專題28.3解直角三角形的應(yīng)用【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1仰角俯角問題】 1【題型2坡度坡比問題】 7【題型3方向角問題】 13【題型4物理模型問題】 21【題型5實(shí)物抽象模型問題】 26【題型6坡度坡比與仰角俯角綜合問題】 31【題型7臨界值問題】 36【題型8方案設(shè)計(jì)問題】 44【題型1仰角俯角問題】【例1】（2024·廣東廣州·中考真題）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從A點(diǎn)垂直下降到B點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)C，從B點(diǎn)測得地面D點(diǎn)的俯角為36.87°，AD=17米，BD=10米．(1)求CD的長；(2)若模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn)，求模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間．（參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，【答案】(1)CD的長約為8米；(2)模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間為4.5秒．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰俯角問題，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)求邊長是解題關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)B作BE∥CD交AD于點(diǎn)E，根據(jù)余弦值求出（2）先由勾股定理，求出AC的長，再利用正弦值求出BC的長，進(jìn)而得到AB的長，然后除以速度，即可求出下降時(shí)間．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)B作BE∥CD交AD于點(diǎn)由題意可知，∠DBE∴∠BDC在△BCD中，∠C=90°∵cos∴CD即CD的長約為8米；（2）解：∵AD=17米，∴AC在△BCD中，∠C=90°∵sin∴BC∴AB∵模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn)，∴模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間為9÷2=4.5秒，即模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間為4.5秒．【變式1-1】（2024·天津·中考真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如圖①）．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖②，點(diǎn)C,D,E依次在同一條水平直線上，DE=36?m,EC⊥AB，垂足為C．在D處測得橋塔頂部B的仰角（∠CDB）為45°，測得橋塔底部A的俯角（(1)求線段CD的長（結(jié)果取整數(shù)）；(2)求橋塔AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.6,【答案】(1)54(2)59【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)CD=x，在Rt△BCD中，BC=CD?（2）求出AC，根據(jù)AB=【詳解】（1）解：設(shè)CD=x，由DE=36∵EC⊥AB∴∠BCE在Rt△BCD中，∴BC在Rt△BCE中，∴BC∴x得x=答：線段CD的長約為54?（2）在Rt△ACD中，∴AC∴AB答：橋塔AB的高度約為59?【變式1-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）甲乙兩樓是兩幢完全一樣的房子，小明與小奇住在甲幢．為測量房子的高度，制定如下方案：兩幢房子截面圖如圖，AB=14m，小明在離屋檐A處3m的點(diǎn)F處水平放置平面鏡（平面鏡的大小忽略不計(jì)），小奇在離點(diǎn)F水平距離4m的點(diǎn)N處恰好在鏡子中看到乙幢屋頂H，此時(shí)測得小奇眼睛與鏡面的豎直距離MN=0.8m．下樓后，小明在地面點(diǎn)E處測得點(diǎn)C的仰角為35°，點(diǎn)E與C，H在一條直線上，點(diǎn)A，B，E，D，C在同一平面內(nèi)，【答案】16.8【分析】本題考查了解正三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用；延長NF分別交CE于點(diǎn)Q，過H作HP⊥NQ于點(diǎn)P，解Rt△CDE得DE=20，設(shè)CR=x，則PF=x【詳解】解：延長NF分別交CE于點(diǎn)Q，過H作HP⊥NQ于點(diǎn)在Rt△CDE中，∴14解得DE=20∴設(shè)CR=x由題意可得：CR∥∴∠在Rt△HRC中，∴HR∴根據(jù)反射可知，∠MFN∵∠MNF∴△MNF∴MN即0.84解得x=4∴HR∴答：房子的高度為16.8m【變式1-3】（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）每年的3月5日是“學(xué)雷鋒紀(jì)念日”，為弘揚(yáng)雷鋒精神，某校九年級（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們來到學(xué)校附近的雷鋒像（圖1）下敬獻(xiàn)鮮花和花籃，集體朗誦《雷鋒日記》部分章節(jié)，高唱歌曲《學(xué)習(xí)雷鋒好榜樣》，如圖2，該興趣小組的同學(xué)們利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量雷鋒像的長度，AB表示底座高度，BC表示雷鋒像人身的高度，在點(diǎn)D處測得點(diǎn)B的仰角22°，點(diǎn)C的仰角45°，后退2米到達(dá)點(diǎn)E處后測得點(diǎn)C的仰角37°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，AC⊥DE．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，(1)求∠DCE(2)①求AC的長；②求BC的長．【答案】(1)31°(2)①AC的長約為6米；②BC的長約為3.6米．【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）連接AD，過點(diǎn)C作CF∥AE，由題意可知，∠ADB=22°，∠ADC=45°，（2）①由題意可知，△ACD是等腰直角三角形，則令米AC=AD②由①可知，AC=AD≈6【詳解】（1）解：如圖，連接AD，過點(diǎn)C作CF∥由題意可知，∠ADB=22°，∠ADC∴∠BDC∵CF∴∠DCF=∠ADC∴∠DCE∴∠DCE（2）解：①由題意可知，∠ADB=22°，∠ADC=45°，∠AEC∴△ACD∴AC令A(yù)C=AD=在Rt△CAE中，∴x∴x即AC的長約為6米；②由①可知，AC=在Rt△ADB中，∴AB∴BC即BC的長約為3.6米．【題型2坡度坡比問題】【例2】（2024·海南?？凇ひ荒＃┤鐖D，5G時(shí)代，萬物互聯(lián)，助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，共建智慧生活．某移動(dòng)公司為了提升網(wǎng)絡(luò)信號在坡度i=1:2.4（即DB:AB=1:2.4）的山坡AD上加裝了信號塔PQ，信號塔底端Q到坡底A的距離為13(1)AQ=m，∠PEN=(2)求信號塔PQ的高度大約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，【答案】(1)13，37(2)信號塔PQ的高度大約為30.0米【分析】（1）根據(jù)題意即可求出AQ，作ES⊥PQ，垂足為S，根據(jù)題意∠PES（2）根據(jù)題意和作圖可知四邊形EMHS為矩形，根據(jù)坡度的定義設(shè)QH=5x米，在Rt△AQH中，由勾股定理可得QH2+【詳解】（1）解：∵信號塔底端Q到坡底A的距離為13m∴AQ=13如圖，作ES⊥PQ，垂足為根據(jù)題意∠PES∴∠PEN（2）解：根據(jù)題意和作圖可知四邊形EMHS為矩形，∴SH=由i=1:2.4，可得QH設(shè)QH=5x米，則在Rt△AQH中，由勾股定理可得∴5x解得x=1∴QH=5x=5∴ES=∵∠PES在Rt△PES中，即tan53°=∴PS≈20×1.3=26.0∴PQ=答：信號塔PQ的高度大約為30.0米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，坡度的定義，矩形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，為一個(gè)斜面ABC，坡比i=1:3．斜面的高AB=5cm．為了減小小球下滑的速度，將坡面AC換成新坡面(1)求新坡面AD的坡比以及新坡面AD的長；(2)原坡面AC的底部距離鐵板EF的距離為20cm．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，坡面底部與鐵板EF的距離必須大于12cm，小球才不和鐵板相撞．請你通過計(jì)算，判斷小球從新坡面【答案】(1)新坡面AD的坡比i=1:2+(2)會(huì)，理由見解析【分析】本題考查了解直角三角形的坡角即正切值，勾股定理，線段的和與差，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，理解坡角的概念是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)坡比i=1:3得到∠ACB=30°，利用三角形外角性質(zhì)得到∠ADB=∠DAC，利用等腰三角形性質(zhì)得到AC=DC，利用解直角三角形得到AC（2）根據(jù)題意得到ED，再與12cm【詳解】（1）解：由題知，tan∠∴∠ACB∵∠ADB∴∠DAC∴∠ADB∴AC∵AB=5∴BC∴AC=∴DC∴BD∴新坡面AD的坡比i=新坡面AD的長為：AB（2）解：由題知，EC=20∵CD∴ED∵10<12，∴小球從新坡面AD靜止滑下，會(huì)與鐵板相撞．【變式2-2】（23-24九年級·廣東江門·階段練習(xí)）如圖，小張同學(xué)去黃山旅游時(shí)，發(fā)現(xiàn)太陽光線照射在立柱AB（與水平地面BF垂直）上，其影子的一部分落在地面BC上，另一部分落在斜坡CE上，且CD⊥AD，經(jīng)測量，BC=2米，CD=8.5米，斜坡的坡角∠ECF=32°，求立柱AB的高．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：【答案】19.3米．【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)D作DH⊥BF于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，證明四邊形BHDG是矩形，GD=BH=BC+CH,【詳解】解：過點(diǎn)D作DH⊥BF于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DG⊥則∠AGD∴四邊形BHDG是矩形，∴GD=BH=∴∠CDG∵CD∴∠ADG∴∠DAG在Rt△CDH中，CD=8.5∴DH=CDsin∴BG=DH≈4.5在Rt△ADG中，GD=9.2∴AG=∴AB=AG即立柱AB的高為19.3米．【變式2-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖1所示是斜坡處修建的一處水壩，對防御洪水災(zāi)害起到一定作用，同時(shí)可以儲(chǔ)存水資源．已知AB為水平地面，斜坡BC的坡角為θ=37°，AC⊥AB于點(diǎn)A．在斜坡BC的正中央修建水壩DE，已知DE⊥AB(1)求水壩DE的高度；(2)夏季，汛期來臨．如圖2，為了更好的預(yù)防洪水，相關(guān)部門在水壩DE的下方又修建了臨時(shí)防護(hù)欄FG．已知C、E、G三點(diǎn)共線，∠FGB=23°．已知洪水越過了大壩DE后每分鐘上漲4m，這一階段持續(xù)時(shí)間為6分鐘，則在此階段洪水是否能越過防護(hù)欄FG？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，【答案】(1)15(2)在此階段洪水能越過防護(hù)欄FG，理由見解析【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．（1）首先得到∠ECD=∠B=37°，然后利用三角函數(shù)求出（2）首先求出CG=AB=40m，過點(diǎn)F作FH⊥CG，設(shè)HF=【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：CE∥∴∠ECD在Rt△ABC中，∴CD=在Rt△CDE中，（2）解：根據(jù)題意得，BG=AC∴AB∴CG如圖所示，過點(diǎn)F作FH∵∠FGB=23°∴∠∵sin23°≈5∴tan∵sin37°≈0.6，cos∴tan37°≈設(shè)HF=∴HG=HF?∵CG∴40=∴x∴HF∵洪水越過了大壩DE后每分鐘上漲4m，這一階段持續(xù)時(shí)間為6分鐘，∴洪水共上漲了4×6=24∵24>∴在此階段洪水能越過防護(hù)欄FG．【題型3方向角問題】【例3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，我市在三角形公園ABC旁修建了兩條騎行線路：①E—A—C；②E—D—C．經(jīng)勘測，點(diǎn)A在點(diǎn)B的正西方10千米處，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正南方，點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏西45°方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正南方20千米處，點(diǎn)E在點(diǎn)D的正西方，點(diǎn)A在點(diǎn)E的北偏東30（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3(1)求DE的長度．（結(jié)果精確到1千米）(2)由于時(shí)間原因，小渝決定選擇一條較短線路騎行，請計(jì)算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？【答案】(1)27千米(2)②【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問題，根據(jù)已知條件添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)E作EF⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)垂直的定義得到∠EFA（2）利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AE的長，再利用三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)E作EF⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)∴∠EFA根據(jù)題意得：∠B∴四邊形EFBD是矩形，∴EF在Rt△ABC中，∴BC∵CD∴EF在Rt△AEF中，∴AF∴DE（2）解：應(yīng)該選擇路線②；在Rt△AEF中，∴AC∴路線①總路程=AE路線②總路程=ED∵47.3<48.7，故選路線②．【變式3-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖為某公園平面圖，小明沿路線A→B→C→E跑步運(yùn)動(dòng)，小剛沿路線G→D→E跑步運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)G位于點(diǎn)A正東方向，點(diǎn)B位于點(diǎn)A正北方向，點(diǎn)C位于點(diǎn)B東北方向，CE∥AG，點(diǎn)D位于點(diǎn)G北偏西60°方向，點(diǎn)E位于點(diǎn)D北偏西30°方向，且DG(1)求BC的距離．（結(jié)果保留到個(gè)位）(2)若小明和小剛同時(shí)出發(fā)，小明剛開始以速度4米/秒勻速跑步，當(dāng)跑步到點(diǎn)C時(shí)由于體力下降，此時(shí)小明速度降為2米/秒繼續(xù)勻速跑到點(diǎn)E，小剛以速度3米/秒勻速跑步至點(diǎn)E，請通過計(jì)算說明他們誰先到達(dá)點(diǎn)E．【答案】(1)BC的距離為840米(2)小明先到達(dá)點(diǎn)E【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥AG交AG于點(diǎn)F，EH⊥AG交AG于點(diǎn)H，DI⊥AG交AG于點(diǎn)I，DJ⊥EH交EH于點(diǎn)J，BK⊥CF于點(diǎn)K，證明四邊形CEFH為矩形，四邊形DIHJ為正方形，△BKC為等腰直角三角形，設(shè)DI=x（2）利用他們沒人所走的距離除以速度得出時(shí)間進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AG交AG于點(diǎn)F，EH⊥AG交AG于點(diǎn)H，DI⊥AG交AG于點(diǎn)I，DJ⊥EH交則四邊形CEFH為矩形，設(shè)DI=∵點(diǎn)D位于點(diǎn)G北偏西60°方向，點(diǎn)E位于點(diǎn)D北偏西30°方向且DG=∴∠DEJ∵∠EJD∴△EJD∴DJ∴四邊形DIHJ為正方形，∴DE∴EJ∴EH∴CF∵KF∴CK∵點(diǎn)C位于點(diǎn)B東北方向，∴∠CBK∴BK∵CE∴AG解得：x=500∵BC∵2∴BC（2）由（1）可知BC=840小明走到E點(diǎn)所用時(shí)間為400+840÷4+300÷2=460小剛走到E點(diǎn)所用時(shí)間為2×2×5003-∵460<467，∴小明先到達(dá)點(diǎn)E．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的計(jì)算，等腰三角形的判定與性質(zhì)，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，準(zhǔn)確作出輔助線，求出相關(guān)邊長是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2024·四川資陽·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，且A，B相距1633海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔B

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東65°方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號．此時(shí)，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東27°方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿BD方向航行至D處救援，求漁政船的航行時(shí)間．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：tan65°≈2.1，tan【答案】(1)B，C兩處的距離為16海里(2)漁政船的航行時(shí)間為75【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形．（1）根據(jù)題意易得AC=AB，則CE=（2）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，設(shè)CF=x海里，則DF=CFtan65°=2.1x，DF=BF【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)∵燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔B的正北方向．∴∠ACE∴AC=∵AE⊥∴CE=∵AB=∴BE=∴BC=8×2=16∴B，C兩處的距離為16海里．

（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)設(shè)CF=∵∠DCF∴DF=由（1）可知，BC=16∴BF=∵∠DBF∴DF=∴2.1x解得：x=5∴BF=BC+根據(jù)勾股定理可得：BD=∴漁政船的航行時(shí)間為2152÷18=答：漁政船的航行時(shí)間為75【變式3-3】（2024·四川宜賓·中考真題）宜賓地標(biāo)廣場位于三江匯合口（如圖1，左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長江）．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個(gè)標(biāo)點(diǎn)C、D，在地標(biāo)廣場上選擇兩個(gè)觀測點(diǎn)A、B（點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如圖2所示，在點(diǎn)A處測得點(diǎn)C在北偏西18.17°方向上，測得點(diǎn)D在北偏東21.34°方向上；在B處測得點(diǎn)C在北偏西21.34°方向上，測得點(diǎn)D在北偏東18.17°方向上，測得AB=100米．求長江口的寬度CD的值（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，【答案】長江口的寬度CD為1200米.【分析】如圖，過C作CH⊥AB于H，過A作AG⊥CD于G，過B作BK⊥CD于K，而AB∥CD，可得四邊形AHCG，ABKG都是矩形，由題意可得：∠CAG=∠DBK=18.17°【詳解】解：如圖，過C作CH⊥AB于H，過A作AG⊥CD于G，過B作BK⊥∴四邊形AHCG，ABKG都是矩形，∴GK=AB=100，CG=AH∵由題意可得：∠CAG=∠DBK∴∠ACH=∠CAG∵∠AGC∴△AGC∴CG=設(shè)AH=x，∴AHCH=xHBCH=x∴0.33y∴y=∴x=0.33×∴CG=∴CD=550×2+100=1200∴長江口的寬度CD為1200米.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定于性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.【題型4物理模型問題】【例4】（23-24九年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識(shí)后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)．如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB＝118°，廠房高AB＝8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方(1)求∠D(2)求CD的長度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68【答案】(1)34°(2)約為11.8米【分析】（1）連接MC，過點(diǎn)M作HM⊥NM，根據(jù)題意可得∠DMC=2∠CMH，∠MCD=∠HMN=90°，AB（2）在Rt△【詳解】（1）解：連接MC，過點(diǎn)M作HM⊥由題意得：∠DMC=2∠CMH，∠MCD=∠∴∠CMN∴∠CMH∴∠DMC∴∠D（2）解：在Rt△CMD中，CD=CM∴能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD約為11.8米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2024·湖南·一模）小華同學(xué)在家看電視的時(shí)候因誤觸遙控器導(dǎo)致?lián)Q臺(tái)，但遙控器并沒有對準(zhǔn)電視．小華想起物理課上學(xué)習(xí)過的光的反射，并猜想是遙控器的紅外線信號在墻壁等其他光滑的地方發(fā)生反射然后被信號傳感器接收導(dǎo)致?lián)Q臺(tái)，小華在好奇心驅(qū)使下驗(yàn)證了自己的設(shè)想．如圖所示，CD為豎直的平面鏡（CD足夠長），AB的長度為信號傳感器可接收信號的水平寬度，AB⊥CD，小華坐在距離AB距離為d的點(diǎn)H，然后小華用遙控器水平對著平面鏡CD持續(xù)按按鈕，發(fā)現(xiàn)當(dāng)α≤∠DQH≤β時(shí)電視可以換臺(tái)（假設(shè)紅外線在

【答案】AB【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，先讀懂題意，得∠DQH=∠CQP【詳解】解：設(shè)信號接收點(diǎn)為P，延長PQ到點(diǎn)G且GH∥AB，過點(diǎn)G作GE垂直AB，垂足為由題意，∠DQH當(dāng)∠DQH為α?xí)r，點(diǎn)P與A重合，∠當(dāng)∠DQH為β時(shí)，點(diǎn)P與B重合，∠所以AB=其中tanβ可以寫成1tanα可以寫成1

【變式4-2】（2024·福建·中考真題）無動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識(shí)，F(xiàn)可以分解為兩個(gè)力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2儀可以分解為兩個(gè)力f1與f2,f1【答案】128【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，求出∠ADQ=40°，∠1=∠PDQ=30°，由AB∥QD得到∠BAD=∠ADQ【詳解】解：如圖，∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為∴∠ADQ=∠PDA∵AB∥∴∠BAD在Rt△ABD中，F(xiàn)=∴F2由題意可知，BD⊥∴∠BDC∴∠在Rt△BCD中，∴f2故答案為：128【變式4-3】（23-24九年級·江蘇·期末）在蘇科版九年級物理第十一章《簡單機(jī)械和功》章節(jié)中有這樣一個(gè)問題：“如圖1示意圖所示，均勻桿AB長為8dm，桿AB可以繞轉(zhuǎn)軸A點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，在A點(diǎn)正上方距離為10dm處固定一個(gè)小定滑輪，細(xì)繩通過定滑輪與桿的另一端B相連，并將桿AB從水平位置緩慢向上拉起．當(dāng)桿AB與水平面夾角為30°時(shí)，求動(dòng)力臂．”從數(shù)學(xué)角度看是這樣一個(gè)問題：如圖2，已知∠BAD=30°,AB=8dm,CA⊥AD于點(diǎn)D且CA【答案】20【分析】過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE⊥∵∠BAD∴∠FAB∴AF=AB?∴FC=∴BC=∵1∴AE=∴AE=即點(diǎn)A到BC的距離為2077【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型5實(shí)物抽象模型問題】【例5】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）周末淘氣一家開車外出旅游，車子突然向路邊側(cè)滑，幸虧淘氣爸爸反應(yīng)及時(shí)，車子才慢慢停了下來．淘氣一家人趕緊下車查看，原來是前輪爆胎了．爸爸說，只要把備胎換上就行了．于是爸爸從后備廂取出備胎和工具，開始忙活，其中千斤頂引起了小光的注意．圖（1）是一種利用了四邊形不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的千斤頂．如圖（2）所示，該千斤頂?shù)幕拘螤钍且粋€(gè)菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變∠ADC的大?。庑蔚倪呴L不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋碅，C之間的距離）．已知AB=40cm，∠ADC=60°，當(dāng)千斤頂升高【答案】17【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．連接AC，交BD于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=CD=AB=BC=40cm，BD平分∠ADC，AC【詳解】解：連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD=AB=BC=40cm當(dāng)∠ADC∵AD∴△ACD∴AC當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，菱形∵BD平分∠∴∠ADO在Rt△ADO中，∴AC∴千斤頂升高的高度=402∴千斤頂升高了17cm故答案為：17【變式5-1】（23-24九年級·湖南·期末）圖（1）是一扇半開著的辦公室門的照片，門框鑲嵌在墻體中間，門是向室內(nèi)開的．圖（2）畫的是它的一個(gè)橫斷面．虛線表示門完全關(guān)好和開到最大限度（由于受到墻角的阻礙，再也開不動(dòng)了）時(shí)的兩種情形，這時(shí)二者的夾角為120°，從室內(nèi)看門框露在外面部分的寬為4cm，求室內(nèi)露出的墻的厚度a的值．（假設(shè)該門無論開到什么角度，門和門框之間基本都是無縫的．精確到0.1cm，【答案】室內(nèi)露出的墻的厚度約為6.9【分析】該題主要考查了解直角三角的應(yīng)用，此題讀懂題意，理解題目敘述的意義是解題的關(guān)鍵，理解實(shí)際圖形后才能把它轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，然后利用三角函數(shù)解決問題．寬為4cm的門框及開成120°的門之間構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，且其中有一個(gè)角為60°，根據(jù)已知條件解直角三角形就可以求出a【詳解】解：從圖中可以看出，在室內(nèi)厚為acm的墻面、寬為4cm的門框及開成120°的門之間構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，且其中有一個(gè)角為從而a=4×3即室內(nèi)露出的墻的厚度約為6.9cm【變式5-2】（23-24九年級·山東濟(jì)南·期末）如圖是某種云梯車的示意圖，云梯OD升起時(shí)，OD與底盤OC夾角為α，液壓桿AB與底盤OC夾角為β．已知液壓桿AB=3米，∠BEA=90°，當(dāng)α=37°，β=58°時(shí)．（結(jié)果精確到0.01米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan(1)求液壓桿頂端B到底盤OC的距離BE的長；(2)求AO的長．【答案】(1)2.55米(2)1.81米【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，（1）根據(jù)sinβ（2）利用tanα=tan37°=BEOE，先求出【詳解】（1）在Rt△ABE中，∵sin∴0.85≈BE∴BE即BE的長為2.55米；（2）在Rt△OBE中，∵tan∴0.75≈2.55∴OE∵tan∴2.55∴AE∴AO即AO的長為1.81米．【變式5-3】（2024·江西吉安·一模）如圖1是某門禁自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)，主要由可旋轉(zhuǎn)攝像機(jī)和其下方固定的顯示屏構(gòu)成．圖2是其示意圖，已知攝像機(jī)長AB=20cm，點(diǎn)O為攝像機(jī)旋轉(zhuǎn)軸心，O為AB的中點(diǎn)，顯示屏的上沿CD與AB平行，CD=15cm，AB與CD連接，桿OE⊥AB，OE=10cm，CE=2ED，點(diǎn)C到地面的距離為60cm．若AB與水平地面所成的角的度數(shù)為35°(1)求顯示屏所在部分的寬度CM；(2)求鏡頭A到地面的距離．【答案】(1)顯示屏所在部分的寬度約為12.3cm(2)鏡頭A到地面的距離約為68.2cm【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；（1）過點(diǎn)C作CM⊥DF，垂足為F，根據(jù)題意可得∠DCM=35°，然后在（2）連接AC，過點(diǎn)A作AH⊥CM，交MC的延長線于點(diǎn)H，根據(jù)已知可求出AO=CE=10cm,從而可證四邊形ACEO是矩形，進(jìn)而可得∠ACE=90°，AC【詳解】（1）解：∵CD∥AB，AB與水平地面所成的角的度數(shù)為∴顯示屏上沿CD與水平地面所成的角的度數(shù)為35°．過點(diǎn)C作交點(diǎn)D所在鉛垂線的垂線，垂足為M，則∠DCM∵CD∴CM（2）如圖，連接AC，作AH垂直MC反向延長線于點(diǎn)H，∵AB=20cm,∴AO∵CD∴CE∵CD∥AB，∴四邊形ACEO為矩形，AC=∵∠∴∠∴∠∴AH∴鏡頭A到地面的距離為60+8.19≈68.2cm【題型6坡度坡比與仰角俯角綜合問題】【例6】（2024·廣東中山·三模）王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識(shí)后，嘗試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)測量河對岸大樹AB的高度，他在點(diǎn)C處測得大樹頂端A的仰角為45°，再從C點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走10米到達(dá)斜坡上D點(diǎn)，在點(diǎn)D處測得樹頂端A的仰角為30°，若斜面CF的坡度為i=1：3(點(diǎn)E、C、B在同一水平線上)(1)求王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度；(2)求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)1米(2)3+23【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖：過點(diǎn)D作DH⊥CE交CE于點(diǎn)H，設(shè)DH=x米，（2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB交AB于點(diǎn)G，設(shè)BC=y米，再證四邊形DHBG為矩形可得DH=BG=1【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)D作DH⊥CE交CE于點(diǎn)由題意知CD=∵斜面CF的坡度為i=1:3∴DH設(shè)DH=x米，CH∵在Rt△CDH中，∴x2+(3x)2∴DH答：王剛同學(xué)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的過程中上升的高度為1米．（2）解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB交AB于點(diǎn)設(shè)BC=∵∠DHB∴四邊形DHBG為矩形，∴DH=BG=1米，∵∠ACB∴BC∴AG=y-∵∠ADG∴在Rt△ADG中，∴y-1∴AB答：大樹AB的高度是3+23【變式6-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）在課外實(shí)踐中，小明為了測量江中信號塔A離河邊的距離AB，采取了如下措施：如圖在江邊D處，測得信號塔A的俯角為40°，若DE=55米，DE⊥CE，CE=36米，CE平行于AB，BC的坡度為i=1:0.75，坡長BC=140米，求AB的長（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：【答案】AB的長78.8【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，過點(diǎn)C作AB的垂線，交AB延長線于點(diǎn)F，延長DE交AB延長線于點(diǎn)G，先在Rt△CBF中求得BF、CF的長，再利用Rt△ADG求【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作AB的垂線，交AB延長線于點(diǎn)F，延長DE交AB延長線于點(diǎn)G∵BC的坡度為i=1:0.75∴設(shè)CF為xm，則BF為0.75∵BC=140∴在Rt△BCF中，x2∴CF=112m，∵DE⊥CE，∴DG⊥∴△ADG∵DE=55m，∴DG=167m，設(shè)AB=∵∠DAB∴tan解得：y∴AB的長78.8m【變式6-2】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，某小山DE高412米，其斜坡DC的坡度為i=1:1，它的前面有一座建筑物．為了測量建筑物AB的高度，在山頂D和坡底C測的建筑物頂端A的俯角和仰角分別為30°，60°．求建筑物AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，2【答案】建筑物AB的高度約為130.8米．【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．由DE=412米，斜坡DC的坡度為i=1：1，得到CE=DE=412米，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC=3【詳解】解：在Rt△∵DE=412米，斜坡DC的坡度為i∴CE=在Rt△∵∠ACB∴tan∠ACB=過A作AH⊥DE于H，則在Rt△ADH中，∴DE=∴AB≈130.8答：建筑物AB的高度約為130.8米．【變式6-3】（2024·四川廣安·中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖（1）某校實(shí)踐活動(dòng)小組對其中一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測量，圖（2）為測量示意圖（點(diǎn)A，B，C，D均在同一平面內(nèi)，AB⊥BC）．已知斜坡CD長為20米，斜坡CD的坡角為60°，在斜坡頂部D處測得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端A點(diǎn)的仰角為20°，坡底與塔桿底的距離BC=30（結(jié)果精確到個(gè)位；參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36

【答案】32m【分析】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，作DH⊥BE于點(diǎn)H，先求解CH=CD?cos【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，作DH

由題意得：DC=20m在Rt△∵cos60°=CH∴CH=DH∵∠DFB∴四邊形DFBH為矩形，∴BH=FD，∵BH=∴FD在△AFD中∵AF∴∴答：該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿AB的高度為32m.【題型7臨界值問題】【例7】（23-24九年級·江蘇南通·開學(xué)考試）如圖，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，計(jì)劃在該坡面上安裝兩排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于點(diǎn)A，過其另一端D安裝支架DE，DE所在的直線垂直于水平線AC，垂足為點(diǎn)F，E為DF與AB的交點(diǎn)．已知AD=100

(1)求AE的長（結(jié)果取整數(shù)）；(2)冬至日正午，經(jīng)過點(diǎn)D的太陽光線與AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此時(shí)，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結(jié)果取整數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3三角函數(shù)銳角A13°28°32°sin0.220.470.53cos0.970.880.85tan0.230.530.62【答案】(1)91(2)32【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△（2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長線于點(diǎn)N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解【詳解】（1）在Rt△ADF中，cos∴AF==100×cos=100×0.88=88cm在Rt△AEF中，∴AE=（2）設(shè)DG交AB一直在點(diǎn)M，作AN⊥GD延長線于點(diǎn)

則∠AMN∴∠AMN在Rt△ADF中，在Rt△DFG中，∴FG=∴AG=∵AN∴∠∴AN在Rt△ANM中，sin∴AM=86.8∴EM=∴EH的最小值為32cm【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．【變式7-1】（2024·福建泉州·二模）如圖所示為單反照相機(jī)取景器的示意圖，五邊形ABCDE為五棱鏡的一個(gè)截面，AB⊥BC．光線垂直AB射入，且只在CD和EA上各發(fā)生一次反射，兩次反射的入射角相等，最后光線垂直BC射出．若兩次反射都為全反射，則該五棱鏡折射率的最小值是（）（注：滿足全反射的條件為折射率

A．1cos22.5° B．1cos45° C．【答案】D【分析】根據(jù)幾何關(guān)系求出入射角，通過折射定律求出五棱鏡折射率的最小值即可得到答案；【詳解】解：設(shè)入射到CD面上的入射角為θ，因?yàn)樵贑D和EA上發(fā)生反射，且兩次反射的入射角相等，

根據(jù)光學(xué)幾何關(guān)系可得，∴兩次反射的入射角相等，∴∠FGK∴4θ解得：θ=22.5°∵sinθ∴最小折射率n=故選：D；【點(diǎn)睛】本題主要考查解答幾何光學(xué)問題，解題的關(guān)鍵是正確作出光路圖．【變式7-2】（23-24九年級·浙江金華·階段練習(xí)）知識(shí)小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足53°≤α≤72°．如圖，現(xiàn)有一架長4m的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80,

(1)當(dāng)人安全使用這架梯子時(shí)，求梯子底端B與墻AO距離（即BO）的最小值；(2)當(dāng)梯子頂端A與地面距離為3.32m時(shí)，計(jì)算∠ABO【答案】(1)1.24米(2)∠ABO【分析】（1）根據(jù)53°≤α≤72°得出當(dāng)α=72°時(shí)，BO（2）根據(jù)sin∠ABO=AOAB計(jì)算出∠【詳解】（1）解：∵53°≤α∴當(dāng)α=72°時(shí)，BO在Rt△AOB中，∴BO∴梯子底端B與墻AO距離（即BO）的最小值為1.24米；（2）解：在Rt△AOB中，∵sin∴∠ABO∵53°≤α∴人能安全使用這架梯子．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的方法和步驟，利用三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．【變式7-3】（23-24九年級·陜西西安·期中）【問題提出】（1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn)，連接AO并延長至點(diǎn)D，連接BD，若OD>OA，△ABD的面積為S1，△ABC的面積為S2，則S1________S2

【問題探究】（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=30，BC=50，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，AE=10．問：在BC邊上是否存在一點(diǎn)F

【問題解決】（3）我校有著豐富多彩的校園生活，為了讓同學(xué)們進(jìn)一步接觸到更多的校園社團(tuán)活動(dòng)，提高空間利用率，現(xiàn)計(jì)劃對校園部分區(qū)域進(jìn)行改造，某區(qū)域是如圖③的四邊形ABCD，∠C=90°，BC=24米，tanB=34，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，四邊形EFCD為矩形，邊FE、ED將這塊區(qū)域分成了三部分，其中，矩形EFCD的面積為108平方米．為了方便通行，學(xué)校準(zhǔn)備在這塊區(qū)域中修一條筆直的小路MN（小路的兩端M、N分別在AB和BC上，且小路的寬度忽略不計(jì)），使得MN將四邊形ABCD分成兩部分，同時(shí)平分矩形EFCD

【答案】（1）>；（2）51452；（2）當(dāng)這條小路MN的長為15m，【分析】（1）如圖所示，在OD上取一點(diǎn)E使得OE=OA，連接BE，利用SAS證明△AOC≌△EOB，得到S△AOC（2）如圖所示，連接DE，過點(diǎn)A作AH∥DE交BC于H，連接HE交AD于O，由平行線的性質(zhì)可得S△AHE=S△AHD，進(jìn)而證明S△DOH=S△AOE，由此可得S△CHE=S△ACD，再由三角形中線的性質(zhì)得到S△ACD=12S△ABC，則S△CHE=12（3）如圖所示，連接CE，DF交于O，過點(diǎn)O作直線PQ，分別交DE，CF于P、Q，由矩形的性質(zhì)得到DE∥CF，OE=OC，證明△OPE≌△OQC，得到S△OPE=S△OQC，進(jìn)而證明S四邊形CDPQ=12S矩形CDEF，則直線PQ平分矩形CDEF的面積，同理可證明，經(jīng)過點(diǎn)O的直線都平分矩形CDEF的面積，即可推出直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，設(shè)BF=4x【詳解】解：（1）如圖所示，在OD上取一點(diǎn)E使得OE=OA，連接∵點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn)，∴OB=又∵OA=∴△AOC∴S△∴S△∵S△∴S△∴S1故答案為：>．

（2）如圖所示，連接DE，過點(diǎn)A作AH∥DE交BC于H，連接HE交AD于∵AH∥∴S△∴S△∴S△∴S△∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴S△∴S△∴EH平分△ABC∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，EF平分△ABC∵AC=30∴CE=20∵DE∥∴△ACH∴CDCH=CE∴CH=37.5過點(diǎn)E作EG⊥BC于∵∠C∴△EGC∴CGAC=CE∴CG=12∴HG=CH-∴EF=

（3）如圖所示，連接CE，DF交于O，過點(diǎn)O作直線PQ，分別交DE，CF于∵四邊形CDEF是矩形，∴DE∥∴∠OEP∴△OPE∴S△∴S四邊形∵S△∴S四邊形∴直線PQ平分矩形CDEF的面積，∴同理可證明，經(jīng)過點(diǎn)O的直線都平分矩形CDEF的面積，∴直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，設(shè)BF=4xm在Rt△BFE中，∴EF=3∵矩形EFCD的面積為108平方米，∴3x解得x=3∴BF=12∴S△∵S△∴S△∴當(dāng)S△MEP=0時(shí)，S△BNM最小，即此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)E在Rt△ECF中，由勾股定理得∴當(dāng)這條小路MN的長為15m，△BMN面積有最小值

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的性質(zhì)等等，（1）通過倍長中線構(gòu)造全等三角形進(jìn)行求解；（2）通過構(gòu)造相似三角形進(jìn)行求解；（3）通過證明直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，以及當(dāng)S△MEP=0時(shí)，S【題型8方案設(shè)計(jì)問題】【例8】（23-24九年級·山東濰坊·階段練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)探究紙傘中的數(shù)學(xué)問題素材1我國紙傘制作工藝十分巧妙，如圖1，傘不管是張開還是收攏，AP是傘柄，傘骨AB=AC且AE=13AB，

素材2傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)，如圖2是完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈D滑動(dòng)到D'的位置，且A、E、D'三點(diǎn)共線．測得AD'=50cm，AE=20

素材3項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組同學(xué)經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：雨往往是斜打的，且都是平行的．如圖3，某一天，雨線BM與地面夾角為60°，小明同學(xué)站在傘圈D點(diǎn)的正下方點(diǎn)G處，記為GH，此時(shí)發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，測得BN=150

問題解決任務(wù)1判斷AP位置求證：AP平分∠BAC任務(wù)2探究傘圈移動(dòng)距離當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D移動(dòng)的距離（精確到0.1）．任務(wù)3擬定撐傘方案求傘至少向下移動(dòng)距離cm，使得人站在G處身上不被雨淋濕．（直接寫出答案）【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：約為15.5cm；任務(wù)三：【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，弄清題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．（1）利用SSS證明△ADE（2）過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，求出AD的長，即可利用（3）設(shè)AG與BC交于點(diǎn)O，與BM交于點(diǎn)Q，先求出BO，可得NG，再求出MN，進(jìn)而可求出QG，即為問題的答案．【詳解】解：（1）∵AB=AC，且AE=∴AE=在△AED和△AE=∴△AED≌△AFD（SSS），∴∠BAD∴AP平分∠BAC（2）過E做EQ⊥∵∠BAC∴∠DAE∴∠AEQ∵AE=20∴AQ=由勾股定理，得EQ=∵DE=50-20=30∴DQ=∴AD=∵AD∴DD（3）解：設(shè)AG與BC交于點(diǎn)O，與BM