答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁山西省長治市2025-2026學年高三上學期9月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．，，則（

）A． B． C． D．3．已知向量與向量的夾角是180°，且，則＝（

）A．(－3，6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6，3)4．游戲《黑神話：悟空》在山西的取景地共27處，包括長治市的崇慶寺、觀音堂，大同市的云岡石窟等，具體分布如下：城市大同朔州忻州晉中長治晉城臨汾運城取景地個數(shù)62622324某游客計劃從中選5處景點游玩，其中長治、晉城各選一處，大同選兩處，且云岡石窟必選，共有多少種不同的選法（

）A．26 B．450 C．480 D．14405．從點向圓引切線，則切線長的最小值為（

）A．5 B． C． D．6．已知兩個等差數(shù)列2，6，10，…，98和2，8，14，…，98，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（

）A．850 B．1250 C．400 D．4507．已知三棱錐的底面是邊長為5的正三角形，且，，，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．8．設函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，若，則在內(nèi)所有的零點之和為（

）A．16 B．12 C．8 D．4二、多選題9．下列命題正確的有（

）A．若，，則B．若，則的最小值為4C．已知都是正數(shù)，且，則D．若且，則的取值范圍為10．已知函數(shù)，則（

）A． B．C．的個位數(shù)是9 D．11．拋物線有如下光學性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸；一束平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線的反射集中于它的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一條平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射，再經(jīng)過上的另一點反射后沿直線射出，則下列結論正確的是（

）A．B．是一個直角三角形C．若延長交直線于點，則點在直線上D．拋物線在點處的切線分別與直線、所成的角相等三、填空題12．曲線在點處的切線的傾斜角為．13．的頂點坐標分別為，，，則．14．公比為的等比數(shù)列滿足：，記，則當最小時，使成立的最小值是．四、解答題15．已知．(1)若，，求的值；(2)設，求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．16．已知橢圓的左，右焦點分別是，且，過作直線與交于、兩點，的周長為．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程．17．如圖，在直四棱柱中，，．

(1)證明：平面平面；(2)若，，，點在同一個球面上，設該球面的球心為．（?。┳C明：在平面上；（ⅱ）求二面角的正弦值．18．已知．(1)證明：曲線是中心對稱圖形；(2)若時，恒成立，求的最小值；(3)若的圖象關于點對稱，且的解集為，求的取值范圍．19．共享交通工具的出現(xiàn)極大地方便了人們的生活，也是當下很好的商機．某公司根據(jù)市場發(fā)展情況推出共享單車和共享電動車兩種產(chǎn)品．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，由于兩種產(chǎn)品中共享電動車速度更快，故更受消費者歡迎．使用共享電動車的概率為，使用共享單車的概率為．該公司為了促進消費，用戶使用共享電動車一次積2分，使用共享單車一次積1分，積分可以兌換禮品．每個市民各次使用共享交通工具選擇意愿相互獨立，市民之間選擇意愿也相互獨立．(1)求某市民使用了3次共享交通工具后積分為5分的概率；(2)從首次使用共享交通工具的市民中隨機抽取3人，記總積分為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；(3)記某市民已使用該公司共享交通工具的累計積分恰為分的概率為，比如：表示累計積分為1分的概率，表示累計積分為2分的概率，試探求與之間的關系，并求數(shù)列的通項公式．《山西省長治市2025-2026學年高三上學期9月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案BAACCDBAABDBD題號11答案ACD1．B【分析】利用復數(shù)的乘法與除法運算求解.【詳解】.故選：B2．A【分析】求出對數(shù)型復合函數(shù)的定義域，化簡集合B，再利用補集、交集的定義求解.【詳解】由有意義，得，解得或，則或，，而，所以.故選：A3．A【分析】設，根據(jù)已知條件求得，由此求得.【詳解】設，則，即，即，解得，所以.故選：A4．C【分析】結合題意，利用組合數(shù)分析即可求解.【詳解】長治、晉城各選一處，共有種選法，大同選兩處，且云岡石窟必選，共有種選法，剩下可選的景點有：處，再選1處，種選法，所以共有種選法.故選：C.5．C【分析】可知點在直線上，根據(jù)題意利用勾股定理求切線長，結合圓的性質(zhì)求最小值.【詳解】圓的圓心為，半徑，點在直線上，則圓心到直線的距離，可知直線與圓相離，設其中一個切點為A，則切線長，所以切線長的最小值為.故選：C.6．D【分析】先求出新數(shù)列的公差，再結合等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】在等差數(shù)列2，6，10，…，98中，公差；在等差數(shù)列2，8，14，…，98中，公差，而和的最小公倍數(shù)為，得到新數(shù)列的公差，首項，所以，令，解得，故新數(shù)列共有項，所以新數(shù)列的各項之和為.故選：D7．B【分析】取的中點，連接、，利用給定條件證明平面，再利用錐體的體積公式計算即得.【詳解】在三棱錐中，取的中點，連接、，又因為正的邊長為，且，，，則，，由，所以，所以為直角三角形，因為為的中點，所以，又因為，所以，又因為，平面，所以平面，所以三棱錐的體積為，故B項正確.故選：B.8．A【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可推導出函數(shù)的周期為4，結合對稱性作出函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】由于為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，故和，進而可得和，因此，從而，故為周期為4的周期函數(shù)，當時，，故，由于，結合，可得，故，又，故，即，故，因此，作出的一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象，則直線與的兩個交點關于直線對稱，因此在內(nèi)的兩個零點之和為4，則在內(nèi)的兩個零點之和為12，故所有的零點之和為16，故選：A

9．ABD【分析】利用不等式性質(zhì)判斷A；利用基本不等式的取等條件判斷C；利用基本不等式求解B，由已知條件利用基本不等式得出不等關系，解不等式即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，，又，所以．正確；對于B，，則，當且僅當即時取等號，所以的最小值為4，正確；對于C，因為都是正數(shù)，且，所以，所以，所以，錯誤；對于D，，當且僅當時取等號，即，即，得到或（舍去），故的取值范圍為，正確.故選：ABD10．BD【分析】賦值法求系數(shù)和判斷A、B；由，結合展開式通項得個位數(shù)由決定，即可判斷C；由并應用二項式定理求對應項系數(shù)判斷D.【詳解】由題設，令，則，A錯；令，則，所以，即，B對；由，展開式通項為，顯然個位數(shù)由決定，即個位數(shù)是1，C錯；由，展開式通項為，，當時，，即，D對.故選：BD11．ACD【分析】根據(jù)題目條件，依次求得，，的坐標，進而求出，，，可判斷選項和；求出直線方程進而求出的坐標，可判斷選項；通過導數(shù)求出切線方程，并根據(jù)平面幾何知識，三角形的等邊對等角及平行線同位角相等，可判斷選項【詳解】

由拋物線的方程可知，其焦點的坐標為.由題目可知，軸，，故點的縱坐標亦為.設點坐標又因為點在拋物線上，故，解得，故.由題意可知，平行于軸的光線經(jīng)拋物線反射后會集中于焦點，因此直線經(jīng)過點.直線斜率為，因此直線的方程為.直線與拋物線交于，兩點，聯(lián)立方程，解得，.因此，.故選項正確.，.故.，，所以.因此，不是直角三角形.故選項錯誤.由，兩點坐標可知，直線的方程為.直線與直線相交于，，解得.又因為光線經(jīng)拋物線的焦點，故經(jīng)過點反射后，直線平行于軸.因此.故點在直線上.故選項正確.

當，拋物線的方程可表示為.求導得，故過作拋物線的切線斜率為.故該切線方程為.設該切線在點上方有一點，且與軸相交于.易知.故，.因此.所以.又因為軸，所以.故.即點處的切線分別與直線、所成的角相等.故選線正確.故選：12．【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得斜率，進而可得傾斜角.【詳解】因為，則，當時，，即切線斜率，又因為傾斜角，所以傾斜角.故答案為：.13．/【分析】利用數(shù)量積坐標運算求解.【詳解】因為，，，所以，，則，，，所以.故答案為：.14．19【分析】根據(jù)題意，求出兩項之間的關系，寫出公比的表達式，構造函數(shù)，求出公比最小值，進而根據(jù)題意，寫出前項積的表達式，進而求出結果.【詳解】由得，公比，設，則，令，即，解得，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，則時，在處取得最小值，；此時，公比最小值為，可知通項公式，則，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得，當時，，即；由，解得，所以的最小值為.故答案為：19.15．(1)(2)，，【分析】（1）結合題意求出，再利用二倍角公式求解即可.（2）結合題意求出，結合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出值域，再利用整體代入法求解單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）若，則，因為，所以，可得，得到，故．（2）由題意得，由正弦函數(shù)性質(zhì)得，故的值域為，令，，解得，．因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．16．(1)(2)或．【分析】（1）根據(jù)焦距以及橢圓的定義，列式子即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用弦長公式以及面積公式即可求解.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長為，所以，所以，故的方程為．（2）設，聯(lián)立，可得，，設，，所以，，所以，由，解得，所以的方程為或．

17．(1)證明見解析(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【分析】（1）由線面垂直的判定和性質(zhì)定理以及面面垂直的判定定理即可證明；（2）（?。┓謩e以為軸，建立空間直角坐標系，利用球心到球面上點的距離等于半徑可求出的坐標，從而可證明結果；（ⅱ）由空間向量求二面角的方法可計算出結果.【詳解】（1）證明：平面，平面，，，，平面，平面，平面，平面平面．（2）（?。┯深}意得，兩兩垂直，分別以為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，設球心，半徑為，

則，即，解得，，平面．（ⅱ）由（?。┑?，，，，則，，，設平面的法向量，，令，得，同理設平面的法向量，，令，得，，二面角的正弦值為．18．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）先求出函數(shù)定義域，接著計算即可得證；（2）先分離參數(shù)，將恒成立問題轉化成為最大值問題求最值即可求解；（3）先由（1）得，接著求導函數(shù)，利用導數(shù)工具分和兩種情況研究函數(shù)在上的單調(diào)性，從而根據(jù)在上的解集情況即可求解.【詳解】（1）證明：由得，所以的定義域為，，關于點中心對稱；（2）當時，恒成立，則恒成立，，，，，即的最小值為；（3）由（1）可知關于對稱，，，，，令，，，當時，，時，恒成立，，在上單調(diào)遞增，，的解集為，滿足題意．當時，，使得，時，即，單調(diào)遞減；時，即，單調(diào)遞增．，時，不滿足題意．綜上所述，．19．(1)(2)分布列見解析，(3)，【分析】（1）由二項分布的概率計算公式可得結果；（2）由二項分布的概率公式和數(shù)學期望的計算公式可得結果；（3）方法1：由累計積分恰為分的概率和積分不到分的概率相加為1可得，利用構造法可求得數(shù)