填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題2分，共1（）分）

1.設(shè)，,則==______________

2.四階方陣，已知二，且，則

?-j-y.//IJMVIM|.，1，___V

4.若n階方陣滿足12345678910

關(guān)系式，若其中

是單位陣，那么

=____________O

5,設(shè)，，線性

相關(guān)，則

t=____________0

二、單項(xiàng)選擇題（每

小題僅有一個(gè)正確答

案，將正確答案的番

號(hào)填入下表內(nèi)，每小

題2分，共20分）

題號(hào)

答案番號(hào)

1.若方程成立,則x是

（A）-2或3；(B)-3或2；

（C）?2或3(D)3或2；

2.設(shè)A.B均為n階方陣，則下列正確的公式為

(A)(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3；(B)(A-B)(A+B)=A2-B2；

(C)A2-E=(A-E)(A+E)；(D)(AB)2=A2B2

3.設(shè)A為可逆n階方陣，則=

(A)|A|E；(B)A；

(C)(D)\^~2A；

4.下列矩陣中哪一個(gè)是初等矩陣

(\00

100、

(A)(B)010

002,

、0

01「00

(C)01(D)00-2

000

5.下列命題正確的是

（A）如果有全為零的數(shù)使,則線性無關(guān);

（B）向量組，，若其中有一個(gè)向量可由向量組線性表示，則，，線性相關(guān);

（C）向量組，，的一個(gè)部分組線性相關(guān)，則原向量組本身線性相關(guān);

（D）向量組，，線性相關(guān)，則每一個(gè)向量都可由其余向量線性表示。

6、，，和，，，為兩個(gè)n維向量組，且

%=國+四+…+Pm

a產(chǎn)1+&+…+°m

%=小+吃…+

則下列結(jié)論正確的是

（A）,%）<R（4/72,,4“）

（B）…⑼]>R1/3\A，…M]

（C）R（.…4）=R（4,尸2,…，"）

（D）無法判定

7、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱方陣且為正交矩陣，則有

（A）A=E（B）A相似于E（C）A2=E（D）A合同于E

8、若是線性方程組的基礎(chǔ)解系，則+++是的

（A）解向量（B）基礎(chǔ)解系（C）通解；（D）A的行向量；

9、都是n階矩陣A的特征值，，旦和分別是對(duì)應(yīng)于和的特征向量，當(dāng)滿足

什么條件時(shí)，必是矩陣A的特征向量。

（A）且；（B）,

（C）攵#2工。（D）人工0而22=0

1-10

10、下列哪一個(gè)二次型的矩陣是-130

000

2X2X2

(A)f(x1,x2)=x(-2X2X2+32；(B)f(xiyx2)=x^-x,x2+32；

222

(C)/(X],x2,x5)=x：-7.x2x2+3X2；(D)/(Xj,x2,x3)=Xj—X]x2—x2x3+3.r2；

三、計(jì)算題（每小題9分,共63分）

1.設(shè)3階矩陣，，，其中均是3維行向量，且已知行列式，，求

2.解矩陣方程，其中

3.設(shè)有三維列向量組

為何值時(shí)：

（1）可由，，線性表示，且表示式是唯一的;

（2）不能由，，線性表示；

（3）可由，，線性表示，且有無窮種表示式，并寫出表示式。

4.已知四元非齊次線性方程組滿足，是的三個(gè)解向量，其中

求AX二/的通解。

5.已知A=B,且，

求a,b

6.齊次線性方程組

2xj-x2+3X3=0

=0-

?xt-3X2+4X3

F+2X2+ar=0

中當(dāng)a為何值時(shí)，有非零解，并求出通解。

7、用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出正交變換。

四、證明題（7分）

設(shè)A為mXn矩陣,B為n階矩陣，己知

證明：若，則

《高等代數(shù)》期末考試題A題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、填空題

1.-10；2.81；3.4,6,12；4.；5.5；

二、單12345678910

項(xiàng)選

擇題

（每小

題2

分，

共20

分）

題號(hào)

答案ACDBCCCADc

番號(hào)

三、計(jì)算題（每小題9分，共63分）

1.（2分）

（4分）

aP

=2%+12%（7分）

=2X18+12X2=60（9分）

2.（2分）

1-10

|E-A|=I0-1=3^0（3分）

I02

X=(E-A)~lB（5分）

02I

(石-4尸=1-321（7分）

0-11

02

X=--32（9分）

3

0-1

3.設(shè)

1+A11111

|小11+21=(Z+3)11+21=紀(jì)(4+3)00

111+/1111+/1

且時(shí)，方程組有唯一解

即可由，，唯一線性表示,

(2)當(dāng);1=—3時(shí)

11()、(\-21-3、

-21-3^01-12

1-29；(0006,

???R（A）=2,R（A）=3無解

即當(dāng)時(shí)，不能由，，線性表示(6分)

（3）當(dāng)4=0時(shí)

(\110、(\110、

(可二1110->0000

11110J1000化

vR（A）=R（A）=1<3,有無窮組解

基礎(chǔ)解系為：，

/、

~C\~C2

通解為X=G7-c2r]2=q

當(dāng)時(shí)可由，，線性表示為無窮多種形式

,為任意常數(shù)（9分）

4.的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解（2分）

（i=l,2,3）

設(shè)〃=（%+%）-（匕+%）=（4分）

為基礎(chǔ)解系（6分）

???4；(%+%)

(1]

.??。。=3Q+72)=為特解

Q（B分）

1+c

-2-4c

故AX=/7的通解為乂=U°+c〃=為任意常數(shù)（9分）

-3c

l-2c,

5.

2-1-a-1

|2E—A|=—a2-1-b=A3-3A2+(2-a2-b2)A+(a-b)2（2分）

-1-bA-l

200

\AE-B\=-a2-10=A(2-1)(/1-2)=23-322+2A（4分）

00A-2

萬一3萬+(2—一〃2)4+(〃-=萬-3萬+2%

h)2（6分）

比較同次累系數(shù)有

2-a2-b2=2

（8分）

（a-h）2=0

解之，得（9分）

6.（3分）

當(dāng)時(shí)，有非零解（5分）

基礎(chǔ)解系為？=1（8分）

、L

通解為X=sC為任意常數(shù)（9分）

"4-2-2

7>\AE-A\=-24一4-2=(A-2)2(/l-8)=0（3分）

-2-2Z-4

特征值為，（4分）

特征向量為（6分）

正交單位化為（7分）

標(biāo)準(zhǔn)型為/=8）；+2%2+2/2（8分）

正

四

由

:

:

A

B

.

.

B

A

B

交

、

于

=

B

隹

=

的證

變

S

R

二

A

每

（

換

O=明

A

，

（

一

9

為

4

題

）

=

%

列

X

（

n

向

）

（

=

4

z

量

=

…

，

為

131

1

l耳耳

,

齊

2

…

/

,

4

.

.

次

.

-

.

A

,

7

方

血

）

X

/

io21

?

程

）

=

）

組

0

=

A

只

（

例

X

有

.

6

26n

=一—一

零

，

。

解

y

的