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的另一個(gè)方向位移（通常是水平位移），提供一個(gè)反力。自由度為1。

*邊界條件直接影響結(jié)構(gòu)的受力分布和計(jì)算方法。

2.連接條件：結(jié)構(gòu)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)或接頭將不同的構(gòu)件連接起來。連接方式?jīng)Q定了節(jié)點(diǎn)處的變形關(guān)系。

*理想鉸接節(jié)點(diǎn)：假設(shè)節(jié)點(diǎn)處構(gòu)件之間可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，沒有彎矩傳遞，只傳遞軸力和剪力。這種模型常用于桁架分析。

*理想剛接節(jié)點(diǎn)：假設(shè)節(jié)點(diǎn)處構(gòu)件之間剛性連接，既傳遞軸力和剪力，也傳遞彎矩，節(jié)點(diǎn)處構(gòu)件變形協(xié)調(diào)（無相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)）。這種模型常用于梁、框架結(jié)構(gòu)分析。

*實(shí)際連接通常介于兩者之間。連接條件必須與實(shí)際構(gòu)造相符，以保證分析結(jié)果的合理性。

3.變形協(xié)調(diào)：結(jié)構(gòu)變形后，各構(gòu)件在連接點(diǎn)處的相對(duì)位移和轉(zhuǎn)角必須滿足連接方式的要求。例如，在剛接節(jié)點(diǎn)處，相連構(gòu)件在該節(jié)點(diǎn)的切線必須連續(xù)，轉(zhuǎn)角相等；在鉸接節(jié)點(diǎn)處，相連構(gòu)件在該節(jié)點(diǎn)的相對(duì)轉(zhuǎn)角不受約束。變形協(xié)調(diào)是保證結(jié)構(gòu)作為一個(gè)整體協(xié)調(diào)工作的前提，也是建立結(jié)構(gòu)平衡方程組時(shí)必須滿足的內(nèi)在條件。

**三、結(jié)構(gòu)分析方法**

（一）靜定結(jié)構(gòu)分析

靜定結(jié)構(gòu)是指其反力和內(nèi)力可以通過靜力學(xué)平衡方程（ΣFx=0,ΣFy=0,ΣM=0）直接唯一確定的結(jié)構(gòu)。這類結(jié)構(gòu)通常具有足夠的約束，但自由度不高。分析步驟相對(duì)直接。

1.基本步驟：

(1)**識(shí)別結(jié)構(gòu)和荷載**：清晰繪制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，標(biāo)注所有已知荷載（大小、方向、作用位置）和支座類型。

(2)**建立自由體圖（FreeBodyDiagram,FBD）**：選擇研究對(duì)象（整個(gè)結(jié)構(gòu)或某個(gè)分離體），畫出其所有受力的外力（包括荷載和支座反力），并標(biāo)明未知反力的方向（通常先假設(shè)為正方向）。

(3)**應(yīng)用靜力學(xué)平衡方程**：根據(jù)選定的坐標(biāo)系，列出三個(gè)平衡方程（ΣFx=0,ΣFy=0,ΣM=0）。對(duì)于平面結(jié)構(gòu)，是兩個(gè)力的平衡方程和一個(gè)力矩的平衡方程。對(duì)于空間結(jié)構(gòu)，是三個(gè)力的平衡方程和三個(gè)力矩的平衡方程。

(4)**求解未知反力**：利用列出的平衡方程組，求解所有未知的支座反力。

(5)**計(jì)算內(nèi)力**：根據(jù)已知的反力和荷載，逐段分析結(jié)構(gòu)構(gòu)件內(nèi)部的軸力（N）、剪力（V）和彎矩（M）。通常采用截面法：

*在需要求解內(nèi)力的位置，假想切開結(jié)構(gòu)，取一部分作為分離體。

*畫出分離體的自由體圖，包括已知的反力、荷載以及切口處暴露的內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩，通常也先假設(shè)正方向）。

*對(duì)分離體再次應(yīng)用靜力學(xué)平衡方程（ΣFx=0,ΣFy=0,ΣM=0），求解切口處的內(nèi)力。

*根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)，判斷實(shí)際內(nèi)力的方向。

(6)**繪制內(nèi)力圖**：將計(jì)算得到的軸力、剪力和彎矩沿結(jié)構(gòu)軸線的變化情況用圖形表示出來，即軸力圖、剪力圖和彎矩圖。這些圖形對(duì)于理解結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)至關(guān)重要。

2.示例：簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的彎矩計(jì)算。

*考慮一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的簡(jiǎn)支梁，受均布荷載q作用。

*支座：左端鉸支（反力R_A），右端滑動(dòng)支座（反力R_B），反力方向假設(shè)向上。

*整體平衡：

*ΣFx=0：通常梁無水平荷載，此方程自動(dòng)滿足。

*ΣFy=0：R_A+R_B-qL=0。解得R_A=R_B=qL/2。

*ΣM_A=0：取左端A為矩心，右端B的反力R_B產(chǎn)生的力矩與荷載產(chǎn)生的總力矩平衡。R_B*L-qL*(L/2)=0。解得R_B=qL/2，與ΣFy結(jié)果一致。

*內(nèi)力計(jì)算（截面法）：

*在距離左端A為x的位置切開，取左側(cè)分離體。

*未知內(nèi)力：軸力N(x)，剪力V(x)，彎矩M(x)（假設(shè)彎矩使左側(cè)分離體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正）。

*平衡方程：

*ΣFx=0：N(x)=0（簡(jiǎn)支梁通常無軸力）。

*ΣFy=0：R_A-qx+V(x)=0=>V(x)=qL/2-qx。

*ΣM=0：R_A*x-qx*(x/2)+M(x)=0=>M(x)=qx2/2-R_A*x=qx2/2-qLx/2。

*內(nèi)力圖：

*剪力圖：V(x)=q(L/2-x)。是一條斜率為-q的直線，在x=L/2處剪力為零。

*彎矩圖：M(x)=qx(L/2-x)。是一條拋物線，在x=L/2處達(dá)到最大值M_max=qL2/8，在兩端彎矩為零。

（二）超靜定結(jié)構(gòu)分析

超靜定結(jié)構(gòu)是指其反力和內(nèi)力無法僅通過靜力學(xué)平衡方程唯一確定的結(jié)構(gòu)。這類結(jié)構(gòu)通常具有多余的約束（靜不定約束），自由度低于靜力學(xué)方程的數(shù)量。分析超靜定結(jié)構(gòu)需要引入額外的方程，這些方程來源于結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件和材料的力學(xué)特性（應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）。

1.分析方法：

(1)**力法（ForceMethod/FlexibilityMethod）**：

*基本思想：將多余未知力（稱為力法未知量）作為主變量。利用靜力平衡方程建立關(guān)于這些未知力的方程組，同時(shí)引入變形協(xié)調(diào)條件（通常是多余力作用方向上的位移）和材料力學(xué)關(guān)系（如柔度系數(shù)）來建立補(bǔ)充方程。

*步驟：

*確定超靜定次數(shù)n：超靜定次數(shù)等于多余約束的數(shù)量，也等于靜力平衡方程數(shù)（3個(gè)，空間；2個(gè)，平面）與獨(dú)立未知數(shù)（支座反力或內(nèi)力）數(shù)之差。

*選擇基本體系：將n個(gè)多余未知力中的一個(gè)或多個(gè)移除，使結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)（稱為基本體系或靜定基）?；倔w系必須幾何可變且為靜定。

*建立力法方程：根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，建立關(guān)于多余未知力的n個(gè)線性方程。方程的一般形式為：δ十一PP?+δ十二PP?+...+δijnPn=ΔPE，其中δij是柔度系數(shù)，表示在j方向施加單位力時(shí)在i方向產(chǎn)生的位移，ΔPE是在外荷載作用下，在多余力i方向上基本體系產(chǎn)生的位移。

*計(jì)算柔度系數(shù)和自由位移：通過單位荷載法或其他方法計(jì)算柔度系數(shù)矩陣[δ]和自由項(xiàng)向量{ΔPE}。

*求解多余未知力：求解方程組{P}=[-δ]?1{ΔPE}，得到各多余未知力。

*計(jì)算內(nèi)力和反力：利用已求出的多余未知力和靜力平衡方程，計(jì)算基本體系上的內(nèi)力和支座反力。

*適用范圍：適用于各種超靜定結(jié)構(gòu)，特別是當(dāng)多余約束數(shù)量較少時(shí)。

(2)**位移法（DisplacementMethod/StiffnessMethod）**：

*基本思想：將節(jié)點(diǎn)位移（線位移和角位移）作為主變量。利用變形協(xié)調(diào)條件（構(gòu)件的變形必須與節(jié)點(diǎn)的位移一致）和材料力學(xué)關(guān)系（剛度矩陣）來建立關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移的方程組，同時(shí)利用靜力平衡條件建立補(bǔ)充方程。

*步驟：

*確定基本體系：假設(shè)所有節(jié)點(diǎn)位移為零，將結(jié)構(gòu)視為剛性的（或只考慮節(jié)點(diǎn)的位移約束）。

*建立剛度矩陣：根據(jù)各單元的剛度性質(zhì)和連接方式，計(jì)算結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣[K]。剛度矩陣的元素kij表示在節(jié)點(diǎn)i施加單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)j產(chǎn)生的約束力。單元?jiǎng)偠染仃囃ǔＳ山Y(jié)構(gòu)離散化（劃分單元）后得到。

*建立方程組：根據(jù)靜力平衡條件，建立關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移向量{Δ}的方程：[K]{Δ}={F}。其中{F}是節(jié)點(diǎn)荷載向量（由外荷載引起的節(jié)點(diǎn)力）。如果考慮溫度變化、支座沉降等引起的外部效應(yīng)，則{F}中會(huì)包含相應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)荷載。

*求解節(jié)點(diǎn)位移：求解方程組{Δ}=[K]?1{F}，得到所有節(jié)點(diǎn)的位移。

*計(jì)算內(nèi)力：利用節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染仃?，?jì)算各單元的內(nèi)力。

*適用范圍：特別適用于計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)分析，特別是大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)（如框架、連續(xù)梁）。

2.關(guān)鍵步驟：

(1)**確定超靜定次數(shù)**：這是選擇分析方法的基礎(chǔ)。可以通過計(jì)算靜力平衡方程數(shù)與未知數(shù)數(shù)之差來確定。例如，一個(gè)平面桁架，若有n個(gè)節(jié)點(diǎn)（通常3n個(gè)未知數(shù)：每個(gè)節(jié)點(diǎn)的x,y方向力），m個(gè)桿件，如果是幾何不變且無多余桿件，則超靜定次數(shù)為0；如果有冗余桿件，則超靜定次數(shù)為m-3n。

(2)**建立補(bǔ)充方程（力法）**：這是力法分析的核心。補(bǔ)充方程必須確?；倔w系在多余力作用點(diǎn)處的位移與原結(jié)構(gòu)在該點(diǎn)的實(shí)際位移（通常是零，如果該處是固定約束）相協(xié)調(diào)。這通常通過虛功原理或單位荷載法計(jì)算得到。

(3)**求解方程組（力法）**：力法最終需要求解一個(gè)關(guān)于多余未知力的線性方程組。方程組的解決定了超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布。

(4)**組裝整體剛度矩陣（位移法）**：這是位移法的關(guān)鍵。需要將各單元的剛度矩陣按照節(jié)點(diǎn)連接關(guān)系組裝成整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。組裝過程必須遵循結(jié)構(gòu)的幾何約束和節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則。

(5)**施加等效節(jié)點(diǎn)荷載（位移法）**：將外部荷載轉(zhuǎn)換為對(duì)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的作用力或力矩，即等效節(jié)點(diǎn)荷載。這需要根據(jù)荷載作用位置和方向進(jìn)行計(jì)算。

（三）動(dòng)力響應(yīng)分析

動(dòng)力響應(yīng)分析研究結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間變化的荷載（動(dòng)荷載）或初始條件（初速度、初位移）作用下的行為。與靜力分析不同，動(dòng)力分析需要考慮結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和慣性效應(yīng)。結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞、失穩(wěn)甚至破壞。

1.自振頻率計(jì)算：結(jié)構(gòu)在沒有外部干擾且無阻尼的情況下，自由振動(dòng)時(shí)的固有頻率稱為自振頻率（或固有頻率、自然頻率）。自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有屬性，由其質(zhì)量分布和剛度特性決定。結(jié)構(gòu)具有多個(gè)自振頻率，對(duì)應(yīng)不同的振動(dòng)模式（模態(tài)）。

*無阻尼系統(tǒng)：對(duì)于單自由度（SDOF）系統(tǒng)，自振頻率由公式ω=√(k/m)計(jì)算得到，其中k是系統(tǒng)的剛度，m是系統(tǒng)的等效質(zhì)量。ω的單位通常是弧度/秒（rad/s），其頻率f（單位：赫茲Hz）與ω的關(guān)系為f=ω/(2π)。

*多自由度（MDOF）系統(tǒng)：對(duì)于具有多個(gè)自由度的系統(tǒng)，自振頻率需要通過求解特征值問題得到。通常是將結(jié)構(gòu)的剛度矩陣[K]和質(zhì)量矩陣[M]代入特征方程[K]{φ}=ω2[M]{φ}，其中{φ}是特征向量（對(duì)應(yīng)于特定自振頻率的振動(dòng)模式），ω是自振頻率。求解得到的ω2即為特征值，ω即為自振頻率。通常有n個(gè)不同的自振頻率（n為自由度數(shù)）。

*計(jì)算方法：對(duì)于SDOF，直接使用公式；對(duì)于MDOF，常用方法包括瑞利法、鄧克爾斯法、矩陣迭代法等。

2.強(qiáng)迫振動(dòng)分析：結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間變化的動(dòng)荷載p(t)作用下發(fā)生的振動(dòng)。分析強(qiáng)迫振動(dòng)的目的是計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)（位移、速度、加速度、內(nèi)力等隨時(shí)間的變化）。

*無阻尼系統(tǒng)（單自由度）：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的位移可以表示為x_st(t)=X*cos(ωt-φ)，其中X是振幅，ω是系統(tǒng)的自振頻率，φ是相位角。振幅X的大小取決于動(dòng)荷載的特性（幅值、頻率）和系統(tǒng)的自振頻率。當(dāng)動(dòng)荷載的頻率f接近系統(tǒng)的自振頻率f時(shí)，會(huì)發(fā)生共振，振幅X會(huì)急劇增大，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。此時(shí)需要考慮阻尼的影響。

*有阻尼系統(tǒng)（單自由度）：通常采用粘性阻尼模型，阻尼力與速度成正比。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅會(huì)隨頻率比（λ=f/f?，f為動(dòng)荷載頻率，f?為自振頻率）和阻尼比ζ（ζ=c/(2√(km))）的增大而減小。共振時(shí)的振幅不再是無窮大，而是有限值，但仍可能很大。

*多自由度系統(tǒng)：強(qiáng)迫振動(dòng)分析更為復(fù)雜，通常采用振型疊加法（ModeSuperpositionMethod）。步驟如下：

(1)計(jì)算結(jié)構(gòu)的前n個(gè)自振頻率和對(duì)應(yīng)的振型向量{φ}_i。

(2)將結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)表示為各振型響應(yīng)的疊加：{x}(t)=Σ[i=1ton]{φ}_i*q_i(t)，其中{q}_i(t)是第i個(gè)廣義坐標(biāo)的響應(yīng)。