高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古呼和浩特市2026屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合A＝{是12的正因數(shù)}，，則（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，，由于，，，.故選：C.2.已知，則（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】由，則.故選：B.3.設(shè)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，而的周期為2，所以.故選：A.4.在中，，，，則的面積為（）．A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】在中，因，則是銳角，，所以的面積為.故選：C.5.拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線準(zhǔn)線方程為（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于雙曲線：因?yàn)?，，所以，所?所以雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.對(duì)于拋物線，因?yàn)榻裹c(diǎn)為，即.所以其準(zhǔn)線方程為：.故選：B.6.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，任取，則，因，故不是偶函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，任取，則，，因，故不是偶函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，任取，則，，，因，故不是偶函數(shù).對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因，故是偶函數(shù).故答案：.7.已知為等比數(shù)列，且，，則公比等于（）．A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由于為等比數(shù)列，所以，所以.故選：C.8.命題p：關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)根；命題q：已知函數(shù)的圖象是雙曲線，則其離心率為；對(duì)p、q命題說法正確的是（）．A.p真q假 B.p假q真C.p假q假 D.p真q真【答案】D【解析】命題p：由，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)根，命題正確；命題q：雙曲線的漸近線為直線，如圖，令雙曲線的頂點(diǎn)，直線為直線所夾銳角的平分線，則直線的傾斜角為，則直線的斜率為，則直線：，由，得，令雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，則，過分別作直線的垂線交直線分別于，半焦距，所以離心率為，故命題正確.故選：D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）．A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】，則，對(duì)于A，的最小正周期，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，令，解得，當(dāng)時(shí)，，而在的范圍內(nèi)，故D正確.故選：ACD.10.在棱長(zhǎng)均為2的正方體中，下列說法正確的是（）．A.三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形B.平面C.三棱錐的體積為D.過正方體棱BC、CD、中點(diǎn)的截面與此正方體任一棱所在直線所成角均相等【答案】ABD【解析】如圖：對(duì)A：因?yàn)闉檎襟w，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，；因?yàn)槠矫?，所以?所以三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，故A正確；對(duì)B：因?yàn)闉檎襟w，所以平面，又平面，所以，又，平面，，所以平面.故B正確；對(duì)C：因?yàn)閂B1-對(duì)D：以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)G2,1,2，A=2,0,0，C=0,2,0，D1=0,0,2所以，EG=1,-1,2，，，.設(shè)平面的法向量為，則n⊥EFn⊥EGn?取，又，，.所以cosncosncosn所以過棱、、中點(diǎn)的正方體截面與此正方體任一棱所在直線所成角均相等.故D正確.故選：ABD.11.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（）．A.B.關(guān)于x的方程有3個(gè)根C.關(guān)于x的不等式的解集為D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】AD【解析】對(duì)于A，由題fx則f'因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以f'2=12-4a+2+2a=0此時(shí)fx=x令，得或；令，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，滿足題意，即，故A正確；對(duì)于B，方程根的個(gè)數(shù)方程根的個(gè)數(shù)函數(shù)hx=x3-4因?yàn)閔'令，得，令，得或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在-∞,4-且h0=h1則h4+73而函數(shù)ux=-1x在且u4+73畫出函數(shù)hx=x由圖可知，函數(shù)hx=x3-4x2對(duì)于C，由得x3-4x2+4x=xx-2即不等式的解集為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由fx則fx+設(shè)gx=x3-所以函數(shù)y=fx+43-故選：AD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知平面向量，，若，則______．【答案】【解析】由向量，，得，由，得，解得，所以.故答案為：.13.若，則______．【答案】100【解析】設(shè)，則.所以.所以，.所以.故答案為：100.14.在中，，，則面積的最大值為______．【答案】【解析】由余弦定理可得：，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.所以.所以.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求；（2）設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，求．【答案】解：（1）數(shù)列中，，，則當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，于是，即，整理得，而，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，當(dāng)，2時(shí)，；當(dāng)，4，5時(shí)，；當(dāng)，7時(shí)，；當(dāng)，9，10時(shí)，；當(dāng)，12時(shí)，，所以.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過O且與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．（1）若，求證：；（2）求周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）證明：依題意，，，則橢圓方程為，由點(diǎn)P在橢圓上，得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，即，其中，則，由，得，所以．（2）解：依題意，四邊形是平行四邊形，則的周長(zhǎng)，又設(shè)，則，由（1）得，當(dāng)，即點(diǎn)P落到橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值1，所以的周長(zhǎng)最小值為6.17.如圖，邊長(zhǎng)為2的平面正方形中，將沿BD折至，使平面與平面所成的二面角為直二面角.（1）在空間中找一點(diǎn)O，使得O與，B，C，D距離相等，并證明；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】解：（1）取BD的中點(diǎn)為O點(diǎn)，在中，O點(diǎn)與B，C，D距離相等，在中，O點(diǎn)與，B，D距離相等，故BD的中點(diǎn)與，B，C，D的距離相等．（2）∵平面與平面所成的二面角為直二面角，則平面平面．又平面平面，在平面中，；在平面中，，故BD，CO，兩兩互相垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．又A'0,0,2，，可得A'C=設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則n?A'易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角為，由題得cosθ=cos18.工廠要對(duì)2024年12月份生產(chǎn)的N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件做質(zhì)量分析，已知其中A等品占，B等品占．（1）當(dāng)時(shí)，①求出3件產(chǎn)品中恰有2件A等品的概率；②求出3件產(chǎn)品中A等品個(gè)數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)總量N足夠大，抽出的個(gè)體數(shù)量足夠小時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布．現(xiàn)在在2024年全年生產(chǎn)的產(chǎn)品范圍內(nèi)考慮從件產(chǎn)品（A，B等品比例不變）中隨機(jī)抽取3件，在超幾何分布中A等品恰有2件的概率記作；在二項(xiàng)分布中A等品恰有2件的概率記作．那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過的前提下，認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】解：（1）①當(dāng)時(shí)，其中A等品有件，B等品有件，則從10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，恰有2件A等品的概率為；②當(dāng)時(shí)，A等品有4個(gè)，B等品有6個(gè)．X服從超幾何分布，，1，2，3，，，，，∴X的分布列為X0123P．（2），，由于，則，即，即，由題意易知，從而，化簡(jiǎn)得，又，于是．由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，從而，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，又，．因此當(dāng)時(shí)，符合題意，而又考慮到和都是整數(shù)，則N一定是5的整數(shù)倍，于是．即N至少為145，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布．19.已知，．（1）求證：在處的切線l也是的切線；（2）關(guān)于x的不等式恒成立，求k取值范圍；（3）直線分別交、圖象于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：是銳角三角形．【答案】（1）證明：因，，∴在處的切線，即，又，，因與都過點(diǎn)，故在點(diǎn)處的切線l也是的切線．（2）解：在上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞增，且，首先證明：對(duì)任意，.構(gòu)造函數(shù)，，則當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；故，，即，由可得；故對(duì)任意，，得證.故.當(dāng)時(shí)，，，要使fx-kxg則fx由，可得k≥fxx令hx=f令，則，若，則，故在上單調(diào)遞減，故，即，所以在上單調(diào)遞增，又limx→0hx=lim要使恒成立，所以①；令nx則n'構(gòu)造函數(shù)，，則，故在單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，又limx→0nx要使恒成立，即，所以②；由①②可知；當(dāng)時(shí)，，，由，且，可知，即fx-x綜上可知.（3）證明：由，可得，令，，∴在R上單調(diào)遞增，又，h1=e∴，使得，即，故Ax1,-x又由lnx+1=-x+2，則令tx=ln∴在上單調(diào)遞增．又t1=ln∴使，即lnx2+1由OA因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以與的圖象關(guān)于對(duì)稱，又圖象關(guān)于對(duì)稱，所以A、B關(guān)于對(duì)稱，由可解得對(duì)稱中心為，所以，且在中，所以，則，所以，故是銳角三角形．內(nèi)蒙古呼和浩特市2026屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合A＝{是12的正因數(shù)}，，則（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，，由于，，，.故選：C.2.已知，則（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】由，則.故選：B.3.設(shè)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，而的周期為2，所以.故選：A.4.在中，，，，則的面積為（）．A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】在中，因，則是銳角，，所以的面積為.故選：C.5.拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則拋物線準(zhǔn)線方程為（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于雙曲線：因?yàn)椋?，所以，所?所以雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.對(duì)于拋物線，因?yàn)榻裹c(diǎn)為，即.所以其準(zhǔn)線方程為：.故選：B.6.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，任取，則，因，故不是偶函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，任取，則，，因，故不是偶函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，任取，則，，，因，故不是偶函數(shù).對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因，故是偶函數(shù).故答案：.7.已知為等比數(shù)列，且，，則公比等于（）．A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由于為等比數(shù)列，所以，所以.故選：C.8.命題p：關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)根；命題q：已知函數(shù)的圖象是雙曲線，則其離心率為；對(duì)p、q命題說法正確的是（）．A.p真q假 B.p假q真C.p假q假 D.p真q真【答案】D【解析】命題p：由，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)根，命題正確；命題q：雙曲線的漸近線為直線，如圖，令雙曲線的頂點(diǎn)，直線為直線所夾銳角的平分線，則直線的傾斜角為，則直線的斜率為，則直線：，由，得，令雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，虛半軸長(zhǎng)為，則，過分別作直線的垂線交直線分別于，半焦距，所以離心率為，故命題正確.故選：D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）．A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】，則，對(duì)于A，的最小正周期，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，令，解得，當(dāng)時(shí)，，而在的范圍內(nèi)，故D正確.故選：ACD.10.在棱長(zhǎng)均為2的正方體中，下列說法正確的是（）．A.三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形B.平面C.三棱錐的體積為D.過正方體棱BC、CD、中點(diǎn)的截面與此正方體任一棱所在直線所成角均相等【答案】ABD【解析】如圖：對(duì)A：因?yàn)闉檎襟w，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，；因?yàn)槠矫妫裕?所以三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，故A正確；對(duì)B：因?yàn)闉檎襟w，所以平面，又平面，所以，又，平面，，所以平面.故B正確；對(duì)C：因?yàn)閂B1-對(duì)D：以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)G2,1,2，A=2,0,0，C=0,2,0，D1=0,0,2所以，EG=1,-1,2，，，.設(shè)平面的法向量為，則n⊥EFn⊥EGn?取，又，，.所以cosncosncosn所以過棱、、中點(diǎn)的正方體截面與此正方體任一棱所在直線所成角均相等.故D正確.故選：ABD.11.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（）．A.B.關(guān)于x的方程有3個(gè)根C.關(guān)于x的不等式的解集為D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】AD【解析】對(duì)于A，由題fx則f'因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以f'2=12-4a+2+2a=0此時(shí)fx=x令，得或；令，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，滿足題意，即，故A正確；對(duì)于B，方程根的個(gè)數(shù)方程根的個(gè)數(shù)函數(shù)hx=x3-4因?yàn)閔'令，得，令，得或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在-∞,4-且h0=h1則h4+73而函數(shù)ux=-1x在且u4+73畫出函數(shù)hx=x由圖可知，函數(shù)hx=x3-4x2對(duì)于C，由得x3-4x2+4x=xx-2即不等式的解集為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由fx則fx+設(shè)gx=x3-所以函數(shù)y=fx+43-故選：AD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知平面向量，，若，則______．【答案】【解析】由向量，，得，由，得，解得，所以.故答案為：.13.若，則______．【答案】100【解析】設(shè)，則.所以.所以，.所以.故答案為：100.14.在中，，，則面積的最大值為______．【答案】【解析】由余弦定理可得：，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.所以.所以.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求；（2）設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，求．【答案】解：（1）數(shù)列中，，，則當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，于是，即，整理得，而，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，當(dāng)，2時(shí)，；當(dāng)，4，5時(shí)，；當(dāng)，7時(shí)，；當(dāng)，9，10時(shí)，；當(dāng)，12時(shí)，，所以.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過O且與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．（1）若，求證：；（2）求周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）證明：依題意，，，則橢圓方程為，由點(diǎn)P在橢圓上，得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，即，其中，則，由，得，所以．（2）解：依題意，四邊形是平行四邊形，則的周長(zhǎng)，又設(shè)，則，由（1）得，當(dāng)，即點(diǎn)P落到橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值1，所以的周長(zhǎng)最小值為6.17.如圖，邊長(zhǎng)為2的平面正方形中，將沿BD折至，使平面與平面所成的二面角為直二面角.（1）在空間中找一點(diǎn)O，使得O與，B，C，D距離相等，并證明；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】解：（1）取BD的中點(diǎn)為O點(diǎn)，在中，O點(diǎn)與B，C，D距離相等，在中，O點(diǎn)與，B，D距離相等，故BD的中點(diǎn)與，B，C，D的距離相等．（2）∵平面與平面所成的二面角為直二面角，則平面平面．又平面平面，在平面中，；在平面中，，故BD，CO，兩兩互相垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．又A'0,0,2，，可得A'C=設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則n?A'易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角為，由題得cosθ=cos18.工廠要對(duì)2024年12月份生產(chǎn)的N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件做質(zhì)量分析，已知其中A等品占，B等品占．（1）當(dāng)時(shí)，①求出3件產(chǎn)品中恰有2件A等品的概率；②求出3件產(chǎn)品中A等品個(gè)數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)總量N足夠大，抽出的個(gè)體數(shù)量足夠小時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布．現(xiàn)在在2024年全年生產(chǎn)的產(chǎn)品范圍內(nèi)考慮從件產(chǎn)品（A，B等品比例不變）中隨機(jī)抽取3件，在超幾何分布中A等品恰有2件的概率記作；在二項(xiàng)分布中A等品恰有2件的概率記作．那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過的前提下，認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】解：