1/15.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（精講）考點一周期性【例1-1】在函數(shù)①，②，③，④中，最小正周期為的所有函數(shù)為（）A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④【答案】C【解析】∵=，∴==；圖象是將=在軸下方的圖像對稱翻折到軸上方得到，所以周期為，由周期公式知，為，為，故選：C.【例1-2】已知函數(shù)的最小正周期為，則_____.【答案】【解析】因為函數(shù)的最小正周期為，所以，所以.故答案為：【一隅三反】1．（多選）下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，最小正周期為；對于B，，最小正周期為；對于C，，最小正周期為；對于D，，最小正周期為，故選：ABC2．（多選）下列函數(shù)周期為的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】的最小正周期為；由的圖象是由y=cosx的圖象將x軸上方的部分保持不變，下方的部分向上翻轉(zhuǎn)而得到，由圖象可知其周期為；的最小正周期為；的最小正周期為.故選：BCD.考點二單調(diào)性【例2-1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，解得，又，∴.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.【例2-2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故答案為：C.【例2-3】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A． B． C．[1，3] D．【答案】B【解析】設的周期為T，因為，即，解得，由，解得，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為，顯然k只能取0，所以且，解得.故答案為：B.【一隅三反】1．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，當時，其遞減區(qū)間為，當時，其遞減區(qū)間為，當時，其遞減區(qū)間為，所以在，，上不遞減，在上單調(diào)遞減，故答案為：C2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)可知，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，即。故答案為：C.3．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】的單調(diào)遞減區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令，解不等式得到，令得，，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，其他選項均不符合，故答案為：B4．已知函數(shù)（）在上單調(diào)，則的可能值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【解析】因為，，故可得，又因為的單調(diào)增區(qū)間為，故，解得且，又因為，故，。故答案為：AB.考點三奇偶性【例3-1】（多選）下列函數(shù)中最小正周期為，且為偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對于A，定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因為的圖像是由的圖像在軸下方的關于軸對稱后與軸上方的圖像共同組成，所以的最小正周期為，所以A正確，對于B，定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以B錯誤，對于C，定義域為，，最小正周期為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以C正確，對于D，定義域為，最小正周期為，所以D錯誤，故選：AC【例3-2】已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，因為，所以當時，，故答案為：C．【一隅三反】1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】A.函數(shù)的定義域為，滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故錯誤；B.函數(shù)的定義域為，滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故錯誤；C.函數(shù)的定義域為，滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故正確；D.函數(shù)的定義域為，函數(shù)既不滿足，也不滿足，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故錯誤.故選：C2．下列函數(shù)中，最小正周期為π，且為偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.的最小正周期為，是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；B.的最小正周期為，是奇函數(shù)，故錯誤；C.如圖所示：，不周期函數(shù)，為偶函數(shù)，故錯誤；D.如圖所示：，的最小正周期為，是偶函數(shù)，故正確；故選：D3．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（）A．1 B．-1 C．0 D．1或-1【答案】C【解析】∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，∴函數(shù)的圖象關于y軸對稱∴，k∈z∴考點四對稱性【例4-1】下列關于函數(shù)的圖象，說法正確的是（）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于直線對稱 D．關于點對稱【答案】C【解析】A：，即關于對稱，故錯誤；B：，即關于對稱，故錯誤；C：，即關于對稱，故正確；D：，故錯誤.故答案為：C.【例4-2】如果函數(shù)的圖像關于點對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，，即，解得；當時，取得最小值.故答案為：B.【一隅三反】1．函數(shù)的圖象的一個對稱中心為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】由，可得，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以為圖象的一個對稱中心，故答案為：D2．函數(shù)的圖象的對稱軸方程可以為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由2x+=kπ+(k∈Z)，得x=，當k=0時，x=.故選：A

3．若是函數(shù)圖象的對稱軸，則的最小正周期的最大值是（）A．π B． C． D．【答案】A【解析】依題意，解得，因為，所以且，所以的最小正周期，所以，當時，。故答案為：A4．如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關于點對稱，那么|φ|的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關于點對稱，則有，于是得，顯然對于是遞增的，而時，，，當時，，，所以|φ|的最小值為.故答案為：A考點五解三角函數(shù)不等式【例5-1】函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，，即，于是得，解得：所以函數(shù)的定義域是.故答案為：B【例5-2】利用圖像，不等式的解集為____________.【答案】【解析】函數(shù)圖象如下所示：令，則，解得；令，則，解得，因為，所以，即原不等式的解集為，故答案為：.【一隅三反】1．使得正確的一個區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】作出與的圖象，如圖：由圖可知，若，其中滿足， 故選：A2．滿足，的角的集合___________.【答案】【解析】由得，，因為，所以.當時，若，則可能的取值為，，相應的的取值為，.所以所求角的集合為.故答案為：.3．函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，即，所以.故答案為：.4．若，則滿足的的取值范圍為______________；【答案】【解析】當時，令，解得或，結合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當時，的解集為.故答案為：考點六最值【例6-1】已知函數(shù)的最小正周期為，則在區(qū)間上的最小值為．【答案】-2【解析】因為，且函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，由，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當即時，函數(shù)取得最小值，且最小值為-2。故答案為：-2?！纠?-2】已知函數(shù)在上的值域為，則m的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以，因為在上的值域為，，所以，解得。故答案為：?！疽挥缛础?．函數(shù)在區(qū)間上的值域是___________．【答案】【解析】當時，，∴，故，即的值域為.故答案為：.2．已知函數(shù)，在內(nèi)的值域為，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】函數(shù)，當時，，又，，畫出圖形如圖所示；所以，解得，的取值范圍是．故答案為：．3．已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）求在區(qū)間的值域.【答案】見解析【解析】（1）解：∵，∴，即最小正周期.由，解得，∴增區(qū)間為，（2）解：∵，∴，∴，∴，∴值域為.5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（精練）1周期性1．下列函數(shù)中最小正周期為的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，為把軸下方的圖像翻折上去，最小正周期變?yōu)?，正確；對于B，的最小正周期為，錯誤；對于C，的最小正周期為，錯誤；對于D，最小正周期為，錯誤.故選：A.2．已知直線是函數(shù)）圖象的一條對稱軸，則f（x）的最小正周期為（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】因先，所以，解得，又，所以，從而f（x）的最小正周期為.故答案為：C3．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則的最小正周期為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的圖像經(jīng)過點，所以，得，所以，得，所以，所以，所以，所以的最小正周期為，故答案為：C4．函數(shù)的最小正周期為．【答案】6【解析】的周期為，由正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)可知，的最小正周期為6.故答案為：65．若函數(shù)的最小正周期為，則的值為.【答案】1【解析】由函數(shù)的最小正周期為，可知，得故答案為：12單調(diào)性1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可得，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是。故答案為：A．2．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故令，，解得，，當時，。故答案為：C．3．“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，即由“”可推出“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”，反之由“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”推不出“”，如時，也滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充分而不必要條件.故答案為：A.4．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且，則的范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且，又，所以，且，解得.故答案為：A.5．已知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則（）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】當時，，當時，，由題意得：且，解得。故答案為：A6．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A．6 B．5 C．4 D．1【答案】B【解析】由題意得：，當時，，在上單調(diào)遞增，，又因為，解得：，的最大值為5。故答案為：B.7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為.【答案】【解析】在上單調(diào)遞減令得令得故答案為：8．已知函數(shù)（）的最小正周期為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】（1）解：由最小正周期公式得：，故，所以，所以（2）解：令，解得：，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.是9．已知函數(shù)．（1）用“五點（畫圖）法”作出在的簡圖；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【解析】（1）解：列表如下：00020-2對應的圖象如圖：（2）解：令，，得，．所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．10．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求不等式的解集．【答案】見解析【解析】（1）解：的最小正周期為，令，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）解：因為，所以，則，，解得，，故不等的解集為．3奇偶性1．（多選）已知函數(shù)，則（）A．最大值為2 B．最小值為-2 C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】AD【解析】因為，所以，A符合題意，B不符合題意；因為，函數(shù)為偶函數(shù)，C不符合題意，D符合題意.故答案為：AD2．下列函數(shù)中，定義域為的偶函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于B，函數(shù)滿足為偶函數(shù)，但定義域為，不為，不符合題意；對于C，函數(shù)為偶函數(shù)，但定義域為，不為，不符合題意；對于D，函數(shù)，定義域為，且滿足為偶函數(shù)，符合題意.故選：D.3．已知，且為偶函數(shù)，則φ=________.【答案】【解析】又因為為偶函數(shù)，，故答案為：4.已知函數(shù)，則是。A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù)【答案】D【解析】，因此，函數(shù)是周期為的偶函數(shù).故選：D.5．下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關于原點對稱的函數(shù)是。A． B．C． D．【答案】A【解析】y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確y＝sin（2x）＝cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；y＝sinx+cosxsin（x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；故選A．4對稱性1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于正弦函數(shù)的性質(zhì)，有，即，當時，，故答案為：D2．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．圖象關于點對稱 B．圖象關于點對稱C．圖象關于直線對稱 D．圖象關于直線對稱【答案】C【解析】由題可得，設，，解得，，所以可知函數(shù)的對稱中心為.設，解得，所以可知函數(shù)的對稱軸為，通過對比選項可知，圖象關于直線對稱成立.故答案為：C.3．函數(shù)的一條對稱軸是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由余弦函數(shù)性質(zhì)，有，即，∴當時，有.故答案為：B4．下列直線中，函數(shù)的對稱軸是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令且，則對稱軸方程為且，顯然時對稱軸為，不存在有對稱軸為、、.故答案為：B.5．已知函數(shù)的最小正周期是π，且的圖象過點，則的圖象的對稱中心坐標為.【答案】【解析】【解答】由題意函數(shù)的最小正周期是π，可知，再由的圖象過點，可得，則，故，所以由知：，所以，令，可得，所以的圖象的對稱中心坐標為，故答案為：6．函數(shù)圖象的一條對稱軸是，則的值是．【答案】【解析】∵函數(shù)圖象的一條對稱軸是，∴即，又∴故答案為5解三角函數(shù)不等式1．使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是()A．B．C．D．【答案】C【解析】2sinx≥0解得：sinx進一步利用單位圓解得：（k∈Z）故答案為：C．2．使成立的的一個變化區(qū)間是()A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示當和時，，故使成立的的一個變化區(qū)間是.故答案為：A3．若0≤α≤2π，sinα＞cosα，則α的取值范圍是（）A．（，） B．（，π）C．（，） D．（，）【答案】C【解析】∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2si