廣州市番禺區(qū)2025-2026學年高二上數(shù)學期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線焦點坐標為，則的值為A. B.C.8 D.42．下列函數(shù)的求導正確的是（）A. B.C. D.3．已知直線，兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則4．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B.C. D.5．幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點、是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大的．”如圖，其結論是：點為過、兩點且和射線相切的圓的切點．根據(jù)以上結論解決一下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，，點在軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標是（）A.B.C.或D.或6．設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且.則的面積為（）A.6 B.C.8 D.7．空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則（）A.5 B.25C. D.9．已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點，使，則雙曲線的焦點（）A.在軸上 B.在軸上C.當時在軸上 D.當時在軸上10．如圖①所示，將一邊長為1的正方形沿對角線折起，形成三棱錐，其主視圖與俯視圖如圖②所示，則左視圖的面積為（）A. B.C. D.11．若定義在R上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.12．已知奇函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則_________14．已知圓和直線.（1）求直線l所經過的定點的坐標，并判斷直線與圓的位置關系；（2）求當k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長.15．如圖，在四面體中，BA，BC，BD兩兩垂直，，，則二面角的大小為______16．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，則_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一杯100℃的開水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；（2）記n分鐘后的水溫為，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（3）當水溫在40℃到55℃之間時（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開后哪個時間段飲用最佳．（參考數(shù)據(jù)：）18．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）求在的最大值.19．（12分）如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面ABCD，Q為PB中點（1）求證：平面平面PBC；（2）求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值20．（12分）中，角A，B，C所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）求的面積.21．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知圓：與x軸負半軸交于點A，過A的直線交拋物線于B，C兩點，且.（1）證明：點C的橫坐標為定值；（2）若點C在圓內，且過點C與垂直的直線與圓交于D，E兩點，求四邊形ADBE的面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據(jù)拋物線的焦點坐標，可得的值.【詳解】拋物線的標準方程為，因為拋物線的焦點坐標為，所以，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關利用拋物線的焦點坐標求拋物線的方程的問題，涉及到的知識點有拋物線的簡單幾何性質，屬于簡單題目.2、B【解析】對各個選項進行導數(shù)運算驗證即可.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B3、A【解析】根據(jù)線面、面面位置關系有關知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，A選項正確，對于B選項，當，時，和可能相交，B選項錯誤，對于C選項，當，時，可能含于，C選項錯誤，對于D選項，當，時，可能含于，D選項錯誤.故選：A4、A【解析】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題5、A【解析】根據(jù)米勒問題的結論，點應該為過點、的圓與軸的切點，設圓心的坐標為，寫出圓的方程，并將點、的坐標代入可求出點的橫坐標.【詳解】解：設圓心的坐標為，則圓的方程為，將點、的坐標代入圓的方程得，解得或（舍去），因此，點的橫坐標為，故選：A.6、B【解析】利用橢圓的幾何性質，得到，，進而利用得出，進而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因為，，所以，所以，故選：B7、A【解析】由空間向量共面定理構造方程求得結果.【詳解】空間四點共面，但任意三點不共線，，解得：.故選：A.8、B【解析】由漸近線方程得到，焦點坐標為，漸近線方程為：，利用點到直線距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線故焦點坐標為，漸近線方程為：焦點到它的一條漸近線的距離為：解得：故選：B9、B【解析】設出雙曲線的一般方程，利用題設不等式，令二者平方，整理求得的，進而可判斷出焦點的位置【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點在軸上.故選B.【點睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對雙曲線標準方程的理解與運用，求解時要注意焦點落在軸或軸的特點，考查學生分析問題和解決問題的能力10、A【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.【詳解】由主視圖可以看出，A點在面上的投影為的中點，由俯視圖可以看出C點在面上的投影為的中點，所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長為，于是左視圖的面積為故選：A.11、B【解析】構造函數(shù)，根據(jù)題意，求得其單調性，利用函數(shù)單調性解不等式即可.【詳解】構造函數(shù)，則，故在上單調遞減；又，故可得，則，即，解得，故不等式解集為.故選：B.【點睛】本題考察利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，以及利用函數(shù)單調性求解不等式，解決本題的關鍵是根據(jù)題意構造函數(shù)，屬中檔題.12、A【解析】先由求出的值，進而可得的解析式，對求導，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調性，根據(jù)單調性脫掉，再解不等式即可.【詳解】的定義域為，因為是奇函數(shù)，所以，可得：，所以，經檢驗是奇函數(shù)，符合題意，所以，因為，所以，當且僅當即時等號成立，所以在上單調遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用函數(shù)的解析式由內到外逐層計算可得的值.【詳解】，，因此，.故答案為：.14、（1）直線過定點P（4，3），直線和圓總有兩個不同交點（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點斜式方程即可；(2)由圓的性質知，當直線與PC垂直時，弦長最短.【小問1詳解】直線方程可化為，則直線過定點P（4，3），又圓C標準方程為，圓心為，半徑為，而，所以點P在圓內，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個不同交點.【小問2詳解】由圓的性質知，當直線與PC垂直時，弦長最短.，所以k=1時弦長最短.弦長為.15、【解析】取的中點為，連接，由面面角的定義得出二面角的平面角為，再結合等腰直角三角形的性質得出二面角的大小.【詳解】取的中點為，連接，因為，所以二面角的平面角為，因為，，所以為等腰直角三角形，即二面角的大小為.故答案為：16、【解析】根據(jù)給定條件求出正項等比數(shù)列的公比即可計算作答.【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃；（2）證明見解析，，；（3）在水燒開后4到7分鐘飲用最佳.【解析】(1)根據(jù)給定條件設第n分鐘后的水溫為，探求出與的關系即可計算作答.(2)利用(1)的信息，列式變形、推導即可得證，進而求出的通項公式.(3)由(2)的結論列不等式，借助對數(shù)函數(shù)的性質求解即得.【小問1詳解】設第n分鐘后的水溫為，正比例系數(shù)為k，記，依題意，，當時，，則有，解得，因此，，即有，，所以2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃.小問2詳解】由(1)知，，時，，，則有，即，而，于是得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則有，即，所以是等比數(shù)列，的通項公式是，.【小問3詳解】由(2)及已知得：，即，整理得，兩邊取常用對數(shù)得：，而，解得，即，所以在水燒開后4到7分鐘飲用最佳.【點睛】思路點睛：涉及實際意義給出的數(shù)列問題，正確理解實際意義，列出關系式，再借助數(shù)列思想探求相鄰兩項間關系即可推理作答.18、（1）（2）【解析】（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得，再由正弦函數(shù)單調區(qū)間，整體代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調性即可求解.【小問1詳解】，，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1），解得函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，，所以函數(shù)的最大值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點為，連接，可證，從而可利用面面垂直的判定定理可證平面平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，取的中點為S，連接，因為為等邊三角形，故，，而平面平面ABCD，平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，故，因，故平面，因平面，故，因，故平面，而平面，故平面平面.【小問2詳解】連接，因為，故四邊形為平行四邊形，而，故四邊形為矩形，所以，由（1）可得平面，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以，，設平面的法向量為，則即，取，則，設平面的法向量為，則即，取，則，故，故平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)求出，根據(jù)求出，根據(jù)正弦定理求出；（2）先求出，再利用面積公式即可求出.【詳解】（1）在中，由題意知，又因為，所有，由正弦定理可得.（2）由得，由,得.所以.因此，的面積.【點睛】本題考查正弦定理和三角形面積公式的應用，屬于中檔題.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列條件列方程，即可求通項公式；（2）先由等比數(shù)列通項公式求出，解得，分組求和即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，∴，由，∴，∴數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】∵數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，即，∴，∴.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，設，，結合，得到，結合根與系數(shù)的關系，