專題2.4函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性與周期性【新高考專用】題型一題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

A．y=1fxB．y=fx在C．y=?1fxD．y=?fx在R【解題思路】通過(guò)舉反例即可判斷A、B、C選項(xiàng)，可以借助單調(diào)性的定義證明D選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，若fx=x，則y=1對(duì)于B選項(xiàng)，若fx=x，則y=f對(duì)于C選項(xiàng)，若fx=x，則y=?1對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)fx在R上為增函數(shù)，則對(duì)于任意的x1,x2∈R對(duì)于y=?fx，則有則y=?fx在R故選：D.2．（2024·江西·二模）已知函數(shù)fx=x2?2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+∞C．12,+∞【解題思路】先根據(jù)題目條件求出a的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間【解答過(guò)程】解：依題意，a+3=a+32?2,a<0≤a+3,解得a＝－1，故gx=?故選：D.3．（24-25高一上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）函數(shù)gx=xx?1+1的單調(diào)遞減區(qū)間為【解題思路】將絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式，作出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像可知單調(diào)遞減區(qū)間.【解答過(guò)程】g畫出函數(shù)圖象，如圖可知，當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)在?∞,1當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)在1,+∞綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為12故答案為：124．（23-24高一上·河南鄭州·期中）函數(shù)y=x+2x?6在區(qū)間6,+∞【解題思路】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=x+2?x1,f(=8(由x2>x于是8(x2?x1所以f(x)在6,+∞故答案為：?jiǎn)握{(diào)遞減.題型二題型二利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)5．（2024·陜西商洛·一模）已知函數(shù)f(x)=?x2+2ax,x≤1(3?a)x+2,x>1是定義在RA．1,3 B．1,2 C．2,3 D．0,3【解題思路】由題意可知函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且在x=1時(shí)，一次函數(shù)的值不小于二次函數(shù)的值，然后解不等式組可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=?x2所以?2a?2≥1故選：B.6．（2024·北京豐臺(tái)·一模）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，存在常數(shù)tt>0，使得對(duì)任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，當(dāng)x∈0,t時(shí)，f(x)=x?t2．若fxA．3 B．83 C．2 D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的周期性和絕對(duì)值型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)榇嬖诔?shù)tt>0，使得對(duì)任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)所以函數(shù)的周期為t，當(dāng)x∈0,t時(shí)，函數(shù)f(x)=x?t所以當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)=x?t2因?yàn)閒x在區(qū)間3,4所以有nt≤32n+1故選：B.7．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=kx+k2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,2，且在R上是減函數(shù)，則k=?2【解題思路】因函數(shù)圖像過(guò)1,2，且在R上是減函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，k<0，【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=kx+k2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，且在所以2=k+k2，且得k=?2或k=1（舍去）．故答案為：?2．8．（24-25高一上·江蘇連云港·期中）若函數(shù)fx=x2?ax+a2,x≥1,2a+4【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增列出不等式組，解此不等式組即可作答.【解答過(guò)程】由題意可得a2≤12a+4>0所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為?2,4故答案為：?2,4題型三題型三函數(shù)的最值問(wèn)題9．（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）若0<x<6，則6x?x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】令y=6x?x2=?因?yàn)?<x<6，所以當(dāng)x=3時(shí)，6x?x故選：D.10．（24-25高一上·北京延慶·期中）?x∈R，設(shè)f(x)取y=4x+1，y=x+1，y=?2x+4三個(gè)函數(shù)值中的最小值，則f(x)的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】作出函數(shù)f(x)的圖象，利用圖象求出其最大值.【解答過(guò)程】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線y=4x+1，y=x+1，y=?2x+4，由f(x)取y=4x+1，y=x+1，y=?2x+4三個(gè)函數(shù)值中的最小值，得f(x)的圖象為下圖中實(shí)線構(gòu)成的折線圖，則f(x)的最大值即為f(x)的圖象最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值，觀察圖象知，f(x)的圖象最高點(diǎn)是直線y=x+1與y=?2x+4的交點(diǎn)，由y=x+1y=?2x+4，得x=1y=2，因此f(x)的圖象最高點(diǎn)是所以f(x)的最大值為2.故選：B.11．（2024·安徽淮北·一模）記不超過(guò)x的最大整數(shù)為x.若函數(shù)fx=2x?2x+t既有最大值也有最小值，則實(shí)數(shù)t的值可以是12（答案不唯一，取【解題思路】根據(jù)題意取2x+t=m+n，m∈Z，n∈0,1，則fx=n?t，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為gn=n?t在區(qū)間0,1上既有最大值，又有最小值，然后t≤0【解答過(guò)程】取2x+t=m+n，m∈Z，n∈0,1則fx題意等價(jià)于gn=n?t當(dāng)t≤0時(shí)，gn=n?t在0,1上為增函數(shù)，只有最小值當(dāng)0<t<12時(shí)，gn在0,t上遞減，在t,1上遞增，此時(shí)g當(dāng)12≤t<1時(shí)，gn在0,t上遞減，在t,1上遞增，此時(shí)g0≥g當(dāng)t≥1時(shí)，gn=t?n在0,1上為減函數(shù)，有最大值綜上，t的取值范圍是12故答案為：12（答案不唯一，取1212．（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù)fx=x+ax+b，x∈b,+∞，其中b>0，a∈R，若【解題思路】根據(jù)a討論函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，最后根據(jù)最值確定a的取值范圍.【解答過(guò)程】①當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[b,+∞所以fxmin=f②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[a,+∞（i）當(dāng)a≤b時(shí)，f(x)在[b,+所以f(x)min=f(b)=2b+∴Δ所以a≤b2，2b?2b∴b≥23，∵1+?0<a≤14或a>∴0<a≤4（ii）當(dāng)a>b時(shí)，f(x)在[a,+所以f∵0<b<a，即a∴4綜上，a的取值范圍為a<1.故答案為：(?∞題型四題型四函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用13．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，gx是定義在R上的偶函數(shù)，且fx，gx在A．ffx是偶函數(shù) B．C．ff?1<f【解題思路】由函數(shù)奇偶性的定義判斷AB，由函數(shù)單調(diào)性判斷CD.【解答過(guò)程】由ff?x=f由fg?x=f由題易知函數(shù)fx在R上單調(diào)遞減，函數(shù)gx在由?1>?2，得f?1<f?2由0=f0<f?1<f?2故選：D.14．（2024·陜西寶雞·三模）已知函數(shù)f(x)=x?a+31+2xA．?1 B．?32 C．3【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求值．【解答過(guò)程】解：由于f(x)為偶函數(shù)，則f(?x)=f(x)恒成立，則f(?1)=f(1)，則有?1?(a+3可得a=?3經(jīng)驗(yàn)證滿足f(?x)=f(x)恒成立．故選：B．15．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）已知函數(shù)fx=ax+bx2+3是定義在R上的奇函數(shù)，且f【解題思路】由已知f0=0，得b=0，又f12=413【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=ax+b所以f0=b又f12=413經(jīng)檢驗(yàn)a=2,b=0符合題意，所以fx=2x故答案為：1216．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知fx,gx是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，滿足fx+gx=ax2【解題思路】根據(jù)題意，得到?fx+gx=ax2?x+2，聯(lián)立方程組，求得g(x)=ax2【解答過(guò)程】因?yàn)閒x是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，滿足可得f?x聯(lián)立方程組fx+gx又因?yàn)閷?duì)任意的1<x1<所以gx1?g構(gòu)造?(x)=g(x)+3x=ax所以由上述過(guò)程可得?(x)=ax2+3x+2(i)若a<0，則對(duì)稱軸x0=?3(ii)若a=0，?(x)=3x+2在x∈(1,2)單調(diào)遞增，滿足題意；(iii)若a>0，則對(duì)稱軸x0綜上可得，a≥?34，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為故答案為：?3題型五題型五函數(shù)的對(duì)稱性與周期性綜合17．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù)fx、gx的定義域均為R，函數(shù)f(2x?1)+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)g(x+1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x+2)+g(x+1)=?1,f(?4)=0，則f(2030)?g(2017)=A．?4 B．?3 C．3 D．4【解題思路】利用題設(shè)得到fx+f?2?x=?2①和g?x+1=gx+1②，又由f(x+2)+g(x+1)=?1，結(jié)合①式，推得g(x)的周期為12，利用f(?4)=0【解答過(guò)程】由函數(shù)f(2x?1)+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f?2x?1即f(?x?1)=?2?f(x?1)，即fx由函數(shù)g(x+1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得g?x+1由fx+2+gx+1=?1可得兩式相加，fx+f?2?x則得gx?5+g?x+1=0，將②式代入得，于是gx+12=?gx+6又f(?4)=0，由①可得f2+f?4又由fx+2+gx+1=?1可得因f2030+g2029于是，f(2030)?g(2017)=?1?g故選：B.18．（2024·陜西榆林·一模）定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(0)<0，f(3?x)=f(1+x)，g(2?x)+g(x)=2，g(x+12)=f(2x)+1，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤A．x=6是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸B．2是g(x)的一個(gè)周期C．函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為3,0D．若n∈N?且n<2023，f(n)+f(n+1)+?+f(2023)=0，則【解題思路】由已知可推得gx關(guān)于直線x=32對(duì)稱，g2?x?1=gx+1?1.又有g(shù)1?x?1=?g1+x+1.進(jìn)而得出g1?x=?g2?x，即有g(shù)?x=g?x+2，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)gx的周期可得出fx【解答過(guò)程】由f(3?x)=f(1+x)可得f(2?x)=f(2+x)，所以f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以f2x關(guān)于直線x=1對(duì)稱，即gx+1所以gx+12關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以g所以有g(shù)3?x=gx，所以有g(shù)又由g2?x+g(x)=2可得，g1?x+g1+x所以g1?x對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)間2?x?1=gx+1所以，g1?x=?g2?x所以，gx的周期為T=2對(duì)于A項(xiàng)，由已知f2x=gx+因?yàn)閒(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以x=6是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故A項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，gx關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱，所以f2x=g所以fx關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱，所以f又f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以f4+x所以f4+x=?f2?x所以函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為3,0，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由C知，fx關(guān)于點(diǎn)1,0對(duì)稱，fx關(guān)于點(diǎn)所以，f0+f2=0，又fx的周期為4，所以對(duì)k∈Z，因?yàn)閒2023則當(dāng)n=2時(shí)，有f(n)+f(n+1)+?+f(2023)=f2因?yàn)閒0+f2當(dāng)n=1時(shí)，f(n)+f(n+1)+?+f(2023)=f1當(dāng)n=3時(shí)，f(n)+f(n+1)+?+f(2023)=f3故n的最小值為3，D錯(cuò)誤.故選：D.19．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在R上的函數(shù)fx滿足y=f(x+1)是奇函數(shù)，f(4+x)=f(?x)，f(2)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+?+f(30)=2【解題思路】由y=f(x+1)是奇函數(shù)，可得f(x)=?f?x+2，由f(4+x)=f(?x)可得f(x+2)=f(?x+2)，進(jìn)而得到fx=?fx+2，從而得出函數(shù)fx【解答過(guò)程】因?yàn)閥=f(x+1)是奇函數(shù)，所以f(x+1)=?f?x+1用x?1替換上式中的x，可得f(x)=?f?x+2在f(4+x)=f(?x)中，用x?2替換x，可得f(x+2)=f(?x+2)，所以fx=?fx+2，用x+2替換該式中的x所以fx=x+4，所以函數(shù)f在f(x+1)=?f?x+1中，令x=0，得f在fx=?fx+2中，令x=1在fx+2=?fx+4中，令x=0所以f1所以f(1)+f(2)+f(3)+?+f(30)=f1故答案為：2.20．（2024·廣西南寧·二模）定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1對(duì)稱，函數(shù)g(x)=f(x)?2x的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．若f(0)=0，則f(1)+f(2)+?+f(50)=2499．【解題思路】根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性、周期性運(yùn)算得解.【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，所以f(?x)+f(x+2)=2，則f(?x)?2(?x)+f(x+2)?2(x+2)=?2即g(?x)+g(x+2)=?2，又g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則gx+4所以gx+4+gx+2可得g(x+4)=g(x)，則g(x)是以4為周期的函數(shù).因?yàn)間(0)=f(0)?2×0=0，由f(?x)+f(x+2)=2，令x=?1，得f1所以g(1)=f1?2=?1，g(2)=?2?g(0)=?2，所以f(1)+f(2)+?+f(50)=g(1)+g(2)+?+g(50)+2(1+2+?+50)=?4×12?1?2+2550=2499.故答案為：2499.題型六題型六利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小21．（23-24高一上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1+x=f1?x，且?x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】根據(jù)題意能得到函數(shù)fx關(guān)于直線x=1軸對(duì)稱，且fx在【解答過(guò)程】由?x1,x2>1，x1由f1+x=f1?x得函數(shù)f所以函數(shù)fx在?又因?yàn)?2?1≈1.42?1=0.3（最遠(yuǎn)離所以f3故選：A.22．（23-24高一上·陜西西安·期中）已知函數(shù)fx是偶函數(shù)，當(dāng)0≤x1<x2時(shí)，fx2?fx1x2?xA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【解題思路】先比較a1【解答過(guò)程】當(dāng)0≤x1<可知函數(shù)fx在0,+又因?yàn)楹瘮?shù)fx所以b=f?設(shè)a1=5所以a1<b所以b1<c又因?yàn)楹瘮?shù)fx在0,+所以a<b<c.故選：A.23．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的x1,x2∈0,+∞x1≠x2【解題思路】由函數(shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)于任意的x1,x所以f(x)在區(qū)間0，+∞所以π>3>2，所以f故答案為：fπ<f324．（24-25高一上·四川成都·期中）定義在區(qū)間(?1,1)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)?f(y)=fx?y1?xy，x∈(?1,0)時(shí)，f(x)<0，若a=f37+f13，b=f47，c=f0，則三個(gè)實(shí)數(shù)【解題思路】利用已知的恒等式進(jìn)行賦值，由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，由恒等式將a轉(zhuǎn)化為f2【解答過(guò)程】因?yàn)槎x在區(qū)間(?1,1)上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)?f(y)=fx?y設(shè)x<y，且滿足?1<x<y<1，由x+1>0，有x+1y<x+1，則xy?1<x?y<0可得1>x?yxy?1>0因?yàn)閤∈(?1,0)時(shí)f(x)<0，所以fx?y1?xy<0，即f(x)?f(y)<0故函數(shù)f(x)在(?1,1)上為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閒(x)?f(y)=fx?y1?xy，所以取y=37，x?y1?xy則a=f3因?yàn)?<47<23故答案為：c<b<a．題型七題型七利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式25．（2024·廣西柳州·三模）設(shè)函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)于任意的x，y∈R，都有fx?fy<x?yA．?1,2 B．1,2C．?∞,?1∪【解題思路】由f(x)的奇偶性可判斷g(x)也為奇函數(shù)，然后結(jié)合|f(x)?f(y)|<|x?y|，及單調(diào)性的定義可判斷g(x)單調(diào)遞增，結(jié)合單調(diào)性及奇函數(shù)的定義可求．【解答過(guò)程】∵g(x)?f(x)=x，∴g(x)=f(x)+x，由于fx是定義在R上的奇函數(shù)，即f∴g(?x)=f(?x)?x=?f(x)?x=?g(x)，故gx∵對(duì)于任意的x，y∈R，有|f(x)?f(y)|<|x?y|∴g(x)?x當(dāng)x≠y時(shí)，有g(shù)(x)?g(y)?(x?y)|x?y|即g(x)?g(y)x?y∴0<g(x)?g(y)x?y<2，∵g(2x?x∴g(2x?x∴2x?x整理可得，x2解可得，x>2或x<1，故選：D.26．（2024·重慶·一模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足：fx1+x2=fx1+fxA．?2,0 B．0,2C．?∞,?2∪【解題思路】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性則得到不等式，解出即可.【解答過(guò)程】任取t1<t而x>0時(shí)，fx<0，則ft所以fx在R?x1,取x1=x2=0得f(0)=f(x所以fx為Rfx2+f2x≥0，即故選：A.27．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足：?x,y∈R,fxy+fxfy=0,fx在0,+∞上單調(diào)遞減，f【解題思路】令y=?1，可得fx=?f?x，可知函數(shù)fx為奇函數(shù)，由奇函數(shù)性質(zhì)分析可知【解答過(guò)程】因?yàn)?x,y∈R,fxy+fx令y=?1，可得f?x則f?x+fx可知函數(shù)fx為定義在R且fx在0,+∞上單調(diào)遞減，可知fx所以fx在定義域R又因?yàn)閒x<1，即由奇函數(shù)性質(zhì)可得：f1由單調(diào)性可得?1<x<1，所以滿足fx<1的x的取值范圍為故答案為：?1,1.28．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)fx的定義域D=?∞,0∪0,+∞，對(duì)任意x1,x2∈D，恒有fx【解題思路】根據(jù)條件，構(gòu)造gx=fx+1【解答過(guò)程】由fx1x設(shè)gx=fx+1x，則取x1=x2=?1，得g所以gx是偶函數(shù)，所以g因?yàn)楫?dāng)x1>x2>0得x1fx2?即fx2+1x2>f由g?1=0，得f?1=?1，由所以x+1f1x+1即g1x+1>g4，所以1x+1所以不等式x+1f1x+1故答案為：?∞題型八題型八抽象函數(shù)的性質(zhì)綜合29．（23-24高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）定義域?yàn)镽的函數(shù)fx，對(duì)任意x,y∈R,fx+y+fx?y=2fA．f0=1 B．C．fx+f0≥0 【解題思路】對(duì)于A，令x=y=0，f0=0或f0=1，結(jié)合對(duì)于B，由f0=1，不妨令對(duì)于C，令x=y，通過(guò)換元即可判斷；對(duì)于D，令x=1，得fx關(guān)于1,0中心對(duì)稱，結(jié)合fx為偶函數(shù)，可得fx【解答過(guò)程】對(duì)于A，令x=y=0，有2f0=2f02若f0=0，則只令y=0，有2fx所以只能f0對(duì)于B，由A可知f0=1，不妨令有fy即f?y=fy所以fy偶函數(shù)，即f對(duì)于C，令x=y，有f2x令t=2x，由x∈R，得t=2x∈R，所以當(dāng)t∈R時(shí)，有ft+f0≥0，即當(dāng)對(duì)于D，若f1=0，令x=1，有所以fx關(guān)于1,0又fx所以f1+y=?f1?y又f0=1，所以f2所以f1所以i=12024故選：D.30．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y滿足fx+y+fx?y=fA．f0=2 B．C．fx為奇函數(shù) D．【解題思路】由條件等式通過(guò)取特殊值求f0，f2由此判斷A，D，再取特殊值確定f(x)，【解答過(guò)程】因?yàn)?x,y∈R，f取x=1，y=0可得f1+f1=f1取x=0，y=x可得fx+f?x=f0fx取x=1，y=1可得f2+f0=f1所以f2故選：C.31．（24-25高一上·重慶·期中）已知定義域在(?∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足：f(xy)=f(x)+f(y)?4，且當(dāng)(1)求f(1)，f(?1)的值；(2)證明f(x)是偶函數(shù)；(3)解不等式f(2)+f(x+2)<f(x?1)+4.【解題思路】（1）令x=y=1和x=y=?1計(jì)算即可；（2）令y=?1結(jié)合（1）的結(jié)論及偶函數(shù)的定義證明即可；（3）令x=x【解答過(guò)程】（1）令x=y=1，則f1令x=y=?1，則f1（2）易知函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令y=?1，則f?x（3）令x=x1,y=則fx所以fx在0,+又fx為偶函數(shù)，所以fx在所以f2則0<2x+40<4x2+16x+16<即不等式的解集為?5,?2∪32．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fa+b=fa+fb+2(1)求f5(2)證明：gx(3)若關(guān)于x的不等式fax2【解題思路】（1）根據(jù)賦值法可得到結(jié)果；（2）利用奇函數(shù)的定義可得到結(jié)果；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到有關(guān)x的不等式，再根據(jù)題意求解取值范圍即可.【解答過(guò)程】（1）在fa+b令a=b=1，得f2令a=b=2，得f4令a=4，b=1，得f4+1=f4（2）證明：令a=b=0，得f0=f0令b=?x，a=x，得fx+f?xg?x所以gx（3）由fax2即fa又fx在R上是增函數(shù)，即a所以ax2?當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x∣x>3}，解集中有無(wú)數(shù)個(gè)正整數(shù)，不滿足題意，當(dāng)a<0時(shí)，不等式等價(jià)于x?1ax?3當(dāng)a>0時(shí)，不等式等價(jià)于x?1若1a<3，即a>13，則不等式的解集為x?若1a=3，則不等式的解集為若1a>3，即0<a<13，則不等式的解集為即16綜上所述，a的取值范圍為16≤a<1題型九題型九函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用33．（23-24高一上·四川瀘州·期中）已知函數(shù)f(x)=x+mnx2+4(1)求m，n的值；(2)判斷f(x)在[?2(3)設(shè)g(x)=kx?2k?5，若對(duì)任意的x1∈[0,3]，總存在x2∈[?2【解題思路】（1）由題可得f(x)圖象過(guò)點(diǎn)0,0結(jié)合f(1)=15可得m，（2）由單調(diào)性證明步驟可證得結(jié)論；（3）由題可得g(x)max≤f(x)max【解答過(guò)程】（1）)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+mnx2+4則f0=m4=0f1經(jīng)檢驗(yàn)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以m=0，n=1；（2）f(x)在[?2證明如下：設(shè)?2≤則f(x其中x1x2所以f(x1)?f(故函數(shù)f(x)在[?2（3）因?yàn)閷?duì)任意的x1∈[0,1]，總存在x2∈[?2因?yàn)閒(x)在[?2,2當(dāng)k=0時(shí)，g(x)=?5；所以?5≤1當(dāng)k>0時(shí)，g(x)=kx?2k?5在[0,3]上單調(diào)遞增，則g(x)所以k?5≤14，解得當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)g(x)=kx?2k?5在[0,3]上單調(diào)遞減，則g(x)所以?5?2k≤1綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為?2134．（24-25高一上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f?2=f0，當(dāng)x∈(0,+(1)求函數(shù)f(x)在R上的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(?∞(3)解不等式f(t【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出k，再利用函數(shù)的奇偶性求解析式即可；（2）由（1）得當(dāng)x<0時(shí)f(x)=?1?3（3）由（2）知f(x)在(0,+∞)上也單調(diào)遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得t2【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，f(2)=?f(?2)，又f(?2)=f(0)，所以f(2)=0.又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x?2k得f(2)=2?2k2+k=0經(jīng)檢驗(yàn)，k=1符合題意.所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x?2若x<0，則?x>0，得f(?x)=?x?2?x+1，所以故f(x)=x+2（2）f(x)在(?∞由（1）知，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x+2設(shè)x1<x所以f(x即f(x所以f(x)在(?∞（3）由（2）知f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，所以f(x)在而t2?t+1=(t?由f(t2?t+1)≤f(當(dāng)t=0時(shí)，f(t2?t+1)=f(1)=?當(dāng)t>0時(shí)，t2?t+1≤t，即t2當(dāng)t<0時(shí)，t2?t+1≤?t，即綜上，原不等式的解集為0,1.35．（24-25高一上·湖北·期中）已知函數(shù)fx=x3?ax?b(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；(2)試判斷函數(shù)fx在區(qū)間1,+(3)求函數(shù)gx=f【解題思路】（1）根據(jù)奇偶性定義以及函數(shù)值解方程可得結(jié)果；（2）利用單調(diào)性定義按照步驟即可證明fx在區(qū)間1,+（3）由換元法得出函數(shù)gx的表達(dá)式，再由（2）中的結(jié)論得出其在?3≤x≤3【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意可得f0=0，即fx再由f?2=1可得fx當(dāng)a=7，b=0可得fx經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)fx滿足f所以a=7，b=0（2）取任意x1,x則f=x由x1,x2∈1,+∞所以fx1?f即函數(shù)fx在區(qū)間1,+（3）由f1由(2)得當(dāng)

x1,x所以fx1?f所以函數(shù)fx在0,1因此函數(shù)fx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+又函數(shù)fx為上的奇函數(shù)，所以函數(shù)fx的減區(qū)間為?1,1，遞增區(qū)間為當(dāng)?3≤x≤3時(shí)，?2≤fx令fx=t①當(dāng)m2≤?2時(shí)，即m≤?4，此時(shí)函數(shù)gx的值域?yàn)?m+3,3?2m②當(dāng)?2<m2≤0可得g此時(shí)函數(shù)gx的值域?yàn)棰郛?dāng)0<m2<2gx此時(shí)函數(shù)gx的值域?yàn)棰墚?dāng)m2≥2時(shí)，即gx此時(shí)函數(shù)gx的值域?yàn)??2m,2m+3綜上所述，m≤?4時(shí)，其值域?yàn)?m+3,3?2m;當(dāng)?4<m≤0時(shí)，值域?yàn)?當(dāng)0<m<4時(shí)，值域?yàn)?m當(dāng)m≥4時(shí)，值域?yàn)??2m,2m+3.36．（24-25高一上·河北邯鄲·期中）已知fx=bx+c9+x2是定義在?3,3上的函數(shù)，(1)求b，c的值；(2)判斷fx在?3,3(3)若對(duì)任意x∈?3,3，都存在a∈1,2，使得fx【解題思路】（1）根據(jù)題意得到該函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果；（2）由（1）可得解析式，根據(jù)定義法可證明出該函數(shù)的單調(diào)性；（3）根據(jù)單調(diào)性得到最大值，再根據(jù)恒成立問(wèn)題以及能成立問(wèn)題求解不等式.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?x∈?3,3，都有f則fx是定義在?3,3上的奇函數(shù)，得f0=所以fx由f2=?213，可得此時(shí)fx=?x所以b=?1，c=0；（2）證明：由（1）知fx=?x則fx因?yàn)?3≤x1<x2所以fx1?f故函數(shù)fx=?x（3）由（2）知fx=?x所以fx在?3,3上的最大值為1因?yàn)閷?duì)任意x∈?3,3，使得f所以fxmax≤a因?yàn)榇嬖赼∈1,2，使得at2又因?yàn)閠2+1>0，所以y=at所以at即2t2?t?1>0，解得t≤?所以t的取值范圍為?∞一、單選題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=ax2+a?3x+1A．?3,0 B．?∞,?3 C．?3,0 【解題思路】a=0時(shí)，代入可知滿足題意；a≠0時(shí)，求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸結(jié)合函數(shù)在右半部分單調(diào)遞減得出開(kāi)口方向，列出不等式組，求解即可得出答案．【解答過(guò)程】當(dāng)a=0時(shí)，fx=?3x+1在當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為直線x=3?a2a，由fx知a<03?a2a≤?1綜上，a的取值范圍為[?3,0]．故選：D.2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=lnx+1x+a+2x的圖象關(guān)于點(diǎn)(?A．?7 B．?5 C．?3 D．?1【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱問(wèn)題，得到gx為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的含義得到a,b【解答過(guò)程】因?yàn)閒x的圖象關(guān)于點(diǎn)(所以函數(shù)gx則2b?4=0，即b=2，且y=ln所以a+2=?3，得a=?5，所以a?b=?7，故選：A.3．（2024·四川宜賓·三模）已知函數(shù)fx在2,+∞上單調(diào)遞減且對(duì)任意x∈R滿足f1+x=fA．?∞,1∪4,+∞ B．?∞【解題思路】先根據(jù)已知得出對(duì)稱軸,再根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閒1+x=f3?x,所以ffx在2,+∞單調(diào)遞減，則fx在又因?yàn)閒2x?3>f5所以2x?5<3,?3<2x?5<3,1<x<4故選：D.4．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知y=f(x+1)?2為奇函數(shù)，則f(?3)+f(?2)+f(?1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=（

）A．?14 B．14 C．?18 D．18【解題思路】先根據(jù)條件得到fx【解答過(guò)程】因?yàn)閥=f(x+1)?2為奇函數(shù)，所以f?x+1即f?x+1+fx+1=4，故fx所以f?3又f1+f1所以f(?3)+f(?2)+f(?1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=4×4+2=18.故選：D.5．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(?1+x)?f(?1?x)=0，且f(1+x)+f(1?x)=0，當(dāng)x∈[?1,1]時(shí)，f(x)=ax?2，則f(x)的最小值為（

）A．?6 B．?4 C．?3 D．?2【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)fx的周期為8【解答過(guò)程】由f(?1+x)?f(?1?x)=0可得f(?1+x)=f(?1?x)，即fx關(guān)于x=?1對(duì)稱，即f由f(1+x)+f(1?x)=0可得fx關(guān)于1,0即fx=?f令?2?x=t，則x=?2?t，代入可得ft即fx=?f4+x所以fx的周期為8由fx是定義在R上的函數(shù)，且fx關(guān)于可得f1=0，又當(dāng)x∈[?1,1]時(shí)，即f1=a?2=0，所以當(dāng)x∈[?1,1]時(shí)，fx且fx關(guān)于x=?1對(duì)稱，則x∈?3,?1時(shí)，又fx關(guān)于1,0對(duì)稱，則x∈1,5時(shí)，即fx在一個(gè)周期內(nèi)的值域?yàn)?4,4則f(x)的最小值為?4.故選：B.6．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在區(qū)間(?m,m)(m>0)上，值域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：①當(dāng)0<x<m時(shí)，f(x)>0；②對(duì)于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)a、b均滿足：f(a+b)=f(a)+f(b)1?f(a)f(b)．則（A．f(0)=1B．?C．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,m)上單調(diào)遞減D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(?m,m)上單調(diào)遞增【解題思路】賦值：令a=b=0代入可得f(0)=0，令a=x,b=?x代入可得函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可以證明函數(shù)在(?m,m)的單調(diào)性.【解答過(guò)程】對(duì)A，令a=b=0，則f(0)=2f(0)f(0)?f3(0)=2f(0)故f(0)=0，所以A不正確；對(duì)B，取a=x,b=?x代入：f(0)=f(a)+f(b)即f(x)=?f(?x)，即f(x)在(?m,m)上為奇函數(shù)，設(shè)?x所以f(x2?故：f(=f(即：f(x對(duì)C，由B知函數(shù)在0,m上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由C結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)且f(0)=0，所以f(x)在(?m,m)上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是?∞,0∪0,+∞，對(duì)任意的x1，x2∈0,+∞，x1≠xA．?1,0∪0,1 C．?∞,?1∪【解題思路】由題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x)，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【解答過(guò)程】由函數(shù)y=f(x+1)圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,0)中心對(duì)稱，知函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱，所以f(x)為奇函數(shù).令g(x)=xf(x)，則g(?x)=?xf(?x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)為偶函數(shù)，對(duì)于?x1,x2∈(0,+∞所以g(x)在(?∞由f(1)=4，得g(1)=4，g(?1)=4，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>4x變形為xf(x)>4，即g(x)>g(1)，解得當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>4x變形為xf(x)<4，即g(x)<g(?1)，解得綜上，不等式f(x)>4x的解集為故選：B.8．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）定義在R上的函數(shù)fx滿足f2?x=f①直線x=1為曲線y=fx的對(duì)稱軸；②點(diǎn)23,0為曲線y=fx的對(duì)稱中心；③函數(shù)fx其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)f2?x=fx可得函數(shù)對(duì)稱軸，可判斷①；根據(jù)ft+2=?f【解答過(guò)程】由f2?x=fx因?yàn)閒t+2=?f所以fx由f3x+2為奇函數(shù)有f?3x+2=?f3x+2，令t=3x得f?t+2又直線x=1為曲線y=fx的對(duì)稱軸，以f則fx的對(duì)稱中心為2k,0令t=0，則f2=?f2，所以f2=0，在f于是f1=2，f2=0，f3=?f1因?yàn)閒x的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱?f所以fx=?f?x故選：C.二、多選題9．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=x2?m?2x+1A．?1 B．?12 C．5【解題思路】分別討論Δ≤0和Δ【解答過(guò)程】①當(dāng)Δ=(m?2)2?4≤0，即0≤m≤4時(shí)，fx=x結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)fx=x2?m?2x+1在?12,12上單調(diào)，則②當(dāng)Δ=(m?2)2?4>0，即m<0或m>4，令?(x)=x2?結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)fx=x則12≤m?22?(1解得：4<m≤92，或綜上：3≤m≤92或故選：BD.10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，滿足f1=1且對(duì)任意的x,y∈R，有fA．f0=0 C．fx+2=f2?x【解題思路】B選項(xiàng)，賦值得到f2=2；C選項(xiàng)，令x=2，結(jié)合f2=2得到f2?y=f2+y，故C正確；A選項(xiàng)，fx+2=f2?x中，賦值得到f3=f1【解答過(guò)程】B選項(xiàng)，fx+y令x=1,y=0得2f1=f1f2C選項(xiàng)，令x=2得f2+y即f2?y=f2+yA選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，fx+2=f2?xfx+y令x=y=1得f2+f0D選項(xiàng)，fx+y+fx?yfx+1fx+1+fx?1=fxfx+2+fx即fx+3則fx+6+fx+3故函數(shù)fx的周期為6由fx+2=f2?x由fx+3+fx故f1所以k=12024故選：BCD．11．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在(?∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x)，滿足f(xy)+2=f(x)+f(y)，且當(dāng)x>1時(shí)，A．f(?1)=1 B．f(x)為偶函數(shù)C．f(2024)>f(2023) D．若f(x+2)<2，則x的取值范圍為?3<x<?1【解題思路】用賦值法先令x=y=1求得f(1)，再令x=y=?1即可求得f(?1)判斷A；然后令y=?1可判斷奇偶性判斷B；任取0<x1<x2【解答過(guò)程】對(duì)于A，在f(xy)+2=f(x)+f(y)中，令x=y=1得f(1)+2=f(1)+f(1)，因此f(1)=2，再令x=y=?1得f(1)+2=f(?1)+f(?1)，則f(?1)=2，故A錯(cuò)；對(duì)于B，令y=?1得f(?x)+2=f(x)+f(?1)，所以f(?x)=f(x)，f(x)是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，設(shè)0<x1<x2所以f(x2)=f(tx1從而f(2024)>f(2023)，故C正確；對(duì)于D，f(x)是偶函數(shù)，則f(x+2)<2?f(x+2)<f(1)，又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以x+2<1故選：BC.三、填空題12．（2024·四川眉山·一模）已知fx+1是奇函數(shù)，當(dāng)x>1時(shí)，fx=x2，則【解題思路】由fx+1是奇函數(shù)，得函數(shù)fx關(guān)于1,0對(duì)稱，進(jìn)而結(jié)合【解答過(guò)程】由fx+1是奇函數(shù)，得函數(shù)fx關(guān)于又當(dāng)x>1時(shí)，fx則f?3故答案為：?25.13．（2024·新疆·一模）已知定義在R上的函數(shù)，y=fx滿足fx+fx?32=0，f?x+34【解題思路】根據(jù)所給條件推出fx為偶函數(shù)且周期為3，再求出f1、f2【解答過(guò)程】因?yàn)閒x+fx?所以f?x又f?x+34即fx+32=f?x?所以f?x所以fx+3=?fx+32又f?1=?1，所以f1=f?1=?1，f3f2所以f1+f2所以f=f1=f1故答案為：?2.14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）定義在?1,1上的函數(shù)fx滿足：對(duì)任意x,y∈?1,1都有f(x)+f(y)=fx+y1+xy，且當(dāng)x∈0,1①fx②對(duì)定義域內(nèi)任意x1≠x③對(duì)?x1,④i=1n【解題思路】令x=y=0，求得f0=0，進(jìn)而推得f(x)+f(?x)=0，可判定①正確；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，進(jìn)而可判定②不正確；根據(jù)f(x【解答過(guò)程】對(duì)于①中，由對(duì)任意x,y∈?1,1都有f(x)+f(y)=f令x=y=0，可得f(0)+f(0)=f0，所以f任取x∈?1,1，可得?x∈?1,1，可得所以f(?x)=?fx，所以函數(shù)fx是對(duì)于②中，設(shè)0<x1<x則有f(x因?yàn)楫?dāng)x∈0,1時(shí)，fx<0所以當(dāng)x∈?1,0時(shí)，fx>0即f(x1)?f(x2)>0，即又因?yàn)閒x為奇函數(shù)，所以函數(shù)fx在且當(dāng)x∈?1,0時(shí)，fx>0；當(dāng)x∈又由x1因?yàn)閤1≠x2，不妨設(shè)?1<x所以x1f(x所以②不正確；對(duì)于③中，對(duì)于?x1,x2可得f(x1)+f(因?yàn)?x1+所以x1+x即fx對(duì)于④中，因?yàn)楹瘮?shù)fx可得f(1所以i=1nf(1i2+3i+1)=f(所以f(1故答案為：①③④.四、解答題15．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知函數(shù)f(x)=x+mx，且(1)求m的值;(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞【解題思路】（1）將f(1)=2代入函數(shù)求值即可；（2）利用單調(diào)性的定義判斷即可.【解答過(guò)程】（1）∵f(1)=2，∴1+m=2∴m=1（2）函數(shù)為增函數(shù)，證明如下：設(shè)x1、x2是則f===當(dāng)1＜x1＜x從而fx1?f∴函數(shù)fx＝116．（24-25高一上·貴州貴陽(yáng)·期中）已知函數(shù)f(x)=2x+bax+1，點(diǎn)A(1,?(1)求a,?(2)用定義判斷函數(shù)f(x)在1,3上的單調(diào)性，并求該函數(shù)的最大值和最小值.(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+x,?x∈0,+【解題思路】（1）根據(jù)題意將A,B兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式列出方程組即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可，進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性求解最值；（3）由題意可得g(x)=x+1+6x+1+1【解答過(guò)程】（1）由題意，得f1=2+b（2）由（1）知，f(x)=2x+8任