江蘇省宿遷市泗洪中學2025-2026學年高二數學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．各項均為正數的等比數列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.2．若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”，下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）A. B.C. D.3．已知空間向量，且與垂直，則等于（）A.－2 B.－1C.1 D.24．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.65．如圖，D是正方體的一個“直角尖”O(jiān)-ABC（OA，OB，OC兩兩垂直且相等）棱OB的中點，P是BC中點，Q是AD上的一個動點，連PQ，則當AC與PQ所成角為最小時，（）A. B.C. D.26．△ABC的兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.7．已知數列滿足，在任意相鄰兩項與(k＝1，2，…)之間插入個2，使它們和原數列的項構成一個新的數列．記為數列的前n項和，則的值為（）A.162 B.163C.164 D.1658．已知空間向量，，若，則實數的值是（）A. B.0C.1 D.29．南北朝時期杰出的數學家祖沖之的兒子祖暅在數學上也有很多創(chuàng)造，其最著名的成就是祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等，現(xiàn)有一個圓柱體和一個長方體，它們的底面面積相等，高也相等，若長方體的底面周長為，圓柱體的體積為，根據祖暅原理，可推斷圓柱體的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值10．的展開式中的系數為，則（）A. B.C. D.11．下列結論中正確的個數為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.312．直線的傾斜角為（）A.60° B.30°C.120° D.150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個點到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為___.14．某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進行問卷調查.已知高一被抽取的人數為，那么高二被抽取的人數為__.15．三棱錐中，、、兩兩垂直，且.給出下列四個命題：①；②；③和的夾角為；④三棱錐的體積為.其中所有正確命題的序號為______________.16．已知，，，，使得成立，則實數a的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）記函數，當時，討論函數的單調性；（2）設，若存在兩個不同的零點，證明：為自然對數的底數）.18．（12分）在①，②，③，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.設數列是公比大于0的等比數列，其前項和為，數列是等差數列，其前項和為.已知，，，_____________.（1）請寫出你選擇條件的序號____________；并求數列和的通項公式；（2）求和.19．（12分）在三棱柱中，側面正方形的中心為點平面，且，點滿足（1）若平面，求的值；（2）求點到平面的距離；（3）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值20．（12分）各項都為正數的數列的前項和為，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）求；（3）設，數列的前項和為，求使成立的的最小值.21．（12分）為讓“雙減”工作落實到位，某中學積極響應上級號召，全面推進中小學生課后延時服務，推行課后服務“”模式，開展了內容豐富、形式多樣、有利于學生身心成長的活動.該中學初一共有700名學生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務更受歡迎，該校準備推行體育類與藝術類兩大類活動于2021年9月在初一學生中進行了問卷調查.（1）調查結果顯示：有的男學生和的女學生愿意參加體育類活動，其他男學生與女學生都不愿意參加體育類活動，請完成下邊列聯(lián)表.并判斷是否有的把握認為愿意參加體育類活動與學生的性別相關？愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學生女學生合計（2）在開展了兩個月活動課后，為了了解學生的活動課情況，在初一年級學生中按男女比例分層抽取7名學生調查情況，并從這7名學生中隨機選擇3名學生進行展示，用X表示選出進行展示的3名學生中女學生的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.22．（10分）記數列的前n項和為，已知點在函數的圖像上（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前9項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據等比數列性質可知，，，成等比數列，由等比中項特點可構造方程求得，由等比數列通項公式可求得，進而得到結果.【詳解】由等比數列的性質可得：，，，成等比數列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.2、A【解析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進而判斷所給命題的真假【詳解】解：因為橢圓短的軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：3、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標運算即可解決.【詳解】∵∴∴，解得，故選：B.4、D【解析】根據全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D5、C【解析】根據題意，建立空間直角坐標系，求得AC與PQ夾角的余弦值關于點坐標的函數關系，求得角度最小時點的坐標，即可代值計算求解結果.【詳解】根據題意，兩兩垂直，故以為坐標原點，建立空間直角坐標系如下所示：設，則，不妨設點的坐標為，則，，則，又，設直線所成角為，則，則，令，令，則，令，則，此時.故當時，取得最大值，此時最小，點，則，故，則故選：C.6、D【解析】根據三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎題.7、C【解析】確定數列的前70項含有的前6項和64個2，從而求出前70項和.【詳解】，其中之間插入2個2，之間插入4個2，之間插入8個2，之間插入16個2，之間插入32個2，之間插入64個2，由于，，故數列的前70項含有的前6項和64個2，故故選：C8、C【解析】根據空間向量垂直的性質進行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有.故選：C9、C【解析】由條件可得長方體的體積為，設長方體的底面相鄰兩邊分別為，根據基本不等式，可求出底面面積的最大值，進而求出高的最小值，得出結論.【詳解】依題意長方體的體積為，設圓柱的高為長方體的底面相鄰兩邊分別為，，當且僅當時，等號成立，.故選:C.【點睛】本題以數學文化為背景，考查基本不等式求最值，要認真審題，理解題意，屬于基礎題.10、B【解析】根據二項式展開式的通項，先求得x的指數為1時r的值，再求得a的值.【詳解】由題意得：二項式展開式的通項為：，令，則，故選：B11、C【解析】構造函數利用導數說明函數的單調性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C12、C【解析】求出斜率，根據斜率與傾斜角的關系，即可求解.【詳解】解：，即，直線的斜率為，即直線的傾斜角為120°.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據圓的幾何性質，結合點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標為：設圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個點到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.14、【解析】利用分層抽樣可求得的值，再利用分層抽樣可求得高二被抽取的人數.【詳解】高一年級抽取的人數為：人，則，則高二被抽取的人數，故答案為：.15、①②③【解析】設，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量數量積的坐標運算可判斷①②③④的正誤.【詳解】設，由于、、兩兩垂直，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則、、、.對于①，，所以，，①正確；對于②，，，則，②正確；對于③，，，，，所以，和的夾角為，③正確；對于④，，，，則，所以，，而三棱錐的體積為，④錯誤.故答案為：①②③.【點睛】關鍵點點睛：在立體幾何中計算空間向量的相關問題，可以選擇合適的點與直線建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算即可.16、【解析】由題可得，求導可得的單調性，將的最小值代入，即得.【詳解】∵，，使得成立，∴由，得，當時，，∴在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，∴函數在區(qū)間上的最小值為又在上單調遞增，∴函數在區(qū)間上的最小值為，∴，即實數的取值范圍是故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在和上單調遞增；在上單調遞減（2）證明見解析【解析】（1）先求導，然后對導數化簡整理后再解不等式即可得單調性；（2）要證明，通過求函數的極值可證明，要證，根據有兩個不同的零點，將問題轉化為證明成立，再通過換元從求函數的最值上證明.【小問1詳解】因為，所以，令，得或.所以時，或；時，.所以在和上單調遞增；在上單調遞減.【小問2詳解】因為，所以.當時，，可得在上單調遞減，此時不可能存在兩個不同的零點，不符合題意.當時，.令，得.當時，；當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減.而當時，，時，.所以要使存在兩個不同的零點，則，即，解得.因為存在兩個不同的零點，則，即.不妨設，則，則，要證，即證，即證，即，.即證，令，則，所以在上單調遞增，所以，即，所以成立.綜上有.【關鍵點點睛】解決本題的第（1）問的關鍵是對導函數的分子因式分解；解決第（2）問的關鍵一是分步證明，二是研究函數的單調性，三是轉化思想的運用，四是換元思想的運用.18、（1）選①，，；選②，，；選③，，；（2），【解析】（1）選條件①根據等比數列列出方程求出公比得通項公式，再由等差數列列出方程求出首項與公差可得通項公式，選②③與①相同的方法求數列的通項公式;（2）根據等比數列、等差數列的求和公式解計算即可.【小問1詳解】選條件①：設等比數列的公比為q，，，解得或，，，.設等差數列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設等比數列的公比為q，，，解得或，，，.設等差數列的公差為，，，解得，，選條件③：設等比數列的公比為，，，解得或，，，.設等差數列的公差為，，，解得，【小問2詳解】由（1）知，，19、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)連接ME，證明即可計算作答.(2)以為原點，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，借助空間向量計算點到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標系，借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計算作答.【小問1詳解】在三棱柱中，因，即點在上，連接ME，如圖，因平面面，面面，則有，而為中點，于是得為的中點，所以.【小問2詳解】在三棱柱中，面面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，又為正方形，即，而平面，以為原點，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，依題意，，則，，設平面的法向量為，則，令，得，又，則到平面的距離，所以點到平面的距離為.【小問3詳解】因，則，，設面的法向量為，則，令，得，于是得，而平面與平面所成角的正弦值為，則，即，整理得，解得或，所以的值是或.【點睛】易錯點睛：空間向量求二面角時，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算.20、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用數列的遞推關系式，結合等差數列的定義，即可求得數列的通項公式；（2）化簡，結合裂項相消法求出數列的和；（3）利用分組法求得，結合，即可求得的最小值.【小問1詳解】解：因為各項都為正數的數列的前項和為，且滿足，當時，解得；當時