試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廣東省深圳市第二高級中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期九月月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．3．設(shè)是兩個不同的平面，，是異于的一條直線，則“”是“且”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．已知是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．26．圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，母線長為16．已知為該圓臺某條母線的中點(diǎn)，若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運(yùn)動一圈后又回到點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的最短路徑長為（

）

A．16 B． C． D．7．已知，在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，若，則（

）．A．0 B． C． D．二、多選題9．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A．有最大值為1B．有最小值為4C．有最小值為5D．有最大值為10．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．方程有兩個不等的實(shí)數(shù)解C．不等式的解集為D．關(guān)于的方程的解的個數(shù)可能為11．若正方體邊長為1，點(diǎn)滿足，其中，則（

）A．當(dāng)時，存在點(diǎn)，使得平面B．當(dāng)滿足時，不存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)滿足時，存在點(diǎn)，使得與平面所成角為D．當(dāng)滿足時，三棱錐的體積的最小值為三、填空題12．曲線在處的切線方程為．13．已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則取值的范圍．14．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則．四、解答題15．在5道數(shù)學(xué)試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.(1)如果從中抽2道題，求恰好抽到一道代數(shù)題和一道幾何題的概率；(2)如果從中抽3道題，記表示抽到代數(shù)題的道數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.16．已知，其內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求；(2)若，，為邊上的中點(diǎn)，求的長．17．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形．，且為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，求使得二面角的正弦值不小于的點(diǎn)形成的軌跡長度．18．如圖，橢圓的方程為，左、右焦點(diǎn)分別為．設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程；(2)求證：是定值；(3)求三角形的周長．19．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《廣東省深圳市第二高級中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期九月月考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案DCADCBDCACDACD題號11答案ABD1．D【分析】解不等式求得集合A，B，進(jìn)而利用交集的意義求解即可.【詳解】由，可得，解得，所以，又，故．故選：D.2．C【分析】利用排除法及函數(shù)的定義域即可求解.【詳解】由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，由選項(xiàng)中的圖象知，故C正確.故選：C.3．A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】當(dāng)時，可能在內(nèi)或者內(nèi)，故不能推出且，所以充分性不成立；當(dāng)且時，設(shè)存在直線，且，因?yàn)?，所以，根?jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可得，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分條件．故選：A．4．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】，而，故，又，故，故.故選：D5．C【分析】根據(jù)題意有，又，進(jìn)而得，即，即可得函數(shù)的周期，利用周期即可求解.【詳解】由題意有，又函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以，故選：C.6．B【分析】將圓臺沿著母線剪開后展開得到平面圖形，根據(jù)題意即可求出兩個扇形的半徑以及圓心角，最后根據(jù)最短路徑的意義求出即可.【詳解】將圓臺沿著母線剪開后展開得到平面圖形如圖，分別設(shè)小扇形和大扇形的半徑為，圓心角為，則由題意可知，弧長為，弧長為，，則，得，則，因?yàn)樵搱A臺某條母線的中點(diǎn)，則，因?yàn)榈妊苯侨切?，且腰長為，則，故該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的最短路徑長為.故選：B

7．D【分析】不等式等價于，分類討論，和，分別求出實(shí)數(shù)的取值范圍，最后取交集即可.【詳解】易知，不等式，即.當(dāng)時，，，則，又，所以；當(dāng)時，，對任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立；當(dāng)時，，，則，又，所以；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.8．C【分析】利用和即可求解出極值點(diǎn)和參數(shù)k.【詳解】依題意，則，因?yàn)椋裕@然，兩式相除得，則，將代入中，解得，故選：C.9．ACD【分析】根據(jù)基本不等式及其變形形式逐項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】對于A，由基本不等式，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；對于B，，，，，，即，的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B錯誤；對于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：，時取等號，故C正確；對于D，，，又，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，，即有最大值為，故D正確.故選：ACD10．ACD【分析】畫出函數(shù)的圖象，通過圖象即可確定函數(shù)的值域求解A，根據(jù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)即可求解B,根據(jù)時確定或，即可由或求解C，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.【詳解】畫出的圖象，如下圖所示：令，解得或，所以的圖象與軸交于，對于A，由圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)锳對；對于B，由圖象可知，直線與函數(shù)圖象有三個不同的交點(diǎn)，故方程有三個不等的實(shí)數(shù)解，B錯；對于C，由圖象可知，當(dāng)或時，，所以，由，可得或.令，解得或；令，解得或，由圖象可知，不等式解集為C對；對于D，令，則，則，當(dāng)時，，由圖可知與的圖象有兩個交點(diǎn)，即方程解的個數(shù)為2個，當(dāng)時，即時，，則，故，，當(dāng)時，則有兩解，當(dāng)時，若，則有三解，若，則有兩解，故方程解的個數(shù)為4或5個，綜上方程解的個數(shù)可能為個.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．11．ABD【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用向量法逐一判斷各個選項(xiàng)即可【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以，

對于A，當(dāng)時，則，取，則點(diǎn)P與C重合，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；當(dāng)時，所以，則，要使，當(dāng)且僅當(dāng)，即，令，若，又，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以在處取得極小值，所以在無零點(diǎn)，即在無解，所以當(dāng)滿足時，不存在點(diǎn)，使得，故B正確；設(shè)平面的法向量為，則，，所以，取，則，所以，因?yàn)榕c平面所成角為，，又，所以，得，所以方程無解，所以當(dāng)滿足時，不存在點(diǎn)，使得與平面所成角為，C錯誤的；為正三角形，，則，由，，可得所以設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為，由令，所以點(diǎn)P到平面的距離為，因?yàn)?，，所以所以?dāng)時，取最大值，從而，所以三棱錐的體積的最小值為，故D對；故選：ABD12．【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】記，，，又，曲線在處的切線方程為，即.故答案為：13．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，則取值的范圍為.故答案為：.14．【分析】利用指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對化簡變形可得，再構(gòu)造函數(shù)判斷奇偶性，進(jìn)而得.【詳解】令，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，于是，故為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為.所以.故答案為：15．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）求出抽到一道代數(shù)題和一道幾何題的可能以及總的可能情況，利用概率的公式求解；（2）先確定的所有取值，求出各自的概率，寫出分布列，利用期望的公式可得期望.【詳解】（1）設(shè)事件“從中抽2道題，恰好抽到一道代數(shù)題和一道幾何題”，.（2）根據(jù)題意，可能的取值為1，2，3，，，所以的分布列為123故隨機(jī)變量的期望.16．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合已知條件整理化簡，求得，則得解；（2）根據(jù)面積公式，求得，再由余弦定理求得，利用余弦定理求得，再在△中，由余弦定理求得.【詳解】（1）因?yàn)?，即，且，即，得，且，則，可得，且，所以．（2）如圖：因?yàn)?，，由，所以，解得，在中，由余弦定理得，則，又D為BC邊上的中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得，則，在中，由余弦定理得，所以．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，由題意可得，利用余弦定理可求得，可證，進(jìn)而可得平面，可證結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面的一個法向量與平面的一個法向量，利用向量法可得，進(jìn)而計(jì)算即可.【詳解】（1）如圖，連接，因?yàn)榈酌鏋檫呴L為4的正三角形，且為的中點(diǎn)，所以，又，所以，且，在中，因?yàn)?，由余弦定理可得，解得，在中，因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫妫?，所以平面，又平面，故．?）由（1）知平面，因?yàn)?，所以，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即取，則，則平面的一個法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，則平面的一個法向量為．設(shè)二面角的平面角為，當(dāng)時，由得，即，整理得，即，解得，因?yàn)?，故使得二面角的正弦值不小于的點(diǎn)形成的軌跡長度為．18．(1)(2)(3).【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可求，故可求橢圓方程；（2）如圖，延長交橢圓于，利用對稱性結(jié)合弦長公式、韋達(dá)定理可求的值;（3）利用橢圓定義結(jié)合三角形相似可求，故可求三角形的周長．【詳解】（1）由題設(shè)，橢圓的半焦距為且焦點(diǎn)在軸上，故且，故，故橢圓方程為.（2）

如圖，延長交橢圓于，由對稱性可得.因?yàn)橹本€與直線平行，故直線的斜率不為零，設(shè)，直線，則，則.由可得，故，，，故，故.（3）因?yàn)?，所以，即，即．所以．由點(diǎn)在橢圓上知，，所以．同理可得，．所以．而，故三角形的周長為.19．(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分類討論即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）轉(zhuǎn)化為恒成立，由（1）可得最小值，再由知最小值為，即可得解；（3）分兩類，分別放縮后，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，再由單調(diào)性證明.【詳解】（1），當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時，在上