北師大版2024·八年級上冊第五章二元一次方程5.3二元一次方程組的應(yīng)用5.3.1和差倍分問題（雞兔同籠問題）《孫子算經(jīng)》是我國古代一部較為普及的算書,許多問題淺顯有趣,其中下卷第31題”雉兔同籠”流傳尤為廣泛,飄洋過海流傳到了日本等國.

《孫子算經(jīng)》中“雉（zhi)兔同籠”問題：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問：雉兔各幾何？請同學(xué)們分小組用不同的方法解決這個問題吧！情境導(dǎo)入叁肆叁壹《孫子算經(jīng)》中記載的算法：金雞獨立，兔子站起94÷2=47（只）247－35=12（只）腳數(shù)：頭數(shù)：35－12=23（只）兔雞方法一算術(shù)法新知初探貳方法二(1)找出上題中的等量關(guān)系；兔的只數(shù)＋雞的只數(shù)＝35；兔的腳數(shù)＋雞的腳數(shù)＝94.設(shè)兔有

x

只，則雞有(35－x)只，4x＋2(35－x)=94(2)設(shè)未知數(shù)，列出一元一次方程.答：雞有23只，兔有12只.解得

x=23即35－x=12用一元一次方程求解新知初探貳設(shè)兔有

x

只，雞有

y

只，腳數(shù)35頭數(shù)合計雞兔xy4x2y944x＋2y＝94x＋y＝35方法三用二元一次方程求解新知初探貳方法三：列二元一次方程組新知初探貳解：設(shè)雞為

x

只，兔為

y

只.則①×2得2x+2y=70，③②-③

得2y=24，

y=12.把

y=12代入①，得

x=23.答：有雞23只，兔12只.x+y=35，

①2x+4y=94.②

原方程組的解是x=23，y=12.加減消元解題小結(jié)：用二元一次方程組解決實際問題的步驟：(1)審題：弄清題意和題目中的_________；(2)設(shè)元：用___________表示題目中的未知數(shù)；(3)列方程組：根據(jù)___個等量關(guān)系列出方程組；(4)解方程組：利用____________或___________解

出未知數(shù)的值；(5)檢驗：檢驗所求的解是否符合實際意義.(6)作答：作答.數(shù)量關(guān)系字母2代入消元法加減消元法方法總結(jié)新知初探貳你覺得以上方法有什么區(qū)別和聯(lián)系？2.方程方法：正向思維，把未知當(dāng)已知，分析問題中涉及的各種量，以及量與量之間的等量關(guān)系。根據(jù)等量關(guān)系，列二元一次方程組需要設(shè)兩個未知數(shù)，列兩個方程；列一元一次方程需要設(shè)一個未知數(shù)，列一個方程。1.算術(shù)方法：逆向思維：計算簡單，但解題思路特殊不好掌握，不同題目需要不同“奇思妙想”，不容易舉一反三。聯(lián)系：區(qū)別：本質(zhì)上都在解決同一個數(shù)學(xué)模型，一元一次方程和二元一次方程式遞進關(guān)系，二元一次方程思路更簡單。新知初探貳探究二：和差倍分問題列方程組求解下面的問題：

若甲從乙處得到7個第納爾（貨幣單位），則甲擁有的第納爾數(shù)是乙的5倍；若乙從甲處得到5個第納爾，則乙擁有的第納爾數(shù)是甲的7倍。甲、乙兩人原來各擁有多少個第納爾？（選自意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《計算之書》）問題1：這個問題涉及哪些量？這些量之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題2：你能列方程解決這個問題嗎？你是怎樣做的？與同伴進行交流。新知初探貳解：設(shè)甲原來擁有x第納爾，乙原來擁有y第納爾.由題意，得解得答：甲、乙兩人原來各擁有

第納爾.甲的錢數(shù)+7=5×（乙的錢數(shù)-7），7×（甲的錢數(shù)-5）=乙的錢數(shù)+5.新知初探貳典例精析例1今有甲、乙懷錢，各不知其數(shù)。甲得乙十錢，多乙余錢五倍。乙得甲十錢，適等。問：甲、乙懷錢各幾何？（選自《張丘建算經(jīng)》）題目大意：甲、乙兩人各帶了若干錢。如果甲得到乙的10錢，那么甲的錢數(shù)比乙剩余的錢數(shù)多5倍；如果乙得到甲的10錢，那么兩人錢數(shù)相等。甲、乙兩人各帶了多少錢？思考：題目中有哪些等量關(guān)系？你能用含未知量的式子表示這些等量關(guān)系嗎？新知初探貳甲的錢數(shù)+10=5×（乙的錢數(shù)-10）甲的錢數(shù)-10=乙的錢數(shù)+10解：設(shè)甲帶的錢數(shù)為x，乙?guī)У腻X數(shù)為y，根據(jù)題意，得，。解這個方程組，得，。所以，甲帶了38錢，乙?guī)Я?8錢。甲的錢數(shù)+10=5×（乙的錢數(shù)-10）甲的錢數(shù)-10=乙的錢數(shù)+10新知初探貳求兩個未知數(shù)，需要兩個條件列二元一次方程組解決問題與列一元一次方程解決問題有什么區(qū)別和聯(lián)系？與同伴進行交流?！舅伎肌そ涣鳌柯?lián)系：解決問題的基本思路、基本思考策略是一致的，如都需要分析問題中涉及的

各種量，以及量與量之間的等量關(guān)系。區(qū)別：1.所設(shè)未知數(shù)的個數(shù)不同：列二元一次方程組解決問題需要設(shè)兩個未知數(shù)，

列兩個方程；列一元一次方程解決問題只需要設(shè)一個未知數(shù)，列一個方

程，需要用一個未知數(shù)表示另一個量。2.從理論上講，可以列二元一次方程組解決的問題都可以列一元一次方程解決；但對一些問題來說，列二元一次方程組的思考過程比較直接、容易，而列一元一次方程的思考過程則相對比較復(fù)雜，需要用一個未知數(shù)表示另一個量。二元一次方程組優(yōu)點：題目問什么就設(shè)什么，思路清晰，邏輯簡單。缺點：需要解方程組，步驟多。新知初探貳1.今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五，直金八兩。問：牛、羊各直金幾何？（選自《九章算術(shù)》）題目大意：5頭牛、2只羊共值10兩“金”；2頭牛、5只羊共值8兩“金”。每頭牛、每只羊各值多少“金”？（P121隨堂練習(xí)）解：設(shè)牛直金x兩，羊直金y兩，根據(jù)題意，得解這個方程組，得

，。，。練一練當(dāng)堂達標(biāo)叁叁肆叁叁2.今有井不知深，先將繩折作三條入井汲水，繩長四尺，后將繩折作四條入井，亦長一尺。問：井深及繩長各若干？（選自《算法統(tǒng)宗》）題目大意：用繩子測量井的深度，先將繩子折成三等份放入井中，一份繩長比井深多4尺；再將繩子折成四等份放入井中，一份繩長比井深多1尺。繩長、井深各是多少尺？當(dāng)堂達標(biāo)叁叁肆叁叁2.今有井不知深，先將繩折作三條入井汲水，繩長四尺，后將繩折作四條入井，亦長一尺。問：井深及繩長各若干？（選自《算法統(tǒng)宗》）解：設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)題意，得解這個方程組，得所以，繩長36尺，井深8尺。，。，。當(dāng)堂達標(biāo)叁叁肆叁叁1.解決現(xiàn)實問題的常用思路有哪些？分別體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？2.列方程解決實際問題的基本路徑是怎樣的？課堂小結(jié)肆叁肆叁肆實際問題數(shù)學(xué)問題二元一次方程組建模轉(zhuǎn)化建模思想，轉(zhuǎn)化化歸思想，方程思想