專升本數(shù)學(xué)專業(yè)2025年線性代數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若齊次線性方程組```[α12][1α3][11α]```有非零解，則實(shí)數(shù)α的取值為（）。（A）1或2（B）1或3（C）2或3（D）0或12.設(shè)向量組α?,α?,α?的秩為3，向量組β?=α?+α?,β?=α?+α?,β?=α?+α?，則向量組β?,β?,β?的秩為（）。（A）1（B）2（C）3（D）不能確定3.設(shè)A是n階可逆矩陣，B是n階不可逆矩陣，則下列矩陣中一定是不可逆矩陣的是（）。（A）A+B（B）AB（C）B+A（D）BA4.已知矩陣A=```[12t][0-11][00-1]```是正交矩陣，則實(shí)數(shù)t的值為（）。（A）-1（B）0（C）1（D）25.設(shè)A是n階矩陣，B是n階可逆矩陣，若AX=B，則X=（）。（A）A?1B（B）BA?1（C）B?1A（D）AB?1二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。6.設(shè)A是三階矩陣，且|A|=2，則|3A|=_______。7.若向量α=[1,k,3]與向量β=[2,-1,1]正交，則實(shí)數(shù)k=_______。8.設(shè)A=[a??],B=[b??]都是三階矩陣，且A+B=[5,0,-2;-1,3,1;0,2,4]，則|A|+|B|=_______。9.設(shè)向量組α?=[1,1,1],α?=[1,2,3],α?=[1,3,t]線性相關(guān)，則實(shí)數(shù)t=_______。10.已知矩陣A=```[10][α1]```的逆矩陣為A?1=```[10][β1]```則α+β=_______。三、計(jì)算題：本大題共4小題，共50分。11.（本小題滿分12分）計(jì)算行列式D：```[12-1][302][-111]```12.（本小題滿分12分）設(shè)矩陣A=```[12][34]```和B=```[20][-11]```（1）求3A-2B；（2）若矩陣X滿足AX=B，求矩陣X。13.（本小題滿分13分）討論向量組α?=[1,1,2],α?=[1,3,a],α?=[2,4,a2]的線性相關(guān)性，并在線性相關(guān)時，求出其一個線性組合使該向量組為零向量。14.（本小題滿分13分）設(shè)線性方程組```x?+2x?-x?+x?=02x?+4x?+x?+3x?=1-x?-2x?+(a-1)x?+(a+1)x?=b```（1）討論該方程組解的情況（有唯一解、無解、無窮多解）；（2）若方程組有解，求其通解。四、證明題：本大題共1小題，共10分。15.證明：若n階矩陣A滿足A2=A，則A的特征值只能是0或1。試卷答案一、選擇題1.（B）2.（C）3.（B）4.（C）5.（A）二、填空題6.187.-28.109.610.1三、計(jì)算題11.解析思路：使用行列式按第一行展開法計(jì)算。答案：-712.解析思路：（1）直接利用矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算。（2）利用矩陣左乘其逆矩陣等于單位矩陣的性質(zhì)求解。答案：（1）X=```[-12][3-2]```（2）X=```[-21][3/2-1/2]```13.解析思路：將向量組構(gòu)成的矩陣化為行最簡形，根據(jù)是否存在非零解判斷線性相關(guān)性。若線性相關(guān)，則存在不全為零的系數(shù)使線性組合為零，通過求解非齊次線性方程組找到這些系數(shù)。答案：線性相關(guān)。存在線性組合2α?-3α?+α?=0。14.解析思路：將增廣矩陣通過初等行變換化為行階梯形矩陣，根據(jù)主元個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)關(guān)系判斷解的情況。若有解，繼續(xù)化為行最簡形求解通解（齊次部分為基礎(chǔ)解系，非齊次部分為特解）。答案：（1）當(dāng)a≠-1時，無解；當(dāng)a=-1時，若b≠2，無解；當(dāng)a=-1且b=2時，有無窮多解。（2）當(dāng)a=-1且b=2時，通解為：```[1][0][0][k]（k為任意常數(shù)）```四、證明題15.解析思路：設(shè)λ是A的特征值，α是對應(yīng)特征向量。根據(jù)定義Aα=λα。將此式左乘A，利用A2=A和特征值定義推導(dǎo)λ的可能取值。答案：證明：設(shè)λ是矩陣A的特征值，α是對應(yīng)特征向量，即Aα=λα，且α≠0。兩邊左乘矩陣A，得A2α=A(λα)=λ(