2/10第03講簡單的軸對稱圖形—垂直平分線和角平分線課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①垂直平分線、角平分線的概念②垂直平分線、角平分線的性質(zhì)1.理解線段的垂直平分線、角平分線的概念。2.掌握線段的垂直平分線、角平分線的性質(zhì)定理及逆定理。3.運(yùn)用線段的垂直平分線、角平分線的性質(zhì)定理進(jìn)行求解。知識點(diǎn)01線段的垂直平分線（簡稱中垂線）定義：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.作法：作已知線段的垂直平分線.【即學(xué)即練1】1．（2025·青海西寧·一模）如圖，在中，是的垂直平分線，，，則的長是．【答案】4【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)求出的長即可．【詳解】解：∵是邊的垂直平分線，∴，∵，，∴，∴．故答案為：4．2．（2025·湖南湘潭·一模）如圖，在中，分別以，兩點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，直線與，分別相交于點(diǎn)、，若，的周長為10，則的周長是．【答案】16【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖，以及垂直平分線的性質(zhì)和三角形求周長．注意垂直平分線得線段相等和線段和的轉(zhuǎn)化．根據(jù)尺規(guī)作圖得垂直平分線，再由垂直平分線的性質(zhì)和三角形周長計(jì)算公式解答即可．【詳解】解：由尺規(guī)作圖得垂直平分線，所以，且，又，所以的周長為：．故答案為：16．3．（24-25八年級上·河北邯鄲·期中）如圖，在中，直線垂直平分邊，分別交，于點(diǎn)，．(1)若，的周長為，求的長度；(2)若，求的度數(shù)；(3)已知點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)在邊的垂直平分線上，連接，試判斷點(diǎn)是否在邊的垂直平分線上，若在，請證明；若不在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由見解析【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、等邊對等角【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的周長公式，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)的周長為、得，所以，即；（2）由得，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，所以；（3）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，所以，即可得解．【詳解】（1）解：直線垂直平分邊，，的周長為，，，，，；（2）解：，，直線垂直平分邊，，；（3）解：點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由如下：連接、，直線垂直平分邊，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)在邊的垂直平分線上，，，點(diǎn)在邊的垂直平分線上．知識點(diǎn)02角平分線的性質(zhì)1.角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.2.性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.3.作已知角的角平分線.【即學(xué)即練2】4．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖，中，，平分，交于點(diǎn)，，，則的長為．【答案】3【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，求三角形的面積．過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出，然后根據(jù)求出，即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，平分，，∴．∵，∴，解得，∴．故答案為：3．5．（2025·湖南岳陽·一模）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，小于的長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)、；②分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作射線交邊于點(diǎn)．若，，則的面積是．【答案】【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，過點(diǎn)作于，由作圖可知平分，進(jìn)而由角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可求解，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于，由作圖可知，平分，∵，∴，∵平分，，，∴，∴．故答案為：．6．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，為的平分線，過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F，若的面積是，求的長．【答案】【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），解題的關(guān)鍵是利用角平分線性質(zhì)得到，再通過三角形面積的關(guān)系列方程求解．利用角平分線性質(zhì)得出，將的面積拆分為與的面積和，即可求解．【詳解】解：為的平分線，，，的面積是，，，的面積的面積的面積，，．題型01根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解例題：（24-25七年級下·全國·單元測試）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于D，E兩點(diǎn)，若，則的周長為．【答案】14【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，然后根據(jù)三角形周長的定義得到的周長為．【詳解】解：∵是的垂直平分線，，∴的周長，，∴的周長，故答案為：14．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級下·山東泰安·期中）如圖，中，，分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在兩側(cè)相交于點(diǎn)、，作直線分別與、交于點(diǎn)，，連接，則．【答案】【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、作已知線段的垂直平分線【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．根據(jù)作圖描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可得，垂直平分，，．故答案為：2．（24-25八年級下·廣東河源·期中）在中，，分別是邊，的垂直平分線，分別交于，兩點(diǎn)，連接，，若，則的周長為．【答案】8【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，得出，，即可由三角形周長公式求解．【詳解】解：∵，分別是邊，的垂直平分線，∴，，∴的周長．故答案為：8．3．（2025·山東濟(jì)寧·一模）如圖，在中，，，，．若、分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【知識點(diǎn)】垂線段最短、線段垂直平分線的性質(zhì)、三線合一【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，等面積法，垂線段最短，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形的三線合一可得出垂直平分，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F處時(shí)，取最小值，且最小值為的長，在中，利用面積法可求出的長度，此題得解．【詳解】解：∵，，∴垂直平分，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，且垂線段最短，∴當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，如圖所示：∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F處時(shí)，取最小值，且最小值為的長，∵∴，即的最小值為．故答案為：．題型02線段垂直平分線的性質(zhì)和判定例題：（24-25八年級上·貴州遵義·期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)D，的垂直平分線交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)O，的周長為10．(1)求的長；(2)試判斷點(diǎn)O是否在邊的垂直平分線上，并說明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由見解析【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，同理，于是得到結(jié)論；（2）連接，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定即可得到結(jié)論．【詳解】（1）垂直平分，，同理，；（2）點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由：連接，，，與是，的垂直平分線，，，，點(diǎn)在邊的垂直平分線上．【變式訓(xùn)練】1．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，是的角平分線，分別是和的高，連接、交于點(diǎn)O．(1)證明：；(2)證明：垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、線段垂直平分線的判定【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．（1）用證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，，說明點(diǎn)、在線段的垂直平分線上，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：是的角平分線，，，分別是和的高，，在和中，，；（2）證明：，，，點(diǎn)、在線段的垂直平分線上，垂直平分．2．（24-25八年級上·河北廊坊·期末）如圖，四邊形，其中，．(1)求證：；(2)證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的判定、用SSS證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；（1）直接根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即可證明.【詳解】（1）證明：在和中∴（）（2）∵∴在的垂直平分線上∵∴在的垂直平分線上∴是垂直平分線∴3．（24-25八年級上·湖北十堰·期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線，相交于點(diǎn)P．(1)求證：；(2)請判斷點(diǎn)是否也在邊的垂直平分線上？并說明理由；(3)由（1）（2）你能得出什么結(jié)論？（寫一條即可）【答案】(1)見解析(2)點(diǎn)P在邊的垂直平分線上，理由見解析(3)①三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)．②三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等．③三角形一邊的垂直平分線也必過其它兩邊垂直平分線的交點(diǎn)．【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外接圓等知識，解題關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．（1）運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）運(yùn)用垂直平分線的判定定理即可解答；（3）運(yùn)用(1)中的結(jié)論以及確定圓的條件，綜合(1)(2)的結(jié)論，即可得到相應(yīng)的結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)P是的垂直平分線上的點(diǎn)，∴．同理．∴；（2）解：點(diǎn)P在邊的垂直平分線上．理由：，∴點(diǎn)P在邊的垂直平分線上；（3）解：由（1）、（2）可得：①三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)．②三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等．③三角形一邊的垂直平分線也必過其它兩邊垂直平分線的交點(diǎn)．題型03線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例題：（24-25八年級下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）如圖，某居民小區(qū)在三棟住宅樓A，B，C之間修建了供居民散步的三條綠道，并在綠道內(nèi)部修建了一個(gè)涼亭P．若點(diǎn)P到點(diǎn)A，B，C的距離相等，則點(diǎn)P是的（

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條高的交點(diǎn)C．三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【答案】C【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．要使點(diǎn)P到點(diǎn)A，B，C的距離相等，利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等即可得出答案．【詳解】解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：點(diǎn)P是的三邊垂直平分線的交點(diǎn)．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn)B．三個(gè)角平分線的交點(diǎn)C．三條邊上的高的交點(diǎn)D．三條邊上的中線的交點(diǎn)【答案】A【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A2．（2025·廣西桂林·一模）如圖，是等邊三角形，直線，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，警報(bào)器就會發(fā)出警報(bào)，則在直線上會發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)三角形的特點(diǎn)，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)確定不同的點(diǎn)即可．【詳解】解：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可知，直線上會發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有：、、的垂直平分線與直線的交點(diǎn)，共3個(gè)．故選：C．3．（23-24八年級下·江蘇鹽城·期中）在聯(lián)歡會上，甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C上，他們在玩搶凳子游戲，要在他們之間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放在的（）A．三條高的交點(diǎn) B．三條垂直平分線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)【答案】B【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定【分析】本題考查垂直平分線的判定，根據(jù)到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)在線段的中垂線上，得到凳子是三條垂直平分線的交點(diǎn)，即可得出結(jié)果．掌握垂直平分線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，凳子到三點(diǎn)，，的距離相等，即到三邊的端點(diǎn)的距離相等，∴凳子應(yīng)該放在三邊垂直平分線的交點(diǎn)上；故選：B．題型04作垂直平分線線（尺規(guī)作圖）例題：（2025·陜西咸陽·一模）如圖，在中，請用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)D，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【知識點(diǎn)】作已知線段的垂直平分線【分析】作出線段的垂直平分線，與的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)．本題考查了線段的垂直平分線基本作圖，熟練掌握作圖的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，，結(jié)合，得到，故點(diǎn)D為線段的垂直平分線與的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)，如圖，則點(diǎn)D為所求作的點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，某村計(jì)劃在河邊上挖一個(gè)小水塘儲水，方便灌溉農(nóng)田，為了使其到A、B兩塊田地的距離相等．請你用尺規(guī)作圖，確定小水塘的位置，不寫作法，保留作圖痕跡．【答案】見詳解【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、作已知線段的垂直平分線【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的作法以及性質(zhì)，先分別以A，B為圓心，以大于的半徑畫圓，然后連接兩交點(diǎn)的直線交河面的點(diǎn)即為小水塘的位置，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出小水塘的位置到A、B兩塊田地的距離相等．【詳解】解：小水塘的位置如下圖所示：2．（24-25八年級上·廣西百色·期末）如圖所示，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作邊的垂直平分線交、于D、E兩點(diǎn)．(2)連接，求的周長．【答案】(1)見解析(2)的周長是【知識點(diǎn)】作已知線段的垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖之作線段的垂直平分線以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于的長為半徑作弧，前后弧相交，然后過弧交點(diǎn)作直線交于E，于D即可；（2）由垂直平分得，從而即可求得的周長．【詳解】（1）解：如圖所示，是邊的垂直平分線．（2）解：是邊的垂直平分線，，，又，，答：的周長是．3．（24-25八年級上·河北保定·期末）某社區(qū)經(jīng)業(yè)主商討決定在街道m(xù)上建一個(gè)垃圾站點(diǎn)D和鮮奶站E，按要求完成下列作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．(1)如圖1，小區(qū)A，B在街道m(xù)的異側(cè)，要使垃圾站點(diǎn)D到小區(qū)A，B的距離相等，請確定垃圾站點(diǎn)D的位置（要求利用尺規(guī)作圖）；(2)如圖2，小區(qū)A，C在街道m(xù)的同側(cè)，要使鮮奶站E到小區(qū)A，C的距離之和最短，請確定鮮奶站E的位置．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【知識點(diǎn)】線段問題(軸對稱綜合題)、作已知線段的垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)、作線段(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱一最短路線問題，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，交直線m于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求．（2）取點(diǎn)C關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)，連接交直線m于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求．【詳解】（1）解∶如圖1作線段的垂直平分線，交直線m于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求．（2）解：如圖，取點(diǎn)C關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)，連接交直線m于點(diǎn)E．此時(shí)，為最小值，則點(diǎn)E即為所求，題型05根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解例題：（2025八年級下·湖南·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是平分線上一點(diǎn)，，垂足為D，若，則點(diǎn)P到邊的距離是．【答案】4【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，掌握其運(yùn)用是關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作于E，∵點(diǎn)P是平分線上一點(diǎn)，，∴，即點(diǎn)P到邊的距離是4，故答案為：4．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·新疆烏魯木齊·開學(xué)考試）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)、．分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于的長度為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)作線段，交于點(diǎn)，則的面積是．【答案】【知識點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了作圖—作角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作交于，由作圖可得：為的平分線，由角平分線的性質(zhì)可得，最后由三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，作交于，，由作圖可得：為的平分線，，，，故答案為：．2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在銳角三角形中，，，分別為的角平分線．，相交于點(diǎn)，平分，已知，，的面積，求的面積．【答案】4【知識點(diǎn)】與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、角平分線的性質(zhì)定理【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理求出，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角定義、角平分線定義求出，利用證明，，則，，，根據(jù)三角形面積公式求出，，再根據(jù)的面積求解即可，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，、為三角形的角平分線，，，，，平分，，在和中，，，，同理可得，，，，，，的面積，，，，，的面積，故答案為：4．3．（24-25八年級上·重慶石柱·期中）如圖，在中，，和的平分線相交于點(diǎn)O，交于D，交于E，，，，則周長為【答案】4【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形綜合問題【分析】本題考查的是角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵；延長交于，延長交于，先證明，，，結(jié)合即可得到答案．【詳解】解：如圖，延長交于，延長交于，，∵和的平分線相交于點(diǎn)O，∴，，∵，，∴，，在與中，∵，∴∴，，在與中，∵，∴，∴，，在與中，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，故答案為：4．題型06根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明例題：（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，是的角平分線上一點(diǎn)，，，垂足分別為，．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn)，使．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了角平分線定義，全等三角形性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等三角形性質(zhì)和判定．（1）結(jié)合角平分線定義，證明，結(jié)合全等三角形性質(zhì)即可證明；（2）結(jié)合平行線性質(zhì)，證明，結(jié)合全等三角形性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：是的角平分線上一點(diǎn)，，，，在和中，，，；（2）證明：，，又，，又，即，，在和中，，，．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·山東聊城·期末）在中，垂直平分，連接，平分．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，的周長比的周長多8，的面積為6，則三角形的面積為多少？【答案】(1)(2)12【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟知相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用垂直平分線的性質(zhì)得到，再得到，利用三角形內(nèi)角和即可解答；（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)題意求得的長即可解答．【詳解】（1）解：垂直平分，，，，為角平分線；（2）解：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，為角分平線，，，，，，且，，的面積為12．2．（24-25八年級上·湖北武漢·期末）如圖，的外角和的平分線相交于點(diǎn)P，連接．(1)求證：平分；(2)若，的面積是10，的面積是15，求的周長．【答案】(1)見解析(2)17.5【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟記角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作于F，于G，于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，得到，再根據(jù)角平分線的判定證明；（2）根據(jù)三角形面積公式求出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)P作于F，于G，于H，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴平分；（2）解：∵的面積是10，∴，∴，∴，∵的面積是15，的面積是10，∴，∴，∴的周長．3．（23-24八年級上·湖北宜昌·期中）學(xué)校數(shù)理學(xué)習(xí)小組活動紀(jì)實(shí)：已知：在中，D是上一點(diǎn)．小宜說：如圖1，若是邊上的中線，則利用三角形的面積公式可以得出：；小昌說：如圖2，若點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，則有；小石說：如圖3，若是的角平分線時(shí)，則有；小榴說：受前面同學(xué)的啟發(fā)我想到了：當(dāng)是的角平分線時(shí)，有，請你為小榴同學(xué)說明理由．【答案】說明理由見解析【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，，則由角平分線的定義得到，由三角形面積公式可得，，據(jù)此可證明結(jié)論．【詳解】證明：作，是的角平分線，，，又∵，．題型07角平分線的性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用例題：（24-25八年級下·廣西貴港·期中）如圖，，，是連通三棟樓的道路，業(yè)主要求在這三條路圍成的范圍內(nèi)安裝一照明燈，使燈到三條路的距離相等，則燈應(yīng)該安裝在（

）A．，兩邊高線的交點(diǎn)處 B．，兩邊中線的交點(diǎn)處C．，兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 D．，兩角的平分線的交點(diǎn)處【答案】D【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了角平分線上的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等成為解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，∴燈應(yīng)該安裝在，兩角的平分線的交點(diǎn)處．故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·甘肅張掖·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，表示三個(gè)車間，現(xiàn)要建一個(gè)倉庫，使它到三個(gè)車間的距離相等，則倉庫應(yīng)建在（

）A．三邊的中線的交點(diǎn)上 B．三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)上C．三內(nèi)高線的交點(diǎn)上 D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)上【答案】D【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵倉庫到三個(gè)車間的距離相等，∴倉庫應(yīng)該修建在的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D．2．（24-25八年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，，，表示的是三條河流，現(xiàn)決定在這三條河流中間修建一個(gè)木材廠，使該木材廠到三條河流的距離相等，以便利用水路向外運(yùn)木材，則這個(gè)木材廠應(yīng)建在（

）A．，兩邊高線的交點(diǎn)處 B．，兩邊中線的交點(diǎn)處C．，兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 D．，兩角的平分線的交點(diǎn)處【答案】D【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理【分析】主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可．【詳解】解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，木材廠應(yīng)建在，兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．故選：D．3．（24-25八年級下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫，要求油庫到這三條公路的距離相等，那么選擇油庫的位置應(yīng)建在（

）A．，兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處B．，兩邊高線的交點(diǎn)處C．，兩邊中線的交點(diǎn)處D．，兩內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)處【答案】D【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，∴油庫的位置應(yīng)建在，兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．故選：D．題型08作角平分線（尺規(guī)作圖）例題：（24-25七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，直角三角形中，，用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．

(1)作邊的中點(diǎn)D；(2)作的平分線，交邊于點(diǎn)E；(3)作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)F；(4)直接寫出的長為．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)【知識點(diǎn)】作線段(尺規(guī)作圖)、作角平分線(尺規(guī)作圖)、作已知線段的垂直平分線【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線，角平分線和線段，熟練掌握基本作圖方法，是解題的關(guān)鍵：（1）分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，作出的中垂線，得到中點(diǎn)即可；（2）以為圓心，任意長為半徑畫弧，交角的兩邊于兩個(gè)點(diǎn)，以這兩個(gè)點(diǎn)為圓心，大于這兩個(gè)點(diǎn)所連線段的長為半徑畫弧，畫出的角平分線即可；（3）根據(jù)對稱的性質(zhì)，得到，故以為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)即可；（4）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，線段的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求；（2）如圖，即為所求；（3）如圖，點(diǎn)即為所求；

（4）由作圖可知：，∴．故答案為：3．【變式訓(xùn)練】1．（2025·廣東湛江·一模）如圖，在中，．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若，，求的面積【答案】(1)圖見解析(2)【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作角平分線，角平分線的性質(zhì)：（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法，作圖即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到點(diǎn)到邊的距離等于的長，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：設(shè)點(diǎn)到的距離為，∵是的角平分線，，∴，∴的面積．2．（24-25九年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，是等腰直角三角形，．(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖形中，延長至點(diǎn)，使，連接．求證：．【答案】(1)作圖見詳解(2)證明過程見詳解【知識點(diǎn)】等腰三角形的定義、作角平分線(尺規(guī)作圖)、全等三角形綜合問題【分析】本題主要考查尺規(guī)作角平分線，等腰三角形的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作角平分線的方法是關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；（2）根據(jù)題意，證明即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法作圖如下，∴點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置；（2）解：如圖所示，∵是等腰直角三角形，，∴，又，∴，∴．3．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）尺規(guī)作圖，請保留作圖痕跡：(1)作出的角平分線．(2)延長到點(diǎn)，使得．(3)在上方作，即是的角平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【知識點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角、作線段(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，數(shù)形結(jié)合．（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可；（2）延長，以點(diǎn)為圓心，線段的長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（3）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的作圖方法作圖即可．【詳解】（1）解：如圖，射線即為所求；（2）如圖，點(diǎn)即為所求；（3）如圖，即為所求．一、單選題1．（24-25七年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖是小明繪制的“箭在弦上”的簡筆畫，已知箭桿垂直平分，，則的長是（）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點(diǎn)到線段的端點(diǎn)距離相等，進(jìn)行列式解答即可．【詳解】解：∵垂直平分，∴．故選：B2．（2025·廣東深圳·一模）如圖，已知，以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫弧，與，分別交于點(diǎn)C，D，再分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F，過射線上一點(diǎn)M作，與相交于點(diǎn)N，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、作角平分線(尺規(guī)作圖)、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了基本作圖，作已知角的角平分線及其定義和平行線的性質(zhì)．通過兩直線平行，同位角相等，再利用角平分線定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，由題意可知：平分，∴．故選：B．3．（2025·江蘇蘇州·一模）已知線段，利用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線，下列4個(gè)作圖中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【知識點(diǎn)】作已知線段的垂直平分線、三線合一【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作線段垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)作圖方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可判斷．【詳解】解：在圖①中，由作圖可知，，，∴是的垂直平分線，故①符合題意；在圖②中，由作圖可知，，平分，由等腰三角形“三線合一”可知，是的垂直平分線，故②符合題意；在圖③中，由作圖可知，，，∴是的垂直平分線，故③符合題意；在圖④中，由作圖可知，，，∴不是的垂直平分線，故④不符合題意；綜上，4個(gè)作圖中正確的有①②③，共3個(gè)，故選：C．4．（24-25八年級下·廣西貴港·期中）如圖，在中，平分，若，，則的比為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積．先根據(jù)角平分線性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”得到點(diǎn)到和的距離相等，然后根據(jù)三角形的面積公式得到．【詳解】解：∵平分，∴點(diǎn)到和的距離相等，∴，∴，則故選：D．5．（24-25八年級上·山東日照·期中）如圖，平分，，垂足為E，交的延長線于點(diǎn)F，若恰好平分．則下列結(jié)論中：①是的高；②是的中線；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【知識點(diǎn)】全等三角形綜合問題、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形中線和高的定義，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)得到，那么，即可判斷①；證明，即可判斷②；證明即可判斷③；證明，則，同理可知，再根據(jù)線段和差即可判斷④．【詳解】解：∵平分，恰好平分，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，即是的高，故①正確；∵∴，∵，，∴，∴，即是的中線，故②正確；∵，∴，∵，∴，∴，但不能證明，故③錯(cuò)誤；過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，如圖所示：∵平分，平分，，∴，∵，∴，∴，同理可知，∵，∴，故④正確，∴正確的有①②④，故選：B．二、填空題6．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，已知是線段的垂直平分線，E是上的一點(diǎn)，若，則的長為．【答案】【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段的端點(diǎn)距離相等，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴，故答案為：．7．（24-25八年級上·遼寧營口·期中）如圖，，以點(diǎn)A為圓心，小于長為半徑作圓弧，分別交，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線，交于點(diǎn)M．若，則．【答案】25【知識點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和角平分線的尺規(guī)作圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，再利用角平分線的定義解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵根據(jù)作法可知：是的平分線，∴，故答案為：．8．（24-25八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如圖，在中，垂直平分．若的周長為，，則．【答案】【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分，所以，因?yàn)榈闹荛L為，所以，則，即可作答．【詳解】解：∵垂直平分，∴．∵的周長為，∴，∵，∴，∴，故答案為：6．9．（24-25九年級下·吉林松原·階段練習(xí)）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作圓弧，交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．若的周長為21，，則的長為．【答案】12【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，判斷出的周長，可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖可知，，∵的周長，∴，∵，∴．故答案為：12．10．（24-25八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在直角中，，以為邊作，滿足，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，．有下列結(jié)論：①；②；③；④若，則．其中正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④【知識點(diǎn)】全等三角形綜合問題、角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)．且，要構(gòu)造倍的，故延長至，使，從而得到，進(jìn)一步證明，且，接著證明，則，，所以①是正確的，也可以通過線段的等量代換運(yùn)算推導(dǎo)出④是正確的，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，接著用表示出，再?jì)算出，故③是正確的，當(dāng)時(shí)，可以推導(dǎo)出，否則不垂直于，故②是錯(cuò)誤的．【詳解】解：在中，，中，，如圖，延長至，使，設(shè)與交于點(diǎn)，，垂直平分，，，，，，，在與中，，，，，故①正確，該選項(xiàng)符合題意；，，平分，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則無法說明，故②是不正確的；設(shè)，則，，，，，，，故③正確，該選項(xiàng)符合題意；，，，，，故④正確，該選項(xiàng)符合題意；故答案為：①③④．三、解答題11．（24-25八年級下·山東青島·期中）某景區(qū)為了提高應(yīng)對意外傷害事故的現(xiàn)場處理和應(yīng)急救援能力，擬在兩條景觀道，之間（即內(nèi)部）的開闊地修建一所紅十字救助站，使其到景觀道，的距離相等，同時(shí)到，兩個(gè)休息亭的距離也相等，試確定救助站的位置．【答案】點(diǎn)的位置見詳解【知識點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、作已知線段的垂直平分線、角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題主要考查線段垂直平分線，角平分線的性質(zhì)定理，掌握以上知識，正確作圖是解題的關(guān)鍵．連接作線段的垂直平分線，再作的角平分線，兩線交于點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接作線段的垂直平分線，再作的角平分線，兩線交于點(diǎn)，∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴點(diǎn)到，兩個(gè)休息亭的距離相等，∵點(diǎn)在角平分線上，∴點(diǎn)到景觀道，的距離相等，∴點(diǎn)即為所求點(diǎn)的位置．12．（24-25八年級上·安徽宣城·階段練習(xí)）如圖，在中，，垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且，連接．(1)求證：；(2)若的周長為，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，等量代換證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的周長公式得到，根據(jù)，計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴．（2）解：∵的周長為，∴，∵，∴，∵，，∴．13．（24-25八年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且點(diǎn)在的垂直平分線上，連接．(1)若，求的周長；(2)分別過點(diǎn)作于、于，若，，求的長．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、三線合一、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一，垂直平分線的性質(zhì)．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，由的周長為即可解答；（2）先證明，推出，求出，再根據(jù)等腰三角形三線合一求出，由即可解答．【詳解】（1）解：點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，∴的周長為，∵，∴的周長為；（2）解：∵、，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．14．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）在中，小明利用尺規(guī)作了如圖①所示的痕跡，已知．(1)觀察圖①中的尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線是線段的______，射線是的______；(2)在圖②中，若，求的面積；(3)若P是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)垂直平分線，平分線；(2)2；(3)6．【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、作角平分線(尺規(guī)作圖)、作已知線段的垂直平分線【分析】本題考查了垂直平分線，角的平分線基本作圖，線段和的最值，角的平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)．（1）根據(jù)基本作圖，可知，直線是線段的垂直平分線，射線是的角的平分線．（2）過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，根據(jù)角的平分線性質(zhì)，得，根據(jù)三角形面積公式解答即可．（3）根據(jù)題意，點(diǎn)A與點(diǎn)B是關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，當(dāng)P與點(diǎn)D重合時(shí)，取得最小值．【詳解】（1）解：根據(jù)基本作圖，可知，直線是線段的垂直平分線，射線是的角的平分線，故答案為：垂直平分線，平分線；（2）解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，如圖．因?yàn)樯渚€是的平分線，，所以，所以．（3）解：如圖，連接，因?yàn)橹本€是線段的垂直平分線，所以，，所以，所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，取得最小值，且最小值為．15．（2024七年級下·江西景德鎮(zhèn)·專題練習(xí)）已知是的平分線，P是射線上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D分別在射線，上，連接，．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖②，點(diǎn)C，D分別在射線，上運(yùn)動，且．當(dāng)時(shí)，與在（1）問中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)成立．理由見解析【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查全等