2025-2026學年四川省眉山實驗高級中學高二上數(shù)學期末檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，把橢圓的長軸分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，則（）A.20 B.C.36 D.302．已知函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，則“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與該拋物線交于，兩點，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.4．如圖所示，某空間幾何體的三視圖是3個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為2，則該空間幾何體的體積為（）A. B.C. D.5．如圖，若斜邊長為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為（）A.2 B.C. D.86．已知雙曲線的左焦點為，，為雙曲線的左、右頂點，漸近線上的一點滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．下列結論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則8．已知點是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上一動點，過點作軸垂線并延長交雙曲線左支于點，當點向上移動時，的值（）A.增大 B.減小C.不變 D.無法確定9．函數(shù)的極大值點為（）A. B.C. D.不存在10．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.＋1 D.11．下列對動直線的四種表述不正確的是（）A.與曲線C：可能相離，相切，相交B.恒過定點C.時，直線斜率是0D.時，直線的傾斜角是135°12．定義域為的函數(shù)滿足，且的導函數(shù)，則滿足的的集合為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設變量x，y滿足約束條件則的最大值為___________.14．九連環(huán)是中國的一種古老智力游對，它用九個圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個精美的由九個翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設有個圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動次數(shù)，且數(shù)列滿足，，則___________.15．四棱錐A－BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，側(cè)面ABE⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝4（I）證明：AB⊥面BCDE；（II）若AD＝2，求二面角C－AD－E的正弦值16．已知點，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，，前4項和.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求和：.18．（12分）已知甲組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，其中數(shù)據(jù)的整數(shù)部分為莖，數(shù)據(jù)的小數(shù)部分(僅一位小數(shù))為葉，例如第一個數(shù)據(jù)為5.3（1）求：甲組數(shù)據(jù)的平均值、方差、中位數(shù)；（2）乙組數(shù)據(jù)為，且甲、乙兩組數(shù)據(jù)合并后的30個數(shù)據(jù)的平均值為，方差為，求：乙組數(shù)據(jù)的平均值和方差，寫出必要的計算步驟.參考公式：平均值，方差19．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，圓心的軌跡為（1）求動點的軌跡方程；（2）已知直線交軌跡于兩點，，且中點的縱坐標為，則的最大值為多少？20．（12分）已知直線和直線（1）若時，求a的值；（2）當平行，求兩直線，的距離21．（12分）設函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論單調(diào)性；(2)證明：當時，.22．（10分）如圖，在直棱柱中，已知，點分別的中點.（1）求異面直線與所成的角的大小；（2）求點到平面的距離；（3）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請指出點的位置，若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由橢圓的對稱性可知，，代入計算可得答案.【詳解】設橢圓左焦點為，連接由橢圓的對稱性可知，，所以.故選：D.2、A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由導函數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性之間關系，即可得出結果.【詳解】因為函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，若“對任意的，”，則在上為增函數(shù)；若在上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，即由“對任意的，”能推出“在上為增函數(shù)”；由“在上為增函數(shù)”不能推出“對任意的，”，因此“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A3、C【解析】求出拋物線的焦點，設出直線方程，代入拋物線方程，運用韋達定理和向量坐標表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點，設直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點睛】本題考查直線和拋物線的位置關系，主要考查韋達定理和向量共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題.4、A【解析】在該空間幾何體的直觀圖中去求其體積即可.【詳解】依托棱長為2的正方體得到該空間幾何體的直觀圖為三棱錐則故選：A5、C【解析】由斜二測還原圖形計算即可求得結果.【詳解】在斜二測直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，.還原原圖形如圖：則，則.故選：C6、C【解析】由雙曲線的漸近線方程和兩點的距離公式，求得點的坐標和，在中，利用余弦定理，求得的關系式，再由離心率公式，計算即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，設在漸近線上，且點在第一象限內(nèi)，由，解得，即點，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【點睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.7、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)和運算法則分別計算函數(shù)的導數(shù)，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D8、C【解析】令雙曲線右焦點為，由對稱性可知，，結合雙曲線的定義即可得出結果.【詳解】令雙曲線右焦點為，由對稱性可知，，則，為常數(shù)，故選：C.9、B【解析】求導，令導數(shù)等于0，然后判斷導數(shù)符號可得，或者根據(jù)對勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因為時，，時，，所以時有極大值；當時，，時，，所以時有極小值.故選：B10、A【解析】設F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，根據(jù)圓的切線性質(zhì)和三角形中位線得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用雙曲線的定義求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立關系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設E在x軸上方，F(xiàn)′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，如圖所示:因為PF是圓O的切線，所以OE⊥PE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F′的中點，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯(lián)想到雙曲線的另一個焦點，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率問題的有效方法.11、A【解析】根據(jù)過定點的直線系求出恒過點可判斷B，由點與圓的位置關系可判斷A，由直線方程可判斷CD.【詳解】直線可化為，令，，解得，，所以直線恒過定點，而該定點在圓C：內(nèi)部，所以必與該圓相交當時，直線方程為，故斜率為0，當時，直線方程為，故斜率為，傾斜角為135°.故選：A12、B【解析】利用2f(x)<x＋1構造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調(diào)性結合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因為f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調(diào)增函數(shù)因為f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當x<1時，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點睛】本題主要考察導數(shù)的運算以及構造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式．屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)線性約束條件畫出可行域，把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)直線在軸上截距最大時即可求出答案.【詳解】畫出可行域，如圖，由，得，由圖可知，當直線過點時，有最大值，且最大值為.故答案為：.14、684【解析】利用累加法可求得的值.【詳解】當且時，，所以，.故答案為：.15、(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）推導出BE⊥BC，從而BE⊥平面ABC，進而BE⊥AB，由面ABE⊥面BCDE，得AB⊥BC，由此能證明AB⊥面BCDE（Ⅱ）以B為原點，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣AD﹣E的正弦值【詳解】由側(cè)面底面，且交線為，底面為矩形所以平面，又平面，所以由面面，同理可證，又面在底面中，，由面，故,以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則,設平面的法向量，則，取所以平面的法向量，同理可求得平面的法向量.設二面角的平面角為，則故所求二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題16、【解析】由中點坐標公式和斜率公式可得的中點和直線斜率，由垂直關系可得垂直平分線的斜率，由點斜式可得直線方程，化為一般式即可【詳解】由中點坐標公式可得，的中點為，可得直線的斜率為，由垂直關系可得其垂直平分線的斜率為，故可得所求直線的方程為：，化為一般式可得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結合等差數(shù)列的基本量，即可容易求得數(shù)列，的通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，構造數(shù)列，證明其為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項和即可求得結果.【小問1詳解】因為數(shù)列滿足，故可得數(shù)列為等比數(shù)列，且公比，則；數(shù)列為等差數(shù)列，，前4項和，設其公差為，故可得，解得，則；綜上所述，，.【小問2詳解】由（1）可知：，，故，又，又，則是首項1，公比為的等比數(shù)列；則.18、（1），，；（2），.【解析】（1）根據(jù)莖葉圖求平均值，再由方差與均值的關系求，將莖葉圖中的數(shù)據(jù)從小到大排列確定中位數(shù)M.（2）由甲乙平均數(shù)及（1）的結果列方程求乙組數(shù)據(jù)的平均值，再由方差與均值的關系列方程組求出，進而求方差.【小問1詳解】，∴，由莖葉圖知：數(shù)據(jù)從小到大排列為∴.【小問2詳解】由題意，，又，因此.19、（1）（2）【解析】（1）利用拋物線的定義直接可得軌跡方程；（2）設直線方程，聯(lián)立方程組，結合根與系數(shù)關系可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【小問1詳解】由題設點到點的距離等于它到的距離，點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所求軌跡的方程為；【小問2詳解】由題意易知直線的斜率存在，設中點為，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線，得，，且，，又中點為，即，，故恒成立，，，所以，當時，取最大值為.【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式20、（1）（2）【解析】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關系，即可得關于實數(shù)a的方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關系，即可得關于實數(shù)a的方程，進而可求出兩直線的方程，結合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【小問1詳解】∵，且，∴，解得【小問2詳解】∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為21、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）求導數(shù)，分和，兩種情況討論，即可求得的單調(diào)性；（2）令，利用導數(shù)求得單調(diào)遞增，結合，得到，進而證得.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，當時，，在內(nèi)單調(diào)遞減；當時，由有，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.(2)證明：令，則，當時，，單調(diào)遞增，因為，所以，即，當時，可得，即【點睛】利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).22、（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）由題意，以點A為原