第三章函數(shù)第14課時二次函數(shù)的待定系數(shù)法及與方程、不等式的綜合教材梳理篇知識過關(guān)1課堂精講——聚焦福建中考2當(dāng)堂小練3教材梳理篇（一）（二）(一)確定函數(shù)解析式1．二次函數(shù)解析式的三種形式．一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，其中頂點坐標(biāo)為(h，k)交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2為函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)三者互化：（一）（二）2.利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式：一設(shè)：設(shè)相應(yīng)的解析式；二代：將已知點的坐標(biāo)代入解析式，得到方程(組)；三解：解方程(組)；四寫：將參數(shù)值代回所設(shè)解析式，寫出解析式.（一）（二）3.利用函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)圖象的幾何變換確定新函數(shù)解析式：（一）（二）(1)平移平移方式(m＞0)平移后二次函數(shù)的解析式簡記向左平移m個單位長度y＝a(x－h(huán)＋m)2＋k左加右減向右平移m個單位長度y＝a(x－h(huán)－m)2＋k向上平移m個單位長度y＝a(x－h(huán))2＋k＋m上加下減向下平移m個單位長度y＝a(x－h(huán))2＋k－m（一）（二）(2)軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換方式a頂點坐標(biāo)解析式軸對稱變換關(guān)于x軸對稱－a(h，－k)y＝－a(x－h(huán))2－k關(guān)于y軸對稱a(－h(huán)，k)y＝a(x＋h)2＋k旋轉(zhuǎn)變換繞頂點旋轉(zhuǎn)180°－a(h，k)y＝－a(x－h(huán))2＋k繞原點旋轉(zhuǎn)180°－a(－h(huán)，－k)y＝－a(x＋h)2－k（一）（二）1.已知二次函數(shù)y＝x2＋2x＋1.(1)把它化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式為____________；(2)把它的圖象向左平移1個單位長度，就得到了拋物線y＝________；(3)把它的圖象向下平移1個單位長度，就得到了拋物線y＝____________；(4)把它的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度，就得到了拋物線y＝______.y＝(x＋1)2(x＋2)2(x＋1)2－1x2＋3（一）（二）2.某拋物線的頂點坐標(biāo)為(－1，3)，且過點(2，8)，求此拋物線的解析式.

（一）（二）3．已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(－2，0)，B(1，0)兩點，與y軸交于點C(0，－2)，求此拋物線的解析式解：設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋2)(x－1)，將(0，－2)代入解析式，得－2＝－2a，解得a＝1.所以拋物線的解析式為y＝(x＋2)(x－1)．（一）（二）(二)二次函數(shù)與方程、不等式的綜合1.與方程的關(guān)系：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)的值.（一）（二）拋物線與x軸交點的個數(shù)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況b2－4ac＞0兩個交點有兩個不相等的實數(shù)根b2－4ac＝0一個交點有兩個相等的實數(shù)根b2－4ac＜0沒有交點沒有實數(shù)根（一）（二）2.與不等式的關(guān)系：a＞0ax2＋bx＋c＞0的解集為x＜x1或x＞x2ax2＋bx＋c＜0的解集為x1＜x＜x2a＜0ax2＋bx＋c＞0的解集為x1＜x＜x2ax2＋bx＋c＜0的解集為x＜x1或x＞x2（一）（二）4.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1＝x2＋bx＋c與直線y2＝kx＋m如圖所示，請你觀察圖象并回答下列問題：(1)方程x2＋bx＋c＝0的解是______________；(2)當(dāng)_____________時，y1＞0；x1＝0，x2＝4x＜0或x＞4（一）（二）

x＝－1或3－1＜x＜3

考點1考點2考點1確定函數(shù)解析式[5年5考]例1：[2024福建中考節(jié)選4分]答題模板與評分標(biāo)準(zhǔn)已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．求二次函數(shù)的解析式.解：將(－2，0)，(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c，得____________________，…………………1分解得____________________，…………………2分所以，二次函數(shù)的解析式為____________________．………4分y＝x2＋x－2考點1考點2例2：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)過點C(0，－4)，交x軸于A，B兩點，OC＝2OB，請求出a，b滿足的關(guān)系式．解：∵C(0，－4)，∴OC＝4.∵OC＝2OB，∴OB＝2，∴B(2，0).將點B(2，0)，C(0，－4)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx＋c，得∴2a＋b＝2.

考點1考點2例3：已知拋物線y＝ax2－2ax＋c(a＜0)與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側(cè))，AB＝4.若該拋物線上到x軸距離為4的點恰有三個，求該拋物線的解析式.解：∵y＝ax2－2ax＋c＝a(x－1)2－a＋c，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.∵該拋物線與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側(cè))，AB＝4，

考點1考點2∵拋物線上到x軸距離為4的點恰有三個，且a＜0，∴該拋物線頂點的縱坐標(biāo)為4，∴該拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4.將A(－1，0)的坐標(biāo)代入，得4a＋4＝0，解得a＝－1.∴該拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4.考點1考點2例4：已知二次函數(shù)的解析式為y＝x2－2x＋c.[2025莆田荔城區(qū)模擬節(jié)選](1)若點(h，c)在該二次函數(shù)的圖象上，求h的值；解：∵點(h，c)在該二次函數(shù)的圖象上，∴h2－2h＋c＝c，∴h2－2h＝0，解得h＝0或h＝2.考點1考點2(2)若該二次函數(shù)圖象先向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后經(jīng)過點(－2，5)，求平移后的二次函數(shù)解析式．解：y＝x2－2x＋c＝(x－1)2＋c－1，∵二次函數(shù)圖象先向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，∴平移后的二次函數(shù)解析式為y＝(x＋1)2＋c＋2，∵平移后的二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(－2，5)，∴5＝(－2＋1)2＋c＋2，解得c＝2，∴平移后的二次函數(shù)解析式為y＝(x＋1)2＋4.考點1考點2考點2二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系[5年2考]例5：如圖，拋物線y＝ax2＋c與直線y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)兩點，則不等式ax2＋c＞mx＋n的解集為

(

)A.x＞－1 B.x＜3C.－1＜x＜3 D.x＜－1或x＞3D考點1考點2例6：已知二次函數(shù)y＝x2－2x－3，將該二次函數(shù)在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新的函數(shù)圖象(如圖所示)，當(dāng)直線y＝－x＋m與新圖象有3個交點時，m的值為(

)

D考點1考點2例7：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A(－1，1)，點B(1，1)，若拋物線y＝x2－ax＋1(a>0)與線段AB有兩個不同的交點，則a的取值范圍是____________．0<a≤1考點1考點2例8：【思維生長】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2－ktx＋t2－k.求證：當(dāng)k＝2時，拋物線與x軸有兩個交點．[2025福州質(zhì)檢節(jié)選]證明：當(dāng)k＝2時，拋物線的解析式為y＝x2－2tx＋t2－2，令y＝0，則x2－2tx＋t2－2＝0，∴Δ＝(－2t)2－4(t2－2)＝8>0，∴方程x2－2tx＋t2－2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴當(dāng)k＝2時，拋物線與x軸有兩個交點．考點1考點2

向“逆向思維”生長：已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋2(a<0)．若該函數(shù)圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為(x1，0)、(x2，0)，且x2＝－2x1，求證：a＋b2＝0.[2025三明三元區(qū)一模節(jié)選]證明：∵該函數(shù)圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為(x1，0)、(x2，0)，∴x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的兩根，1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可得，方程ax2＋bx＋c＝2的兩個根為________________．x1＝x2＝21232．已知二次函數(shù)y＝－x2－4x＋3，將其圖象向右平移k(k>0)個單位長度，得到新的二次函數(shù)y1的圖象，使得當(dāng)x＝3時，y1取得最值，則實數(shù)k的值為________．[2025龍巖二模改編]51233.已知二次函數(shù)y＝2x2＋bx＋c(a≠0).(1)若該函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，且過點(0，3)，求該函數(shù)的解析式；

123(2)若方程2x2＋bx