7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差

A組

X[234

1111

；'

4364

則D(X)的值為()

2912117917

A.記B.京C.言D.正

111129

解析:E(X)=1X薩2X才3X苫4乂1=誣

,、(29X21f29X21(29)1(29X21179

D(X)=(l-nJx%+(2.同>(卜392乂石+(4?捫x『田.

答案:C

2.隨機(jī)變量X的分布列如表所示.

X]23

PXy

若E(X)=J,則D(X)等于()

793355

A-32B-32C.64D.互

15-1

1x0.5+2%+3y=%=出

解析:叫05+%+y=i而得3

y=8-

所以D(X)=(1.Sxi+(2-T)x：+(3.<355

X8=64-

答案:D

工甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)機(jī)床各生產(chǎn)同種產(chǎn)品1000件,X表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù),Y表

示乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù),經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的考翦X,Y的分布列分別為

甲機(jī)床生產(chǎn)次品數(shù)的分布列

X0123

p0

乙機(jī)床生產(chǎn)次品數(shù)的分布列

Y0123

P

據(jù)此可判定()

解析：由隨機(jī)變量X與Y的分布列,可得甲機(jī)床生產(chǎn)的次品數(shù)均值為E(X)=0.7,乙機(jī)床生產(chǎn)的次品數(shù)

均值為E(Y)=0.7,進(jìn)而得

D(X)=(OO.7)2X0.7+(10.7)2X0+(20.7)2X0.2+(30.7)2X0.1=1.21,D(Y)=(00.7)2X0.6+(10.7)2

X0.2+(20.7)2X0.1+(30.7)2X0.1=1.01.由于E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),故乙比甲質(zhì)量好.

答案:B

4.編號(hào)為1,2,3的3名同學(xué)隨意坐入編號(hào)為1,2,3的3個(gè)座位,每名同學(xué)坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編

號(hào)相同的學(xué)生人數(shù)是X,則X的方差為()

A.$B.yC.3

解析:X的可能取值為0,1,3.

2131

P(X=0)=Xj=3,P(X=l)=Xj=2,

11

P(X=3)=Xj=6,

則E(X)=0X#lX%3x\l,D(X)=(01)2X^+(ll)2xi+-(31)2Xg=l.

答案:D

5.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面朝上得1分,反面朝上得1分,則得分X的均值與方差分別為()

A.E(X)=O,D(X)=1

B.E(X)4D(X)4

C.E(X)=O,D(X)4

1).E(X)=2,D(X)=1

解析：由題意知，隨機(jī)變最X的分布列為

X11

P

所以E(X)=1XO5+(1)X0.5=0,

D(X)=(10)2X0.5+(10)2X0.5=1.

答案:A

6.(多選題)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下(其中abWO),則下列說(shuō)法正確的是()

X012

bb

Pa

22

A.a+b=l

B.E(X)=2b

C.D(X)先增大后減小

D.D(X)有最小值

bbbb3b

解析:由題意可知a+2+2=1,即a+b=l,所以A正確;E(X)=()Xa+l=區(qū),所以B不正

確;D(X)=a(0-y)2+|(1-野+￡々)2=艇+金,b￡(0.1),所以D(X)在區(qū)間(。()內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)

間61)內(nèi)單調(diào)遞減,所以I)(X)先增大后減小、無(wú)最小值,所以C正確;D不正確.故選AC.

答案:AC

X101

111

p

236

若Y=2X+2,貝ijD(Y)的值為.

解析:E(X)=1X%0X彳1X可得D(X)從而D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=y.

20

答案:不

8.在一輪投籃練習(xí)中，每名選手最多可投籃4次,現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí)，否則一直試投到

4次為止.已知一選手的投籃命中率為0.7,求一輪練習(xí)中該選手的實(shí)際投籃次數(shù)X的分布列,并求X

的均值與方差.(結(jié)果精確到0.001)

解:X的可能取值為1,2,3,4.

X=1表示第一次即投中，

則P(X=l)=0.7;

X=2表示第一次未投中，第二次投中，

則P(X=2)=(10.7)X0.7=0.21;

X=3表示第一、二次未投中，第三次投中，

則P(X=3)=(10.7)2X0.7=0.063;

X=4表示前三次未投中，

則P(X=4)=(10.7)3=0.027.

因此X的分布列為

X1234

P

E(X)=1XO.7+2X0.21+3X0.G63+4X0.027=1.417.

D(X)=(l1.417)2X0.7+(21.417)2X0.21+(31.417)2X0.063+(41.417)2X0.027go.531.

B組

1.已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則隨機(jī)變量X的方差I(lǐng))(X)的最大值為()

X012

PyX

解析：由題意知x20,y=0.6x20,故OWxWO.6.

因?yàn)镋(X)=O.4+2x,E(X2)=0.4+4x,所以D(X)=E(X2)(E(X))2=0.4+4x(0.4+2x)2=4x2+2.4x+0.24,當(dāng)

x=0.3時(shí)，D(X)max=0.6.

答案:B

2.隨機(jī)變量Y的分布列如下表:

Ynn+ln+2

Pabc

其中a,b,c成等差數(shù)列，則D(Y)()

A.與n有關(guān),有最大值:

B.與n有關(guān)，有最小值:

C.與n無(wú)關(guān)，有最大值:

D.與n無(wú)關(guān),有最小值:

解析：由題意得,a+c=2b,a+b+c=l,解得b=§.

E(Y)=na+(n+l)b+(n+2)c=n(a+b+c)+b+2c=n+b+2c,E(Y2)=n2a+(n+l)2b+(n+2)2c,

82{2/

則D(Y)=E(Y2)(E(Y))2=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c(n+b+2c)2=4c2+§c+§=.4(c?J+?(0WcWJ,所以

D(Y)與n無(wú)關(guān),且當(dāng)c=；時(shí),D(Y)有最大值:.

答案:C

>2142

3.已知X是離散型隨機(jī)變量,P(X=xl)=*P(X=x2)=*且Xl<x2,又已知E(X)=3,D(X)=§,則xBx2的值

為()

5711

A-33D-T

42

解析：由E(X)=3,D(X)=9,得

(214

產(chǎn)+產(chǎn)一

?2?1162

5

=》-卜1=1,

解得Y,?或卜2=2.

儼1=1,

因?yàn)閤l<x2,所以卜2=2.所以xl+x2=3.

答案:C

4.(多選題)已知A1,A2為兩所高校舉行的自主招生考試,某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過(guò)的概

率均為;該同學(xué)一旦通過(guò)某所高校的考試，就不再參加其他高校的考試.設(shè)該同學(xué)通過(guò)考試的高校個(gè)

數(shù)為隨機(jī)變量乂,則()

A.X的可能取值為0,1

33

C.E(X)=4D.D(X)=正

解析：由已知得X的可能取值為0,1,且服從兩點(diǎn)分布.

P(X=0)gx；=；,

1113

P(X=l)=2+2><2=4,

3313

則E(X)=4,D(x)=4X?=16-

故選ABCD.

答案:ABCD

5.設(shè)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X,則7麗礪

解析：由題意得X的分布列為

X123456

111111

p

666()66

所以E(X)=(l+2+3+4+5+6)Xg=2,

D(X)=E(X2)(E(X))2=1X：+4X：+9X：+l6X%25X：+36義：-(J=得

所以”D(XX)=罩.

答案:啰

6.袋中有20個(gè)大小、質(zhì)地相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n=l,2,3：4).現(xiàn)

從袋中任取1球,X表示所取球的記號(hào).

⑴求X的分布列、均值和方差；

(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,求a,b的值.

解：(1)X的分布列為

X01234

11131

p

22010205

,、111313

E(X)=0X2+lX^2Xd3X/4Xg=2.

D(X)=(。寸卷+(1與乂梟(2.丁4+(3手*力(4歲H

(2)由D(Y)=a2D(X),即a2X?=ll,得a=±2.

VE(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b,

3

???當(dāng)a=2時(shí)，由1=2乂/),得匕=2;

3

當(dāng)a=2時(shí),由1=2X他得b=4.

7.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表:

降水量XX<5050<X<100100^X<250X2250

工期延誤天數(shù)Y02610

歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于50mm,100mm,250mm的概率分別為

0.3,0.7,0.9,求：

(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；

⑵在降水量至少是50mm的條件下,工期延誤不超過(guò)6天的概率.

解：(1)由已知可得P(X<50)=0.3,P(50CX<100)=P(X<100)P(X<50)=0.70.3=0.4,

P(100X<250)=P(X<250)P(X<100)=0.90.7=0.2,

P(X^250)=lP(X<250)=10.9=0.1,

所以Y的分布列為

Y02610

P

于是，E(Y)=0X0.3+2X0.4+6X0.2+10X0.1=3,

D(Y)=(03)2X0.3+(23)2X0.4+(63)2X0.2+(103)2X0.1=9.8.

故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.

(2)由概率的加法公式，得P(X250)=lP(X<50)=0.7,P(50WX<250)=P(X<250)P(X<50)=0.90.3=0.6.

P(50<X<250)066

由條件概率公式，得P(YW6|X250)=P(X<250X250)='p心50)二聲二1

故在降水量X至少是50mm的條件下，工期延誤不超過(guò)6天的概率是

8.投資A,B兩個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量XI和X2.根據(jù)市場(chǎng)分析,XI和X2的分布列分別為

投資A項(xiàng)目的利潤(rùn)率分布列