第5章系統(tǒng)函數(shù)與零、極點分析星綴天河，你我相依成宇宙；陰晴圓缺，萬物變換皆有因。綠肥紅瘦，系統(tǒng)函數(shù)各有異；動靜抑揚，零、極分布造化功。

系統(tǒng)函數(shù)H(s)的特性；系統(tǒng)的s域方框圖；系統(tǒng)函數(shù)的零、極點；系統(tǒng)穩(wěn)定的概念；

s域分析用于控制系統(tǒng)。學習導言學習重點本章目錄5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點5.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.4s域分析用于控制系統(tǒng)

系統(tǒng)函數(shù)H(s)是零狀態(tài)響應的象函數(shù)與輸入信號的象函數(shù)之比，即5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬1、再論系統(tǒng)函數(shù)滿足如下對應關系時域卷積頻域乘積（1）系統(tǒng)函數(shù)的定義拉氏變換對5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬（2）系統(tǒng)函數(shù)的含義單端口策動點函數(shù)雙口傳遞函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù)）輸入阻抗（Ω）輸入導納（S）轉(zhuǎn)移電壓比（電壓增益）轉(zhuǎn)移電流比（電流增益）轉(zhuǎn)移阻抗（Ω）轉(zhuǎn)移導納（S）5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬例1：如圖所示系統(tǒng)，以u1(t)為輸入，求響應分別為i1(t)、i2(t)和uC(t)時的系統(tǒng)函數(shù)。s域模型解：用節(jié)點法列寫關于UC(s)的方程從而有即5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬系統(tǒng)函數(shù)分別為輸入導納（S）轉(zhuǎn)移導納（S）轉(zhuǎn)移電壓比（電壓增益）系統(tǒng)函數(shù)僅與系統(tǒng)本身有關，與系統(tǒng)的激勵和響應的形式無關。結(jié)論：各不同輸出變量對輸入的各系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式均相同，即系統(tǒng)的特征根（固有頻率）不因響應變量的不同而改變。H(s)是聯(lián)系輸入和響應的紐帶和橋梁，是系統(tǒng)頻率特性H(j

)的s域表示；H(s)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與元件參數(shù)，確定了系統(tǒng)在s域的特征；H(s)是一個實系數(shù)有理分式，其分母、分子多項式的根為實數(shù)或者共軛復數(shù)；H(s)為系統(tǒng)沖激響應的拉氏變換，與系統(tǒng)的起始狀態(tài)無關。5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬（3）系統(tǒng)函數(shù)H(s)的性質(zhì)5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬基于系統(tǒng)函數(shù)H(s)求階躍響應s(t)積分定理拉氏反變換例2：圖示有源系統(tǒng)，設R=1Ω，C=1F，試求系統(tǒng)的電壓傳遞函數(shù)H(s)=U2(s)/U1(s)；當K=3時，求階躍響應s(t)。5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬解：列寫s域節(jié)點方程聯(lián)立并代入?yún)?shù)后，可得系統(tǒng)函數(shù)為當K＝3時由于階躍響應為s域模型2、系統(tǒng)的方框圖表示與模擬5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬（1）子系統(tǒng)的三種聯(lián)結(jié)方式并聯(lián)串聯(lián)反饋5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬（2）三種基本模擬運算單元系數(shù)（標量）乘法器加法器積分器5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬（3）系統(tǒng)模擬（以二階系統(tǒng)為例）（便于用積分器）其中即系統(tǒng)的模擬框圖意味著分子多項式對應前向支路（指向輸出），分母多項式對應反饋支路正負照此可以推廣到高階系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬例3：如圖所示是研究汽車在不平坦路面上行駛時減輕震動的原理圖。減震環(huán)節(jié)由汽車底盤（質(zhì)量為m）下的一個彈簧（彈性系數(shù)為K）和一個阻尼器（阻尼系數(shù)為B）構(gòu)成。y(t)為汽車底盤的高度，f(t)為路面的起伏高度。試畫出模擬該系統(tǒng)的框圖。5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬系統(tǒng)模擬框圖研究表明，該系統(tǒng)的微分方程為從而得系統(tǒng)函數(shù)解：5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬連續(xù)系統(tǒng)的模擬框圖也可以用信號流圖表示。系統(tǒng)模擬框圖系統(tǒng)函數(shù)信號流圖表示系統(tǒng)傳輸方向和各傳遞函數(shù)的簡單形式設有系統(tǒng)微分方程思考題（1）系統(tǒng)函數(shù)有什么特點？有幾種方法可以確定H(s)？（2）頻率特性H(ω)和系統(tǒng)函數(shù)H(s)有何區(qū)別和聯(lián)系？

（3）系統(tǒng)的s域模擬圖有什么規(guī)律性？5.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)模擬5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點零點(zeros)：分子多項式N(s)=0的根，z1，z2，

zm極點(poles)：分母多項式D(s)=0的根，s1，s2，

sn系統(tǒng)函數(shù)1、H(s)的零、極點可以改寫為其中：是常數(shù)是零點是極點注意：不是（1）零、極點的定義零極點分布圖5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點零極點分布圖：把H(s)的零、極點表示在s復平面上零點用“○”表示，極點用“×”表示。若為n重零點或者極點，在其旁邊標注(n)例如：極點為零點為二階極點一階共軛極點設s1=

1+j1，s2=

1

j15.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點（2）零、極點分布圖的意義以并聯(lián)RLC電路的阻抗函數(shù)為例阻抗函數(shù)的三維示意圖在極點處，阻抗函數(shù)的模為∞在零點處，阻抗為0峰值峰值谷值2、H(s)的零、極點分布與時域特性的關系5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點總結(jié)：零點只影響h(t)的幅度和相位，對沖激響應的變化模式?jīng)]有影響。（1）零點分布與時域特性的關系例如：極點為零點為沖激響應若極點不變，零點變?yōu)闆_激響應5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點總結(jié)：極點在s平面上的位置確定了沖激響應h(t)的變化模式。例如：（1）極點s=0，對應的h(t)為階躍函數(shù)；（2）極點s=―α，當α>0時，對應的h(t)對應為衰減指數(shù)函

數(shù)；當α<0時，對應的h(t)為增長指數(shù)函數(shù)；（3）共軛極點s=―α±jω，當α>0時，對應的h(t)為減幅振

蕩；當α<0時，對應的h(t)為增幅振蕩；當α=0時，

對應的h(t)為等幅振蕩。（2）極點分布與時域特性的關系5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點典型的極點與時域響應的對應關系階躍函數(shù)衰減指數(shù)增長指數(shù)減幅振蕩增幅振蕩等幅振蕩左半平面極點位置與時域響應h(t)的對應關系5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點虛軸上極點位置與時域響應h(t)的對應關系5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點右半平面極點位置與時域響應h(t)的對應關系5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點例1：如設有系統(tǒng)函數(shù)求零、極點，畫出零、極點圖，并求沖激響應h(t)和階躍響應s(t)。解：極點為零點為沖激響應由于階躍響應5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點沖激響應階躍響應5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點3、H(s)的零、極點分布與頻域特性的關系（1）頻率特性H(ω)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)的關系若H(s)在s的右半平面沒有極點（收斂域包括jω軸），則因此：H(s)的零、極點也可以確定系統(tǒng)函數(shù)的頻域特性。（2）圖解法定性分析頻率特性H(ω)幅頻特性：5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點相頻特性：零極點與矢量圖令極點矢量零點矢量則：極點和零點矢量與實軸σ的夾角分別為βi和αj極點和零點矢量長度分別為和圖解法5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點例2：試基于零、極點定性分析RC低通網(wǎng)絡的頻率特性。解：電壓傳遞函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）極點位于s左半平面令頻率特性幅頻特性：相頻特性：5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點幅頻特性曲線相頻特性曲線∞03dB截止頻率零極點與矢量圖5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點思考題（1）H(s)的極點與h(t)有什么對應關系？極點靠近虛軸時，系統(tǒng)的性質(zhì)有何變化？（2）H(s)的零、極點與頻率特性H(ω)有什么對應關系？羅沛霖（1913一2011）電子學與信息學專家中國科學院院士5.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、系統(tǒng)穩(wěn)定的概念對于一般的因果系統(tǒng)，穩(wěn)定的充要條件是沖激響應h(t)絕對可積，即系統(tǒng)穩(wěn)定：當一個系統(tǒng)受到某種干擾信號作用時，其所引起的系統(tǒng)響應在干擾消失后會最終消失，即系統(tǒng)仍能回到干擾作用前的原狀態(tài)。任何系統(tǒng)要能正常工作，都必須以系統(tǒng)穩(wěn)定為先決條件。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的特性，與輸入信號無關。有源系統(tǒng)極點在s右半平面增幅正弦振蕩（不穩(wěn)定）單電容電路極點在s=0階躍函數(shù)（臨界穩(wěn)定）等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）一對共軛極點在虛軸上LC網(wǎng)絡5.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定：充要條件是，即H(s)的全部極點位于s的左半平面；臨界穩(wěn)定：H(s)在虛軸上有s=0的單極點或一對共軛單極點，其余極點全在s的左半平面；不穩(wěn)定：H(s)只要有一個極點位于s的右半平面，或在虛軸上有二階或者二階以上的重極點。系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論5.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性2、穩(wěn)定性判據(jù)（代數(shù)判別法）（1）系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是H(s)的分母多項式的全部系數(shù)非零且均為正實數(shù)。（2）對于一階或者二階系統(tǒng)，上述第一條準則是穩(wěn)定的充要條件。（3）對于三階系統(tǒng)，設H(s)的分母多項式則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是D(s)的各項系數(shù)全為正，且滿足：（4）對于四階系統(tǒng)，設H(s)的分母多項式則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是D(s)的各項系數(shù)全為正，且滿足：5.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性因此系統(tǒng)穩(wěn)定。5.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例：研究表明，導彈跟蹤系統(tǒng)的微分方程為它在飛行過程中會受到各種干擾，問系統(tǒng)是否能抑制干擾而穩(wěn)定地工作？解：系統(tǒng)函數(shù)為根據(jù)代數(shù)判別法，D(s)的各項系數(shù)全為正，且滿足即a1a2>a0a3導彈跟蹤系統(tǒng)的階躍響應5.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性思考題（1）如何理解臨界穩(wěn)定？一個振蕩器產(chǎn)生的正弦信號是否屬于臨界穩(wěn)定？（2）

若有系統(tǒng)函數(shù)

試用兩種方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由此能得到什么結(jié)論？5.4s域分析用于控制系統(tǒng)1、開環(huán)與閉環(huán)控制控制系統(tǒng)只是根據(jù)給定的輸入指令（即控制量）工作，而被控制量在整個過程中對控制量不產(chǎn)生任何影響。（1）開環(huán)控制開環(huán)爐溫控制系統(tǒng)及方框圖控制量（UX）被控制量t不具備自動修正爐溫的能力，控制精度低5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)（2）閉環(huán)控制控制系統(tǒng)將輸出信號的全部或者部分返回到系統(tǒng)輸入端與輸入信號疊加。閉環(huán)爐溫控制系統(tǒng)方框圖宇宙飛船上恒溫箱的溫度自動控制裝置反饋衛(wèi)星角度跟蹤天線控制系統(tǒng)衛(wèi)星天線與伺服電機5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)負反饋5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)研究自動控制系統(tǒng)動態(tài)特性的重要工具：系統(tǒng)函數(shù)H(s)負反饋系統(tǒng)元件的老化、負載的變化、溫度的影響或電源電壓變化105負反饋具有穩(wěn)定增益的作用系統(tǒng)函數(shù)5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)例1：如圖所示反饋系統(tǒng)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定參數(shù)K的取值范圍。解：系統(tǒng)函數(shù)按照二階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，可得反饋控制系統(tǒng)的應用已經(jīng)滲透到各個工程領域，例如：自動控制、通信、電子、航空航天等。5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)例2：三階鎖相環(huán)控制系統(tǒng)，求系統(tǒng)函數(shù)H(s)，并判斷系統(tǒng)能否穩(wěn)定工作。解：第1級RC運放電路第2級RC運放電路第1級RC運放電路的電壓傳遞函數(shù)為其中：鎖相環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)函數(shù)為其中：相位檢波器的增益壓控振蕩器的傳遞函數(shù)環(huán)路濾波器閉環(huán)系統(tǒng)函數(shù)因此該鎖相環(huán)能穩(wěn)定工作。5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)令則它是一個典型的三階系統(tǒng)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是D(s)的各項系數(shù)全為正，且滿足鎖相環(huán)階躍響應的模擬結(jié)果如下5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)

鎖相環(huán)是典型的相位控制系統(tǒng)，不僅可以應用于數(shù)字通信的同步系統(tǒng)，窄頻帶跟蹤接收，調(diào)頻、調(diào)相信號的解調(diào)和頻率合成。而且可用于人造衛(wèi)星、火箭等的鎖相相關應答器和工業(yè)同步控制。在激光通信中也要應用鎖相技術實現(xiàn)相干性。鎖相環(huán)的階躍響應5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)例3：求潛水艇控制系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定參數(shù)K的取值范圍。解：系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是即積分器5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)2、系統(tǒng)階躍響應的動態(tài)指標出發(fā)點：研究系統(tǒng)階躍響應的動態(tài)性能具有重要意義。以典型二階系統(tǒng)為例，其微分方程為其中：為阻尼系數(shù)，為無阻尼振蕩角頻率系統(tǒng)函數(shù)為在欠阻尼（）的情況下，其極點其中：階躍響應其中：5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)階躍響應的動態(tài)指標（4）最大超調(diào)量σ%：（1）上升時間tr

：階躍響應從0到第一次達到1所需的時間。（2）峰值時間tp

：階躍響應從0上升到第一個峰值smax所需的時間。（3）調(diào)節(jié)時間ts：階躍響應的振蕩包絡線進入穩(wěn)態(tài)值的±5%誤差范圍所需的時間。例4：二階系統(tǒng)函數(shù)試求上升時間、峰值時間、調(diào)節(jié)時間和最大超調(diào)量。解：寫成標準形式對照可得（1）上升時間：（2）峰值時間：（3）調(diào)節(jié)時間：從而有，（4）最大超調(diào)量：5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)5.4s域分析應用于控制系統(tǒng)思考題（1）如何理解反饋控制的特點？（2）為了盡快地使二階系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)，應如何選擇系統(tǒng)參數(shù)（如）？（3）設有二階系統(tǒng)方程

試求上升時間、峰值時間、調(diào)節(jié)時間和最大超調(diào)量。本章結(jié)束實現(xiàn)科學與藝術、科技與人文的融合，已經(jīng)成為教育家和科學家共同的理恐追求。實現(xiàn)科技與人文的結(jié)合已是現(xiàn)代大學成功的重要標志，也是培養(yǎng)能適應新世紀發(fā)展需要之人才的希望所在。

一一李政道第6章離散系統(tǒng)的時域分析一葉見四季，一花知天堂。連續(xù)變離散，模擬變數(shù)字，相映而生輝，規(guī)律乃相似。

離散信號及其表示；系統(tǒng)的差分方程和模擬圖；單位函數(shù)和單位響應；離散系統(tǒng)的卷積和及其應用。學習導言學習重點本章目錄6.1離散時間信號6.2離散時間系統(tǒng)6.3卷積和及其應用6.4反演卷積和6.1離散時間信號1、離散時間信號

離散時間信號（簡稱離散信號）是只在一系列離散時刻（例如t1,t2,…）才有定義的信號。離散信號即可以對連續(xù)信號取樣得到，也可以是事物本來的離散取值。

例如：（1）氣象站每隔一小時測得的氣溫、風速等信號；（2）雷達每隔一定間隔測得的高度信號；（3）電影中每秒鐘拍攝的演員動作的24張圖像信號。若離散信號由每隔時間T出現(xiàn)的樣點組成，則可以表示為f(nT)，簡寫為f(n)，f(n)又常稱為序列。（1）離散信號的概念6.1離散時間信號六種常見的離散信號正弦序列指數(shù)衰減序列指數(shù)增長序列衰減振蕩序列階躍序列指數(shù)振蕩序列①單位脈沖序列（單位函數(shù)）②單位階躍序列③矩形序列（有限長脈沖序列）6.1離散時間信號（2）常用的離散信號（序列）即：a取不同值時的序列波形6.1離散時間信號④正弦序列⑤因果實指數(shù)序列式中：Ω是數(shù)字角頻率，單位是rad。取樣周期T=86.1離散時間信號（3）離散信號的應用機械手控制系統(tǒng)6.1離散時間信號2、離散信號的基本運算（1）相加：兩序列同序號的序列值逐項對應相加。（2）相乘：兩序列同序號的序列值逐項對應相乘。FLASH:離散信號延遲（3）移位：序列沿n軸逐項依次移位。規(guī)律：若m為正整數(shù)，則f(n－m)比f(n)延遲m位，即f(n)的圖形右移m位；

f(n＋m)比f(n)超前m位，即f(n)的圖形左移m位。6.1離散時間信號從模擬信號到數(shù)字信號：取樣+量化+編碼6.1離散時間信號SamplingQuantizationEncoding6.1離散時間信號思考題（1）若有一個最小的正整數(shù)N，使得f(n)＝f(n+N)，那么f(n)是一個什么樣的序列？（2）圖示連續(xù)信號f(t)和離散信號f(n)的角頻率各為多少？注意：為取樣角頻率。連續(xù)信號離散信號1、離散系統(tǒng)的差分方程差分方程：微分方程的離散化。6.2離散時間系統(tǒng)下面以RC電路電容充放電為例說明如何由微分方程得到差分方程。式中：充放電t＝nT微分方程為對上式取樣，得令T=1，即有差分方程解：根據(jù)KCL，可得例1:求T形電阻網(wǎng)絡的差分方程。整理可得差分方程為6.2離散時間系統(tǒng)電流“一進兩出”適當移位后又可以寫成（二階差分方程）N階差分方程的一般形式：（后向差分方程

）6.2離散時間系統(tǒng)式中：簡記為LTI離散系統(tǒng)的性質(zhì)：設（1）可加性：對于輸入f1(n)和f2(n)，恒有（2）齊次性：對應任意常數(shù)a和輸入f(n)，恒有（3）線性：對于任意常數(shù)a1和a2，必有（4）時不變性（位移不變性）：對于任意整數(shù)m，恒有6.2離散時間系統(tǒng)2、離散系統(tǒng)的時域模擬三種基本模擬運算單元（2）常數(shù)乘法器（1）加法器（3）單位延遲器例2：設一數(shù)字處理器的差分方程為試畫出其模擬框圖。6.2離散時間系統(tǒng)解：將差分方程改寫為模擬框圖如下共用延遲器節(jié)約成本1個加法器5個常數(shù)乘法器4個單位延遲器2個加法器5個常數(shù)乘法器2個單位延遲器改進6.2離散時間系統(tǒng)3、離散系統(tǒng)的零輸入響應

對于N階差分方程，當輸入信號為零時，其零輸入響應的基本形式為其中：是系統(tǒng)特征方程的根；系數(shù)由初始狀態(tài)決定。說明：（1）差分方程和微分方程的求解非常類似，所不同的是微分方程齊次解的基本形式為，而差分方程齊次解的基本形式為；（2）在計算零輸入響應時，要注意正確運用所給定的起始狀態(tài)。6.2離散時間系統(tǒng)例3:設有二階離散系統(tǒng)起始狀態(tài)，試求時的零輸入響應。解：零輸入響應為當n＝0

時當n＝1時最后得零輸入響應為解得系數(shù)為例4:著名的斐波那契（Fibonacci）數(shù)列為｛0，1，1，2，3，5，8，13，21，…｝設數(shù)列的第n個數(shù)值為y(n)，試寫出數(shù)列滿足的差分方程表達式并求其解。6.2離散時間系統(tǒng)解：差分方程為齊次解為當n＝0

時當n＝1時方程的解為解得系數(shù)為MATLAB數(shù)值仿真結(jié)果如下：6.2離散時間系統(tǒng)當n≥20時，y(n)將飛速增長。研究表明：生物學的生態(tài)平衡和災變過程（例如蝗災）都滿足斐波那契數(shù)列。自然界中的許多事物也滿足此規(guī)律。例如：大多數(shù)花的花瓣都是斐波那契數(shù)列中的數(shù)：百合花為3，梅花為5，金盞花為13；向日葵表面常見的兩組螺旋線數(shù)目為34和55，較大的有144及233，這些都是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩個數(shù)。6.2離散時間系統(tǒng)此外，斐波那契數(shù)列與黃金分割點也有密切關系。和是兩個重要的黃金分割數(shù)。斐波那契數(shù)列中任意一項比前一項是，例如：越到后面，比值越接近黃金分割數(shù)1.618。6.2離散時間系統(tǒng)思考題（1）線性差分方程的兩種模擬圖各有什么規(guī)律？如何利用模擬圖寫出系統(tǒng)的差分方程？（2）設有差分方程：你能編制一個利用計算機求y(n)的計算流程圖嗎？（3）某人每月月初定期在銀行存款，若第n個月的存款額為f(n)，銀行支付的月利率為α，那么儲戶第n個月月底的本息總額y(n)如何表示？6.2離散時間系統(tǒng)6.3卷積和及其應用1、離散信號的分解與卷積和例如：離散信號任意離散信號f(n)均可以表示為許多δ序列的線性組合。（1）離散信號的時域分解＝??6.3卷積和及其應用（2）卷積和的定義和性質(zhì)①定義：對于離散信號f1(n)和f2(n)，二者的卷積和（簡稱卷和）定義為②代數(shù)性質(zhì)：因此即：序列f(n)和δ(n)的卷和的結(jié)果恢復f(n)自身。結(jié)合律：當f1(n)和f2(n)均為因果信號時，交換律：分配律：6.3卷積和及其應用例1:序列，試求卷和。解：根據(jù)卷和的定義，可得等比級數(shù)求和根據(jù)等比級數(shù)求和公式可得說明：等比級數(shù)求和公式如下6.3卷積和及其應用例2:設有限長序列f1(n)=｛1,3,2,4｝和f2(n)=｛2,1,3｝，

（n≥0），求兩者的卷和。解：用如下乘法計算132421339612132427101910122648×f1(n)f2(n)f1(n)*f2(n)n=0n=5即：f1(n)*f2(n)=｛2,7,10,19,10,12｝6.3卷積和及其應用卷和的圖解機理n換成kn換成k反褶平移相乘求和FLASH

:

卷和6.3卷積和及其應用常見因果序列的卷和表序號123456789102、離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應在零狀態(tài)條件下，由單位序列

(n)引起的響應稱為單位脈沖響應，簡稱單位響應，記為h(n)。6.3卷積和及其應用（1）單位脈沖響應在離散系統(tǒng)中，關注更多的是零狀態(tài)響應，即在起始狀態(tài)為零時，僅由輸入信號f(n)引起的響應。在零狀態(tài)響應中，單位脈沖響應非常重要，它是一種特殊的零狀態(tài)響應。求解單位響應的方法：①遞推法；②z變換法（在第7章中介紹）6.3卷積和及其應用例3:設有一階因果離散系統(tǒng)的差分方程為試求其單位響應h(n)。解：采用遞推法求解當n＝0

時當n＝2時當n＝1

時起始狀態(tài)令，則根據(jù)單位響應的定義，可得為了便于遞推，改寫為依次類推，可得單位響應為（說明：因果系統(tǒng)的h(n)＝0,n＜0）LTI離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于f(n)和h(n)的卷和，即6.3卷積和及其應用（2）零狀態(tài)響應過程如下：LTI（時不變性）

（齊次性）（可加性）（定義）當f(n)和h(n)為因果序列時求零狀態(tài)響應的過程示意圖6.3卷積和及其應用??＝??＝6.3卷積和及其應用例4:已知離散系統(tǒng)的輸入序列和單位脈沖響應分別為試系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

。由分配律可得解：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為其中：由移位不變性，可得根據(jù)可加性，可得則階躍響應s(n)與單位響應h(n)的關系為6.3卷積和及其應用（3）單位階躍響應在零狀態(tài)條件下，由單位階躍序列ε(n)引起的響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，記為s(n)。且由于連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的比較離散系統(tǒng)系統(tǒng)由差分方程描述

響應y(n)=yzi(n)

+yzs(n)卷積和線性和位移不變性以單位函數(shù)

(n)為基本信號

yzs(n)=h(n)

f(n)6.3卷積和及其應用6.3卷積和及其應用思考題（1）離散系統(tǒng)的h(n)與連續(xù)系統(tǒng)的h(t)有何異同？離散系統(tǒng)的s(n)與連續(xù)系統(tǒng)的s(t)有何異同？（2）考慮下式是否正確？為什么？（3）若二階差分方程系統(tǒng)有特征根和，與連續(xù)系統(tǒng)相似，其二階特征函數(shù)為：若系統(tǒng)輸入的強迫函數(shù)為，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為試說明理由。系統(tǒng)辨識（systemidentification）：由給定的輸入、輸出特性尋求系統(tǒng)的模型。6.4反演卷積和對應的矩陣形式為在離散系統(tǒng)中，當已知零狀態(tài)響應y(n)和單位響應h(n)時，如何反演求出輸入信號f(n)?考慮到解得6.4反演卷積和依次類推，可得f(n)的表達式為同理，當已知零狀態(tài)響應y(n)和輸入信號f(n)時，可以反演求出單位響應h(n)?由于計算機做逐次遞推運算非常方便，因此上述反演卷積和的方法可以快速實現(xiàn)，而且可以推廣應用于多維信號的處理領域，從而可以使系統(tǒng)辨識的快速性和準確性大大提高。本章結(jié)束生也有涯，學也無涯。不斷地學習與思考，才能不斷地成長。當你專注于自己的信念與追求，外界的機會才會來找你。每一次挑戰(zhàn)都會有一次升華，每一次跨越都會迎來嶄新的明天。第7章離散系統(tǒng)的z域分析宇宙原統(tǒng)一，規(guī)律相伴生；引進新z域，移植而旁通。這就是思想的力量，數(shù)學的力量，創(chuàng)新的力量。

單邊z變換及其重要性質(zhì)；系統(tǒng)差分方程的z變換解；系統(tǒng)函數(shù)H(z)及z域模擬；數(shù)字濾波器的概念。學習導言學習重點7.1z變換7.2z反變換7.3z變換的主要性質(zhì)7.4離散系統(tǒng)的z域分析7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性7.6數(shù)字信號處理7.7離散時間信號的頻譜（DTFT）本章目錄7.1z變換1、z變換的定義

z變換是分析線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學工具。利用z變換，可以把差分方程變成代數(shù)方程。從拉氏變換到z變換的演變過程如下沖激信號串離散信號連續(xù)信號的離散化取樣信號?雙邊z變換狄莫弗(DeMoivre)首次提出拉氏變換7.1z變換考慮到工程實用，僅研究單邊z變換，即式中：稱為序列的象函數(shù)；稱為的原函數(shù)。根據(jù)復變函數(shù)的理論，可得z變換對：（z反變換）收斂域：對于給定的任意有界序列f(n)，使得F(z)收斂的所有z值的集合。收斂的充要條件：2、典型序列的z變換①單位脈沖序列收斂域：整個z平面②單位階躍序列收斂域：③實指數(shù)序列收斂域：單邊序列的z變換其收斂域總在半徑為某一R的圓外區(qū)域。7.1z變換收斂域示意圖單邊序列只要給定F(z)及其收斂域，則F(z)和f(n)就是一一對應的。單邊z變換的收斂域總是在|z|>R的區(qū)域，故今后不再注明。補充說明：（1）左邊序列的收斂域：|z|<|a|（圓內(nèi)區(qū)域）；（2）雙邊序列的收斂域：|a1|<|z|<|a2|（圓環(huán)區(qū)域內(nèi)）；（3）有限長序列的收斂域：0<|z|<∞的整個z平面。注意7.1z變換序號收斂域12345678910常見序列的z變換7.1z變換思考題（1）如何理解z變換的定義表達式？單邊z變換的收斂域有何特點？（2）設有序列其z變換的收斂域在何處？（3）設有左邊序列你能求出其雙邊z變換嗎？結(jié)論是：當|z|<|a|時，你如何理解這一結(jié)果？7.1z變換1、冪級數(shù)展開法（長除法）7.2z反變換級數(shù)的系數(shù)就是f(n)。例1:已知象函數(shù)，求原序列f(n)

。解：做長除法如下特別提醒：對于因果序列的z變換，在做長除時，應將F(z)的分子、分母按z的降冪排列。從而有可得7.2z反變換對于2、部分分式展開法式中：的根稱為的極點。（1）F(z)僅含有一階單極點若為F(z)的n個單極點，則兩邊同乘以z，得從而有其中：因此式中：例2:設有象函數(shù)，求原序列f(n)。解：因為故有可得系數(shù)從而反變換得7.2z反變換

問題：能否像拉氏變換那樣直接將F(z)展開成部分分式呢？回答是肯定的。其中系數(shù)從而查7.1常見序列的z變換第10號公式，可得對于例1，有注意：雖然形式上與不同，但二序列的值是完全一致的。7.2z反變換（2）F(z)僅含重極點設F(z)在z1處有m階極點，例如查7.1中常見序列的z變換第10號公式，有則其中系數(shù)容易得到F(z)的反變換f(n)。從而7.2z反變換例3:求

的反變換f(n)。解：因為其中系數(shù)從而故有由于7.2z反變換思考題（1）z反變換有哪些方法？與拉氏變換有何異同？（2）若對于的極點，一定有，為什么？（3）若F(z)中既有單極點又有重極點，展開公式應如何表示？待定系數(shù)如何確定？7.2z反變換7.3z變換的主要性質(zhì)1、線性性質(zhì)若則例1:求序列的z變換，式中：Ω為數(shù)字角頻率。解：根據(jù)歐拉公式查7.1中常見序列的z變換第7號公式有根據(jù)線性性質(zhì)，可得7.3z變換的主要性質(zhì)離散信號的移位2、移位特性（延遲特性）雙邊序列右移2位單邊序列右移2位7.3z變換的主要性質(zhì)對于雙邊序列f(n)，其右移m位后的單邊z變換為當m＝1

時當m＝2

時對于單邊序列，根據(jù)移位特性可得由移位特性，顯然有左邊序列的單邊z變換為例2:求已知，求的z變換。解：根據(jù)移位性質(zhì)可得7.3z變換的主要性質(zhì)3、尺度變換證明由z變換的定義則例3:已知，求的z變換。解：根據(jù)尺度變換性質(zhì)可得設可得7.3z變換的主要性質(zhì)4、卷和定理若則表明：時間域兩個序列的卷和對應為兩個序列z變換的乘積。因為離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于輸入序列f(n)與單位響應h(n)的卷和，即根據(jù)卷和定理有式中：是系統(tǒng)函數(shù)，它是單位響應h(n)的z變換。利用卷和定理容易求得序列部分和的z變換，即7.3z變換的主要性質(zhì)例4:設離散系統(tǒng)的單位響應，輸入序列，試在z域求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：因為由卷和定理，零狀態(tài)響應的z變換為展開成部分分式，得取反變換得7.3z變換的主要性質(zhì)z變換的常用性質(zhì)序號名稱時域z域（單邊）1線性2移位特性3卷和定理4尺度變換5序列求和6F(z)微分7初值定理8終值定理7.3z變換的主要性質(zhì)思考題（1）序列和的單邊z變換在什么情況下相同？什么情況下不同？（2）試寫出的單邊z變換表達式。1、差分方程的z變換解7.4離散系統(tǒng)的z域分析差分方程z域代數(shù)方程解z域代數(shù)方程時域響應z變換z反變換z域分析的思路例1:離散系統(tǒng)的差分方程為，若系統(tǒng)的起始狀態(tài)，輸入，試求響應y(n)。解：因系統(tǒng)既有起始狀態(tài)又有外加輸入，故響應中包含零輸入分量和零狀態(tài)分量?？紤]到對差分方程兩邊取z變換，得整理得7.4離散系統(tǒng)的z域分析7.4離散系統(tǒng)的z域分析分別展開成部分分式，有代入起始狀態(tài)后，進一步整理可得分別取反變換，得系統(tǒng)的全響應為可以直接求反變換得到7.4離散系統(tǒng)的z域分析例2:設一數(shù)字處理系統(tǒng)的差分方程為試系統(tǒng)的階躍響應和單位響應。對差分方程兩邊取z變換，得從而階躍響應的象函數(shù)為解：系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，由單位階躍序列產(chǎn)生的響應為階躍響應。7.4離散系統(tǒng)的z域分析部分分式展開反變換得階躍響應根據(jù)單位響應和階躍響應的關系，得：故系統(tǒng)的單位響應為7.4離散系統(tǒng)的z域分析N階LTI離散系統(tǒng)的差分方程為輸入為因果信號，在零狀態(tài)下，兩邊取z變換，得2、系統(tǒng)函數(shù)H(z)系統(tǒng)函數(shù)為由此可見，系統(tǒng)函數(shù)僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與系統(tǒng)的激勵和響應無關。一旦差分方程給定，系統(tǒng)函數(shù)可立即確定；反之亦然。式中：7.4離散系統(tǒng)的z域分析由于系統(tǒng)函數(shù)H(z)和單位響應h(n)構(gòu)成z變換對，即由卷和定理，若已知H(z)和F(z)，則系統(tǒng)響應時域分析與z域分析的對應關系頻域關系時域關系橋梁和紐帶7.4離散系統(tǒng)的z域分析例3:圖示一階離散系統(tǒng)，試用z域方法求單位響應和階躍響應，并畫出它們的波形。解：差分方程為兩邊取z變換，得系統(tǒng)函數(shù)為故有因此，單位響應輸入

時，則取反變換得階躍響應7.4離散系統(tǒng)的z域分析單位響應和階躍響應的波形如下：7.4離散系統(tǒng)的z域分析解：（1）在零狀態(tài)下，對方程兩邊取z變換，得系統(tǒng)函數(shù)為

例4:設有二階數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)的差分方程為（1）求系統(tǒng)函數(shù)；（2）求單位響應；（3）若激勵為，求其零狀態(tài)響應。（2）部分分式展開，得因此，單位響應7.4離散系統(tǒng)的z域分析部分分式展開，得取反變換得零狀態(tài)響應由卷積定理得（3）當激勵為時3、離散系統(tǒng)的z域模擬圖7.4離散系統(tǒng)的z域分析模擬圖反映系統(tǒng)本身特性，與起始狀態(tài)無關。在z域用表示延遲單元的功能。給定微分方程或者系統(tǒng)函數(shù)，就可以用加法器、常數(shù)乘法器和延遲單元構(gòu)成系統(tǒng)的z域模擬圖。z域時域直接形式17.4離散系統(tǒng)的z域分析設有系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的z域方程為即z域模擬圖為1個加法器3個常數(shù)乘法器3個單位延遲器直接形式27.4離散系統(tǒng)的z域分析設系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為以二階系統(tǒng)為例意味著令中間變量進而則有7.4離散系統(tǒng)的z域分析2個加法器5個常數(shù)乘法器2個單位延遲器z域模擬圖為優(yōu)點：共用延遲器，節(jié)約成本用信號流圖表示離散系統(tǒng)的z域模擬7.4離散系統(tǒng)的z域分析基本流圖單元常數(shù)乘法器加法器單位延遲器補充說明：兩節(jié)點傳遞系數(shù)為1時也可以只畫箭頭不標數(shù)值。7.4離散系統(tǒng)的z域分析兩種形式的流圖表示形式2形式1等價7.4離散系統(tǒng)的z域分析根據(jù)上述z域模擬的思想，工程上可用數(shù)字硬件裝配成一臺專門的設備，這稱為數(shù)字信號處理機。簡單的數(shù)字信號處理機的硬件結(jié)構(gòu)圖7.4離散系統(tǒng)的z域分析思考題：（1）用z變換法求解差分方程的步驟是什么？（2）離散系統(tǒng)z域模擬的規(guī)律是什么？根據(jù)z域模擬圖如何得到系統(tǒng)的差分方程？7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性1、H(z)的零、極點分布與h(n)的關系系統(tǒng)函數(shù)為常系數(shù)式中：反變換得為簡單起見，假設系統(tǒng)函數(shù)不含重極點，即為極點，是的根為零點，是的根式中：因此，單位響應的變化模式完全取決于極點，而零點只影響其幅值和相位。7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性典型的極點位置與單位響應之間的對應關系實極點在單位圓內(nèi)衰減指數(shù)共軛復極點在單位圓內(nèi)實極點在單位圓上共軛復極點在單位圓外衰減振蕩振蕩增長階躍序列例1:設有系統(tǒng)函數(shù)

試問單位響應具有怎么樣的變化模式？解：系統(tǒng)函數(shù)的極點為部分分式展開得反變換得系數(shù)單位響應的末項對應一對共軛復極點，為增幅的余弦振蕩。7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性（1）z變換與拉氏變換的關系2、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性沖激響應不變法拉氏反變換取樣極點z變換7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性s平面和z平面關系特別提醒：兩個平面之間的映射關系不是單值的！7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性（2）離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性：對于離散系統(tǒng)，若對任意有界的輸入序列，其輸出序列的值總是有界的，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于因果LTI系統(tǒng)，當且僅當單位響應h(n)絕對可和時，即系統(tǒng)是穩(wěn)定。根據(jù)單位響應的變化模式，可以直觀地說明穩(wěn)定性。（1）穩(wěn)定：系統(tǒng)的單位響應在足夠長的時間后完全消失。（2）臨界穩(wěn)定：在足夠長時間之后單位響應趨于一個非零常數(shù)或者有界的等幅振蕩。（3）不穩(wěn)定：在足夠長時間之后單位響應無限制地增長。7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性結(jié)論：（1）若系統(tǒng)函數(shù)的所有極點全部位于單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；（2）若系統(tǒng)函數(shù)的一階極點（實極點或者共軛復極點）位于單位圓上，單位圓外無極點，則系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定；（3）若系統(tǒng)函數(shù)的極點至少有一個位于單位圓外，或在單位圓上有重極點，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性例2:設有差分方程表示的系統(tǒng)試求系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：在零狀態(tài)下，對方程兩邊取z變換，得系統(tǒng)函數(shù)極點為：均位于單位圓內(nèi)。因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性解：該閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為例3:圖示離散反饋控制系統(tǒng)，問K為何值時系統(tǒng)穩(wěn)定？為保證極點在單位圓內(nèi)，應有即7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性思考題（1）s平面和z平面有何映射關系？（2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是什么？若輸入滿足f(n)<M<∞，如何說明穩(wěn)定系統(tǒng)的輸出也有界？（3）工程實際中，如何用實驗信號測定系統(tǒng)是否穩(wěn)定？（4）若系統(tǒng)函數(shù)的全部極點在單位圓內(nèi)，且都是高階的，問系統(tǒng)是否穩(wěn)定，為什么？7.5系統(tǒng)的零、極點與穩(wěn)定性1、離散系統(tǒng)的頻率特性7.6數(shù)字信號處理（1）頻率特性設輸入為復指數(shù)序列式中：T為取樣周期系統(tǒng)的零狀態(tài)響應式中：為系統(tǒng)的頻率特性。表明：若離散系統(tǒng)的輸入是角頻率為ω、取樣周期為T的復指數(shù)序列（或正弦序列），系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應也是同頻率的復指數(shù)序列（或正弦序列）。7.6數(shù)字信號處理對于離散系統(tǒng)，若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓，即|z|≥1，或者說只要系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則將z換為ejωT就可以得到離散系統(tǒng)的頻率特性，即（2）系統(tǒng)函數(shù)和頻率特性之間的關系注意：頻率特性是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)。式中：稱為幅頻特性；稱為相頻特性。由于，故頻率特性也可以表示為頻率特性又可以寫為解：（1）系統(tǒng)函數(shù)為（2）頻率特性幅頻特性相頻特性例1:在數(shù)字信號處理中，為了有效地傳輸?shù)皖l信號，一個常用的簡單低通系統(tǒng)是（1）問為何值時系統(tǒng)穩(wěn)定？（2）若取，試求系統(tǒng)的頻率特性，并畫出其幅頻特性和相頻特性。當時，有要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求極點在單位圓內(nèi)，即7.6數(shù)字信號處理零極點分布圖單位響應幅頻特性相頻特性以2π為周期的連續(xù)譜FLASH

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頻率響應7.6數(shù)字信號處理數(shù)字濾波器框圖去噪DACADC白十字圖所有行都經(jīng)過因果的低通濾波器后的白十字圖所有列都經(jīng)過因果的低通濾波器后的白十字圖7.6數(shù)字信號處理例2:設有數(shù)字濾波器，其差分方程為：若濾波器的輸入為5Hz的正弦信號并有50Hz的工頻干擾，信號的取樣頻率為250Hz。試分析該濾波器能否濾除工頻干擾。解：系統(tǒng)函數(shù)為它僅在z＝0處有極點，故系統(tǒng)穩(wěn)定，從而頻率特性滑動平均7.6數(shù)字信號處理因為故對于5Hz的正弦信號而言對于50Hz的工頻干擾而言則則結(jié)果表明，該濾波器能夠濾除50Hz的工頻干擾。7.6數(shù)字信號處理2、數(shù)字信號處理的概念數(shù)字信號處理（DSP）的內(nèi)容非常豐富，其中最基礎的是數(shù)字濾波器和快速傅里葉變換（FFT）。3dB帶寬的250Hz的模擬低通濾波器截止頻率為250Hz的數(shù)字低通濾波器數(shù)字濾波器：將輸入序列按既定要求轉(zhuǎn)換為輸出序列。7.6數(shù)字信號處理多路數(shù)字信號處理系統(tǒng)數(shù)字濾波器分為兩類：（1）按單位響應樣式分為IIR型和FIR型；（2）按實現(xiàn)形式分為遞歸和非遞歸實現(xiàn)。數(shù)字濾波器的設計問題就是求出一組系數(shù)ak和br，使得濾波器具有所需特性。數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)7.6數(shù)字信號處理則系統(tǒng)的單位響應h(n)為無限長，稱之為IIR濾波器。IIR(infiniteimpulseresponse)濾波器若系統(tǒng)函數(shù)滿足因此，IIR濾波器的輸出不僅取決于輸入值，而且還取決于輸出值，故又稱為遞歸型濾波器。該系統(tǒng)的差分方程為FIR濾波器先設計模擬原型濾波器，然后借助沖激響應不變法或者雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。7.6數(shù)字信號處理FIR(finiteimpulseresponse)濾波器則系統(tǒng)的單位響應h(n)為有限長，稱之為FIR濾波器。若系統(tǒng)函數(shù)滿足因此，F(xiàn)IR濾波器的輸出只取決于輸入值，與其他移位的輸出無關，稱之為非遞歸型濾波器。它僅在z＝0處有極點，故FIR濾波器總是穩(wěn)定的。FIR濾波器設計方法有：窗函數(shù)法、頻率采樣法、切比雪夫等波紋最佳逼近法等。該系統(tǒng)的差分方程為7.6數(shù)字信號處理7.6數(shù)字信號處理遞歸實現(xiàn)的三階數(shù)字濾波器非遞歸實現(xiàn)的三階數(shù)字濾波器DSP器件及實際電路板示例7.6數(shù)字信號處理思考題（1）離散系統(tǒng)的頻率特性是如何定義的？為什么強調(diào)系統(tǒng)在穩(wěn)定條件下的頻率特性才有意義？（2）離散系統(tǒng)頻率特性與連續(xù)系統(tǒng)頻率特性有什么不同？這種不同會帶來什么后果？（3）例1中，若，系統(tǒng)屬于何種濾波器類型？7.6數(shù)字信號處理7.7離散時間信號的頻譜（DTFT）當對離散信號（序列）取傅里葉變換（discretetimeFouriertransform,DTFT）時，就可得到離散信號的頻域表示。根據(jù)s-z平面的映射關系，s平面的虛軸（jω）對應z平面的單位圓，即：或雙邊z變換對DTFT變換對特別地，對于單位響應，則有頻率特性序號名稱時域頻域（DTFT）1線性2頻移特性3時移特性4時域卷積5頻域卷積6尺度變換7差分8頻域微分離散時間傅里葉變換的主要性質(zhì)7.7離散時間信號的頻譜（DTFT）例1:已知矩形序列，求其傅里葉變換。解：根據(jù)DTFT可得7.7離散時間信號的頻譜（DTFT）相頻特性：幅頻特性：以2π為周期的連續(xù)譜線性相位7.7離散時間信號的頻譜（DTFT）例2:若離散系統(tǒng)的頻率特性

為理想低通形式，其相位特性，試求其單位響應h(n)（即傅里葉反變換）。解：根據(jù)IDTFT可得降正弦函數(shù)7.7離散時間信號的頻譜（DTFT）本章結(jié)束時間，抓住了就是黃金，虛度了就是流水；書，真看就是知識，沒看就是廢紙；理想，努力了即是夢想，放棄了就是妄想。第8章連續(xù)與離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析空間時間觀，發(fā)展路漫漫。牛頓說：空間是絕對的，不隨物質(zhì)運動而變；愛因斯坦說：空間與物質(zhì)運動密切相關。牛頓說：時間是絕對的，均勻流逝萬古不易；愛因斯坦說：時間是相對的，其節(jié)奏隨運動速度和萬有引力強度而變。系統(tǒng)分析，不妨也換一個空間：即狀態(tài)空間。學習導言第8章連續(xù)與離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析學習重點

狀態(tài)變量和狀態(tài)方程的概念：狀態(tài)空間分析；狀態(tài)方程的一般形式；狀態(tài)方程的時域求解和變換域求解方法。本章目錄8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程8.2狀態(tài)方程的解8.3非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程8.4離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析描述系統(tǒng)的方法：（1）輸入—輸出法（端口法）：用微分方程或者差分方程描述，缺點是不便于研究與系統(tǒng)內(nèi)部情況有關的各種問題；（2）狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）：以系統(tǒng)內(nèi)部變量為基礎的分析方法，用狀態(tài)方程和輸出方程描述。不僅適用于分析LTI系統(tǒng)，也便于推廣應用于線性時變系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)。1、狀態(tài)變量與狀態(tài)方程8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程以二階電路為例說明狀態(tài)變量和狀態(tài)方程的概念。對節(jié)點a列KCL可得對包含電感的回路列KVL可得整理可得8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程寫成矩陣形式為若指定電感電壓為輸出，則有方程因此，狀態(tài)變量方程（簡稱狀態(tài)方程）是用狀態(tài)變量和激勵（有時為零）表示的一組獨立的一階微分方程。（狀態(tài)變量方程）輸出方程是用狀態(tài)變量和激勵（有時還有可能有激勵的某些導數(shù)）表示的代數(shù)方程。（輸出方程）式中：和是狀態(tài)變量。令狀態(tài)方程中其中T是轉(zhuǎn)置矩陣符號。狀態(tài)方程可寫成式中：表示狀態(tài)變量的一階導數(shù)向量，為狀態(tài)變量，A狀態(tài)變量的系數(shù)矩陣，對于LTI系統(tǒng)，A和B為常數(shù)矩陣。狀態(tài)方程是一組一階微分方程。只要知道起始狀態(tài)，就可以求取和該電路的其他量也可隨之確定。狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動態(tài)方程。在電路系統(tǒng)中，一般取獨立電容上電壓和電感中電流為狀態(tài)變量。8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程直觀列寫電路系統(tǒng)狀態(tài)方程的步驟：第一步：選擇獨立的電容上電壓和電感中電流為狀態(tài)變量。第二步：對與電容相連的節(jié)點列寫KCL方程，對包含電感的網(wǎng)孔（回路）列寫KVL方程。第三步：消去非狀態(tài)變量，整理成標準形式的狀態(tài)方程。8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程例:試寫出如圖所示電路的狀態(tài)方程，并以為輸出寫出輸出方程。解：選擇電容上電壓和電感上電流為狀態(tài)變量，即列出2個KCL方程和1個KVL方程如下KCLKVL8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程整理可得狀態(tài)方程寫成矩陣形式為標準形式輸出方程8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程兩級反饋積分環(huán)節(jié)并聯(lián)狀態(tài)方程矩陣形式輸出方程若已知系統(tǒng)的模擬框圖，則可以寫出狀態(tài)方程。8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可一般地寫成輸出方程的一般形式為2、狀態(tài)方程的一般形式8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程各系數(shù)矩陣式中對應的矩陣形式為輸出向量輸入向量狀態(tài)向量狀態(tài)變量的一階導數(shù)向量8.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程由于可看作n維空間的向量，稱為狀態(tài)向量，故狀態(tài)變量分析也常稱為狀態(tài)空間分析。應用狀態(tài)方程和輸出方程，可以研究許多復雜工程問題，例如：機器人雙腳的行走、飛機和火箭的升空等?；鸺刂葡到y(tǒng)8