2024級校際聯(lián)考（五）數(shù)學學科試題

時間：120分鐘滿分：150分

一?單選題.（本題共8小，每小題5分，共40分.在每小題四個選項中，只有一項是符合題目

要求的）

1.已知a(3,2,5),b(1,5,1)，則(ab)(ab)（）

A.11B.13C.45D.3

2.若直線x2ay10與直線a1xay10平行，則a（）

331

A.0B.或0C.D.或1

222

3.若平面的法向量為u1,2,4，平面的法向量為vm,1,2，直線l的方向向量為

tn,2,4，則（）

A.若//，則m1B.若l，則n2

C.若n20，則l//D.若m10，則

x2y2

4.已知雙曲線1a0,b0的一條漸近線與直線x3y20垂直，則該雙曲線的離心率為

a2b2

（）

A.10B.3C.5D.2

5.如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，那么直線B1D1與平面ACD1所成的角的余弦值是

（）

631

A.B.C.D.3

332

x2y2

6.已知橢圓C：1b0的左右焦點分別為F1,F2，點O為坐標原點，點P為橢圓C上一點，點Q

16b2

第1頁/共5頁

（北京）股份有限公司

為PF2中點，若△QOF2的周長為6，則橢圓C的離心率為（）

1133

A.B.C.D.

4248

2

7.已知O0,0，A3,0，圓C:x2y2r2r0上有且僅有一個點P滿足PA2PO，則r

的取值可以為（）

A.1或3B.2C.3D.1或5

8.如圖，已知在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三

角形，AB平面PAD，點E是線段PD上的動點（不含端點），若線段AB上存在點F（不含端點），使

得異面直線PA與EF成30o的角，則線段PE長度的取值范圍是（）

2626

A.0,B.0,C.,2D.,2

2323

二?多選題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.給出下列命題，其中正確的是（）

rr252

A.向量a(5,3,1),b2,t,，若夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為,

515

B.在空間直角坐標系中，點P(1,3,5)關(guān)于坐標平面Oyz的對稱點是P(1,3,5)

C.已知向量{a,b,c}是空間的一個基底，若mac，則{a,b,m}也是空間的一個基底

11

D.已知A(1,1,2),B(2,2,4),C(3,2,0)，則向量AC在向量AB上的投影向量是(3,1,2)

14

10.下列說法正確的是（）

A.“直線a2xy10與直線xay20互相垂直”是“a1”的充分不必要條件

π3π

B.直線xsiny20的傾斜角的取值范圍是0,,π

44

222

C.若圓M:(x4)(y4)rr0上恰有兩點到點N1,0的距離為1，則r的取值范圍是4,6

第2頁/共5頁

（北京）股份有限公司

D.過點P1,2且在x軸，y軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是xy10

22

xy1

11.已知橢圓C：1ab0的左、右焦點分別為F1,F2，短軸長為23，離心率為，P是橢

a2b22

圓C上異于長軸端點A,B的一動點，點Q與點P關(guān)于原點對稱，則（）

A.PF1F2的面積最大值為2

11

B.的最小值為1

PF1QF1

22

C.若以PR為直徑的圓經(jīng)過A,B兩點，則R點的軌跡方程為4x3y16x2

π

D.橢圓C上存在點P，使得FPF

123

三?填空題（本題共3小題.每小題5分，共15分，）

x2y23

12.設(shè)橢圓C：1(a0，b0)的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，P是C上一點，

a2b22

且F1PF2P，若PF1F2的面積為4，則a_______．

13.如圖所示，在棱長均為2的平行六面體ABCDABCD中，AABAADBAD60，點

M為BC與BC的交點，則AM的長為___________.

14.已知點P為直線l:xy20上的動點，過點P作圓C:x2+2x+y2=0的切線PA,PB，切點為

A,B，則PAPB的最小值為__________；當PCAB最小時，則直線AB的方程為__________.

四?解答題（本題共5小題共77分.其中15題13分，16?17題每題15分，18?19題每題17分，

解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）

15.已知圓過點A1,1，B1,1且圓心E在直線xy20上.

（1）求圓E的方程；

（2）若直線l經(jīng)過點Q3,5，且與圓E相交截得的弦長為22，求直線l的方程.

第3頁/共5頁

（北京）股份有限公司

16.如圖，四棱錐PABCD的側(cè)棱PD底面ABCD，已知底面ABCD是正方形，若ADDP，且E

是PC的中點.

（1）證明：PA//平面BDE；

（2）求直線PB與平面BDE所成角的正弦值.

y2x2

17.已知橢圓C:1(ab0)的上、下焦點分別為F2，F(xiàn)1，M為橢圓C上的一個動點，當

a2b2

7

FMF取最大值時，其余弦值為，且點M到上焦點F的距離的最大值為9.又知雙曲線E與橢圓C

12252

14

有公共焦點，它們的離心率之和為.

5

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求雙曲線E的標準方程；

的

（3）設(shè)P是雙曲線E與橢圓一個交點，求F1PF2的面積.

18.如圖，在三棱錐PABC中，ABC90,ABBC2,D,E分別為BC,AC的中點，△PBC為

正三角形，平面PBC平面ABC.

（1）連接PD，求證：PD平面ABC；

（2）求點B到平面PAC的距離；

7

（3）在線段PC