第十五章

軸對(duì)稱15.3.2等邊三角形的性質(zhì)與判定(第一課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系.2.探索等邊三角形的性質(zhì)和判定．3.能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明．重點(diǎn)：等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系難點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)和判定復(fù)習(xí)導(dǎo)入名稱圖形定義性質(zhì)

判定等腰三角形等邊對(duì)等角三線合一等角對(duì)等邊兩邊相等兩腰相等軸對(duì)稱圖形ABC有兩邊相等的三角形是等腰三角形感悟新知知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形等邊三角形一般三角形等腰三角形有一種特殊的情況，當(dāng)?shù)着c腰相等時(shí)，我們把三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.等邊三角形的三邊、三角之間有什么關(guān)系？問題1：ABCAB=AC=BC∠A=∠B=∠C=60°感悟新知知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)猜想：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.ABC已知：AB=AC=BC，

求證：∠A=∠B=∠C=60°.

證明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.(等邊對(duì)等角)

同理

∠A=∠C.

∴∠A=∠B=∠C.

∵∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠A=∠B=∠C=60°.性質(zhì)1感悟新知知識(shí)點(diǎn)1等邊三角形的性質(zhì)ABC等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對(duì)稱軸？問題2：三條對(duì)稱軸性質(zhì)2:等邊三角形每條邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線都“三線合一”.對(duì)比歸納圖形等腰三角形

性質(zhì)

每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線互相重合三個(gè)角都相等，對(duì)稱軸（3條）等邊三角形對(duì)稱軸（1條）兩個(gè)底角相等底邊上的中線、高和頂角平分線重合且都是60o兩條邊相等三條邊都相等針對(duì)訓(xùn)練1.下列關(guān)于等邊三角形的說法中,不正確的是(

)A.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,三條高所在的直線都是它的對(duì)稱軸B.等邊三角形是特殊的等腰三角形C.等邊三角形與等腰三角形具有相同的性質(zhì)D.等邊三角形的三條角平分線的長度相等C典例解析題型1等邊三角形的性質(zhì)應(yīng)用例1如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°–40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.針對(duì)訓(xùn)練2.如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到點(diǎn)E，使得CE=CD．求證：BD=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對(duì)等邊）．典例解析題型1等邊三角形的性質(zhì)應(yīng)用例2△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于點(diǎn)Q，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN.∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.針對(duì)訓(xùn)練3.如圖，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度數(shù)．（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°.又∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．感悟新知知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的判定圖形等腰三角形判定

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形從角看：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形小明認(rèn)為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個(gè)角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？等邊三角形的判定方法：

有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.針對(duì)訓(xùn)練4.根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是典例解析題型2等邊三角形的判定的應(yīng)用例3

如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB,AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.典例解析題型2等邊三角形的判定的應(yīng)用例3變式1

若點(diǎn)D,E在邊AB,AC的延長線上，且DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？ADEBC證明：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴

∠A=∠ADE=∠AED.∴

△ADE是等邊三角形.典例解析題型2等邊三角形的判定的應(yīng)用例3變式2

若點(diǎn)D,E在邊AB,AC的反向延長線上，且DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠D=∠E．∴△ADE是等邊三角形．ADEBC典例解析題型2等邊三角形的判定的應(yīng)用例3變式3

上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=

60°.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.典例解析題型3等邊三角形性質(zhì)判定的綜合運(yùn)用例4在等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ是等邊三角形．針對(duì)訓(xùn)練4.如圖，在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF,∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°.∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.∴DF=ED=EF.∴△DEF是等邊三角形．針對(duì)訓(xùn)練5.如圖,△ABC和△CDE都為等邊三角形,點(diǎn)E在BC上,AE的延長線交BD于點(diǎn)F.(1)求證:AE=BD;(2)求∠AFB的度數(shù);(1)證明:∵△ABC和△CDE都為等邊三角形,∴∠ACE=∠BCD=60°,AC=BC,CE=CD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD.(2)解:∵△ACE≌△BCD,∴∠CAE=∠CBD.又∵∠AEC=∠BEF,∴∠AFB=∠ACB=60°.針對(duì)訓(xùn)練5.如圖,△ABC和△CDE都為等邊三角形,點(diǎn)E在BC上,AE的延長線交BD于點(diǎn)F.(3)連接CF,求證:CF平分∠AFD;

針對(duì)訓(xùn)練5.如圖,△ABC和△CDE都為等邊三角形,點(diǎn)E在BC上,AE的延長線交BD于點(diǎn)F.(4)探究EF,DF,CF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.(4)解:EF+DF=CF.證明如下:連接CF,延長AF到點(diǎn)Q,使FQ=DF,連接DQ.∵∠AFB=∠ACB=60°,∴∠DFQ=60°,∴△DFQ是等邊三角形,∴DQ=DF,∠FDQ=∠CDE=60°,∴∠CDF=∠EDQ.又∵CD=DE,DF=DQ,∴△CDF≌△EDQ(SAS),∴CF=EQ.∴EF+DF=EF+FQ=