《簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容分析

線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支，主要用于解

決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)支配等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型。簡(jiǎn)潔

的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個(gè)變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出。涉

及更多個(gè)變量的線性規(guī)劃問題不能用初等方法解決。

與其它部分學(xué)問的聯(lián)系，表現(xiàn)在：

二、學(xué)情分析

本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)了不等式、直線方程的基礎(chǔ)上，通過實(shí)例，鞏固二元一次不等式（組）所

表示的平面區(qū)域，使學(xué)生從實(shí)際優(yōu)化問題中抽象出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，理解平面區(qū)域的意

義，并會(huì)畫出平面區(qū)域，還能初步用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示簡(jiǎn)潔的二元線性規(guī)劃的限制條件，將實(shí)

際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

從數(shù)學(xué)學(xué)問上看，問題涉及多個(gè)己知數(shù)據(jù)、多個(gè)字母變量，多個(gè)不等關(guān)系，從數(shù)學(xué)方法上看,

學(xué)生對(duì)圖解法的相識(shí)還很少，數(shù)形結(jié)合的思想方法的駕馭還需時(shí)日，這都成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困

難。所以，通過這種從點(diǎn)與數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)，線與方程的對(duì)應(yīng)，到平面區(qū)域與不等式組的對(duì)應(yīng)的

過渡和提升，使學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想方法的實(shí)質(zhì)及其重要性。

三、設(shè)計(jì)思想

本課以問題為載體，以學(xué)生為主體，以數(shù)學(xué)試驗(yàn)為手段，以問題解決為目的，以多媒體課件

作為平臺(tái)，激發(fā)他們動(dòng)手操作、視察思索、猜想探究的愛好。留意引導(dǎo)幫助學(xué)生充分體驗(yàn)”從

實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題”的建構(gòu)過程，“從詳細(xì)到一般”的抽象思維過程，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思

想方法，培育學(xué)生的學(xué)會(huì)分析問題、解決問題的實(shí)力。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生了解二元一次不等式表示平面區(qū)域；

2.了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；

3.了解線性規(guī)劃問題的圖解法，井能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問題

4.培育學(xué)生視察、聯(lián)想以及作圖的實(shí)力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高

學(xué)生，，建模，，和解決實(shí)際問題的實(shí)力

5.結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培育學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新

五、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：用圖解法解決簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問題

教學(xué)難點(diǎn)：精確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。

六、教學(xué)支持條件分析

老師可借助計(jì)算機(jī)或圖形計(jì)算器，從激勵(lì)學(xué)生探究入手，講練結(jié)合，精準(zhǔn)的直觀演示能

使教學(xué)更富趣味性和生動(dòng)性.

通過讓學(xué)生視察、探討、辨析、畫圖，親身實(shí)踐，調(diào)動(dòng)多感官去體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模、用模的思

想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”思想方法建立起代數(shù)問題和幾何問題間的親密聯(lián)系.

七、教學(xué)過程

1、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

引例：某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品運(yùn)用4個(gè)A配件,

耗時(shí)lh：每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品運(yùn)用4個(gè)A配件，耗時(shí)2h.已知該廠每天最多可從配件廠獲得

16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠全部可能的日生產(chǎn)支配是什么？

問題1：該廠日牛產(chǎn)支配受哪些條件約束？

設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日分別生產(chǎn)x,y件，得出二元一次不等式組：

X+2j/<8,

4x<16,

<4^>12,

xeN9

yeN.

?［師生活動(dòng)］學(xué)生讀題，引導(dǎo)閱讀理解

后，列表一建立數(shù)學(xué)關(guān)系式一畫平面區(qū)域，老師關(guān)注有多少學(xué)生寫出了線性數(shù)學(xué)關(guān)系式,

有多少學(xué)生畫出了相應(yīng)的平面區(qū)域，在巡察中并發(fā)覺代表性的練習(xí)進(jìn)行展示，強(qiáng)調(diào)這是同一

事物的兩種表達(dá)形式數(shù)與形。

［設(shè)計(jì)意圖］:引導(dǎo)學(xué)生讀題，完成實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的過程.承前一課時(shí)，使學(xué)生進(jìn)一步嫻熟

如何從實(shí)際問題中抽象出不等式組(約束條件)并用平面區(qū)域表示。

2、分析問題，形成概念

問題2：可能的日支配，什么意思？

［師生活動(dòng)］教學(xué)中，可以結(jié)合幾何畫板，讓學(xué)生“讀出”可行解，即可行域中的18個(gè)整點(diǎn),

對(duì)于邊界旁邊的點(diǎn)，如(3,3),(4,3,),(4,4)是否可行域中，需引導(dǎo)學(xué)生協(xié)作不

等式來推斷，這將有助于學(xué)生手繪解決問題時(shí)的慎密思索.

【設(shè)計(jì)意圖1：讓學(xué)生了解日生產(chǎn)方案的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，不等式組（1）的整數(shù)解（x,y）的實(shí)

際意義，并給出“可行解”、“可行域”概念。

問題3：若每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，如何支配生產(chǎn)

利潤(rùn)最大？

利潤(rùn)函數(shù)模型的建立.設(shè)生產(chǎn)利潤(rùn)為z（萬元），則z=2x+3y0

［師生活動(dòng)］①引導(dǎo)學(xué)生分別求各種可能支配的利潤(rùn)（列舉）：z=?

Xyz=2x+3y

000

0i3

??????

4111

4214

視察得到，當(dāng)x=4,y=2時(shí)，z最大，z的最大值為14萬元.引出最優(yōu)解概念。

②以上過程計(jì)算繁瑣，操作難度大，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整探究思路，找尋解決問題的新方法。由

22

y=--x+-

利潤(rùn)函數(shù)的解析式z=2x+3y,可變形為33,故求z的最大值，可轉(zhuǎn)化為求

3的最大值，而3是直線z=2x+3y在y軸上的截距，只要找到直線系z(mì)=2x+3y與y軸

的交點(diǎn)（嗚）的最高即可.

檢

一

③示范解答

解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日分別生產(chǎn)x,y件，依題意，得不等式組:

%+2”8,

4x416,

,4y212,

xwM

yeN.

（列出不等式）

平面區(qū)域（如圖），（畫出可行域）

依題意，得目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y.（求出目標(biāo)函數(shù)）

作直線2x+3y=0,平移之，經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，z最大。（平移目標(biāo)函數(shù)表示直線）

由x=4,x+2y=8得點(diǎn)M的坐標(biāo)（4,2）.（求（寫）出最優(yōu)解）

因此，當(dāng)x=4,y=2時(shí)，z最大，Zmax=2x4+3x2=14（萬元）.

［設(shè)計(jì)意圖1：通過添加最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)入對(duì)新學(xué)問的探究，借助計(jì)算機(jī)技術(shù)展示數(shù)學(xué)關(guān)系式平

面區(qū)域、表格等各種形態(tài)的表現(xiàn)形式，在數(shù)、圖、表的關(guān)聯(lián)中進(jìn)行視察，培育學(xué)生數(shù)形結(jié)

合思想。

從筆算到計(jì)算，從點(diǎn)到直線再到平面（區(qū)域），從一個(gè)函數(shù)到多個(gè)函數(shù)，從特別到一般，

從詳細(xì)到抽象的相識(shí)過程，使學(xué)生經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)問形成、發(fā)覺、發(fā)展的過程，獲得問題的解

決，這有助于培育學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)

3、反思過程，提煉方法

問題4：什么線性規(guī)劃問題是？求解簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃的步驟？

線性規(guī)劃問題：在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問題，稱為線性

規(guī)劃問題.線性規(guī)劃問題的模型由目標(biāo)函數(shù)和可行域組成，其中可行域是可行解的集合，可

行解是滿意約束條件的解.使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問題的最優(yōu)

解。

步驟：第1步：依題意，列出不等式組；

笫2步：畫出可行域（事實(shí)上也就找到了可行解）；

第3步：依題意，求出目標(biāo)函數(shù)；

第4步：作出目標(biāo)函數(shù)所表示的某條直線（通常選作過原點(diǎn)的直線），平移此直線并視

察此直線經(jīng)過可行域的哪個(gè)（些）點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有最大（?。┲?

第5步：求（寫）出最優(yōu)解和相應(yīng)的最大（小）值。

（建、畫、移、求、答）

4、變式演練.深化探究

問題5：假如每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利4萬元，如何支配生產(chǎn)

利潤(rùn)最大?

目標(biāo)函數(shù)為z=2x+4y,直線z=2x+4y與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

作出直線2x+4y=0,并平移，視察知，當(dāng)直線z=2x+4y經(jīng)過點(diǎn)（2,3）或（4,2）時(shí)，

直線與y軸的交點(diǎn)最高，即x=2,y=3或x=4,y=2時(shí)，z取最大值，且Zmax=16.

問題6：假如每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品虧損2萬元，如何支配生產(chǎn)

利潤(rùn)最大？

讓學(xué)生先揣測(cè)；留意：z的最大值一直線z=3x-2y在y軸上的截距一z的最小

值.

LMdAX-O'一司、

目標(biāo)函數(shù)為z=3x-2y,直線z=3x-2y與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為I力.作出直線

3x-2y=0,并平移，視察知，當(dāng)直線z=3x?2y經(jīng)過點(diǎn)（4,0）時(shí)，直線z=3x-2y與y軸的交

點(diǎn)最低，即x=4,y=0時(shí)，Z取最大值，且Zmax=12.

［設(shè)計(jì)意圖］進(jìn)?步強(qiáng)調(diào)目標(biāo)函數(shù)直線的縱截距與Z的最值之間的關(guān)系，有時(shí)并不是截距越大,

Z值越大。這樣使學(xué)生產(chǎn)與思想上的學(xué)問的沖突，從而逆一步相識(shí)到目標(biāo)函數(shù)直線的縱截距

與Z的最值之間的關(guān)系！

5、運(yùn)用新知，解決問題

（1）求z=2x+y的最大值，使x,y滿意約束條件

<X+^<1,

y>-1.

（2）求z=3x+5y的最大值，使x,y滿意約束條件

5c+3”15,

<”x+L

A5”3-

［設(shè)計(jì)意圖］：這里是兩個(gè)練習(xí)都是