2/10第07講章節(jié)復(fù)習(xí)專題：相交線與平行線目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一對(duì)頂角的定義】 3【考點(diǎn)二利用對(duì)頂角相等求角】 5【考點(diǎn)三求一個(gè)角的余角、補(bǔ)角】 7【考點(diǎn)四垂線的定義的理解與應(yīng)用】 8【考點(diǎn)五利用垂線的定義求角的度數(shù)】 10【考點(diǎn)六點(diǎn)到直線的距離與垂線段最短】 15【考點(diǎn)七同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別】 19【考點(diǎn)八添加一條件使兩條直線平行】 21【考點(diǎn)九平行線的判定和性質(zhì)多結(jié)論題】 23【考點(diǎn)十平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 28【考點(diǎn)十一平行線的判定和性質(zhì)綜合問題】 31【考點(diǎn)十二根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)探究角的關(guān)系】 34【考點(diǎn)十三根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)接解決光線問題】 38【考點(diǎn)十四根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解決三角形旋轉(zhuǎn)問題】 43【知識(shí)點(diǎn)1】對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角1.對(duì)頂角的概念：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.2.對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.3.互補(bǔ)與互余的概念互補(bǔ)：如果兩個(gè)角的和是180°，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，也稱互補(bǔ).互余：如果兩個(gè)角的和是90°，那么稱這兩個(gè)角互為余角，也稱互余.4.互補(bǔ)與互余的性質(zhì)：同角或等角的補(bǔ)角相等；同角或等角的余角相等.【知識(shí)點(diǎn)2】垂線及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號(hào)語言記作：AB⊥CD，垂足為O.特別提醒：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點(diǎn)P到直線AB的距離是垂線段PO的長.特別提醒：垂線段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.【知識(shí)點(diǎn)3】同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角角的名稱位置特征圖形結(jié)構(gòu)特征同位角既在截線的同側(cè)，又在兩條被截線的同側(cè)形如字母“F”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）內(nèi)錯(cuò)角既位于被截兩直線之間，又位于截線兩側(cè)，即被截線“錯(cuò)開”形如字母“Z”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）同旁內(nèi)角既位于接線的同側(cè)，又位于被截兩直線之間.形如字母“U”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）【知識(shí)點(diǎn)4】平行線1.平行線的定義在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“//”表示.2.平行線的畫法一“落”：把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”：用直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”：沿直尺移動(dòng)三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點(diǎn)；四“畫”：沿三角尺過已知點(diǎn)的變化直線.3.平行線的公理（1）平行公理：經(jīng)過直線過一點(diǎn)，有且只有一條只限于這條直線平行.（2）平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【知識(shí)點(diǎn)5】平行線的判定和性質(zhì)1.平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行，即同位角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同位內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行，即內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，即同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行符號(hào)語言那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1+∠2=180°那么AB//CD2.平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，即兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，即兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).【考點(diǎn)一對(duì)頂角的定義】例題：（24-25七年級(jí)下·全國·隨堂練習(xí)）下列圖形中，與互為對(duì)頂角的是（

）A．B．C．D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角的定義【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義判斷解答即可．本題考查了對(duì)頂角的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得是對(duì)頂角的是：故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）下列選項(xiàng)中，與是對(duì)頂角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角的定義【分析】本題考查了對(duì)頂角的概念．根據(jù)對(duì)頂角的概念可知，互為對(duì)頂角的兩個(gè)角的兩邊應(yīng)互為反向延長線，從而可判定滿足條件的選項(xiàng)．【詳解】解：A.與不是對(duì)頂角；B.與不是對(duì)頂角；C.與不是對(duì)頂角；D.與是對(duì)頂角．故選：D．2．（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）在下列圖形中，和是對(duì)頂角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角的定義【分析】本題考查對(duì)頂角，根據(jù)對(duì)頂角的定義，有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，且兩角的兩條邊分別為另一角的反向延長線，這樣的兩個(gè)角互為對(duì)頂角，據(jù)此進(jìn)行求解即可．【詳解】解：A、不是對(duì)頂角，不符合題意；B、不是對(duì)頂角，不符合題意；C、不是對(duì)頂角，不符合題意；D、是對(duì)頂角，符合題意；故選D．3．（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）下列圖形中，與互為對(duì)頂角的是（）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角的定義【分析】本題考查對(duì)頂角的意義，掌握對(duì)頂角的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)頂角的意義，一個(gè)角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，這樣的兩個(gè)角是對(duì)頂角，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)對(duì)頂角的意義得，C選項(xiàng)的圖象符合題意，故選：C．【考點(diǎn)二利用對(duì)頂角相等求角】例題：（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，直線a、b相交于點(diǎn)O，將量角器的中心與點(diǎn)O重合，發(fā)現(xiàn)表示的點(diǎn)在直線a上，表示的點(diǎn)在直線b上，則．【答案】80【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角相等【分析】本題考查了角的計(jì)算，對(duì)頂角相等，熟練掌握對(duì)頂角相等這條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算的度數(shù)，后利用對(duì)頂角相等確定即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，得，∵，∴，故答案為：80．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線、相交，，則.【答案】/40度【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角相等【分析】本題考查了對(duì)頂角相等，掌握其性質(zhì)，角度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖示可得，結(jié)合，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得，∵，∴，解得，，故答案為：．2．（23-24七年級(jí)下·全國·期末）如圖所示，直線，，兩兩相交，，，則．【答案】/25度【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)頂角相等【分析】本題主要考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)頂角相等得出，根據(jù)，求出，根據(jù)對(duì)頂角相等得出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．3．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測試）如圖，直線與相交于點(diǎn)，，，，則，．【答案】/25度/65度【知識(shí)點(diǎn)】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、對(duì)頂角相等【分析】本題主要考查對(duì)頂角以及余角，找到角之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出，再根據(jù)補(bǔ)角求出即可．【詳解】解：，，，，，．故答案為：，．【考點(diǎn)三求一個(gè)角的余角、補(bǔ)角】例題：（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）已知．（1）的余角；（2）的補(bǔ)角．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)角的余角、求一個(gè)角的補(bǔ)角【分析】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，根據(jù)互為余角的兩角的和等于90°，互為補(bǔ)角的兩角的和等于即可求解，正確理解余角和補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴的余角，的補(bǔ)角，故答案為：，．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·期末）若，則的余角等于．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)角的余角【分析】本題主要考查了余角的定義，正確進(jìn)行角度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵；若兩個(gè)角的和為，則這兩個(gè)角互余，據(jù)此即可求解．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，的余角，故答案為：?．（24-25七年級(jí)上·江西宜春·期末）已知，若與互余，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)角的余角、角的單位與角度制【分析】本題考查了求一個(gè)角的余角，熟練掌握余角的定義是解題的關(guān)鍵：如果兩個(gè)角的和等于，則這兩個(gè)角互為余角，即其中每一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．根據(jù)余角的定義即可直接得出答案．【詳解】解：，與互余，，故答案為：．3．（24-25七年級(jí)上·云南昭通·期末）已知，則的補(bǔ)角是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)角的補(bǔ)角【分析】此題考查了補(bǔ)角的定義，根據(jù)補(bǔ)角的定義求解即可，解題的關(guān)鍵是掌握補(bǔ)角的定義，和為的兩個(gè)角互為補(bǔ)角．【詳解】解：∵，∴的補(bǔ)角，故答案為：．4．（24-25七年級(jí)上·廣西賀州·期末）已知是的補(bǔ)角．是的補(bǔ)角，若，，則為．【答案】150【知識(shí)點(diǎn)】其他問題(一元一次方程的應(yīng)用)、求一個(gè)角的補(bǔ)角【分析】該題主要考查了補(bǔ)角的計(jì)算，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是列出方程．根據(jù)是的補(bǔ)角，是的補(bǔ)角，得出，，結(jié)合，，列出方程即可求解．【詳解】解：∵是的補(bǔ)角，是的補(bǔ)角，∴，，∵，，∴，解得：，∴，故答案為：150．【考點(diǎn)四垂線的定義的理解與應(yīng)用】例題：（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）為直線上的一點(diǎn)，為外一點(diǎn)，下列說法不正確的是（

）A．過可畫直線垂直于 B．過可畫直線的垂線C．連結(jié)使 D．過只能畫1條直線與垂直【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】垂線的定義理解【分析】此題主要考查了垂線的作法以及垂線的定義，正確把握垂線的作法是解題關(guān)鍵．直接利用垂線的定義結(jié)合垂線作法得出答案．【詳解】解：A、為直線上的一點(diǎn)，Q為外一點(diǎn)，過P可畫直線垂直于，正確，不合題意；B、為直線上的一點(diǎn)，Q為外一點(diǎn)，過Q可畫直線的垂線，正確，不合題意；C、連接不能保證，故錯(cuò)誤，符合題意；D、為外一點(diǎn)，可以過Q可畫直線與垂直，正確，不合題意；故選∶C．【變式訓(xùn)練】1．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知，，所以與在同一條直線上的理由是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線C．過一點(diǎn)只能作一條垂線D．垂線段最短【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】垂線的定義理解【分析】本題考查了垂線的基本事實(shí)，根據(jù)垂線的基本事實(shí)結(jié)合圖形得出結(jié)論是解題關(guān)鍵．利用同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直進(jìn)而得出答案即可．【詳解】解：因?yàn)椋?，所以直線與重合，其理由是：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：B．2．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，，垂足為D，則下面說法中不正確的是（

）A．點(diǎn)B到的垂線段是線段CA B．CD與AB互相垂直C．與互相垂直 D．線段的長度是點(diǎn)A到的距離【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離、垂線的定義理解【分析】題考查的是點(diǎn)到直線的距離，熟知直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵，∴，∴點(diǎn)B到的垂線段是線段，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、∵，∴CD和AB互相垂直，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、∵，∴，∴與互相垂直，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、∵，∴線段的長度是點(diǎn)A到的距離，故本選項(xiàng)正確，不符合題意．故選A．【考點(diǎn)五利用垂線的定義求角的度數(shù)】例題：（24-25七年級(jí)上·遼寧丹東·期末）如圖，是直線上一點(diǎn)，，平分，過點(diǎn)作垂直．(1)求的度數(shù)；(2)是否平分？并說明理由．【答案】(1)(2)平分，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、垂線的定義理解、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查角的和差，角平分線的定義，垂直的定義．（1）根據(jù)角平分線的定義可求出，再由垂線的定義得到，進(jìn)而根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)角的和差求得，即可解答．【詳解】（1）解：∵平分，，∴，∵垂直，∴，∴；（2）解：平分，理由如下：理由：∵，，∴，∴，∴平分．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·湖北黃石·期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，，分別是，的平分線．(1)圖中的補(bǔ)角有個(gè)；(2)試判斷和的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若，求的度數(shù)．【答案】(1)3(2)，理由見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、垂線的定義理解【分析】本題考查了補(bǔ)角、與角平分線有關(guān)的計(jì)算、垂直，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，，再根據(jù)平角可得，由此即可得出答案；（2）先根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)角的和差可得，由此即可得；（3）先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)求解即可得．【詳解】（1）解：∵直線與相交于點(diǎn)，∴，，，∵是的平分線，∴，∴，，∴圖中的補(bǔ)角有，，，共3個(gè)，故答案為：3．（2）解：，理由如下：∵直線與相交于點(diǎn)，∴，∵，分別是，的平分線，∴，，∴，∴．（3）解：∵是的平分線，，∴，由（2）已得：，∴．2．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，已知點(diǎn)為直線AB上一點(diǎn)，，，平分，．(1)求的度數(shù)；(2)試說明：平分；(3)若改變的大小，其余條件不變，設(shè)，(2)中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)用表示．【答案】(1)(2)見解析(3)（2）中的結(jié)論依然成立，理由見解答過程【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、垂線的定義理解、利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度【分析】此題主要考查了角平分線定義，垂直定義，鄰補(bǔ)角定義，角的計(jì)算；（1）先根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求出，再根據(jù)可得的度數(shù)；（2）先根據(jù)及角平分線定義得，進(jìn)而得，則，由此即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)鄰補(bǔ)角定義得，根據(jù)得，再根據(jù)角平分線定義得，進(jìn)而得，則，由此即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：點(diǎn)為直線AB上一點(diǎn)，，，，，；（2），平分，，由（1）可知：，，，，，平分；（3）（2）中的結(jié)論依然成立，理由如下：點(diǎn)為直線AB上一點(diǎn)，，，，，平分，，，，，，平分．3．（24-25七年級(jí)上·全國·期末）已知是直線上一點(diǎn)，是直角，平分．(1)如圖1，當(dāng)，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，求的度數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)以每秒沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)秒，旋轉(zhuǎn)過程中始終平分，請(qǐng)直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)，【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、求一個(gè)角的補(bǔ)角、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查角的和差計(jì)算，角平分線的定義，補(bǔ)角的定義等知識(shí)的綜合運(yùn)用，（1）由補(bǔ)角及直角的定義可求得的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求解的度數(shù)；（2）由角平分線的定義可得，即可得解；（3）可分兩種情況：①時(shí)，②時(shí)，分別計(jì)算可求解；利用分類討論的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為；（2）解：∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為；（3）解：①當(dāng)時(shí)，由題意得：，∴，∵平分，∴，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，由題意得：，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴；綜上所述，，．【考點(diǎn)六點(diǎn)到直線的距離與垂線段最短】例題：（24-25七年級(jí)下·全國·隨堂練習(xí)）已知P為直線m外一點(diǎn)，A，B，C為直線m上三點(diǎn)，，，，則點(diǎn)P到直線m的距離為（

）A． B． C．小于 D．不大于【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，熟練掌握“直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的線段中，垂線段最短”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)與直線上垂足間的線段的長，再根據(jù)垂線段最短，可得答案．【詳解】解∶當(dāng)時(shí)，PC是點(diǎn)P到直線m的距離，即點(diǎn)P到直線m的距離為，當(dāng)不垂直m時(shí)，點(diǎn)P到直線m的距離小于的長，即點(diǎn)P到直線m的距離小于，綜上所述：點(diǎn)P到直線m的距離不大于，故選∶D．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級(jí)上·貴州貴陽·期中）如圖，四點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線外，，若，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、點(diǎn)到直線的距離【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)垂線的性質(zhì)：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，結(jié)合條件進(jìn)行解答即可，解題關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)到直線的距離的定義和垂線的性質(zhì)．【詳解】如圖所示：∵直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，，∴點(diǎn)M到直線l的距離是垂線段的長度，為，故選：A．2．（24-25七年級(jí)上·河南洛陽·期末）如圖是測量學(xué)生跳遠(yuǎn)成績的示意圖，即的長為某同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績，其依據(jù)是（

）A．垂線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線C．兩點(diǎn)之間線段最短D．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短【分析】此題考查了垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則．由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則作出判斷．【詳解】解：能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是垂線段最短，故選：A．3．（23-24七年級(jí)下·福建廈門·期末）如圖，點(diǎn)A，E在直線上，點(diǎn)B，C，D在直線上，于點(diǎn)B，于點(diǎn)A，于點(diǎn)E，下列線段的長度是點(diǎn)A到直線的距離的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可得出，本題主要考查點(diǎn)到直線的距離的定義．【詳解】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義得：線段的長度是點(diǎn)A到直線的距離，故選：B．4．（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）如圖，天然氣主管道的同側(cè)有，兩個(gè)小區(qū)，某市計(jì)劃從主管道引一條支管道連接，兩小區(qū)，下面的四個(gè)鋪設(shè)方案中，所引天然氣支管道長度最短的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可得B方案小于C，D方案，再根據(jù)垂線段最短得到B方案小于A方案即可解題．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短和兩點(diǎn)間線段最短，可得所引天然氣支管道長度最短的是B選項(xiàng)，故答案為：B．5．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上，只用直尺在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖．(1)作線段，作射線；(2)點(diǎn)到直線的距離為線段________的長度；(3)在線段上找一點(diǎn)，使它到、、、四個(gè)點(diǎn)的距離之和最小，作圖的理由為________．【答案】(1)見解析(2)(3)兩點(diǎn)之間線段最短【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離、畫出直線、射線、線段、兩點(diǎn)之間線段最短【分析】本題主要考查了網(wǎng)絡(luò)作圖．熟練掌握畫線段，畫射線，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)之間線段最短，是解題的關(guān)鍵．（1）連接畫出線段，連接并延長畫出射線即可；（2）根據(jù)可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長度；（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得的最小值為的長，得點(diǎn)到、、、四個(gè)點(diǎn)的距離之和最小值為．【詳解】（1）連接，連接并延長，即得．（2）點(diǎn)到直線的距離為線段的長度故答案為：（3）連接，交BD于點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，，最小，則，最小．故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．【考點(diǎn)七同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別】例題：（24-25七年級(jí)下·全國·隨堂練習(xí)）和是同位角的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【分析】本題考查了同位角的概念：兩條直線被第三條直線所截而形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同側(cè)，據(jù)此進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：A、和不是同位角，故該選項(xiàng)不符合題意；B、和是同位角，故該選項(xiàng)符合題意；C、和不是同位角，故該選項(xiàng)不符合題意；D、和不是同位角，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·云南昆明·期末）下列判斷錯(cuò)誤的是()A．與是同旁內(nèi)角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角C．與是同旁內(nèi)角 D．與是同位角【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【分析】此題主要考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、與是同旁內(nèi)角，故此選項(xiàng)不符合題意；B、與是內(nèi)錯(cuò)角，故此選項(xiàng)不符合題意；C、與不是同旁內(nèi)角，故此選項(xiàng)符合題意；D、與是同位角，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．（24-25七年級(jí)上·云南文山·期中）下列各圖中，與是內(nèi)錯(cuò)角的是（

）A．B．C．D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角【分析】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角的判斷，熟記內(nèi)錯(cuò)角的定義是解題的關(guān)鍵．兩條直線被第三條直線所截形成的八個(gè)角中，兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義可知，內(nèi)錯(cuò)角是成“”字形的兩個(gè)角，據(jù)此逐項(xiàng)分析可得答案．【詳解】解：A.、與是內(nèi)錯(cuò)角，符合題意；B、與不是內(nèi)錯(cuò)角，不符合題意；C、與不是內(nèi)錯(cuò)角，不符合題意；D、與不是內(nèi)錯(cuò)角，不符合題意；故選：A．3．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，給出下列說法：①和是同位角；②和是對(duì)頂角；③和是內(nèi)錯(cuò)角；④和是同旁內(nèi)角．其中說法錯(cuò)誤的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、對(duì)頂角的定義【分析】本題考查三線八角，根據(jù)同位角，同旁內(nèi)角和內(nèi)錯(cuò)角的定義和特點(diǎn)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】和是同位角，①說法正確；和不是對(duì)頂角，②說法錯(cuò)誤；和是內(nèi)錯(cuò)角，③說法正確；和不是同旁內(nèi)角，④說法錯(cuò)誤．故說法錯(cuò)誤的有②，④，共2個(gè)．故選B．【考點(diǎn)八添加一條件使兩條直線平行】例題：（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）如圖，有下列條件：①；②；③；④．其中能得到的是．（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）【答案】②③/③②【知識(shí)點(diǎn)】內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行、同位角相等兩直線平行【分析】本題主要考查了平行線的判定，解題時(shí)注意：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①，；②，；③，；④，，能夠得到的條件是②③，故答案為：②③．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）如圖，已知，要使，還需添加一個(gè)條件，你想添加的條件是．【答案】（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】同位角相等兩直線平行【分析】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握同位角相等兩直線平行．添加：，再加上條件可得，再根據(jù)同位角相等兩直線平行可得．【詳解】解：添加：，故答案為：（答案不唯一）．2．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，直線分別與直線，相交于點(diǎn)E，C，若要使，則可添加的條件是．（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】同位角相等兩直線平行【分析】此題主要考查了平行線的判定．根據(jù)平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行可知添加條件即可．【詳解】解：可以添加，可根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到，故答案為：（答案不唯一）．3．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，E是線段的延長線上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件，使，則可添加的條件為（寫出一種情況即可）．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】同位角相等兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行【分析】本題主要考查了平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，據(jù)此進(jìn)行解答（答案不唯一）．【詳解】解：若，則；若，則；若，則；若，則；故答案為或或或．（答案不唯一）【考點(diǎn)九平行線的判定和性質(zhì)多結(jié)論題】例題：（24-25七年級(jí)上·四川內(nèi)江·期末）將一副三角尺按如圖所示的方式放置，其中，，，，給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④若，則．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查了根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、三角板中角度計(jì)算問題等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論即可．若，則，可推出，，即可判斷①；若，則，即可判斷②；由，得，即，即可判斷③；若，由③得，由①得：，即可判斷④；【詳解】解：若，則，∴，∵，∴，∴；故①正確；若，則；∴，故②正確；∵，∴，即，∴，故③正確；若，由③得，由①得：，∴，故④正確；故選：D【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·山東德州·期中）如圖，在四邊形中，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)A，連接，若．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③平分；④．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】先由平行線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，則，即可推出，進(jìn)而得到，則，進(jìn)一步得到，則，根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明平分，由此可得答案．本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判斷，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和判斷．【詳解】解：，，，，，，故①正確；，，，，故②正確；，，故④正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明平分，故③錯(cuò)誤；故選：C．2．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，，，平分，平分，關(guān)于下列結(jié)論：①，②，③平分，④，正確的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，根據(jù)，，，可得，即可判斷③正確；再證明，即可判斷①正確；根據(jù)不一定是等腰直角三角形，可判斷②錯(cuò)誤；由①得：，即有，結(jié)合平分，即可得，問題得解．【詳解】解：∵，∴，，∵平分，∴，∴，∴平分．故③正確；∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，故①正確；若，則是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故②錯(cuò)誤；由①得：，∴，∵平分，∴，∴．故④正確．故選：D．3．（22-23七年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，，平分，，，，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、垂線的定義理解【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、垂線、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．由可得，由平分可得可判定①；根據(jù)垂直的定義、交的和差可判定②正確；再結(jié)合角平分線的定義可判定③；先說明，而不一定成立即可判定④．【詳解】解：∵，∴，，∵平分，∴，即①正確；∵平分，∴,∵，∴，∴,，即③正確；∴∴平分，故②正確；∵，∴，∴，而題目中不能得到，故④錯(cuò)誤．故選：B．4．（23-24七年級(jí)下·重慶渝北·期中）如圖，，為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且，且平分，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】垂直于同一直線的兩直線平行、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、垂直的定義等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，代入計(jì)算即可判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可判斷②；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，但題干未知的大小，由此即可判斷③和④．【詳解】解：∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得，則結(jié)論①正確；∵，∴，∴，則結(jié)論②正確；∵，，∴，∵，∴，但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正確，則結(jié)論③和④都錯(cuò)誤；綜上，正確的是①②，故選：A．【考點(diǎn)十平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】例題：（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）如圖是某射箭運(yùn)動(dòng)員射箭的一個(gè)瞬間．已知，，，，，則運(yùn)動(dòng)員兩腿之間的夾角的度數(shù)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)B作，先由平行線的性質(zhì)推出，，再由平行線的性質(zhì)推出，，再由可得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作．∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）如圖是小明寫字桌上的一款折疊護(hù)眼臺(tái)燈的簡易圖，支柱與桌面DE交于點(diǎn)，燈管與桌面CE平行，若，，則的度數(shù)為．【答案】#100度【知識(shí)點(diǎn)】平行公理推論的應(yīng)用、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理推論，過作，由平行公理推論得，最后由平行線的性質(zhì)和角度和差即可求解，掌握平行線的性質(zhì)，平行公理推論的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，故答案為：．2．（2025七年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）[傳統(tǒng)文化]為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，讓學(xué)生感受中國的傳統(tǒng)文化，某校將國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)——“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖①是某同學(xué)“抖空竹”時(shí)的一個(gè)瞬間，小聰把它抽象成了數(shù)學(xué)問題：如圖②，已知，，則的度數(shù)是．【答案】/23度【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，作，得到，再結(jié)合，得到，求出，最后根據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：如圖所示：作，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．3．（2025七年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）探照燈、汽車燈以及很多其他燈具都可以反射光線．如圖是一探照燈燈碗，從上一點(diǎn)O照射到燈碗上的光線，經(jīng)反射后都沿著與平行的方向射出．若，則°．【答案】60【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，那么，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：60．4．（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）如圖，桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提拉至所需處，若已知支架，AB可以繞著點(diǎn)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)，，此時(shí)為．【答案】/44度【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，∴，故答案為：．【考點(diǎn)十一平行線的判定和性質(zhì)綜合問題】例題：（24-25七年級(jí)下·全國·單元測試）如圖，已知點(diǎn)E、F在直線上，點(diǎn)G在線段上，與交于點(diǎn)H，．(1)猜想與是否平行，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；理由見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查了對(duì)頂角相等，平行線的判定與性質(zhì)．熟練掌握對(duì)頂角相等，平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，，可證，則，，進(jìn)而可證；（2）由（1）可知，，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：；理由如下：由題意知，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）可知，，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·陜西咸陽·期末）如圖，點(diǎn)E、F分別在線段上，連接，過點(diǎn)F作分別交于點(diǎn)H、G，．(1)求證：；(2)若平分，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件證明，據(jù)此可證明；（2）先由平行線的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義求出的度數(shù)即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴．2．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，交于點(diǎn)F，點(diǎn)C在的延長線上，．

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求證：．【答案】(1)(2)詳見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵．（1）結(jié)合平行線判定和性質(zhì)和角的關(guān)系求得，，從而求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理論證．【詳解】（1）解：，，．，，即．（2）證明：由（1），可知，．又，，3．（24-25七年級(jí)下·全國·期末）如圖，在四邊形中，平分，交于點(diǎn)G，交的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為延長線上一點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)及角平分線的定義，掌握三角形的內(nèi)角和及平行線的判定定理與定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，可得，即可求證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再由平分，可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴．【考點(diǎn)十二根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)探究角的關(guān)系】例題：（23-24七年級(jí)下·云南曲靖·期中）如圖，已知射線，連接，點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），平分交于點(diǎn)C、平分交于點(diǎn)D．(1)若，求的度數(shù)；(2)數(shù)學(xué)興趣小組探索后發(fā)現(xiàn)無論點(diǎn)P在射線上的什么位置，與之間的數(shù)量關(guān)系都保持不變，請(qǐng)你寫出它們的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，角平分線的定義；（1）先證明，證明，，再利用角的和差運(yùn)算可得結(jié)論；（2）先證明，，，再進(jìn)一步可得結(jié)論.【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分交于點(diǎn)C、平分交于點(diǎn)D，∴，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，，∵BD平分，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·吉林四平·期末）已知：如圖，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)．(圖2，圖3為備用圖)(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①依題意，在圖1中補(bǔ)全圖形；②若，則__________(填度數(shù))．(2)當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，請(qǐng)寫出的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，；當(dāng)D點(diǎn)在的延長線上時(shí)，；當(dāng)D點(diǎn)在的延長線上時(shí)，【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．（1）①根據(jù)幾何語言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，所以；（2）當(dāng)D點(diǎn)在的延長線上時(shí)，；根據(jù)平行線的性質(zhì)分別進(jìn)行證明即可；（3）分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段延長線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：①補(bǔ)全圖形如圖1所示：②∵，∴，，∴；（2）解：當(dāng)D點(diǎn)在的延長線上時(shí)，如圖2，；理由如下：∵，∴，，∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，；∵，∴，，∴；當(dāng)D點(diǎn)在的延長線上時(shí)，根據(jù)解析（2）可知，；當(dāng)D點(diǎn)在的延長線上時(shí)，如圖3，；理由如下：∵，∴，，∴，∴．2．（23-24七年級(jí)下·甘肅平?jīng)觥て谀締栴}背景】如圖，線段的端點(diǎn)M、N分別在直線，上，E為，之間一點(diǎn)，連接NE，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，．【問題探究】(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，延長交于點(diǎn)P，若平分，交于點(diǎn)Q．①若，求的度數(shù)；②判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，推得，根據(jù)平行線的判定即可證明；（2）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)和可得，，即可求得．②根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，推得根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，∴，∴．（2）①∵，，∴．∵NM平分，∴．∵，，∴，，∴，∴．②．理由如下：∵，，∴．∵平分，∴．∵，∴，即．∵，∴，∴．【考點(diǎn)十三根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)接解決光線問題】例題：（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）跨學(xué)科試題·物理如圖1，將支架平面鏡放置在水平桌面上，激光筆與水平天花板的夾角為，激光筆發(fā)出的入射光線射到上后，反射光線與形成．由光的反射定律可知，、與的垂線所形成的夾角始終相等，即．(1)的度數(shù)為_____．(2)如圖2，點(diǎn)固定不動(dòng)，調(diào)節(jié)支架平面鏡，調(diào)節(jié)角為．①若，求的度數(shù)；②若反射光線恰好與平行，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②【知識(shí)點(diǎn)】同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，余角的性質(zhì)等；（1）由垂直的定義得，，由余角的性質(zhì)即可求解；（2）①過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)得，由平行線的判定方法得，由平行線的性質(zhì)得，求出后，即可求解；②由平行線的性質(zhì)得，由平行線的判定方法得，由平行線的性質(zhì)，即可求解；掌握平行線的判定及性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助平行線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，，，，，，故答案：；（2）解：①過點(diǎn)作，如圖，，，，，，，，，，故答案：；②如圖，，，，，，，，，；故答案：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·廣東珠?！て谀┚C合與實(shí)踐臺(tái)燈作為一種照明工具，適合于書桌、床頭等需要局部照明的地方，它能夠集中光線，使得周圍環(huán)境適合于閱讀、學(xué)習(xí)或工作，對(duì)于保護(hù)眼睛健康也具有重要意義．如圖1是一蓋可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，底座MN位于水平位置，支架、為固定支撐桿，支架可繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從而調(diào)節(jié)燈光照射方向．已知燈體頂角，的平分線始終與垂直．(1)求的度數(shù)：(2)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，恰好與平行，求支架與水平方向夾角的度數(shù)；(3)若（2）中支架與水平方向的夾角的度數(shù)保持不變，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，旋轉(zhuǎn)后，求此時(shí)與水平方向的夾角的度數(shù)．【答案】(1)；(2)；(3)．【知識(shí)點(diǎn)】平行公理推論的應(yīng)用、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、角平分線的有關(guān)計(jì)算、垂線的定義理解【分析】本題考查了平行線性質(zhì)等，熟練掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）由角平分線定義求得，再根據(jù)垂直定義可得，即可由求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（3）過點(diǎn)、作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：∵平分，，∵，∴，∴．（2）解：由題可知，∴∴由題可知，．（3）解：如圖所示，分別過點(diǎn)、作，，，，，，，，由（1）可知，，．2．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖所示的是一個(gè)潛望鏡模型示意圖，它由入射鏡筒、直管、反射鏡筒以及兩塊平面鏡構(gòu)成，入射鏡筒與反射鏡筒互相平行，且都與直管垂直，，代表兩塊平面鏡擺放的位置．鏡筒上下壁和直管左右壁可視作分別相互平行的直線．是進(jìn)入潛望鏡的光線，它與入射鏡筒壁平行，與直管壁垂直，是離開潛望鏡的光線，光線經(jīng)過鏡子的反射時(shí)，滿足入射角等于反射角的原理，如：，．設(shè)，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②若光線與直管壁平行，則的度數(shù)為________；(2)如圖2，當(dāng)光線經(jīng)過B處鏡面反射后照射到直管右