四川省內(nèi)江市2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.2．點(diǎn)是正方體的底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論：①滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)；②滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)；③滿足平面的點(diǎn)的軌跡是線段.則上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.3．已知正數(shù)x，y滿足，則取得最小值時(shí)（）A. B.C.1 D.4．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前3項(xiàng)和為21，則()A.84 B.72C.33 D.1895．已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：36．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點(diǎn)，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.7．過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則的面積為（）A. B.C. D.8．已知等差數(shù)列為其前項(xiàng)和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.139．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．經(jīng)過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則A. B.C. D.11．過點(diǎn)且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)則的值為.____14．已知正數(shù)，滿足.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．六面體的所有棱長(zhǎng)都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點(diǎn)是O，若，則___________.16．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過曲線C的右焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)為）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知數(shù)列與滿足（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第k項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng)，即恒成立．求證：的第k項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng)；（3）設(shè)．若存在最大值M與最小值m，且，試求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）已知橢圓焦距為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程21．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值22．（10分）已知圓，點(diǎn).（1）若，半徑為的圓過點(diǎn)，且與圓相外切，求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的兩條直線被圓截得的弦長(zhǎng)均為，且與軸分別交于點(diǎn)、，，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，則不等式不成立；對(duì)于B，若，則不等式不成立；對(duì)于C，若均為負(fù)值，則不等式不成立；對(duì)于D，不等號(hào)的兩邊同乘負(fù)值，不等號(hào)的方向改變，故正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，需熟練掌握性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】對(duì)于①，根據(jù)線線平行的性質(zhì)可知點(diǎn)即為點(diǎn)，因此可判斷①正確；對(duì)于②，根據(jù)線面垂直的判定可知平面,，由此可判定的位置，進(jìn)而判定②的正誤；對(duì)于③，根據(jù)面面平行可判定平面平面，因此可判斷此時(shí)一定落在上，由此可判斷③的正誤.【詳解】如圖：對(duì)于①，在正方體中，,若異于，則過點(diǎn)至少有兩條直線和平行，這是不可能的，因此底面內(nèi)（包括邊界）滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)，即為點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，正方體中，平面,平面，所以,又，所以，而,平面,故平面,因此和垂直的直線一定落在平面內(nèi)，由是平面上的動(dòng)點(diǎn)可知，一定落在上，這樣的點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，,平面,則平面，同理平面,而,所以平面平面，而平面，所以一定落在平面上，由是平面上的動(dòng)點(diǎn)可知，此時(shí)一定落在上，即點(diǎn)的軌跡是線段，故③正確，故選：C.3、B【解析】根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，取等號(hào)，而，所以解得，故選：B4、A【解析】分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)前三項(xiàng)的和為列方程，結(jié)合等比數(shù)列中，各項(xiàng)都為正數(shù)，解得，從而可以求出的值.詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為3，前三項(xiàng)的和為，，解之得或，在等比數(shù)列中，各項(xiàng)都為正數(shù)，公比為正數(shù)，舍去），，故選A.點(diǎn)睛：本題考查以一個(gè)特殊的等比數(shù)列為載體，通過求連續(xù)三項(xiàng)和的問題，著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)，等比數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和等知識(shí)點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.5、A【解析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上,求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.6、D【解析】由雙曲線的定義可設(shè)，，由平面幾何知識(shí)可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對(duì)三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.7、B【解析】畫出圖形，利用已知條件結(jié)合拋物線的定義求解邊長(zhǎng)CF，BK，然后求解三角形的面積即可【詳解】如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過作于，過作于，過作于，設(shè)，則根據(jù)拋物線的定義可得，，，的面積為，故選：.8、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，，進(jìn)而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.9、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.10、A【解析】由題意，得，解得；故選A考點(diǎn)：直線的傾斜角與斜率11、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B12、D【解析】求出拋物線C的準(zhǔn)線l的方程，過A作l的垂線段，結(jié)合幾何意義及拋物線定義即可得解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線l：，顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi)，過A作AM⊥l于M，交拋物線C于P，如圖，在拋物線C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)，過作于點(diǎn)N，連PF，AN，，由拋物線定義知，，于是得，即點(diǎn)P是過A作準(zhǔn)線l的垂線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，所以的最小值為3.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】詳解】試題分析：由題意，得，所以，解得，所以考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算14、【解析】利用基本不等式性質(zhì)可得的最小值，由恒成立可得即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)因?yàn)楹愠闪?，所以，解?故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案填：.【點(diǎn)睛】熟練掌握基本不等式的性質(zhì)和正確轉(zhuǎn)化恒成立問題是解題的關(guān)鍵.15、【解析】結(jié)合空間向量運(yùn)算求得.【詳解】，.所以.故答案為：16、【解析】由空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到軸的距離為計(jì)算可得【詳解】解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓；(2)分為l斜率存在和不存在時(shí)討論，斜率存在時(shí)，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示的面積，根據(jù)變量范圍可求面積的最大值﹒【小問1詳解】以O(shè)A中點(diǎn)G坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：∴可知，，設(shè)折痕與和分別交于M，N兩點(diǎn)，則MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為；【小問2詳解】設(shè)，，則的周長(zhǎng)為當(dāng)軸時(shí)，l的方程為，，，當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，由得，∵＞0，∴，，，令，則，，∵，∴，∴.綜上可知，S的取值范圍是18、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項(xiàng)，然后仿寫，作差即可得到的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)（1）求出的通項(xiàng)公式，觀察是由一個(gè)等差數(shù)列加上一個(gè)等比數(shù)列得到，要求其前項(xiàng)和，采用分組求和法結(jié)合公式法可求出前項(xiàng)和【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，化簡(jiǎn)得，∴是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，因此的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，∴19、（1）（2）證明見解析．（3）【解析】（1）由已知關(guān)系得出是等差數(shù)列及公差，然后可得通項(xiàng)公式；（2）由已知關(guān)系式，利用累加法證明對(duì)任意的，恒成立，即可得（3）由累加法求得通項(xiàng)公式，然后確定的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的單調(diào)性，得出數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，再利用已知范圍解得的范圍【小問1詳解】由已知，是等差數(shù)列，公差為6，所以；【小問2詳解】對(duì)任意的，恒成立，而恒成立，若，則，恒成立，同理若，也有恒成立，所以對(duì)任意的，恒成立，即是最小項(xiàng)；【小問3詳解】時(shí)，，所以，也適合此式所以，若，則，，，即，，若，由于，且是正負(fù)相間，因此無最大項(xiàng)也無最小項(xiàng)因此有，所以的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列是遞增數(shù)列，且，，的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，所以的最大值是，最小項(xiàng)是，，由，又，所以20、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為解出，再把點(diǎn)代入橢圓方程中，即可解出答案.（2）根據(jù)題意求出當(dāng)直線與軸重合時(shí)，由求出值，即求出的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，上任意一點(diǎn)均使，設(shè)出直線方程與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，化簡(jiǎn)得證，即可得到答案.【小問1詳解】.由于點(diǎn)在橢圓C上，則故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時(shí)，是橢圓的左右頂點(diǎn)，不妨設(shè)，設(shè)，則是上的任意一點(diǎn)，即方程對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，此時(shí)的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，上任意一點(diǎn)均使即可，設(shè)直線的方程為，，設(shè)則由y得證.故的方程為.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BCD的一個(gè)法向量和平面DCM的一個(gè)法向量，然后由求解【小問1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，依題意，可得，設(shè)為平面BCD的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得設(shè)為平面DCM的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為22、（1）或（2）【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出圓的方程；（2）分