1/15.1任意角與弧度制（精講）考點一角度制與弧度制的互換【例1】把下列各角的弧度數(shù)化為度數(shù)，度數(shù)化為弧度數(shù).（1）；（2）；（3）1125°；（4）-225°.【答案】（1）105°（2）-390°（3）254π【解析】（1）根據(jù)弧度制與角度制的互化公式，，可得：；（2）（3）；（4）.【一隅三反】1．將210°化成弧度為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】。故答案為：D.2．將120°轉(zhuǎn)化為弧度為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故答案為：B.3．角度化成弧度為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，。故答案為：A.考點二終邊相同的角【例2】在與角終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．（1）最大的負角；（2）最小的正角；（3）在內(nèi)的角．【答案】見解析【解析】（1）解：與角終邊相同的角為，.由且，可得，故所求的最大負角為（2）解：由且，可得，故所求的最小正角為（3）解：由且，可得，故所求的角為【一隅三反】1．在0~360°的范圍內(nèi)，下列與-510°終邊相同的角是（）A．330° B．210° C．150° D．30°【答案】B【解析】因為-510°=-720°+210°，則在0°~360°的范圍內(nèi)，與-510°終邊相同的角是210°.故選：B

2.在，，，中，與終邊相同的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】與終邊相同的角為：；當時，.故答案為：D.3．下列各組角中，終邊相同的是（）A．43°和313° B．37°和787°C．65°和-655° D．124°和-576°【答案】C【解析】.故答案為：C．4.（多選）與角終邊相同的角是（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】與角終邊相同的角的集合是，當時，，當時，.故答案為：BD考點三角象限的判斷【例3-1】已知角，則角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因為，而是第三象限角，故角的終邊落在第三象限.故答案為：C.【例3-2】角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，則與終邊相同，故角的終邊所在的象限是

第三象限.故答案為：C

【一隅三反】1.410°角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，故為第一象限角。故答案為：A．2．已知角，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因為所以與是同一象限角，因為是第三象限角，故為第三象限角．故答案為：C．3．角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因為，所以角與角是終邊相同的角，又，所以角的終邊在第四象限.故選：D考點四概念的辨析【例4】下列命題：①鈍角是第二象限的角；②小于90o的角是銳角；③第一象限的角一定不是負角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表時針走過2小時，時針轉(zhuǎn)過的角度為60o；⑥若，則是第四象限角．其中正確的題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】對于①：鈍角是大于小于的角，顯然鈍角是第二象限角.故①正確；對于②：銳角是大于小于的角，小于的角也可能是負角.故②錯誤；對于③：顯然是第一象限角.故③錯誤；對于④：是第二象限角，是第一象限角，但是.故④錯誤；對于⑤：時針轉(zhuǎn)過的角是負角.故⑤錯誤；對于⑥：因為，所以，是第四象限角.故⑥正確.綜上所述，①⑥正確.故答案為：B.【一隅三反】1．下列說法中，正確的是（）A．銳角是第一象限的角 B．終邊相同的角必相等C．小于的角一定為銳角 D．第二象限的角必大于第一象限的角【答案】A【解析】對于A中，根據(jù)銳角的定義，可得銳角滿足是第一象限角，所以A正確；對于B中，例如：與的終邊相同，但，所以B不正確；對于C中，例如：滿足，但不是銳角，所以C不正確；對于D中，例如：為第一象限角，為第二象限角，此時，所以D不正確.故選：A.2．下列命題中正確的是（）．A．終邊與始邊重合的角是零角 B．90°～180°間的角不一定是鈍角C．終邊和始邊都相同的兩個角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角【答案】B【解析】終邊與始邊重合的角還有360°角，720°角等，故A錯誤；90°～180°間的角包括90°角，故90°～180°間的角不一定是鈍角，故B正確；終邊和始邊都相同的兩個角相差，故C錯誤；120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D錯誤．故選：B3．下列說法正確的是（）A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角終邊可以相同C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．終邊在軸正半軸上的角是零角【答案】B【解析】A選項，第一象限角，而是第二象限角，∴該選項錯誤；B選項，與終邊相等，但它們不相等，∴該選項正確；C選項，若是第二象限角，則，∴是第三象限角或第四象限角或終邊在軸負半軸上的軸線角，∴該選項錯誤；D選項，角的終邊在軸正半軸上，但不是零角，∴該選項錯誤.故選：.考點五扇形的弧長與面積【例5】已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長l；（2）若扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大；（3）若α=，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．【答案】見解析（1）解：l=10×=（cm）．（2）解：由已知得：l+2R=20，所以S=lR=（20﹣2R）R=﹣（R﹣5）2+25．所以R=5時，S取得最大值25，此時l=10，α=2rad．（3）解：設弓形面積為S弓，由題知l=cm，S弓=S扇﹣S△=×22×sin（cm2）．【一隅三反】1．若扇形的周長為，面積為，則其圓心角的弧度數(shù)是（）A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5【答案】A【解析】設扇形的半徑為，弧長為，由題意得2R+l=1212Rl=8，解得l=4R=4或故扇形的圓心角的弧度數(shù)或4．故答案為：A.2．已知扇形的周長為30cm，圓心角為3rad，則此扇形的弧長為（）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm【答案】C【解析】由題意得：扇形的半徑為，圓心角為3rad，扇形的周長為：，解得所以扇形的弧長為：故答案為：C3.（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長為40，當它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】見解析【解析】（1）解：設扇形的弧長為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，由題意可得：2r+l=10，×l×r=4，解得：，或．故扇形中心角的弧度數(shù)為=，或8（由于8＞2π，舍去）．（2）解：設扇形的半徑和弧長分別為r和l，由題意可得2r+l=40，∴扇形的面積S=lr=?l?2r≤（）2=100，當且僅當l=2r=20，即l=20，r=10時取等號，此時圓心角為α==2，∴當半徑為10圓心角為2時，扇形的面積最大，最大值為100．考點六實際應用【例6】（多選）鐘表在我們的生活中隨處可見，高一某班的同學們在學習了“任意角和弧度制”后，對鐘表的運行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開了激烈的討論，若將時針與分針視為兩條線段，則下列說法正確的是（）A．小趙同學說：“經(jīng)過了5h，時針轉(zhuǎn)了．”B．小錢同學說：“經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學說：“當時鐘顯示的時刻為12：35時，時針與分針所夾的鈍角為．”D．小李同學說：“時鐘的時針與分針一天之內(nèi)會重合22次．”【答案】ACD【解析】經(jīng)過了5h，時針轉(zhuǎn)過的角度對應的弧度數(shù)為，A符合題意．經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)過的角度對應的弧度數(shù)為，B不符合題意．時鐘顯示的時刻為12：35，該時刻的時針與分針所夾的鈍角為，C符合題意．分針比時針多走一圈便會重合一次，設分針走了tmin，第n次和時針重合，則，得，故，D符合題意．故答案為：ACD【一隅三反】1．如圖所示，一圓形鐘的時針長，2021年11月9日上午至，時針的針頭自點處轉(zhuǎn)動到點處，則線段的長為.【答案】【解析】2021年11月9日上午7：00至11：00，時針的針頭自點處轉(zhuǎn)動到點處，則時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，故。故答案為：。2．《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為平方步.【答案】120【解析】由題意得：扇形的弧長為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，所以這塊田的面積為120平方步。故答案為：120。3．達·芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于B點，測得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測量得到的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，設．則．，．設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為．則，．故答案為：A．4．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設扇形的面積為S1，圓面中剩余部分的面積為，當S1與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】S1與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設S1與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得故答案為：A5.1任意角與弧度制（精練）1角度制與弧度制的互換1．角的弧度數(shù)為（）A．40 B． C． D．【答案】B【解析】依題意，.故答案為：B2．把化為弧度是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴.故答案為：A3．弧度等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解析】因為，所以.故答案為：B.4．-320o用弧度制表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】。故答案為：C．5．930°=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】930°=930°×=．故答案為：D

6．可以化為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，可以化為.故答案為：C.2終邊相同的角1．下列角的終邊與角的終邊在同一直線上的是（）A．-37° B．143° C．379° D．-143°【答案】D【解析】與37°角的終邊在同一直線上的角可表示為，，當時，，所以，-143°角的終邊與37°角的終邊在同一直線上.故答案為：D．2．（多選）在范圍內(nèi)，與-410°角終邊相同的角是（）A．-50° B．-40° C．310° D．320°【答案】AC【解析】因為，，所以與角終邊相同的角是-50°和310°，故答案為：AC．3．下列各角中，與終邊相同的角為（）A．-120° B．160° C．-240° D．360°【答案】C【解析】與-600°終邊相同角為，而時，，其它選項都不存在整數(shù)，使之成立。故答案為：C．4．下列各角中，與60o角終邊相同的角是（）A．-300o B．-60o C．150o D．240o【答案】A【解析】根據(jù)終邊相同角的表示，可得與60o角終邊相同的角為，當時，可得，即-300o角與60o角終邊相同.故答案為：A.5．下列各組角中，兩個角終邊不相同的一組是（）A．-43o與677o B．900o與-1260oC．-120o與960o D．150o與630o【答案】D【解析】對于A，因為，所以與終邊相同；對于B，因為，所以與終邊相同；對于C，因為，所以與終邊相同；對于D，若，解得，所以與終邊不同.故答案為：D.6．與2020°角的終邊相同的角可以表示為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以與終邊相同，由此可得與角的終邊相同的角可以表示為。故答案為：D．3角象限的判斷1．1130o角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因為，且角的終邊落在第一象限，所以1130o角的終邊落在第一象限.故答案為：A2．以下各角中，是第二象限角的為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A選項，，為第三象限角，則為第三象限角；對于B選項，，為第二象限角，則為第二象限角；對于C選項，為第三象限角；對于D選項，為第四象限角.故答案為：B.3．2020°是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】，且，所以角是第三象限角．故答案為：C．4．若為第一象限角，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角【答案】D【解析】因為為第一象限角，所以，所以，當時，，屬于第一象限角，排除B；當時，，屬于第三象限角,排除AC；所以是第一或第三象限角故答案為：D5．2弧度的角的終邊所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因為，故2弧度的角的終邊所在的象限為第二象限，故答案為：B.6．已知角為銳角，則下列各角中為第四象限角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為角為銳角，所以為第二象限角；為第三象限角；為第四象限角；為第三象限角．故答案為：C7．（多選）如果是第四象限角，那么可能是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BD【知識點】象限角、軸線角【解析】【解答】由已知得，，所以，，當為偶數(shù)時，在第四象限，當為奇數(shù)時，在第二象限，即在第二或第四象限．故答案為：BD．8．已知α是銳角，則（）A．2α是小于180°的正角 B．180°＋α是第三象限角C．只是銳角 D．2α是第一或第二象限角【答案】ABC【解析】依題意知，所以，A符合題意；，所以是第三象限角，B符合題意；，所以是銳角，C符合題意；，不是第一或第二象限角，D不符合題意.故答案為：ABC.4概念的辨析1．下列說法正確的是（）A．終邊相同的角一定相等B．是第二象限角C．若角，的終邊關于軸對稱，則D．若扇形的面積為，半徑為2，則扇形的圓心角為【答案】D【解析】A：兩個角的終邊相同，但是這兩個角不相等，故本說法錯誤；B：，而，所以是第三象限角，說法錯誤；C：當時，兩個角的終邊關于軸對稱，而，故本說法錯誤；D：設扇形的弧長為，因為扇形的面積為，半徑為2，所以有，因此扇形的圓心角為.故答案為：D2．下列說法中，正確的是（）A．第二象限的角是鈍角B．第三象限的角必大于第二象限的角C．－831°是第二象限角D．－95°20′，984°40′，264°40′是終邊相同的角【答案】D【解析】【解答】對于A，取第二象限角，但該角不為鈍角；

對于B，取第三象限角及第二象限角，可知第三象限的角不一定大于第二象限的角；

對于C，，可知其終邊在第三象限；

對于D，，，

故，，終邊相同，故答案為：D.

3．（多選）下列說法錯誤的是（）A．若角，則角為第二象限角B．將表的分針撥快分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是C．若角為第一象限角，則角也是第一象限角D．若一扇形的圓心角為，半徑為，則扇形面積為【答案】BCD【解析】A選項：，A正確，不符合題意；B選項：撥快是順時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過的角度是負角，B錯誤，符合題意；C選項：時，為第一象限角，但不是第一象限角，C錯誤，符合題意；D選項：，，D錯誤，符合題意.故答案為：BCD.4．（多選）下列表示中正確的是（）A．終邊在x軸上的角的集合是{a|a=kp，k∈Z}B．終邊在y軸上的角的集合是C．終邊在坐標軸上的角的集合是D．終邊在直線y=x上的角的集合是【答案】ABC【解析】A.終邊在x軸上的角的集合是{a|a=kp，k∈Z}，A符合題意；B.結合終邊在軸上角，則終邊在y軸上的角的集合是，B符合題意；C.結合AB，終邊在坐標軸上的角的集合是，C符合題意；D.結合A，終邊在直線y=x上的角的集合是，D不符合題意．故答案為：ABC．5扇形的弧長與面積1．一扇形的周長為20，半徑為5，則該扇形的面積為（）A．30 B．25 C．45 D．50【答案】B【解析】因為扇形的周長為20，半徑為5，所以扇形的弧長為10，故該扇形的面積為。故答案為：B2．已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為.【答案】2【解析】因為，所以扇形的面積為，所以，即，答案為：23．半徑為2cm，中心角為的扇形的弧長為cm．【答案】【解析】圓弧所對的中心角為即為弧度，半徑為弧長為．故答案為：．4．屏風文化在我國源遠流長，可追溯到漢代某屏風工藝廠設計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為3.6m，內(nèi)環(huán)弧長為1.2m，徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為1.2m，則該扇環(huán)形屏風的面積為．【答案】2.88【解析】設扇形的圓心角為，內(nèi)環(huán)半徑為，外環(huán)半徑為，則，由題意可知，所以，所以該扇環(huán)形屏風的面積為：。故答案為：2.88。5．如果圓心角為的扇形所對的弦長為，則扇形的面積為.【答案】【解析】如下圖所示，作，已知，，則，，設扇形的半徑為，則，因此，該扇形的面積為。故答案為：。6實際應用1．時針經(jīng)過四個小時，轉(zhuǎn)過了（）A． B． C． D．【答案】B【解析】時針順時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過一圈（12小時）的角度為，則時針經(jīng)過四個小時，轉(zhuǎn)過了。故答案為：B.2．碭山被譽為“酥梨之鄉(xiāng)”，每逢四月，萬樹梨花開，游客八方來．如圖1，梨花廣場的標志性建筑就是根據(jù)梨花的形狀進行設計的，建筑的五個“花瓣”中的每一個都可以近似看作由兩個對稱的弓形組成