第五章圖形的軸對稱☆問題解決策略：轉(zhuǎn)化

蘇家屯王長存首席工作室

李春善2025.10.20

北師大版七年級下冊學習目標

理解幾何中“轉(zhuǎn)化”策略的核心邏輯掌握“化不規(guī)則為規(guī)則”“化同側(cè)為異側(cè)”的轉(zhuǎn)化方法體會轉(zhuǎn)化思想的廣泛應用導入新課

平行四邊形面積推導轉(zhuǎn)化概念（幾何專屬）

異側(cè)兩點規(guī)則圖形不規(guī)則圖形同側(cè)兩點復雜組合基本圖形不規(guī)則、不對稱、復雜的幾何問題規(guī)則、對稱、簡單的問題

幾何中轉(zhuǎn)化的本質(zhì)轉(zhuǎn)化方向新課探究問題：如圖5-23，某工廠計劃在一條筆直的道路上設立一個儲物點，工作人員每天進入工廠大門后，先到儲物點取物品，然后再到車間。你認為該儲物點應建在什么地方，才能使工作人員所走的路程最短?理解問題點直線擬定計劃(2)相信你能解決以下問題:如圖5-24，直線I的兩側(cè)分別有A，B兩點，在直線l上確定一個點C，使AC+CB最短。原問題與圖5-24這個問題有什么區(qū)別和聯(lián)系?你能將原問題轉(zhuǎn)化為圖5-24這樣的問題嗎?說說你的想法。(1)你以前遇到過類似的問題嗎?關于“最短”，你有哪些認識?兩點之間，線段最短ABl圖5-24C傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教-個百思不得其解的問題:從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后再到B地，求怎樣走使路線最短，并且求如何確定飲馬的地點?！皩④婏嬹R”問題ABl圖5-25實施計劃如圖5-25，作點B關于I的對稱點B'，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對于l上任意一點C，都有BC=B'C，因此AC+BC=AC+B'C，問題轉(zhuǎn)化為:在直線l上確定一個點C，使AC+BC最短。根據(jù)“兩點之間線段最短”，連接AB'，與I交于點C，點C就是所要確定的點。ABl圖5-25小明的思考過程解決問題問題如圖5-23，某工廠計劃在一條筆直的道路上設立一個儲物點，工作人員每天進入工廠大門后，先到儲物點取物品，然后再到車間。你認為該儲物點應建在什么地方，才能使工作人員所走的路程最短?道路大門車間圖5-23回顧反思(1)回顧本題的解決過程，你有哪些感悟?利用軸對稱化繁為簡化難為易化不熟悉為熟悉兩點位于直線同一側(cè)兩點分別位于直線l兩側(cè)轉(zhuǎn)化(2)利用轉(zhuǎn)化策略解決問題時，需要注意些什么?回顧反思(2)利用轉(zhuǎn)化策略解決問題時，需要注意些什么?明確轉(zhuǎn)化策略的三大方向：規(guī)則化、對稱化、簡化解答問題1.如圖5-26，正方形的邊長為1，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，求圖中陰影部分的面積。

解答問題2.如圖5-27，四邊形ABCD和四邊形BEFC都是邊長為2的正方形。以點B為圓心、AB的長為半徑的圓與正方形ABCD交于A，C兩點，連接AF.求圖中陰影部分的面積。O

解答問題3.(1)有兩堆數(shù)量相等的棋子，甲、乙兩人輪流在其中任意一堆里取每次

取的棋子數(shù)量不限，但不能不取。規(guī)定取得最后一枚者獲勝。你認

為獲勝的策略是什么?(2)如果兩堆棋子的數(shù)量不等，獲勝的策略又是什么?解：（1）兩堆棋子數(shù)量相等時，后取者必勝。策略是:先取者在一堆中

取若干棋子，后取者就在另一堆取相同數(shù)量的棋子。

（2）兩堆棋子數(shù)量不等時，先取者必勝。策略是:先取者從棋子多

的那一堆中取出兩堆棋子數(shù)量的差值，使兩堆棋子數(shù)量相等，

之后對方在一堆中取若干棋子，自己就在另一堆取相同數(shù)量的

棋子。解答問題4.如圖5-28，定點P位于∠AOB的內(nèi)部，在射線OA和OB上分別確定點M，N，使得△PMN的周長最小。解:如圖所示,作點P關于OA的對稱點P1,關于0B的對稱點

P?,連接

P1P?交0A于點M,交0B于點N,連接MP,NP,此時?PMN的周長最小,點M,N即為所求.課堂小節(jié)問題解決策略:轉(zhuǎn)化最短距離問題等線段轉(zhuǎn)化圖形面積問題不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形其他問題課后作業(yè)

2.已知x2+x-1=0，求代數(shù)式x3+2x2+3的值解：原式=x3+x2+x2+3=x(x2+x)+x