19.3正方形一、正方形的定義正方形：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。①、正方形既是鄰邊相等的特殊矩形，又是有一個(gè)角是直角的特殊菱形。②、正方形既具有矩形的性質(zhì)有具有菱形的性質(zhì)。平行四邊形矩形菱形正方形正方形：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。１、四條邊都相等，對(duì)邊平行。２、四個(gè)角都是直角。３、對(duì)角線互相垂直平分且相等，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。４、有４條對(duì)稱軸，是中心對(duì)稱圖形。ABCDO正方形的性質(zhì)隨堂練習(xí)1、邊長(zhǎng)為３cm的正方形，對(duì)角線的長(zhǎng)是多少？2、說出下圖中的等腰直角三角形？ABCDO３、上圖中，知道一條線段的長(zhǎng)，能否求出圖中所有的線段的長(zhǎng)？正方形的判定判定一：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.∵菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝９０°∴四邊形ＡＢＣＤ是正方形。ABCD0正方形的判定判定二:有一組鄰邊相等的矩形是正方形.ABCD0∵矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，∴四邊形ＡＢＣＤ是正方形。平行四邊形有一個(gè)角是直角矩形鄰邊相等菱形鄰邊相等正方形有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角且鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的內(nèi)在聯(lián)系例１、如圖，點(diǎn)Ｅ是正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上的一點(diǎn)，點(diǎn)Ｆ是ＣＢ的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且ＥＡ⊥ＡＦ，求證：ＤＥ＝ＢＦ。證明：在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ＝９０°；∵ＥＡ⊥ＡＦ，∴∠ＥＡＦ＝９０°，∴∠ＦＡＢ＝∠ＥＡＤ；∴△ＡＢＦ≌△ＡＥＤ（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ例２、在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在各邊上，且AE=BF=CG=DH．四邊形EFGH是正方形嗎?為什么?１２３證明：∵ＡＥ＝ＤＨ，∴ＢＥ＝ＡＨ；又∵ＡＥ＝ＢＦ，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，∴△ＡＥＨ≌△ＢＦＥ（ＳＡＳ）∴ＥＨ＝ＥＦ，∠１＝∠２；∴∠２+∠３＝９０°，即∠ＨＥＦ＝９０°；同理：ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ，∴四邊形ＥＦＧＨ是正方形。例３：AC為正方形ABCD的對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn)，且AB=AE，EF⊥AC交BC于F，求證：EC=EF=FBABCDEF┌證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠B=900∠ACB=450∵∠AEF=∠B=900AB=AEAF=AF∴△ABF≌△AFE（HL）∴BF=EF

又∵∠FEC=900∴∠EFC=450∴EC=EF（等角對(duì)等邊）∴BF=EF=EC

例４.如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D。DE⊥AC，DF⊥AB。試說明四邊形CEDF為正方形ABCDEFG解：過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G∵AD是∠CAB的平分線

DE⊥AC，DG⊥AB∴DE=DG

同理：DG=DF∴ED=DF∵DE⊥AC，DF⊥AB，∠C=90°∴四邊形ADFC是矩形∴四邊形ADFC是正方形四個(gè)角都相等的四邊形是正方形；()四條邊都相等的四邊形是正方形；()對(duì)角線相等的菱形是正方形；()對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；()對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形;()四邊相等，有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形.()鞏固練習(xí)：１、判斷下列命題是否正確，不是正方形的補(bǔ)充什么條件能讓它成為正方形？×××√√√鞏固練習(xí)２、選擇題：①、下列判斷中正確的是（）A、四邊相等的四邊形是正方形B、四角相等的四邊形是正方形C、對(duì)角線垂直的平行四邊形是正方形D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形②、在四邊形ABCD中O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（）A、AC=BD，AB∥CD，AB=CDB、AD∥BC，∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD、AO=CO，BO=DO，AB=BC３、如圖，四邊形ABCD和AEFG都是正方形，求證：BE=DGABCDEFG鞏固練習(xí)：４、正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG交OA于F求證：OE=OF５、如圖，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，BG交DE于H求證：BH⊥DEABCDGHEFABCDOGFE

6、（2015·江蘇連云港，26題12分）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．(1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請(qǐng)你幫他說明理由．(2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng)．(3）如圖3，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE將相交，交點(diǎn)為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡(jiǎn)要說明理由．７、（2015?齊齊哈爾,第26題8分）如圖1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)N，連接FM，易證：DM=FM，DM⊥FM（無需寫證明過程）（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N，其余條件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫出猜想，并給予證明；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上，DM的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，其余條件不變，探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出猜想．８、(2014年湖北咸寧24．（12分）)如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，4）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接BP，過P點(diǎn)作BP的垂線，與過點(diǎn)Q平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D．BD與y軸交于點(diǎn)E，連接PE．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）∠PBD的度數(shù)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（用t表示）；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBE為等腰三角形？（3）探索△