第1頁/共6頁2024年南師附中特長生選拔考試數(shù)學(xué)試題【數(shù)學(xué)加試部分】 1.證明：3是無理數(shù).2.有一個立方體，三邊分別為x，y，z，其中x，y，z是正整數(shù)，已知一個頂點相鄰的三個面的面積之和比它的體積大1，求該立方體的體積.3如圖，過點P作兩條直線分別與圓交于A，B和C，D兩點，分別求證：PA.PB=PC.PD..4.對一個正整數(shù)n，我們進行如下操作：若它是奇數(shù)，則乘以3再加1；若是偶數(shù)，則除以2.（1）對于n=17、37，進行若干次上述操作后，是否有一數(shù)是4的倍數(shù).（2）求證對任意正整數(shù)n，進行有限次上述操作后，必有一數(shù)是4的倍數(shù).答案與解析 【答案】見解析【解析】【分析】本題主要考查了反證法，假設(shè)是有理數(shù)，設(shè)則兩邊同時平方推出n2=3m2，則n一定是3的倍數(shù)，設(shè)n=3k，則(3k)2=3m2，可得m2=3k2，同理可得m一定是3的倍數(shù)，則m、n一定有公因數(shù)3，故m、n不互質(zhì)，這與假設(shè)矛盾，據(jù)此可證明題設(shè).第2頁/共6頁【詳解】證明：假設(shè)是有理數(shù)，∴m、n一定有公因數(shù)3，∴m、n不互質(zhì)，這與假設(shè)矛盾，∴是無理數(shù).2.有一個立方體，三邊分別為x，y，z，其中x，y，z是正整數(shù)，已知一個頂點相鄰的三個面的面積之和比它的體積大1，求該立方體的體積.【答案】30【解析】【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，因式分解的應(yīng)用，先根據(jù)長方體的性質(zhì)得到xy+xz+yz=xyz+1，據(jù)此討論x的值求出y、z的值即可得到答案.【詳解】解：∵長方體一個頂點相鄰的三個面的面積之和比它的體積大1，∴xy+xz+yz=xyz+1，第3頁/共6頁∵x，y，z是正整數(shù)，∵x，y，z是正整數(shù)，∴不妨設(shè)0<x≤y≤z，又∵x是正整數(shù)，當x=1時，則y+z+yz=yz+1，∴y+z=1，此時不能滿足y、z都是正整數(shù)，不符合題意；當x=2時，則2y+2z+yz=2yz+1，∵y、z都是正整數(shù)，第4頁/共6頁解得或3.如圖，過點P作兩條直線分別與圓交于A，B和C，D兩點，分別求證：PA.PB=PC.PD.【答案】證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，同弧所對的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等等，PA.PB=PC.PD；對于右邊圖，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補和平角的定義得到上BCP=上A，則可證明△PBC∽△PDA，得到進而可得PA.PB=PC.PD.【詳解】解：如題左邊圖所示，∴△ACP∽△DBP，,∴PA.PB=PC.PD；如題右邊圖所示，連接AD，BC，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，第5頁/共6頁,∴PA.PB=PC.PD.4.對一個正整數(shù)n，我們進行如下操作：若它是奇數(shù)，則乘以3再加1；若是偶數(shù)，則除以2.（1）對于n=17、37，進行若干次上述操作后，是否有一數(shù)是4的倍數(shù).（2）求證對任意正整數(shù)n，進行有限次上述操作后，必有一數(shù)是4的倍數(shù).【答案】（1）n=17和n=37，進行一次上述操作后，都有一數(shù)是4的倍數(shù)；（2）證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了反證法和有理數(shù)的四則運算：（1）根據(jù)定義進行判斷即可；（2）奇數(shù)經(jīng)過一次操作后一定會變?yōu)榕紨?shù)，因此只需要證明偶數(shù)經(jīng)過操作后有一數(shù)是4的倍數(shù)即可；若偶數(shù)為4的倍數(shù)，則問題得證，若偶數(shù)不是4的倍數(shù)時，則該偶數(shù)可以表示為4m+2（m為整數(shù)當m=2k（k為整數(shù)則4m+2=8k+2，4m+2經(jīng)過操作后可變?yōu)?(3k+1)，問題得證；當m=2k+1（k為整數(shù)則4m+2經(jīng)過操作后可得18k+16，對于18k+16，要使18k+16不是4的倍數(shù)，那么k一定要是奇數(shù)，則可推出m=2k+1=4p+3…要一直成立，即對于任意的k的結(jié)果都是整數(shù)，顯然這是不可能的，據(jù)此問題得證.【小問1詳解】∴n=17進行一次上述操作后，有一數(shù)是4的倍數(shù)；∴n=37進行一次上述操作后，有一數(shù)是4的倍數(shù)；【小問2詳解】解：∵奇數(shù)乘以3再加1后一定會變?yōu)榕紨?shù)，而偶數(shù)除以一定數(shù)量的2之后一定會變?yōu)槠鏀?shù)，∴經(jīng)過有限步后奇數(shù)一定會變?yōu)榕紨?shù)，第6頁/共6頁若偶數(shù)為4的倍數(shù)，則問題得證，若偶數(shù)不是4的倍數(shù)時，則該偶數(shù)可以表示為4m+2（m為整數(shù)當m=2k（k為整數(shù)則4m+2=8k+2，∴3(4k+1)+1一定是4的倍數(shù)，故當m為偶數(shù)時，滿足題意；當m=2k+1（k為整數(shù)則4m+2=8k+6，對于18k+16，要使18k+16不是4的倍數(shù)，那么k一定要是奇數(shù)，設(shè)k=2p+1（p為整數(shù)則18k+16=36p+34，同理要使27p+26不是4的倍數(shù)，則p