2025高考數(shù)學保險試題及答案1．（單選）某保險公司推出一款分紅型終身壽險，保單持有人每年末可獲紅利，紅利金額與當年公司利潤掛鉤。設第t年末利潤X_t服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，且各年獨立。若公司約定：當X_t≥x_0時才派發(fā)紅利，且紅利額為min(X_t,2x_0)。已知λ=0.01，x_0=100萬元，則一張保單在10年保障期內(nèi)至少獲得一次紅利的概率約為A．0.095??B．0.181??C．0.233??D．0.368??E．0.632答案：B解析：單次獲紅利概率P(X_t≥x_0)=e^{λx_0}=e^{1}≈0.3679。10年內(nèi)至少一次的概率=1?(1?e^{1})^{10}≈1?0.632^{10}≈0.181。2．（單選）某財險公司采用Bühlmann信度模型對車險保單定價。歷史三年中，某被保險人的年索賠次數(shù)分別為1,0,2，行業(yè)平均年索賠次數(shù)為0.8，過程方差與假設方差之比為0.5。則第四年該被保險人的信度保費（單位：次）為A．0.80??B．0.92??C．1.00??D．1.08??E．1.20答案：D解析：信度因子Z=n/(n+κ)=3/(3+0.5)=0.857，信度保費=Z·X?+(1?Z)·μ=0.857·1+0.143·0.8≈1.08。3．（單選）考慮兩狀態(tài)（存活、死亡）的連續(xù)時間馬爾可夫鏈，狀態(tài)轉移強度μ_{x+t}為常數(shù)μ=0.04。一份保額為1的連續(xù)型終身壽險，保費按常數(shù)率P連續(xù)繳納。若精算等價原理成立，則P滿足的微分方程為A．P=μ/(μ+δ)??B．P=μ??C．P=μ·ā_x??D．d/dtV_t=μ?P??E．d/dtV_t=δV_t+μ?P答案：E解析：準備金V_t滿足Thiele微分方程dV_t/dt=δV_t+μ(1?V_t)?P，整理即得E。4．（單選）某保險公司出售一份5年期萬能壽險，保證最低結算利率2.5%，實際結算利率遵循反射幾何布朗運動dr_t=0.1(0.03?r_t)dt+0.02dW_t，且r_t被反射于0.01處。若賬戶價值F_t滿足dF_t/F_t=r_tdt?0.005dt，則F_5的期望對數(shù)收益ln(F_5/F_0)為A．0.110??B．0.125??C．0.140??D．0.155??E．0.170答案：C解析：反射布朗運動的期望漂移為0.03?0.005=0.025，5年累積期望收益=0.025×5=0.125，再考慮反射帶來的0.015修正，得0.140。5．（單選）某再保險合約約定：對每次事故損失Y，再保險人承擔超出自留額M=2000萬元的部分，且再保險人賠付上限為5000萬元。若Y服從帕累托分布，參數(shù)α=3，θ=3000萬元，則再保險人期望賠付額為A．810??B．900??C．1080??D．1200??E．1350答案：C解析：E[(Y?M)_+∧5000]=∫_{2000}^{7000}(y?2000)·f_Y(y)dy+5000·S_Y(7000)。計算得1080萬元。6．（單選）在SolvencyII框架下，保險公司需計算SCR（SolvencyCapitalRequirement）。若某公司的最佳估計負債BE=8億元，風險邊際RM=0.5億元，則其技術準備金TP為A．7.5??B．8.0??C．8.5??D．9.0??E．9.5答案：C解析：TP=BE+RM=8+0.5=8.5億元。7．（單選）某團體醫(yī)療險采用經(jīng)驗費率，若過去n年總索賠S_n服從復合泊松分布，泊松參數(shù)λn，個體索賠額均值為μ，方差為σ2。則S_n的變異系數(shù)為A．√(λn(μ2+σ2))/(λnμ)??B．√(μ2+σ2)/(μ√λn)??C．σ/(μ√λn)??D．√(λn)/μ??E．σ/μ答案：B解析：Var(S_n)=λn(μ2+σ2)，E[S_n]=λnμ，故CV=√Var/E=√(μ2+σ2)/(μ√λn)。8．（單選）某保險公司發(fā)行巨災債券，觸發(fā)條件為年度行業(yè)損失指數(shù)L>120億元。若L服從對數(shù)正態(tài)分布，lnL~N(4.2,0.52)，則該債券在一年內(nèi)觸發(fā)的概率為A．0.0228??B．0.0475??C．0.0668??D．0.0912??E．0.1151答案：A解析：P(L>120)=P(lnL>ln120)=P(Z>(4.787?4.2)/0.5)=P(Z>1.174)≈0.0228。9．（單選）在壽險準備金評估中，若采用PPDA（PrescribedProfitDeferredAnnuity）法，則未來利潤現(xiàn)值應A．立即確認??B．在未來實際發(fā)生時確認??C．按年金領取期攤銷??D．按保費繳費期攤銷??E．不確認答案：C解析：PPDA要求將利潤按年金領取期系統(tǒng)攤銷。10．（單選）某保險公司使用機器學習模型預測車險欺詐，模型輸出概率π(x)=1/(1+e^{?xβ})。若實際欺詐率0.5%，模型在閾值0.3下召回率0.8，精確率0.04，則該閾值下F1分數(shù)為A．0.038??B．0.074??C．0.080??D．0.148??E．0.160答案：B解析：F1=2·Precision·Recall/(Precision+Recall)=2·0.04·0.8/(0.04+0.8)=0.074。11．（多選）關于風險度量CoherentAxiom，下列哪些指標滿足次可加性A．VaR_{0.99}??B．TVaR_{0.99}??C．期望短缺ES_{0.95}??D．標準差??E．半方差答案：BC解析：TVaR與ES為Coherent；VaR在一般分布下不滿足次可加；標準差與半方差不滿足單調性。12．（多選）在CramérLundberg模型中，若保費率c=(1+θ)λμ，則下列操作可降低破產(chǎn)概率ψ(u)A．提高初始盈余u??B．提高安全負荷θ??C．降低索賠額波動σ??D．提高泊松強度λ??E．采用再保險降低μ答案：ABCE解析：提高u、θ、降低σ及通過再保險降低μ均可降低ψ(u)；單純提高λ會提高風險體積，反而增加ψ(u)。13．（多選）關于IFRS17合同邊界（ContractualServiceMargin），下列說法正確的是A．在初始確認時若存在首日利得，則CSM等于該利得??B．CSM在后續(xù)期間系統(tǒng)攤銷進入損益??C．CSM可為負值??D．CSM吸收未來假設變更的影響??E．CSM在虧損合同下直接計入損益答案：ABD解析：CSM非負；虧損合同下?lián)p失立即確認，不形成負CSM。14．（多選）在健康險定價中，下列因素會導致道德風險增加A．免賠額降低??B．共保比例下降??C．保額上限提高??D．引入DRG支付??E．保單包含健康管理服務答案：ABC解析：DRG與健康管理服務抑制道德風險。15．（多選）關于極值理論（EVT）在保險中的應用，下列敘述正確的是A．GPD可用于建模超出閾值的高損失尾部分布??B．Hill估計可用于估計尾部指數(shù)??C．塊最大值法（BMM）要求塊內(nèi)獨立??D．閾值選取需進行平均超額圖檢驗??E．EVT可給出任意置信水平下的VaR解析解答案：ABCD解析：EVT給出VaR估計而非解析閉式解。16．（填空）某養(yǎng)老險公司采用“65歲退休、月付1000元、終身支付”的產(chǎn)品設計，若評估利率i=2.5%，生命表采用CL20102013男性，則60歲投保的躉繳純保費為____元（取整）。答案：174320解析：月折現(xiàn)率j=(1+i)^{1/12}?1≈0.00206，月生存年金?_{65}^{(12)}=13.802，折現(xiàn)因子v^{5}=0.8839，躉繳保費=1000×12×?_{65}^{(12)}×v^{5}×_{5}p_{60}≈174320。17．（填空）某財產(chǎn)險公司使用Bootstrap方法估計索賠準備金，原始樣本為{120,150,180,220,300}萬元，有放回抽取1000次，每次抽取5個樣本計算均值，則Bootstrap估計的均值標準誤為____萬元（保留兩位小數(shù)）。答案：21.47解析：原始均值194，Bootstrap標準差=√(Σ(?_i?194)2/999)≈21.47。18．（填空）在機器學習定價模型中，若采用Tweedie分布，其方差函數(shù)V(μ)=μ^p，則當p=____時，該分布同時具有點質量于0與連續(xù)正支撐，適合建模零膨脹索賠額。答案：1<p<2解析：Tweedie在1<p<2時為復合泊松伽馬，兼具0與連續(xù)部分。19．（填空）某保險公司發(fā)行可轉債，轉換比例1:1，面值100元，當前股價95元，轉債價格110元，則其轉換溢價率為____%（保留兩位小數(shù)）。答案：15.79解析：轉換價值=95元，溢價=(110?95)/95≈15.79%。20．（填空）若采用Copula方法對車險索賠次數(shù)與索賠額建模，設邊緣分布分別為Pois(λ)與Lognormal(μ,σ2)，若選用GumbelCopula，則其Kendall’sτ與參數(shù)θ關系為τ=____。答案：1?1/θ解析：GumbelCopulaτ=1?1/θ，θ≥1。21．（解答）某壽險公司推出一款變額年金，保單持有人賬戶價值F_t跟隨標的指數(shù)S_t，且提供GuaranteedMinimumWithdrawalBenefit(GMWB)：每年可提取賬戶價值的5%，直至總提取額達到初始保費P的150%。若賬戶價值耗盡，公司繼續(xù)支付直至總提取額達標。設初始保費P=100萬元，S_t服從幾何布朗運動dS_t=0.06S_tdt+0.2S_tdW_t，無風險利率r=3%，提取連續(xù)進行。（1）寫出賬戶價值F_t的動態(tài)方程；（2）求該保證在t=0時的風險中性期望現(xiàn)值（用積分表示即可）；（3）若公司采用靜態(tài)對沖，購買一份執(zhí)行價為0的看跌期權，其名義數(shù)量應如何設定？答案：（1）dF_t=F_t((μ?0.05)dt+σdW_t)?0.05F_tdt=F_t(0.01dt+0.2dW_t)，當F_t>0；若F_t=0，則公司支付流為0.05Pe^{rt}直到總提取1.5P。（2）令τ=inf{t:F_t=0}，則保證價值=E^Q[∫_τ^{T}0.05Pe^{rs}ds·1_{τ<T}]，其中T=ln(1.5)/0.05≈8.109。（3）需購買P份零執(zhí)行價看跌，即名義100萬元，期限T，以覆蓋賬戶耗盡后的支付缺口。22．（解答）某財險公司使用貝葉斯方法估計火災險索賠頻率。先驗分布為Gamma(α=2,β=0.01)，即均值200次/年。觀察三年，實際索賠分別為180,220,210次。（1）求后驗分布參數(shù)；（2）求下一年索賠預測分布（負二項）的參數(shù)；（3）計算下一年索賠次數(shù)大于250次的概率（用負二項尾概率表示即可）。答案：（1）后驗Gamma(α'=2+180+220+210=612,β'=0.01+3=3.01)。（2）預測NegBin(r=612,p=3.01/(3.01+1))。（3）P(N>250)=1?F_{NegBin}(250;r=612,p=0.7506)。23．（解答）某再保險合約采用Layer5000xs5000（即5000萬元以上至1億元部分），再保險人承擔50%。若年總損失S服從復合泊松，λ=10，個體損失服從Pareto(α=4,θ=8000萬元)。（1）求再保險人期望年賠付；（2）求再保險人賠付的方差；（3）若再保險人希望以99%置信水平覆蓋年賠付波動，求所需經(jīng)濟資本（假設近似正態(tài)）。答案：（1）E[Y]=0.5·E[(S?5000)_+∧5000]=0.5·λ·∫_{5000}^{10000}(y?5000)·f_X(y)dy+0.5·λ·5000·S_X(10000)≈0.5·10·(1272+5000·0.337)≈10580萬元。（2）Var(Y)=0.25·λ·[∫_{5000}^{10000}(y?5000)2f_X(y)dy+50002S_X(10000)]≈0.25·10·(2.89×10^6+50002·0.337)≈1.02×10^7(萬元2)。（3）EC=10580+2.326·√(1.02×10^7)≈10580+2.326·3194≈18010萬元。24．（解答）某保險公司采用隨機準備金評估，假設未決賠款準備金R服從對數(shù)正態(tài)分布，lnR~N(μ=3.2,σ=0.4)。公司需持有風險邊際RM=VaR_{0.99}(R)?中位數(shù)(R)。（1）求中位數(shù)(R)；（2）求VaR_{0.99}(R)；（3）求RM占最佳估計的比例。答案：（1）中位數(shù)=e^{3.2}≈24.53億元。（2）VaR_{0.99}=e^{3.2+0.4·2.326}≈e^{4.130}≈62.18億元。（3）RM=62.18?24.53=37.65億元，比例=37.65/24.53≈153.5%。25．（解答）某壽險公司評估分紅險公允價值，假設未來紅利參與率90%，且紅利源自由利潤中扣除法定準備金成本后的可分配盈余?？煞峙溆噙^程為D_t=0.03A_t?0.025V_t，其中A_t為資產(chǎn)價值，V_t為負債最佳估計。若A_t與V_t均服從帶漂移的布朗運動，相關系數(shù)ρ=0.8，且初始A_0=V_0=100億元，資產(chǎn)波動σ_A=5%，負債波動σ_V=4%，無風險利率r=2.5%。（1）寫出紅利現(xiàn)金流的隨機微分方程；（2）求紅利現(xiàn)金流在t=0時的風險中性期望現(xiàn)值（用連續(xù)折現(xiàn)表示即可）；（3）若公司采用ReplicatingPortfolio對沖，應如何構建資產(chǎn)組合？答案：（1）dD_t=0.03dA_t?0.025dV_t=0.03(A_tμ_Adt+A_tσ_AdW^A)?0.025(V_tμ_Vdt+V_tσ_VdW^V)。（2）價值=E^Q[∫_0^T0.9D_te^{rt}dt]。（3）構建Delta對沖：持有0.03×0.9=0.027單位A_t資產(chǎn)，做空0.025×0.9=0.0225單位V_t負債零息債券，動態(tài)調整。26．（綜合）某保險集團擬發(fā)行一款長期護理險（LTC），采用多狀態(tài)模型：健康(H)、輕度失能(L)、重度失能(S)、死亡(D)。轉移強度矩陣Q為[?0.080.050.020.01][0.03?0.120.070.02][0.000.00?0.200.20][0.000.000.000.00]保費連續(xù)繳納，僅在H狀態(tài)繳納，保額在S狀態(tài)連續(xù)給付1萬元/年，直至死亡。評估利率r=3%。（1）寫出ChapmanKolmogorov前向微分方程組；（2）求60歲健康者未來給付的精算現(xiàn)值；（3）若公司收取常數(shù)保費率P，求P使精算等價成立；（4）若公司采用再保險，將S狀態(tài)給付的50%分保給再保險人，再保險溢價為給付現(xiàn)值的120%，求再保險后凈保費。答案：（1）對任意狀態(tài)i∈{H,L,S}，d/dtp_{ij}(t)=Σ_kp_{ik}(t)q_{kj}，j∈{H,L,S,D}。（2）解Kolmogorov方程得_p_{HS}(t)與_p_{SS}(t)，給付現(xiàn)值=∫_0^∞10000·_p_{HS}(t)·e^{rt}·(1/_p_{SS}(t→∞))dt≈7.42萬元。（3）繳費現(xiàn)值=P∫_0^∞_p_{HH}(t)e^{rt}dt=P·ā_H，令P·ā_H=7.42，得P=7.42/12.3≈0.603萬元/年。（4）再保給付現(xiàn)值=0.5×7.42=3.71，再保溢價=1.2×3.71=4.45，凈保費=0.603×12.3?4.45≈3.00萬元，折合年凈保費=3.00/12.3≈0.244萬元。27．（綜合）某保險公司使用深度學習模型預測車險索賠概率，網(wǎng)絡結構為輸入層(50維)、三層全連接(128,64,32)、輸出層(1維，Sigmoid)。訓練集100萬條，采用Adam優(yōu)化器，學習率0.001，batchsize1024，epoch20。（1）若采用L2正則化系數(shù)λ=1e?5，寫出損失函數(shù)；（2）為避免過擬合，公司引入Dropout=0.3，說明其原理；（3）若測試集AUC=0.847，而業(yè)務要求Precision≥0.3，求對應閾值及召回率；（4）若模型解釋性需滿足監(jiān)管，公司采用SHAP值，簡述其計算步驟。答案：（1）Loss=?Σ[ylogp+(1?y)log(1?p)]+λ||W||2。（2）Dropout在訓練時以概率0.3隨機置零神經(jīng)元，強制網(wǎng)絡冗余，降低共適應，測試時縮放權重。（3）從ROC曲線查得當Precision=0.3時，Recall≈0.65，對應閾值τ≈0.18。（4）SHAP：對每條樣本，枚舉所有特征子集S，計算邊際貢獻?_i=Σ_{S?N\{i}}(|S|!(M?|S|?1)!)/M![f(S∪{i})?f(S)]，用KernelSHAP近似加速。28．（綜合）某保險公司發(fā)行投資連結險，保單持有人可自由選擇基金A(股票)、B(債券)。公司保證滿期最低給付G=P·e^{0.02T}。若采用期權復制，購買看跌期權對沖下跌風險。設A服從GBM，dA=0.08Adt+0.2AdW，B=0.04Bdt，無風險r=4%，T=10年。（1）寫出保證給付在t=0時的現(xiàn)值表達式；（2）求該保證對應的看跌期權價格（BlackScholes公式）；（3）若基金配置權重w_A=x，w_B=1?x，求使期權成本最小的x及最小成本；（4）若公司采用動態(tài)Delta對沖，給出Delta公式并說明再平衡頻率。答案：（1）現(xiàn)值=e^{rT}E^Q[max(G?F_T,0)]，其中F_T=P[w_AA_T/A_0+(1?w_A)B_T/B_0]。（2）令σ_F=w_A·0.2，則看跌價格=P·e^{rT}·Φ(?d_2)?F_0·Φ(?d_1)，d_1=(ln(F_0/G)+(r+σ_F2/2)T)/(σ_F√T)。（3）對x求導，令dCost/dx=0，得x≈0.375，最小成本≈0.018P。（4）Delta=?Φ(?d_1)·(A_T/A_0)/F_0，每日再平衡，波動大時