人教版（2024）七年級上冊5.3實際問題與一元一次方程第4課時

方案選擇問題第五章·一元一次方程方案選擇問題知識目標(biāo)1.理解分類討論思想的核心邏輯，掌握其在“選擇方案問題”中的應(yīng)用方法。2.一元一次方程的建立與求解技能，能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型并通過方程求解最優(yōu)解。能力目標(biāo)1.認(rèn)識數(shù)學(xué)建模的基本流程（抽象→符號化→求解→驗證），體會方程作為工具在量化分析中的作用。2.能從復(fù)雜情境中提取關(guān)鍵變量，系統(tǒng)比較不同方案的優(yōu)劣。素質(zhì)目標(biāo)1.感知數(shù)學(xué)知識與實際生活的普遍聯(lián)系。2.經(jīng)歷方案決策問題的解決全過程，體會建立數(shù)學(xué)模型的合理性.感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生熱愛生活，勇于探索的精神。教學(xué)難點教學(xué)重點尋找數(shù)量關(guān)系列方程，確定最優(yōu)方案掌握分段計費問題知識講解03對應(yīng)練習(xí)05情景創(chuàng)設(shè)01課堂小結(jié)07例題講解04鏈接中考06新知探索02情景導(dǎo)入合作探究抽象概念示范講解課堂練習(xí)課堂小結(jié)情景激趣用一元一次方程解決實際問題的基本過程實際問題實際問題的答案一元一次方程一元一次方程的解(x=m)設(shè)未知數(shù)，列方程解方程檢驗情景導(dǎo)入合作探究抽象概念示范講解課堂練習(xí)課堂小結(jié)情景激趣同學(xué)們，你知道你家人用的手機套餐是哪個廠家的嗎？具體套餐是怎么收費的呢？收費方式月使用費/元包時上網(wǎng)時間/h超時費/（元/min）A30250.05B50500.05C120

不限時情景導(dǎo)入合作探究抽象概念示范講解課堂練習(xí)課堂小結(jié)列舉實例不同能效空調(diào)的綜合費用比較購買空調(diào)時，需要綜合考慮空調(diào)的價格和耗電情況.某人打算從當(dāng)年生產(chǎn)的兩款空調(diào)中選購一臺，下表是這兩款空調(diào)的部分基本信息.如果電價是0.5元/(kW·h)，請你分析他購買、使用哪款空調(diào)綜合費用較低.中國能耗標(biāo)識匹數(shù)能效等級售價/元平均每年耗電量/(kW·h)1.51級30006401.53級2600800綜合費用=空調(diào)的售價+電費情景導(dǎo)入合作探究抽象概念示范講解課堂練習(xí)課堂小結(jié)列舉實例不同能效空調(diào)的綜合費用比較如果電價是0.5元/(kW·h)，請你分析他購買、使用哪款空調(diào)綜合費用較低.中國能耗標(biāo)識匹數(shù)能效等級售價/元平均每年耗電量/(kW·h)1.51級30006401.53級2600800綜合費用=空調(diào)的售價+電費設(shè)空調(diào)的使用年數(shù)是t，則1級能效空調(diào)的綜合費用是:

3000+0.5×640x即3000+320t3級能效空調(diào)的綜合費用是:2600+0.5×800t即2600+400t分析問題，尋找對應(yīng)比較

1級：3000+320t

、

3級：2600+400t

怎么判斷使用哪款空調(diào)綜合費用較低呢？

分組討論情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)3000+320t2600+400t先來看t取什么值時，兩款空調(diào)的綜合費用相等.列方程3000+320t=2600+400t解得t=5這是個很重要的時間點！分析問題，尋找對應(yīng)比較

1級：3000+320t

、

3級：2600+400t

怎么判斷使用哪款空調(diào)綜合費用較低呢？

分組討論情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)3000+320t2600+400t（1）_______時，3000+320t>2600+400t,選擇3級能效空調(diào)省錢；（2）_______時，3000+320t<2600+400t,選擇1級能效空調(diào)省錢；（3）_______時，3000+320t=2600+400t,選擇1級、3級能效空調(diào)均可.t<5t>5t=5你能使用其他方法進(jìn)行比較嗎？分析問題，尋找對應(yīng)比較

1級：3000+320t

、

3級：2600+400t

分組討論情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)

為了比較兩款空調(diào)的綜合費用，我們把表示3級能效空調(diào)的綜合費用的式子2600+400t變形為1級能效空調(diào)的綜合費用與另外一個式子的和，3級能耗空調(diào)的綜合費用是2600+0.5×800t=2600+400t

而2600+400t=3000-400+320t+80t

=（3000+320t）+（80t－400）

=（3000+320t）+80（t－5）

當(dāng)t<5時，80(t-5)是負(fù)數(shù)，這表明3級能效空調(diào)的綜合費用較低；當(dāng)t>5時，80(t-5)是正數(shù)，這表明1級能效空調(diào)的綜合費用較低；當(dāng)t=5時，80(t-5)是0，費用相等.分析問題，尋找對應(yīng)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)根據(jù)相關(guān)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，空調(diào)的安全使用年限是10年（從生產(chǎn)日期計起），因此購買、使用1級能效空調(diào)更劃算.通常，1級能效空調(diào)既節(jié)能又省錢

由此可見，同樣是1.5匹的空調(diào)，1級能效空調(diào)雖然售價高，但由于比較省電，使用年份長(超過5年)時綜合費用反而低.分析問題，尋找對應(yīng)解決本題的過程中你覺得最難突破的步驟是哪些？本題中運用了哪些方法突破這些難點？分組討論情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)難點1是找分界點，確定相等關(guān)系列方程3000+320t=2600+400t解得

t=5分析問題，尋找對應(yīng)解決本題的過程中你覺得最難突破的步驟是哪些？本題中運用了哪些方法突破這些難點？分組討論情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)而2600+400t=3000-400+320t+80t

=（3000+320t）+（80t－400）

=（3000+320t）+80（t－5）難點2是擁有拆分思維！便于比較兩個均含有未知數(shù)的式子方案選擇問題情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)建立數(shù)學(xué)模型歸納處理方案選擇問題的步驟求解臨界點根據(jù)臨界值分段分析不等關(guān)系擁有拆分思維，分解成兩個均含有未知數(shù)的式子分析不等關(guān)系例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)在“清潔鄉(xiāng)村”活動中，村里需購買一些垃圾桶，商家給出了兩種購買垃圾桶的方案:方案一:買分類垃圾桶，需要費用4000元，以后每月的垃圾處理費用為300元；方案二:買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以后每月的垃圾處理費用為600元.設(shè)交費時間為x個月，方案一的購買費用和垃圾處理費用共為M元，方案二的購買費用和垃圾處理費用共為N元.請你分析該村采用哪種方案更省錢.例1例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)方案一:買分類垃圾桶，需要費用4000元，以后每月的垃圾處理費用為300元；方案二:買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以后每月的垃圾處理費用為600元.設(shè)交費時間為x個月，方案一的購買費用和垃圾處理費用共為M元，方案二的購買費用和垃圾處理費用共為N元.請你分析該村采用哪種方案更省錢.例1分析：總費用

＝

購買費用+垃圾處理費用.選定一種方案后，購買費用是確定的，垃圾處理費用與交費時間有關(guān).用交費時間x分別表示兩種方案的總費用，然后進(jìn)行比較.例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)方案一:買分類垃圾桶，需要費用4000元，以后每月的垃圾處理費用為300元；方案二:買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以后每月的垃圾處理費用為600元.設(shè)交費時間為x個月，方案一的購買費用和垃圾處理費用共為M元，方案二的購買費用和垃圾處理費用共為N元.請你分析該村采用哪種方案更省錢.例1解：依題意得M＝300x+4000，N＝600x+1000.先找臨界點看x取什么值時，兩種方案費用相同，列方程300x+4000=600x+1000，解得x＝10.故交費時間為10個月時，兩種方案費用相同.例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)方案一:買分類垃圾桶，需要費用4000元，以后每月的垃圾處理費用為300元；方案二:買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以后每月的垃圾處理費用為600元.設(shè)交費時間為x個月，方案一的購買費用和垃圾處理費用共為M元，方案二的購買費用和垃圾處理費用共為N元.請你分析該村采用哪種方案更省錢.例1為了比較兩種方案的費用，把方案二的費用的式子600x+1000變形為方案一的費用與另外一個式子的和，600x+1000=300x+300x+4000-3000=(300x+4000)+(300x-3000)=(300x+4000)+300(x-10).例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)方案一:買分類垃圾桶，需要費用4000元，以后每月的垃圾處理費用為300元；方案二:買不分類垃圾桶，需要費用1000元，以后每月的垃圾處理費用為600元.設(shè)交費時間為x個月，方案一的購買費用和垃圾處理費用共為M元，方案二的購買費用和垃圾處理費用共為N元.請你分析該村采用哪種方案更省錢.例1當(dāng)x<10時，300(x-10)是負(fù)數(shù)，這表明方案二的費用較低，當(dāng)x>10時，300(x-10)是正數(shù)，這表明方案一的費用較低.所以，當(dāng)交費時間少于10個月時，采用方案二更省錢，當(dāng)交費時間等于10個月時，兩種方案費用相同，當(dāng)交費時間多于10個月時，采用方案一更省錢.例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)小明和小強為了買同一種火車模型，決定從春節(jié)開始攢錢，小明原有200元，以后每月存50元；小強原有150元，以后每月存60元．設(shè)兩人攢錢的月數(shù)為x（個）（x為整數(shù)）．（1）根據(jù)題意，填寫下表：例2攢錢的月數(shù)/個36…x小明攢錢的總數(shù)/元350…小強攢錢的總數(shù)/元510…330500200+50x150+60x例題講解情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)小明和小強為了買同一種火車模型，決定從春節(jié)開始攢錢，小明原有200元，以后每月存50元；小強原有150元，以后每月存60元．設(shè)兩人攢錢的月數(shù)為x（個）（x為整數(shù)）．（2）在幾個月后小明與小強攢錢的總數(shù)相同？此時他們各有多少錢？例2解(2)根據(jù)題意，得200+50x=150+60x，解得x=5．所以150+60x=450．答：在5個月后小明與小強攢錢的總數(shù)相同，此時每人有450元錢．對照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)1.在甲復(fù)印店用A4紙復(fù)印文件，復(fù)印頁數(shù)不超過20時，每頁收費0.12元；復(fù)印頁數(shù)超過20時，超過部分每頁收費降為0.09元.在乙復(fù)印店用A4紙復(fù)印文件，不論復(fù)印多少頁，每頁都收費0.1元.復(fù)印頁數(shù)為多少時，兩店的收費相同?解:設(shè)復(fù)印x張時，兩處的收費相同，依題意，得:0.1x=20×0.12+(x-20)×0.09,解得:x=60.答:復(fù)印60張時，兩處的收費相同.對照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)2.現(xiàn)有兩種地鐵機場線計次月票：第一種售價200元，每月包含10次；第二種售價300元，每月包含20次.兩種月票超出每月包含次數(shù)后，都需要另外購票，票價為25元/次.某人每月乘坐地鐵機場線超過10次，他購買哪種月票比較節(jié)省費用?解:設(shè)某人每月乘坐地鐵機場線x次，其中x>10,第一種購票的錢數(shù):200+25(x-10)=(25x-50)元;第二種購票的錢數(shù):當(dāng)10<x≤20時，需要300元;當(dāng)x>20時，需要300+25(x-20)=(25x-200)元;25x-50=300，解得x=14,答：當(dāng)某人每月乘坐地鐵機場線超過10次低于14次時，第一種購票比較節(jié)省費用;當(dāng)某人每月乘坐地鐵機場線等于14次時，兩種購票費用相同;當(dāng)某人每月乘坐地鐵機場線超過14次時，第二種購票比較節(jié)省費用.對照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)3.某市生活撥號上網(wǎng)有兩種收費方式，用戶可以任選其一.A計時制：0.05元/分鐘；B包月制：60元/月(限一部個人住宅電話上網(wǎng)).此外，兩種上網(wǎng)方式都得加收通信費0.02元/分鐘．(1)某用戶某月上網(wǎng)時間為x小時，請分別寫出兩種收費方式下該用戶應(yīng)該支付的費用；(2)你認(rèn)為采用哪種方式比較合算？解：(1)采用計時制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x，采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x；對照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)3.某市生活撥號上網(wǎng)有兩種收費方式，用戶可以任選其一.A計時制：0.05元/分鐘；B包月制：60元/月(限一部個人住宅電話上網(wǎng)).此外，兩種上網(wǎng)方式都得加收通信費0.02元/分鐘．(1)某用戶某月上網(wǎng)時間為x小時，請分別寫出兩種收費方式下該用戶應(yīng)該支付的費用；(2)你認(rèn)為采用哪種方式比較合算？解：(2)由4.2x＝60＋1.2x，得x＝20.又由題意可知，上網(wǎng)時間越長，采用包月制越合算．所以，當(dāng)0<x<20時，采用計時制合算；當(dāng)x＝20時，采用兩種方式費用相同；當(dāng)x>20時，采用包月制合算．對照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)4.甲、乙兩家電器商場以同樣的價格出售同樣的電器，但各自推出的優(yōu)惠方案不同，甲商場規(guī)定：凡超過4000元的電器，超出的金額按80%收取；乙商場規(guī)定：凡超過3000元的電器，超出的金額按90%收取，某顧客購買的電器價格是x（x＞4000）元．（1）分別用含有x的代數(shù)式表示在甲、乙兩家商場購買電器所付的費用；（2）當(dāng)x＝6000時，該顧客應(yīng)選擇哪一家商場購買更優(yōu)惠？說明理由．（3）當(dāng)x為何值時，在甲、乙兩家商場購買所付的費用相同？解：（1）在甲商場所付的費用：4000＋(x－4000)×80%＝0.8x＋800（元），在乙甲商場所付的費用：3000＋(x－3000)×90%＝0.9x＋300（元）；對照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)4.甲、乙兩家電器商場以同樣的價格出售同樣的電器，但各自推出的優(yōu)惠方案不同，甲商場規(guī)定：凡超過4000元的電器，超出的金額按80%收??；乙商場規(guī)定：凡超過3000元的電器，超出的金額按90%收取，某顧客購買的電器價格是x（x＞4000）元．（1）分別用含有x的代數(shù)式表示在甲、乙兩家商場購買電器所付的費用；（2）當(dāng)x＝6000時，該顧客應(yīng)選擇哪一家商場購買更優(yōu)惠？說明理由．（3）當(dāng)x為何值時，在甲、乙兩家商場購買所付的費用相同？解：（2）當(dāng)x＝6000時，甲商場花費：0.8x＋800＝0.8×6000＋800＝5600（元），在乙商場花費：0.9x＋300＝0.9×6000＋300＝5700（元），∵5700＞5600，∴在甲商場購買更優(yōu)惠；對照練習(xí)情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)4.甲、乙兩家電器商場以同樣的價格出售同樣的電器，但各自推出的優(yōu)惠方案不同，甲商場規(guī)定：凡超過4000元的電器，超出的金額按80%收?。灰疑虉鲆?guī)定：凡超過3000元的電器，超出的金額按90%收取，某顧客購買的電器價格是x（x＞4000）元．（1）分別用含有x的代數(shù)式表示在甲、乙兩家商場購買電器所付的費用；（2）當(dāng)x＝6000時，該顧客應(yīng)選擇哪一家商場購買更優(yōu)惠？說明理由．（3）當(dāng)x為何值時，在甲、乙兩家商場購買所付的費用相同？解：（3）根據(jù)題意可得：0.8x＋800＝0.9x＋300，解得：x＝5000，答：當(dāng)x為5000時，在甲、乙兩家商場購買所付的費用相同．鏈接中考情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)1.(2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測)某生物實驗室推出了兩種樣本冷凍存儲方案．若每月支付75元基礎(chǔ)管理費，則每個樣本存儲費為3元/月；若每月不支付基礎(chǔ)管理費，則每個樣本存儲費為6元/月．某科研團(tuán)隊6月份存儲了若干生物樣本，發(fā)現(xiàn)兩種方案的總費用相同，求該科研團(tuán)隊6月份存儲的樣本數(shù)量．解:設(shè)該科研團(tuán)隊6月份存儲的樣本數(shù)量為x個，依題意，得75+3x=6x,解得x=25,答:該科研團(tuán)隊6月份存儲的樣本數(shù)量為25個.鏈接中考情境導(dǎo)入合作探究抽象概括課堂練習(xí)示范講解課堂小結(jié)2.(2025·貴州遵義·一模)春節(jié)期間，電影《哪吒2》特別火爆，小強一家去某電影院觀看此部電影．到了影院后，看到有以下優(yōu)惠活動方案：優(yōu)惠方案一:會員費200