作課人：廉文杰數(shù)學(xué)之王——?dú)W拉北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊作課人：廉文杰焦作市外國語中學(xué)第五章

函數(shù)應(yīng)用第1節(jié)

方程解得存在性及方程的近似解1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性第1課時(shí)（共1課時(shí)）學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)目

標(biāo)重

點(diǎn)難

點(diǎn)1、了解函數(shù)零點(diǎn)的概念,領(lǐng)會方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系.2、掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理.3、能結(jié)合圖象求解零點(diǎn)問題.1、零點(diǎn)存在定理.2、能結(jié)合圖象求解零點(diǎn)問題.1、函數(shù)零點(diǎn)的概念.2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系.新

課

引

入數(shù)學(xué)王子——高斯

在公元前2000年，古代中國和古代巴比倫的數(shù)學(xué)家就已經(jīng)會解一元二次方程了。但人類對解一元三次方程的研究，其過程就顯得異常艱難，進(jìn)展非常緩慢。直到1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾出版了《大術(shù)》一書，將三次方程解法公諸于眾。

新

課

引

入韋

達(dá)費(fèi)拉里受一元三次方程求解方法的啟發(fā)而得到一元四次方程的求解方法。新

課

引

入數(shù)學(xué)王子——高斯

許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，就像二、三、四次方程的求根公式一樣，高于四次的方程同樣應(yīng)當(dāng)有求根公式。直到１８２４年，阿貝爾終于證明了高于四次的方程的全部由方程的系數(shù)組成的根式，不可能是它的根。伽羅瓦進(jìn)一步發(fā)展了他的思想，把方程根的全部問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為置換群及其子群結(jié)構(gòu)的分析，創(chuàng)造了群論，系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解。

其實(shí)，高次方程在實(shí)際生活中并沒有多少用途。我們只需知道根的具有一定精確度的近似值就行了。知道這一點(diǎn)，對代數(shù)學(xué)的發(fā)展是非常重要的。這樣一來，代數(shù)學(xué)實(shí)際上是沿著以下三個(gè)方向發(fā)展的：１、關(guān)于根的存在問題。２、不通過解方程，直接按照方程的系數(shù)去考察根的性質(zhì)；３、研究根的近似計(jì)算。本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)如何利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性。學(xué)

習(xí)

新

知?dú)W幾里得（約公元前300年）《幾何原本》函數(shù)y=x2-x-6與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是

：________________函數(shù)y=x2-x-6的零點(diǎn)是：____________方程x2-x-6=0的根是

：____________(-2,0)、（3,0）-2,3零點(diǎn)對于函數(shù)y=f(x),若f(x0)=0，則數(shù)x0稱為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。-2,3方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).典

例

引

路集合論之父——康托例1、判斷正誤（1）所有的函數(shù)都有零點(diǎn).（

）（2）若方程f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2，則函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)

是(x1,0),(x2,0).（

）（3）函數(shù)y=2x-2的零點(diǎn)是1.（

）（4）零點(diǎn)即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn).(

)（5）若方程f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,則函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)

零點(diǎn).(

)√×××√典

例

引

路柯

西

解：由f(x)=x2-3x=0得x=0

或x=3。

所以函數(shù)的零點(diǎn)是0,3.

解：當(dāng)x＞0時(shí)，令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2

當(dāng)x≤1時(shí)，令f(x)=2x-1-1=0,得x=1

所以f(x)有2個(gè)零點(diǎn)。同

步

練

習(xí)無冕的數(shù)學(xué)之王——希爾伯特練1、函數(shù)y=f(x)的圖象如下，則其零點(diǎn)為______________.-2,1,3練2、若4是函數(shù)f(x)=ax2-2log2x的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值等于____

同

步

練

習(xí)解析幾何之父——笛卡爾

解：由方程x2+7x+6=0，得x=-1或x=-6，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是-1，-6.解：由方程1-log2(x+3)=0，得x=-1，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是-1.解：由方程2x-1-3=0，得x=log26，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是log26.

學(xué)

習(xí)

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》觀察函數(shù)y=x2-x-6的圖象可知：函數(shù)的零點(diǎn)是:-2和

3。進(jìn)一步觀察可知：f(-4)=____________0f(0)=_____________0f(-4)·f(0)______014＞＜-6在-4與0之間存在零點(diǎn)________-2f(0)=___________0f(4)=___________0f(0)?f(4)______0在0與4之間存在零點(diǎn)______-6＜6＞＜＜3學(xué)

習(xí)

新

知阿波羅尼奧斯（約公元前200年）

《圓錐曲線論》

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.零點(diǎn)存在定理

(1）兩條件缺一不可：①、一條連續(xù)不斷的曲線

②、f(a)f(b)<0（2）只能判定零點(diǎn)存在性，而不能判定有多少個(gè)零點(diǎn)。（3）函數(shù)零點(diǎn)的判定是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件。（4）若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)。典

例

引

路牛

頓例4、方程3x-x2=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有沒有解？為什么？

典

例

引

路狄利克雷例5、判定方程(x-2)(x-5)=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且一個(gè)根大于5，

另一個(gè)根小于2.解：設(shè)函數(shù)f(x)=(x-2)(x-5)-1，畫出函數(shù)的圖像：∵f(1)=3＞0,f(2)=-1＜0，∴f(1)·f(2)＜0∴在區(qū)間（1,2）內(nèi)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根?！遞(5)=-1＜0,f(6)=3＞0，∴f(5)·f(6)＜0∴在區(qū)間（5,6）內(nèi)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根。∴方程(x-2)(x-5)=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且一個(gè)根大于5，

另一個(gè)根小于2.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟(1)代入：將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值；(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷；(3)結(jié)論：若符號為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).同

步

練

習(xí)黎

曼

C練5、函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(

)A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)解:因?yàn)閒(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,

所以f(0)·f(1)<0.

由零點(diǎn)存在定理,f(x)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為(0,1).C典

例

引

路皮

亞

諾

把零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,兩個(gè)函數(shù)圖象有幾個(gè)交點(diǎn),就說明有幾個(gè)零點(diǎn).同

步

練

習(xí)龐加萊練6、求函數(shù)f(x)=2x+lg(x+1)-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解：在同一坐標(biāo)系下畫出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草圖.

由圖象知g(x)=lg(x+1)的圖象和

h(x)=2-2x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個(gè)零點(diǎn).同

步

練

習(xí)萊布尼茲練7、判斷函數(shù)f(x)=lnx+x2-3零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解:函數(shù)對應(yīng)的方程為lnx+x2-3=0,

所以原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為

函數(shù)y=lnx與y=3-x2的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

在同一平面直角坐標(biāo)系中,

畫出函數(shù)y=lnx和函數(shù)y=3-x2的圖象(如圖).

由圖象知,函數(shù)y=3-x2與y=lnx的圖象只有一個(gè)交

點(diǎn),從而方程lnx+x2-3=0有一個(gè)根,

即函數(shù)f(x)=lnx+x2-3有一個(gè)零點(diǎn).典

例

引

路傅里葉例7、已知函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-a,若函數(shù)y=f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.解：函數(shù)y=f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

即函數(shù)y=2|x-1|+x與y=a的圖像

有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)。

分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，

如圖所示。

由圖易知，當(dāng)a＞1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)

的圖像有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）同

步

練

習(xí)洛必達(dá)練8、已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是___________________.

典

例

引

路貝葉斯例8、關(guān)于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0的一根大于1,一根小于1,

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

典

例

引

路華羅庚設(shè)x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a＞0)的兩實(shí)根下面列出幾種常見根的分布情況根的分布圖像充要條件x1＜x2＜kk＜x1＜x2x1＜k＜x2f(k)＜0根的分布圖像充要條件x1,x2∈(k1,k2)k1＜x1＜k2＜x2＜k3在(k1,k2)內(nèi)有