2/10第12講章節(jié)復(fù)習(xí)專題：三角形目錄TOC\o"1-1"\h\u【考點一判斷三邊是否能構(gòu)成三角形】 3【考點二三角形的穩(wěn)定性】 5【考點三已知三角形的兩邊長，求第三邊的取值范圍】 6【考點四利用三角形的三邊關(guān)系化簡絕對值】 8【考點五利用三角形的內(nèi)角和求角的度數(shù)】 10【考點六判斷是否三角形的高線】 13【考點七根據(jù)三角形的中線求解】 15【考點八在網(wǎng)格中畫三角形的中線、高線及求三角形的面積】 18【考點九利用三角形的中線、高線、角平分線求解】 22【考點十利用全等三角形的性質(zhì)求解】 27【考點十一全等三角形判定和性質(zhì)多結(jié)論問題】 29【考點十二全等三角形的性質(zhì)和判定】 36【考點十三全等三角形的性質(zhì)和判定探究綜合題】 41知識點01三角形的概念及分類1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形.2.三角形的分類(1)按邊分類可以分為；(2)按角分類可以分為知識點02三角形基本元素角與邊的有關(guān)定理(1)三角形的內(nèi)角和等于.(2)直接三角形兩個銳角互余.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.知識點03三角形的中線、角平分線、中線三角形的高：從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，頂點與垂足之間的線段；三角形的中線：聯(lián)結(jié)三角形一個頂點與對邊中點的線段；三角形的重心：三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點．這點稱為三角形重心。三角形的角平分線：三角形的一個內(nèi)角的角平分線與對邊相交于一點頂點與交點之間的線段；三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標(biāo)示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點．知識點04全等三角形的概念和性質(zhì)能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形．兩個全等的三角形，經(jīng)過變換而重合，相互重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，相互重合的邊叫做對應(yīng)邊，相互重合的角叫做對應(yīng)角．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．邊、角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．知識點05全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.特別說明：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（可以寫成“角角邊”或“AAS”）特別說明：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.知識點06全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．邊、角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．【考點一判斷三邊是否能構(gòu)成三角形】例題：（24-25七年級下·上海閔行·期中）下列各組長度的線段中，能組成三角形的是（

）A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1【答案】C【知識點】構(gòu)成三角形的條件【分析】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、∵，∴長為1，2，3的三條線段不能組成三角形，不符合題意；B、∵，∴長為6，3，2的三條線段不能組成三角形，不符合題意；C、∵，∴長為2，2，3的三條線段能組成三角形，符合題意；D、∵，∴長為1，2，4的三條線段不能組成三角形，不符合題意；故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）下列長度的三條線段中，能構(gòu)成三角形的是（）A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，12【答案】D【知識點】構(gòu)成三角形的條件【分析】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行求解．【詳解】解：A、，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；B、，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；C、，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；D、，能構(gòu)成三角形，故符合題意；故選D．2．（24-25八年級上·河北廊坊·期中）下列長度的三根小木棒，把它們首尾順次相接能擺成一個三角形的是（

）A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，10【答案】B【知識點】構(gòu)成三角形的條件【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊進行分析即可．在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．【詳解】解：A、，不能組成三角形，故此選項錯誤；B、，能組成三角形，故此選項正確；C、，不能組成三角形，故此選項錯誤；D、，不能組成三角形，故此選項錯誤；故選：B．3．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）以三個連續(xù)的偶數(shù)為三角形的三條邊長，構(gòu)不成三角形的是（

）A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6【答案】D【知識點】構(gòu)成三角形的條件【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，據(jù)此逐項分析，即可作答．【詳解】解：A、，能構(gòu)成三角形，不符合題意；B、，能構(gòu)成三角形，不符合題意；C、，能構(gòu)成三角形，不符合題意；D、，不能構(gòu)成三角形，符合題意；故答案為：D．【考點二三角形的穩(wěn)定性】例題：（24-25七年級下·全國·單元測試）如圖，生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，其中所涉及的數(shù)學(xué)原理是（

）A．三角形任意兩邊之和大于第三邊 B．三角形的穩(wěn)定性C．兩點之間線段最短 D．兩點確定一條直線【答案】B【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，熟練掌握三角形的穩(wěn)定性定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行作答即可．【詳解】解：圖中的自行車的幾根梁合成了一個三角形，是運用了三角形的穩(wěn)定性原理．故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·湖南長沙·期末）平板電腦是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常使用的電子產(chǎn)品，它的很多保護殼還兼具支架功能，有一種如圖所示，平板電腦放在它上面就可以很方便地使用了，這是利用了（

）A．兩點之間，線段最短 B．三角形內(nèi)角和等于180度C．三角形具有穩(wěn)定性 D．兩邊之和大于第三邊【答案】C【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：這是利用了三角形的穩(wěn)定性，故選：C．2．（24-25八年級上·新疆喀什·期末）以下圖形不具有三角形穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【答案】C【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會改變．本題考查三角形的穩(wěn)定性，關(guān)鍵在于熟記三角形具有穩(wěn)定性的特征．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得A、B、D都具有穩(wěn)定性，不具有穩(wěn)定性的是C選項．故選：C．3．（24-25八年級上·云南昆明·期末）如圖，北盤江大橋跨越云南和貴州交界的北盤江大峽谷，全長1341.4米，橋面到谷底垂直高度565米，差不多相當(dāng)于200層樓的高度，垂直高度和橋梁跨度均屬世界罕見，經(jīng)吉尼斯世界紀(jì)錄認(rèn)證為“世界最高橋”．主橋采用雙塔雙索面鋼桁架梁斜拉設(shè)計，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．三角形的穩(wěn)定性 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．三角形內(nèi)角和等于【答案】A【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【分析】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性回答．【詳解】解：主橋采用雙塔雙索面鋼桁架梁斜拉設(shè)計，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊含的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性．故選：A【考點三已知三角形的兩邊長，求第三邊的取值范圍】例題：（24-25八年級上·安徽合肥·期中）若一個三角形三邊長分別為2，m和8，則m的取值范圍．【答案】【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】設(shè)第三邊長為m，根據(jù)題意，得即，解答即可．本題考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第三邊長為m，根據(jù)題意，得即，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·河南漯河·期末）若為三角形三邊長，且滿足，則第三邊長可能是．【答案】2（答案不唯一）【知識點】絕對值非負(fù)性、確定第三邊的取值范圍【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識點，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：、滿足，，，，，為三角形的三邊長，，即，第三邊長可能是2，故答案為：2（答案不唯一）．2．（24-25八年級上·寧夏吳忠·期中）一木工師傅現(xiàn)有兩根木條，木條的長分別為和，他要選擇第三根木條，將它們釘成一個三角形木架．設(shè)第三根木條長為，則x的取值范圍是．【答案】【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，掌握在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．直接利用三角形的三邊關(guān)系求解即可．【詳解】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：，即．故答案為：．3．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）已知一個三角形的三邊長為2，5，a，則a的取值范圍是；若此三角形的周長為偶數(shù)，則，此時三角形的形狀是三角形．【答案】5等腰【知識點】確定第三邊的取值范圍、等腰三角形的定義【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，解題關(guān)鍵是掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定a的取值范圍，即可求解．【詳解】解：一個三角形的三邊長為2，5，a，則，即，若此三角形的周長為偶數(shù)，則，此時三角形的形狀是等腰三角形，故答案為：，5，等腰．【考點四利用三角形的三邊關(guān)系化簡絕對值】例題：（24-25八年級上·青海西寧·階段練習(xí)）已知，，為三角形的三邊，化簡的結(jié)果是【答案】/【知識點】整式的加減運算、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、化簡絕對值【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，絕對值的意義，整式的加減運算，掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，，，進而去絕對值符號，合并同類項即可．【詳解】解：、、是三角形的三邊長，，，，，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·安徽安慶·期中）已知等腰的三邊長分別為5，11，，則．【答案】【知識點】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，分兩種情況討論即可得出答案，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)腰長為時，則，解得：，此時三邊長為，∵，∴不能構(gòu)成三角形，舍去，當(dāng)腰長為時，則，解得：，此時三邊長為，能構(gòu)成三角形，綜上，，故答案為：．2．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）已知等腰三角形的三邊長分別為13，，則該等腰三角形的底邊長為．【答案】3或13【知識點】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的定義以及三角形的三邊關(guān)系，難點在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能夠組成三角形．分，和三種情況分別求出x的值，從而確定出三角形的三邊，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊進行判斷，最后根據(jù)三角形的周長的定義即可求解．【詳解】解：分以下三種情況：①當(dāng)，解得，，，三角形的三邊分別為8、8、13，，∴此時能組成三角形；∴底邊長為13；②，解得，，三角形的三邊分別為13、13、3，，∴此時能組成三角形，底邊為3；③，解得，綜上所述，該三角形的底邊等于3或13．故答案為：3或133．（24-25八年級上·內(nèi)蒙古通遼·期末）為三角形三邊長，化簡的結(jié)果是．【答案】0【知識點】化簡絕對值、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、整式的加減運算【分析】本題主要考查了簡單的三角形的三邊關(guān)系的運用，能夠利用其性質(zhì)求解一些簡單的計算問題．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系去絕對值，即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，進而再化簡即可．【詳解】解：解：因為a，b，c是三角形的三邊長，所以，，，．故答案為：0．【考點五利用三角形的內(nèi)角和求角的度數(shù)】例題：（24-25八年級上·北京海淀·期中）已知如圖，，，，則的度數(shù)為．【答案】【知識點】與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【分析】本題考查了與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，，，，．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·上海普陀·階段練習(xí)）已知：如圖，在中，，，若，則．【答案】/26度【知識點】直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，，，，，．故答案為：．2．（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）在中，為邊上的高，，，則是度．【答案】或【知識點】與三角形的高有關(guān)的計算問題、直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)及與三角形高相關(guān)的問題，根據(jù)題意分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，由于類型不確定，需分三種情況：高在三角形內(nèi)部、高在三角形邊上和高在三角形外部討論求解．【詳解】解：根據(jù)題意，分三種情況討論：①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：在中，為邊上的高，，，，；②高在三角形邊上，如圖所示：可知，，故此種情況不存在，舍棄；③高在三角形外部，如圖所示：在中，為邊上的高，，，，；綜上所述：或，故答案為：或．3．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）將一副直角三角板如圖放置．已知，當(dāng)時，的度數(shù)為．【答案】/75度【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、對頂角相等【分析】本題考查直角三角形兩銳角互余，對頂角的性質(zhì)．證明，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【考點六判斷是否三角形的高線】例題：（24-25八年級上·北京·期中）如圖所示，中邊上的高線畫法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查了畫高線，過點C作，交的延長線于點H，點C和點H之間的線段即為所求作．【詳解】解：如圖所示，過點C作，交的延長線于點H，則即為所求作的高線．故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·北京·期中）已知，作邊上的高，下列作圖中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查了三角形高的定義，掌握三角形高的作法成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形高的定義，過A點作的垂線即可解答．【詳解】解：作邊上的高，作圖中正確為：故選：C．2．（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在中，邊上的高是（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【答案】D【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查了三角形高的定義，在中，邊上的高是過點A向直線所作的垂線段，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由三角形高的定義可知，在中，邊上的高是線段，故選：D．3．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，，垂足分別為C，D，E，則下列說法不正確的是（

）A．是的高 B．是的高C．是的高 D．是的高【答案】C【知識點】畫三角形的高【分析】本題考查三角線的高，根據(jù)三角形的高線的定義，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、，是的高，正確，不符合題意；B、，是的高，正確，不符合題意；C、，不是的高，原說法錯誤，符合題意；D、，則：，故是的高，正確，不符合題意；故選C．【考點七根據(jù)三角形的中線求解】例題：（24-25八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，，為中線，則與的周長之差的值為．【答案】【知識點】根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查了三角形的中線，熟練掌握三角形中線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中線的定義得到，再根據(jù)三角形周長公式計算即可．【詳解】解：∵為的中線，∴，∵，∴與的周長之差為：，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，，分別為，的中點，若的面積為，則的面積是．【答案】/【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查的知識點是三角形中線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形中線平分三角形的面積．根據(jù)三角形中線平分三角形的面積即可得．【詳解】解：，分別為，的中點，即是的中線，是的中線，，．故答案為：．2．（23-24八年級下·全國·單元測試）（1）在中，是的平分線，是邊上的中線．若，則；若，則．（2）在中，，是邊上的中線，的周長為，的周長為，則．【答案】/80度3【知識點】三角形角平分線的定義、根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查了角平分線，中線等知識．熟練掌握角平分線，中線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線，中線的定義求解作答即可；（2）由是邊上的中線，可得，由題意知，的周長為，的周長為，計算求解即可．【詳解】（1）解：∵是的平分線，，∴，∵是邊上的中線，，∴，故答案為：，3；（2）解：∵是邊上的中線，∴，由題意知，的周長為，的周長為，∴，，故答案為：．3．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖，在中，是邊上的中線，，與交于點F，若的面積等于16．（1）的面積為；（2）設(shè)的面積為m，的面積為n，則．【答案】4/【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查了三角形中線的意義，三角形面積的性質(zhì)，解方程，熟練掌握中線的意義是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)邊上的高為h，根據(jù)題意，得，，結(jié)合得，代入計算即可．（2）根據(jù)是邊上的中線，的面積等于16，得到，結(jié)合的面積為m，的面積為n，得到即，連接，根據(jù)，得到，根據(jù)是邊上的中線，，繼而得到，得到，代入解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)邊上的高為h，根據(jù)題意，得，，∵，∴，故答案為：4．（2）解：根據(jù)是邊上的中線，的面積等于16，得到，又的面積為m，的面積為n，得到即，如圖，連接，根據(jù)，得到，又是邊上的中線，，故，解得，故．故答案為：．【考點八在網(wǎng)格中畫三角形的中線、高線及求三角形的面積】例題：（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在下面的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長為1，的三個頂點都在格點上．(1)畫出邊上的高和中線；(2)畫出邊上的高，并直接寫出的長（提示：的長等于5）．【答案】(1)見解析(2)見解析，【知識點】畫三角形的高、根據(jù)三角形中線求長度、利用網(wǎng)格求三角形面積【分析】此題考查了作三角形的高線和中線，等面積法求三角形高，（1）取格點D，連接即為邊上的高；取格點H，連接交于點E，中線即為所求；（2）取格點G，連接交的延長線于點F，高即為所求，然后根據(jù)面積法求解即可．【詳解】（1）如圖所示，高和中線即為所求；（2）如圖所示，邊上的高即為所求；∵的長等于5∴∴∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·江蘇南京·期末）如圖，正方形網(wǎng)格中所有小正方形的邊長都為1，規(guī)定每個小正方形的頂點為格點，點A、B、C都在格點上．(1)的面積______；(2)只用直尺畫出的高；(3)只用直尺過點C畫．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【知識點】利用網(wǎng)格求三角形面積、畫三角形的高、用直尺、三角板畫平行線【分析】本題主要考查了網(wǎng)絡(luò)作圖．熟練掌握全等三角形性質(zhì)，垂直定義，平行線性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）的面積用矩形面積減去周圍3個三角形面積即得；（2）取格點，根據(jù)網(wǎng)格特點，結(jié)合三角形的高的定義畫圖即可；（3）借助網(wǎng)格，結(jié)合平行線的判定畫圖即可．【詳解】（1）．故答案為：．（2）解：如圖，取點E，連接，交于點H，即為的高．（3）解：如圖，取點D，連接，即為所求作．2．（24-25八年級上·新疆巴音郭楞·期中）如圖為的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點叫做格點．已知的三個頂點均在格點上，按要求解答：(1)請畫出的邊上的高；(2)連接格點，用一條線段將分成面積相等的兩部分（直接畫圖即可）；(3)直接寫出的面積為__________．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)10【知識點】根據(jù)三角形中線求面積、利用網(wǎng)格求三角形面積、畫三角形的高【分析】本題考查作圖與應(yīng)用設(shè)計、三角形的高、面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．（1）過點畫的垂線段即可，的高如圖所示．（2）取的中點，如圖線段將分成面積相等的兩部分．（3）根據(jù)計算即可．【詳解】（1）解：的高如圖所示．（2）解：如圖線段將分成面積相等的兩部分．（3）解：．故答案為10．3．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習(xí)）圖①，圖②均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A、B、C均在格點上，只用無刻度的直尺，在網(wǎng)格中按要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)的面積為______，(2)在圖①中，過點C作線段，使點D為格點；(3)在圖②中，過點B作的垂線段．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【知識點】畫三角形的高、平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用、無刻度直尺作圖、利用網(wǎng)格求三角形面積【分析】本題考查了網(wǎng)格中應(yīng)用與設(shè)計作圖，平行線、三角形高的作法，三角形面積求法，靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題．（1）利用割補法計算即可；（2）取格點D，作直線即可；（2）取格點F，連接，由網(wǎng)格線的特點得，同理（2）取格點G，作直線交直線于點E即可；【詳解】（1）解：；（2）解：如圖所示，直線為所求：（3）解：如圖所示，線段為所求：【考點九利用三角形的中線、高線、角平分線求解】例題：（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在中，是中線，，．(1)求與的周長差．(2)點E在邊上，連接，若與四邊形的周長相等，求線段的長．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查了三角形的中線性質(zhì)，三角形周長的計算，掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）的周長，的周長，由中線的定義可得，即可解答；（2）由圖可知的周長，四邊形的周長，，所以，則可解得長．【詳解】（1）解：的周長，的周長，∵是中線，∴，∴與的周長差：；（2）解：由圖可知：的周長，四邊形的周長，又∵的周長與四邊形的周長相等，D是的中點，∴，，∴，又∵，，，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·四川達州·期中）如圖，中，，于，平分交于．(1)當(dāng)，時，求的度數(shù)；(2)猜想：與有什么關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，見解析【知識點】三角形角平分線的定義、與三角形的高有關(guān)的計算問題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的角平分線和三角形的高等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．（1）首先利用三角形內(nèi)角和定理解得的值，結(jié)合平分易知，再求得的值，利用求解即可；（2）結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、三角形的高和角平分的定義可知，，再推導(dǎo)，然后根據(jù)即可獲得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．（2），理由如下：解：∵分別是的高和角平分線，∴，∵是的高，∴，∴．2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，是角平分線，是中線，是高線．(1)如果，求的長；(2)如果，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)，【知識點】與三角形的高有關(guān)的計算問題、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查三角形的高、中線、角平分線，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的高、中線、角平分線定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形中線定義求解即可．（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)三角形角平分線定義求得，然后由是高線，則可求得，即可由求解．【詳解】（1）解：因為是的中線，所以．因為，所以．（2）解：因為，所以．因為是的角平分線，所以．因為是的高線，所以，所以，所以．3．（24-25七年級下·上海青浦·階段練習(xí)）在中，，為直線上任意一點，連結(jié)，于點，于點．為邊上的高；（第一小問7分，第二小問2分，第三小問2分）【畫圖探究】（1）如圖①，當(dāng)點在邊上時，請畫出，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【運用】（2）如圖②，當(dāng)點為中點時，與的數(shù)量關(guān)系為___________【拓展】（3）如圖③，當(dāng)點在的延長線上時，、、之間的數(shù)量關(guān)系為___________；【答案】（1）作圖見解析；，證明見解析；（2），理由見解析；（3），理由見解析【知識點】與三角形的高有關(guān)的計算問題、根據(jù)三角形中線求面積、畫三角形的高【分析】本題屬于三角形綜合題，考查中線平分三角形的面積，割補法求三角形的面積，（1）過點作交于一點，再根據(jù)列式化簡，即可得證；（2）同理得，根據(jù)點為中點時得，繼而推出，可得結(jié)論；（3）同理結(jié)合面積之間的關(guān)系列式化簡，即可得出結(jié)論．解題的關(guān)鍵是熟練運用數(shù)形結(jié)合思想．【詳解】解：（1）依題意，邊上的高如下圖所示：，，之間的數(shù)量關(guān)系：．證明：∵，，，，∴，∴，∴；（2）與的數(shù)量關(guān)系為：．理由：如圖，過點作交于點，∵，，，∴，∴，∴，∵，點為中點時，∴，即，∴，∴，故答案為：；（3），，之間的數(shù)量關(guān)系：．理由：如圖，過點作交于點，∵，，，∴，∴，∴，故答案為：．【考點十利用全等三角形的性質(zhì)求解】例題：（24-25八年級上·貴州遵義·期中）已知，若，則．【答案】【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，全等三角形對應(yīng)邊相等，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，故答案為；．7．（24-25八年級上·安徽淮南·期末）如圖，，在邊上，，，則的度數(shù)為．【答案】【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．由三角形全等得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：，，，是的外角，，，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·山西大同·期末）如圖，，點D在邊上．若，，則°．【答案】80【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)，，則，即可作答．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，故答案為：802．（24-25七年級上·山東煙臺·期末）如圖，，．點P在線段上以1的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段上以x的速度由點B向點D運動，它們運動的時間為．若與全等，則x的值為．【答案】1或【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，路程、速度、時間之間的關(guān)系．能求出符合題意的所有情況是解題的關(guān)鍵．由題意知當(dāng)與全等時，分和兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】解：∵點P的運動速度為，點Q的運動速度為，它們運動的時間為，，，∴，，，∵，∴當(dāng)與全等時，有兩種情況：①當(dāng)時，，，∴，，解得，；②當(dāng)時，，，∴，，解得，，綜上所述，的值是1或，故答案為：1或．【考點十一全等三角形判定和性質(zhì)多結(jié)論問題】例題：（24-25八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，在中，，的角平分線，相交于點P，過P作交的延長線于點F，交于點H．有下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【答案】B【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形角平分線的定義【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，三角形外角的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和以及角平分線的定義得繼而得出的度數(shù)，即可判斷①；推出根據(jù)證明即可，即可判斷②；證明，得，根據(jù)外角的性質(zhì)可判斷③；通過等量代換可判斷④；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，∴，∵、分別平分、，，，∴，故結(jié)論①正確；∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，故結(jié)論②正確；∴，∴，在和中，，∴，∴，∵是的外角，∴，∴，故結(jié)論③錯誤；又∵，∴，即，故結(jié)論④正確，∴正確的個數(shù)是個．故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·湖北十堰·期末）如圖，在中，為中線，過點B作于點E，過點C作于點F．延長至點G，使得，連接．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．先利用證明，可得，，可判斷①；再利用證明，得到，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，可判斷②；利用全等三角形的性質(zhì)可得，，可判斷③；由得到，再利用三角形的面積公式可判斷④，即可得出結(jié)論．【詳解】解：為中線，，，，，又，，，故①正確；，又，，，，由于與不一定相等，故②不正確；由全等三角形的性質(zhì)可得：，，，故③正確；，，，，，，故④正確；綜上所述，結(jié)論中正確的有①③④，共3個．故選：C．2．（23-24八年級上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點E為上一點，連接，，連接．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．延長至G，使，從而得出，進一步證明，且，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷②；根據(jù)線段的等量代換推導(dǎo)即可判斷④；設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)，及角的計算即可得出即可判斷③；當(dāng)時，可得出；時，則無法說明，即可判斷①．【詳解】解：如圖，延長至G，使，設(shè)與交于點M，，，垂直平分，，，，，，，，在和中，，，，，②是正確；，，平分，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則無法說明；①是錯誤的；設(shè)，則，，，，，，，③是正確的；，，，，④是正確的；故選C．3．（24-25八年級上·山西呂梁·期中）如圖，點A，，，在同一直線上，于點，于點，連接，交于點，且為的中點．若，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)全等三角形解決問題．分別證明，，可得結(jié)論．【詳解】解：，，，是的中點，，在和中，，∴，故①正確，，，，，故②正確，，在和中，，∴，，，故③正確，④錯誤；綜上所述：正確的個數(shù)有3個；故選：C．4．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，分別延長，邊上的中線，到，，使，，則下列說法：①；②；③；④四邊形的面積是面積的倍．其中正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)三角形中線求長度、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查三角形中線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定；由，，，根據(jù)“”證明，得，，所以，可判斷②正確；同理，，所以，，，則，，可判斷①正確，③正確；由，，證明、、三點在同一條直線上，則，設(shè)兩條平行線與之間的距離為，則，可證明，可判斷④正確，于是得到問題的答案．【詳解】解：是的中線，，在和中，，，，，，故②正確；同理，，，，，故①正確；，，、、三點在同一條直線上，，設(shè)兩條平行線與之間的距離為，，，，，故④正確；在和中，，，，故③正確，故選：D．【考點十二全等三角形的性質(zhì)和判定】例題：（24-25八年級上·北京·期中）如圖，點在一條直線上，，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、用SAS證明三角形全等（SAS）、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握全等知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得，進而根據(jù)即證明；（）由全等三角形的性質(zhì)得，再通過三角形外角性質(zhì)求出即可；【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴；（2）解：由（）得，∴，∵，，，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，中，是邊上的中線，E，F(xiàn)為直線上的點，連接，，且．(1)求證：；(2)若，，試求的長．【答案】(1)見解析(2)3【知識點】用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）利用中點性質(zhì)可得，由平行線性質(zhì)可得，再由對頂角相等可得，即可證得結(jié)論；（2）由題意可得，再由全等三角形性質(zhì)可得，即可求得答案．【詳解】（1）證明：∵是邊上的中線，∴，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，，，點在邊上，，點，在線段上，．(1)求證：；(2)若的面積為，的面積為，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【知識點】全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形的面積求法，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由，，三角形外角的性質(zhì)，，推出，，利用證明，即可得出；（2）由（1）得，得出，由的面積為，的面積為，，得出，，進一步根據(jù)計算得出答案即可．【詳解】（1）證明：∵，，，，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：由（1）得，∴，∵的面積為，，∴，，∵的面積為，∴，∴．3．（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，已知和，，，，與交于點，點在上．(1)試說明；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)證明即可；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再利用外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，在和，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．4．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）已知，D、A、E三點均在直線上，且．(1)如圖1，若，，，則線段的長為；(2)如圖2，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，若將“”變?yōu)椤啊?，其他條件不變，且，，則線段的長為．【答案】(1)9(2)，理由見解析(3)3【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得，再利用證明，得，據(jù)此即可求解；（2）利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得，再利用證明，得，可得答案；（3）利用鄰補角的定義得，再利用三角形的外角性質(zhì)可得到，再利用證明，得，可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，，又∵，∴，∴，∴．【考點十三全等三角形的性質(zhì)和判定探究綜合題】例題：（24-25八年級上·河北滄州·期中）已知，D，A，E三點在直線m上，在直線m上方有，且滿足．【積累經(jīng)驗】（1）如圖1，當(dāng)時，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【類比遷移】（2）如圖2，當(dāng)時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，是鈍角，，，，直線與的延長線交于點，若，與的面積之和為2，請直接寫出的面積．【答案】（1），見解析；（2）（1）中的結(jié)論成立，見解析；（3）【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）由得到，，進而得到，然后結(jié)合得證，推出，，即可求解；（2）由得到，進而得到，然后結(jié)合得證，推出，，即可證明；（3）由，，得出，證明，得出，求出，根據(jù)，得出．【詳解】解：（1），，，，在和中，，，，，，即；（2）仍然成立，理由如下：，，，，在和中，，，，，；（3），，，，，在和中，，，，∵與的面積之和為2，∴，設(shè)的底邊上的高為，則的底邊上的高為，，．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級下·吉林長春·階段練習(xí)）利用全等三角形面積相等可以解決與圖形面積相關(guān)的問題．初步感知如圖1，在中，為中線，過點作于點，過點作交的延長線于點．在延長線上取一點，連接，使．（1）填空：________．（填“”“”或“”）（2）求證：．（3）試說明：．拓展應(yīng)用（4）如圖2，在中，是鈍角，點在邊上，，點在邊上，點在邊的延長線上，，，若，的面積是9，求與的面積之和．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）與的面積之和為【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式等知識點，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意易得，，，然后可得，于是得解；（2）由（1）可得，進而可得，利用即可得出結(jié)論；（3）由（1）可知，由（2）可知，然后根據(jù)三角形之間的面積關(guān)系即可得出結(jié)論；（4）由題意可得，進而可得，于是可得，設(shè)的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h，進而根據(jù)各三角形之間的面積關(guān)系即可得出答案．【詳解】（1）解：∵在中，為中線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）證明：由（1）可知：，，，，，；（3）證明：由（1）可知，由（2）可知，，，；（4）解：，，，，在和中，，，，設(shè)的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h，，，，，，與的面積之和為．2．（24-25八年級上·江西贛州·階段練習(xí)）【特例感知】如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（1）中線的取值范圍是______．【類比遷移】（2）如圖2，在四邊形中，為的中點，點在上，，，求證：平分．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，是邊上的中線，E是上一點，連接并延長交于點F，，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【知識點】確定第三邊的取值范圍、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)【分析】本題考查了三角形綜合題和倍長中線問題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識．（1）延長到，使得，連接，得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解；（2）延長交延長線于，得到，得到，，進而求得，可證明結(jié)論；（3）延長到點，使得，連接，得出，從而得到，，進而得到從而證明．【詳解】（1）解：如圖1，延長到點，使得，連接．為邊上的中線，，在和中，，，，，，即，；故答案為：；（2）證明：如圖2，延長交的延長線于點，，，，，為的中點，，，，，，，即，平分；（3）證明：如圖3，延長到點，使，連接，在和中，，，，，，，，，，，．3．（24-25八年級上·遼寧撫順·期末）【問題情境】（1）如圖1，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一個叔叔幫他出了這樣一個主意：先在地上取一個可以直接到達A點