2025年上海市金山區(qū)上海交大南洋中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，，直線AP，BP相交于點P，且它們斜率之積是.當(dāng)時，的最小值為（）A. B.C. D.2．給出如下四個命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準(zhǔn)線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④3．圓與圓的交點為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.4．若某群體中成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.5．若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知p、q是兩個命題，若“（￢p）∨q”是假命題，則（）A.p、q都是假命題 B.p、q都是真命題C.p是假命題q是真命題 D.p是真命題q是假命題7．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里8．在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個直角三角形的斜邊長等于則這個直角三角形周長的最大值為（）A. B.C. D.9．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A. B.C. D.10．一物體做直線運動，其位移(單位:)與時間(單位:)的關(guān)系是，則該物體在時的瞬時速度是A. B.C. D.11．已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側(cè)面積是（）A.2 B.C. D.12．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線的一條切線的斜率為，該切線的方程為________.14．已知數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列的前項和為，則__________，的最小值為__________15．已知函數(shù)，若過點存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________16．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣（如圖）：按照以上排列的規(guī)律，第9行從左向右的第2個數(shù)為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速（單位：）應(yīng)滿足.假設(shè)油價是7元/，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，當(dāng)車速為時，汽車每小時耗油，司機(jī)每小時的工資是91元.（1）求的值；（2）如果不考慮其他費用，當(dāng)車速是多少時，這次行車的總費用最低？18．（12分）已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點和平面內(nèi)一點，過點任作直線與橢圓相交于，兩點，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，，試求，滿足的關(guān)系式.19．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，側(cè)面是邊長為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求線段BD的長20．（12分）已知拋物線的方程為，點，過點的直線交拋物線于兩點（1）求△OAB面積的最小值（為坐標(biāo)原點）；（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由21．（12分）已知兩條直線，.設(shè)為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值.（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于.22．（10分）已知離心率為的橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）若不過點的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)出點坐標(biāo)，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設(shè)點坐標(biāo)為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點的軌跡方程為又，所以點的軌跡方程為，即點的軌跡為以、為頂點的雙曲線的左支（除點），因為，設(shè)，由雙曲線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取得最小值，因為，所以，所以，即的最小值為；故選：A2、A【解析】對選項①，根據(jù)圓一般方程求解即可判斷①錯誤，對選項②，求出橢圓離心率即可判斷②錯誤，對③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯誤?！驹斀狻繉τ冖龠x項，，，故①錯誤；對于②選項，由題知，所以，所以離心率，故②錯誤；對于③選項，拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線，故準(zhǔn)線方程是，故③正確；對于④選項，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以，焦點在軸上，故漸近線方程是，故④錯誤.故選：A3、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時，往往結(jié)合平面幾何知識（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程）可減小運算量.4、A【解析】利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.5、D【解析】將本題轉(zhuǎn)化為直線與半圓的交點問題，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡為即表示以為圓心，以2為半徑的一個半圓，如圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過時最大，即，當(dāng)直線與下半圓相切時最小，由圓心到直線距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結(jié)合圖象可得故選：D.6、D【解析】由已知可得￢p，q都是假命題，從而可分析判斷各選項【詳解】∵“（￢p）∨q”是假命題，∴￢p，q都是假命題，∴p真，q假，故選：D.7、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B8、C【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長的最大值.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則.因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故這個直角三角形周長的最大值為故選：C9、B【解析】因,故其共軛復(fù)數(shù).應(yīng)選B.考點：復(fù)數(shù)的概念及運算.10、A【解析】先對求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)數(shù)式，可得出該物體在時的瞬時速度【詳解】對求導(dǎo)，得，，因此，該物體在時的瞬時速度為，故選A【點睛】本題考查瞬時速度的概念，考查導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】故選：D12、C【解析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負(fù)數(shù)且最小或為正數(shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【詳解】①，當(dāng)時，，當(dāng)時，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列，且時，最小，最大，此時，所以，此時；當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時，最大，最大，此時，所以，此時綜上：的最大值為20故選：C【點睛】方法點睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】使用導(dǎo)數(shù)運算公式求得切點處的導(dǎo)數(shù)值，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等于切線斜率求得切點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切點坐標(biāo)，然后利用點斜式求出切線方程即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點為，可得，解得，即有切點，則切線的方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的加法運算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，和求切線方程，難度不大，關(guān)鍵是正確的使用導(dǎo)數(shù)運算公式求得切點處的導(dǎo)數(shù)值，14、①.②.【解析】首先確定的正負(fù)，分別在和兩種情況下求得，代入即可求得；由可求得，分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值，綜合可得最終結(jié)果.【詳解】令，解得：，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；；，當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，當(dāng)時，；綜上所述：.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查含絕對值的數(shù)列前項和的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠確定數(shù)列的變號項，從而以變號項為分類基準(zhǔn)進(jìn)行分類討論得到數(shù)列的前項和；求解數(shù)列中的最值問題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來進(jìn)行求解.15、【解析】設(shè)過M的切線切點為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設(shè)過點的直線與曲線相切于點，則，化簡得，，令，則過點存在三條直線與曲線相切等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點∵，故當(dāng)x<0或x>1時，，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時，，g(x)單調(diào)遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒16、38【解析】根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律求得正確答案.【詳解】數(shù)陣第行有個數(shù)，第行有個數(shù)，并且數(shù)字從開始，每次遞增.前行共有個數(shù)，第行從左向右的最后一個數(shù)是，所以第行從左向右的第個數(shù)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題中給出的車速和油耗之間的關(guān)系式，結(jié)合已知條件，待定系數(shù)即可；（2）根據(jù)題意求得以行駛所用時間，構(gòu)造費用關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】因為汽車以的速度行駛時，汽車的耗油率為，又當(dāng)時，，解得.【小問2詳解】若汽車的行駛速度為，則從地到地所需用時，則這次行車的總費用，則，令，解得，則當(dāng)，，單調(diào)遞減，即.故時，該次行車總費用最低.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直線與圓相切可得，再結(jié)合離心率及間的關(guān)系可得的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況考慮，分別求出點的坐標(biāo)后再求出的值，進(jìn)而得到，最后根據(jù)斜率公式可得所求的關(guān)系式【詳解】（1）因為圓與直線相切，所以圓心到直線的距離，即所以，又由題意得所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，可得直線方程為，由，解得或，不妨設(shè)，，所以，又，所以，所以，整理得所以滿足的關(guān)系式為.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，由消去并整理得，設(shè)點，則有，所以.所以，所以，整理得綜上可得滿足的關(guān)系式為【點睛】（1）判斷直線與橢圓的位置關(guān)系時，一般把二者方程聯(lián)立得到方程組，判斷方程組解的個數(shù)，方程組有幾個解，直線與橢圓就有幾個公共點，方程組的解對應(yīng)公共點的坐標(biāo)（2）對于直線與橢圓位置關(guān)系的題目，注意設(shè)而不求和整體代入方法的運用．解題步驟為：①設(shè)直線與橢圓的交點為；②聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；③利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；④利用題干中的條件轉(zhuǎn)化為，或，，進(jìn)而求解.19、（1）（2）或【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結(jié)合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡求得的長.【小問1詳解】依題意點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，當(dāng)是等邊三角形時，，.設(shè)直線與所成角為，則.【小問2詳解】設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡的，解得或，也即或.20、（1）；（2）是，該定值.【解析】（1）根據(jù)弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】顯然直線存在斜率，設(shè)直線的方程為：，所以有，設(shè)，則有，，原點到直線的距離為：，△OAB的面積為：，當(dāng)時，有最小值，最小值為；【小問2詳解】是定值，理由如下：由（1）可知：，，【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）；（2）.【解析】（1）由兩直線平行可得出關(guān)于的等式，求出的值，再代入兩直線方程，驗證兩直線是否平行，由此可得出結(jié)果；（2）分析可知，求出直線在軸、軸上的截距，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【小問1詳解】解：由，則，即，解得或.當(dāng)時，，，此時；當(dāng)時，，，此時重合，不合乎題意.綜上所述，；【小問2詳解】解：對于直線，由已知可得，則，令，得；令，