概率統(tǒng)計(jì)黃金32題

一．比賽類題目(共10小題)

1甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)

行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至

其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為．

(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率．

4

解：(1)甲連勝四場(chǎng)只能是前四場(chǎng)全勝，P==．

(2)記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，故四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為

4

P=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4×=，

故需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1-=．

(3)法一：設(shè)事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，

記事件M：甲贏，記事件N：丙贏，則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、

BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，

則甲贏終的概率為：

45

P=+×7=；

由對(duì)稱性可知：乙贏的概率和甲贏的概率相等，

所以丙獲勝的概率為P=1-2×=．

3

法二：(1)只打四場(chǎng)比賽，此時(shí)丙只需贏三場(chǎng)，即第二場(chǎng)到第四場(chǎng)，其概率P==，

(2)打五場(chǎng)比賽，最后一場(chǎng)丙贏，則丙在第二，三，四場(chǎng)比賽必然輸一場(chǎng)，因此要繼續(xù)打分兩種情況

進(jìn)行討論：

3

(i)若丙第二場(chǎng)輸，則第四場(chǎng)和第五場(chǎng)丙贏，則，概率P==，

3

(ii)若丙第三場(chǎng)輸，則第二場(chǎng)和第五場(chǎng)丙贏，則，概率P==，

5

(iii)若丙第四場(chǎng)輸，則前三場(chǎng)必有一人被淘汰，其概率為P=2×=，

綜上所述，丙獲勝的概率P=+++=．

概率統(tǒng)計(jì)32題1

2某運(yùn)動(dòng)會(huì)中，新增加的“趣味乒乓球單打”是這屆運(yùn)動(dòng)會(huì)的熱門項(xiàng)目，比賽規(guī)則如下：兩人對(duì)

壘，開局前抽簽決定由誰先發(fā)球(機(jī)會(huì)均等)，此后均由每個(gè)球的贏球者發(fā)下一個(gè)球，對(duì)于每一個(gè)

球，若發(fā)球者贏此球，發(fā)球者得1分，對(duì)手得0分；若對(duì)手贏得此球，發(fā)球者得0分，對(duì)手得2分．

當(dāng)有一人累計(jì)得分超過5分時(shí)，比賽就結(jié)束，得分高者獲勝．已知在選手甲和乙的對(duì)壘中，發(fā)球

一方贏得此球的概率都是0.6，各球結(jié)果相互獨(dú)立．

(1)假設(shè)開局前抽簽結(jié)果是甲發(fā)第一個(gè)球，求比賽出現(xiàn)比分2：2的概率；

(2)已知現(xiàn)在比分3：3，接下來由甲發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球后比賽結(jié)束，求X的分布列及數(shù)學(xué)期

望．

解：(1)比賽出現(xiàn)比分2：2的事件A是甲發(fā)三球，前兩球甲贏，第三球乙贏的事件A1與甲發(fā)球乙

贏、乙發(fā)球甲贏的事件A2的和，A1，A2互斥，

P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.6×0.6×0.4+0.4×0.4=0.304，

故比賽出現(xiàn)比分2：2的概率為0.304．

(2)X所有可能取值為2，3，4，

因比分已是3：3，接下來由甲發(fā)球，有一人累計(jì)得分超過5分時(shí)，比賽就結(jié)束，

P(X=2)=0.4×0.6=0.24，

P(X=3)=0.63+0.6×0.4×1+0.4×0.4×1=0.616，

P(X=4)=0.62×0.4×1=0.144，

故X的分布列為：

X234

P0.240.6160.144

故E(X)=2×0.24+3×0.616+4×0.144=2.904．

3甲、乙運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球友誼賽，每場(chǎng)比賽采用5局3勝制(即有一運(yùn)動(dòng)員先勝3局即獲勝，比

賽結(jié)束)．比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3：0或3：1取勝的運(yùn)動(dòng)員積3分，負(fù)

者積0分，以3：2取勝的運(yùn)動(dòng)員積2分，負(fù)者積1分，已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為

1．

3

(1)甲、乙兩人比賽1場(chǎng)后，求甲的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)甲、乙兩人比賽2場(chǎng)后，求兩人積分相等的概率．

解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，

3222

12

P(X=0)=+C3×××=，P(X=1)=C4×××=，

2232

22

P(X=2)=C4×××=，P(X=3)=+C3×××=，

∴X的分布列為：

X0123

P161681

2781819

∴數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=；

(2)記“甲、乙比賽兩場(chǎng)后，兩名運(yùn)動(dòng)員積分相等”為事件M，

設(shè)第i場(chǎng)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員積分分別為Xi，Yi，則Xi=3-Yi，i=1，2，

因兩名運(yùn)動(dòng)員積分相等，

●2

∴X1+X2=Y1+Y2，

即X1+X2=(3-X1)+(3-X2)，則X1+X2=3，

∴P(M)=P(X1=0)P(X2=3)+P(X1=1)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=1)+P(X1=3)P(X2=0)

=×+×+×+×=．

4某地舉行象棋比賽，淘汰賽階段的比賽規(guī)則是：兩人一組，先勝一局者進(jìn)入復(fù)賽，敗者淘汰．

比賽雙方首先進(jìn)行一局慢棋比賽，若和棋，則加賽快棋；若連續(xù)兩局快棋都是和棋，則再加賽一局

超快棋，超快棋只有勝與負(fù)兩種結(jié)果．在甲與乙的比賽中，甲慢棋比賽勝與和的概率分別為，

,快棋比賽勝與和的概率均為，超快棋比賽勝的概率為，且各局比賽相互獨(dú)立．

(1)求甲恰好經(jīng)過三局進(jìn)入復(fù)賽的概率；

(2)記淘汰賽階段甲與乙比賽的局?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

解：(1)甲經(jīng)過三局進(jìn)入復(fù)賽，則第一局為慢棋和棋，第二局為快棋和棋，第三局快棋勝，

∴P=1×1×1=1

，

33327

(2)X的可能的取值為1，2，3，4，

P(X=1)=1-=，

P(X=2)=×(1-=，

P(X=3)=××(1-=，

P(X=4)=×××+=，

X的分布列為：

X1234

P2221

392727

E(X)=+++=．

5第56屆世界乒乓球錦標(biāo)賽將于2022年在中國成都舉辦，國球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲

乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得1分．

(1)已知某局比賽中雙方比分為8：8，此時(shí)甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時(shí)甲得

分的概率為，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，當(dāng)任何一方的積分達(dá)到11分

且領(lǐng)先對(duì)方2分時(shí)，該局比賽結(jié)束，求該局比賽甲以11：9獲勝的概率；

(2)已知在本場(chǎng)比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率

為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．兩人又進(jìn)行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解：(1)在比分為8：8后甲先發(fā)球的情況下，甲以11：9贏下此局分兩種情況：

①后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為×××=，

②后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為×××=，

③后四球勝方依次為甲甲乙甲，概率為×××=，

概率統(tǒng)計(jì)32題3mm

故所求事件概率為++=．

(2)由題意可得，X所有可能取值為2，3，4，5，

P(X=2)=×=，

1

P(X=3)=C2×××=，

1

P(X=4)=C3××××+×××=，

3

P(X=5)=C4××××=，

故X的分布列為：

X2345

P48138

9278181

故E(X)=2×+3×+4×+5×=．

6第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)(TheXXIVOlympicWinterGames)，即2022年北京冬季奧

運(yùn)會(huì)，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運(yùn)會(huì)設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)

分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng)．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項(xiàng)目；延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項(xiàng)目；張

家口賽區(qū)的崇禮區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項(xiàng)目．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)擬派出甲、乙、

丙三人去參加自由式滑雪．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決

賽．已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為

和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和-p，其中0<p<．

(1)甲、乙、丙三人中，誰進(jìn)入決賽的可能性最大；

(2)若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為，設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列．

解：(1)甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：P1=×=，

乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：P2=×=，

2

丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：P3=-P(=-P+P，

2

∴P3=-(P-+<，

∴甲進(jìn)入決賽可能性最大．

2

(2)P=P1×P2×P3=××(-P+P(=，

2

整理得18p-27p+10=0，解得p=或p=，又

∵132

<p<，∴p=，

243

∴丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：P3=1-=，

●4

進(jìn)入決賽的人數(shù)為ξ可能取值為0，1，2，3，

P(ξ=0)=××=，

P(ξ=1)=××+××+××=，

P(ξ=2)=××+××+××=，

P(ξ=3)=××=，

∴ξ的分布列為：

ξ0123

P711295

72327232

72022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙

組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)

贏兩場(chǎng)，則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)，則業(yè)余隊(duì)獲勝；若比賽三場(chǎng)還沒有決出勝負(fù)，則視為平

局，比賽結(jié)束．

已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏的概率為；甲與丙比賽，丙

贏的概率為p，其中<p<．

(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽，請(qǐng)分別計(jì)算兩

種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與

甲進(jìn)行比賽？

(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬

元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬元．

在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了(1)中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共

計(jì)X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)的取值范圍．

解：(1)第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：P1=×p+×p×

=5

p，

9

第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：P2=×p+(1-p)××p=

-122

p+p，

33

因?yàn)?lt;p<，

2

所以P1-P2=p-p=p(p->0，

所以P1>P2，

所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽；

(2)由已知X=4.5萬元或X=3.6萬元．

由(1)知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽，

此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為P1=p，

專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為P3=×(1-p)+×(1-p)×=-p，

概率統(tǒng)計(jì)32題5mm

所以，非平局的概率為

P(X=4.5)=P1+P3=-p，

平局的概率為P(X=3.6)=1-P1-P3=+p，

X的分布列為：

X4.53.6

P8111

-p+p

9393

X的數(shù)學(xué)期望為E(x)=4.5×-p(+3.6×+p(=4.4-0.3p(萬元)，

而<p<，

所以E(x)的取值范圍為：(4.25，4.3)(單位：萬元)．

8甲、乙兩名選手爭奪一場(chǎng)乒乓球比賽的冠軍．比賽采取三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局

勝利時(shí)比賽結(jié)束，且該選手奪得冠軍．根據(jù)兩人以往對(duì)戰(zhàn)的經(jīng)歷，甲、乙在一局比賽中獲勝的概

率分別為，，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．

(1)求甲奪得冠軍的概率；

(2)比賽開始前，工作人員買來一盒新球，共有6個(gè)．新球在一局比賽中使用后成為“舊球”，“舊球”

再在一局比賽中使用后成為“廢球”．每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中

不換球，該局比賽后，如果這顆球成為廢球，則直接丟棄，否則裁判員將其放回盒中．記甲、乙決出

冠軍后，盒內(nèi)新球的數(shù)量為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解：記事件Ai=“甲在第i局比賽中獲勝”，(i=1，2，3)，

—

事件Ai=“甲在第i局比賽中未勝”．(i=1，2，3)

—

顯然P(Ai)=，P(Ai)=1-P(Ai)=，(i=1，2，3)．

(1)記事件A=“甲奪得冠軍”，

——22

則P(A)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=+××+×=；

(2)設(shè)甲乙決出冠軍共進(jìn)行了Y局比賽，易知Y=2或Y=3．

——22

則P(Y=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=+=，

故P(Y=3)=1-P(Y-2)=．

—

記N1=“第i局比賽后抽到新球”，Ni=“第i局比賽后抽到舊球”．

由題意知、比賽前盒內(nèi)有6顆新球，

—

比賽1局后，盒內(nèi)必為5顆新球1顆舊球，此時(shí)P(N1)=，P(N1)=，

若N1發(fā)生，則比賽2局后，盒內(nèi)有4顆新球，2顆舊球，

—

此時(shí)P(N1N2)=×=，P(N1N2)=×=．

—

若N1，發(fā)生，則比賽2局后，盒內(nèi)有5顆新球，

—

故下次必取得新球．即P(N1N2)=×1=．

于是P(X=3)=P(Y=3)P(N1N2)=×=，

—

P(X=4)=P(Y=2)P(N1)+P(Y=3)P(N1N1)+P(Y=3)P(N1N2)=×+×+

●6

×=．

—

P(X=5)=P(Y=2)P(N1)=×=．

故X的分布列為：

X345

P409713

150150150

故X的數(shù)學(xué)期望EX=3×+4×+5×=．

9冬季兩項(xiàng)是第24屆北京冬奧會(huì)的比賽項(xiàng)目之一，它把越野滑雪和射擊兩種特點(diǎn)不同的競(jìng)賽項(xiàng)

目結(jié)合在一起．其中20km男子個(gè)人賽的規(guī)則如下：

①共滑行5圈(每圈4km)，前4圈每滑行1圈射擊一次，每次5發(fā)子彈；

②射擊姿勢(shì)及順序?yàn)椋旱?圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立

射，第5圈滑行直達(dá)終點(diǎn)；

③如果選手有n發(fā)子彈未命中目標(biāo)，將被罰時(shí)n分鐘；

④最終用時(shí)為滑雪用時(shí)、射擊用時(shí)和被罰時(shí)間之和，最終用時(shí)少者獲勝．

已知甲、乙兩人參加比賽，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙兩人每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率分別為

和．假設(shè)甲、乙兩人的射擊用時(shí)相同，且每發(fā)子彈是否命中目標(biāo)互不影響．

(1)若在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時(shí)間相同，求甲勝乙的概率；

(2)若僅從最終用時(shí)考慮，甲、乙兩位選手哪個(gè)水平更高？說明理由．

解：(1)設(shè)第四圈甲命中n發(fā)，乙命中了m發(fā)，

在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時(shí)間相同，甲勝乙需要滿足：60×(5-m)>60(5-n)+36×

5，化為n-m>3．

∵m，n∈N，0≤n，m≤5．

54

1

∴n=5，m=1時(shí)，P1=C5××=；

55

n=5，m=0時(shí)，P2=×=；

45

4

n=4，m=0時(shí)，P3=C5×××=．

∴甲勝乙的概率P=P1+P2+P3=++=．

(2)設(shè)甲射擊命中目標(biāo)的次數(shù)為X，乙射擊命中目標(biāo)的次數(shù)為Y，則X~B(20，Y~B(20，

E(X)=20×=16發(fā)，E(Y)=20×=15發(fā)，

∴甲平均罰時(shí)為4分鐘，乙平均罰時(shí)為5分鐘，

又甲滑雪每圈比乙慢36秒，

∴甲滑雪用時(shí)比乙多了36×5=180秒=3分鐘，

∴4+3>5，

∴乙的水平更高．

概率統(tǒng)計(jì)32題7mm

10甲、乙、丙三人參加學(xué)?！霸┘文耆A”競(jìng)答游戲，活動(dòng)的規(guī)則為：甲、乙、丙三人先分別坐在圓

桌的A，B，C三點(diǎn)，第一輪從甲開始通過擲骰子決定甲的競(jìng)答對(duì)手，如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則按逆時(shí)

針選擇乙，如果是偶數(shù)，則按順時(shí)針選丙，下一輪由上一輪擲骰子選中的對(duì)手繼續(xù)通過擲骰子決

定競(jìng)答對(duì)手，如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)按逆時(shí)針選對(duì)手，點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)按順時(shí)針選對(duì)手，已知每場(chǎng)競(jìng)答甲對(duì)

乙、甲對(duì)丙、乙對(duì)丙獲勝的概率分別為，，且甲、乙、丙之間競(jìng)答互不影響，各輪游戲亦互

不影響，比賽中某選手累計(jì)獲勝場(chǎng)數(shù)達(dá)到2場(chǎng)，游戲結(jié)束，該選手為晉級(jí)選手．

(1)求比賽進(jìn)行了2場(chǎng)且甲晉級(jí)的概率；

(2)當(dāng)比賽進(jìn)行了3場(chǎng)后結(jié)束，記甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解：(1)甲贏兩場(chǎng)概率為：×××+×××=．

(2)依題意X的所有可能取值為0，1，2，

“X=2”，即比賽進(jìn)行了3場(chǎng)甲贏兩場(chǎng)，分下面三種情況，

①第一場(chǎng)甲勝，第二場(chǎng)無甲，第三場(chǎng)甲勝，

概率為××××+××××=，

②第一場(chǎng)甲輸，二三場(chǎng)均勝，

概率為×××××+×+×××××+×=，

③第一場(chǎng)甲勝，第二場(chǎng)輸，第三場(chǎng)勝，

概率為：×××××+×+×××××+×=

1，

18

由互斥事件的概率加法公式可知：比賽進(jìn)行了3場(chǎng)且甲晉級(jí)的概率為：++=，

由上知P(X=2)=，

當(dāng)比賽進(jìn)行了3場(chǎng)后結(jié)束，甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為X=0時(shí)，分兩種情況，

3場(chǎng)比賽中甲參加了1場(chǎng)，輸了，概率為：××××+××××=，

3場(chǎng)比賽中甲參加了2場(chǎng)，都輸了，概率為：×××××+××××

11

×=，

336

3場(chǎng)比賽甲都參加且都輸?shù)羰遣豢赡艿?，否則兩場(chǎng)比賽打不到3場(chǎng)，

所以P(X=0)=+=，

故P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1--=，

故X的分布列為：

●8

X012

P131071

1441446

則E(X)=0×+1×+2×=．

二．與數(shù)列相結(jié)合(共7小題)

11為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試

驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，

另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另

一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，

約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1

分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都

未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為

X．

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0，1，…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)

為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1，2，…,7)，其中a=P

(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5，β=0.8．

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0，1，2，…,7)為等比數(shù)列；

(i)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．

(1)解：X的所有可能取值為-1，0，1．

P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，P(X=1)=α(1-β)，

∴X的分布列為：

X-101

P(1-α)βαβ+(1-α)(1-α(1-β)

β)

(2)(i)證明：∵α=0.5，β=0.8，

∴由(1)得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．

因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1，2，…,7)，

故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1)，即pi+1-pi=4(pi-pi-1)，

又∵p1-p0=p1≠0，∴{pi+1-pi}(i=0，1，2，…,7)為公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列；

(ii)解：由(i)可得，

p8=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)+p0==p1，

∴p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)+p0=p1=．

p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．

由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=

≈0.0039，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理．

概率統(tǒng)計(jì)32題9mm

12一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁

殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……,該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有

相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=pi(i=0，1，2，3)．

(Ⅰ)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

2

(Ⅱ)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x+

3

p3x=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=1，當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1；

(Ⅲ)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義．

(Ⅰ)解：由題意，p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，

故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1；

(Ⅱ)證明：由題意可知，p0+p1+p2+p3=1，則E(X)=p1+2p2+3p3，

2323

所以p0+p1x+p2x+p3x=x，變形為p0-(1-p1)x+p2x+p3x=0，

23

所以p0+p2x+p3x-(p0+p2+p3)x=0，

即p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x-1)(x+1)=0，

2

即(x-1)[p3x+(p2+p3)x-p0]=0，

2

令f(x)=p3x+(p2+p3)x-p0，

若p3≠0時(shí)，則f(x)的對(duì)稱軸為x=-<0，

注意到f(0)=-p0<0(若p0=0，則E(X)≤1不成立，當(dāng)E(X)=1，卻有p=1)，

f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1，

若p3=0時(shí)，f(1)=E(X)-1，

當(dāng)E(X)≤1時(shí)，f(1)≤0，f(x)=0的正實(shí)根x0≥1，原方程的最小正實(shí)根p=1，

當(dāng)E(X)>1時(shí)，f(1)=p1+2p2+3p3-1>0，f(x)=0的正實(shí)根x0<1，原方程的最小正實(shí)根p<

1，

(Ⅲ)解：當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望小于等于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅

絕；

當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望大于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能．

13為了釋放學(xué)生壓力，某校高三年級(jí)一班進(jìn)行了一個(gè)投籃游戲，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球

定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪)．在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置上，甲先

投，每人投一次籃，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，

兩人均得0分．設(shè)甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且各次投籃互不

影響．

(1)經(jīng)過1輪投籃，記甲的得分為X，求X的分布列及期望；

(2)若經(jīng)過n輪投籃，用pi表示第i輪投籃后，甲的累計(jì)得分低于乙的累計(jì)得分的概率．

①求p1，p2，p3；

②規(guī)定p0=0，經(jīng)過計(jì)算機(jī)模擬計(jì)算可得pi=api+1+bpi-1(i≥1，i∈N)，請(qǐng)根據(jù)①中p1，p2，p3值求

出a，b的值，并由此求出數(shù)列{pn}的通項(xiàng)公式．

解：(1)X的可能取值為-1，0，1．

P(X=-1)=×=；P(X=0)=×+(1-1-=；P(X=1)=×=

1．

3

∴X的分布列為：

●10

X-101

P111

623

期望E(X)=．即經(jīng)過1輪投籃，甲得分的期望為分．

(2)①由(1)知P1=，

經(jīng)過兩輪投球，甲的累計(jì)得分低于乙的累計(jì)得分的有兩種情況：一是甲兩輪都得分為-1分：二是

兩輪中甲一輪得0分，另一輪得-1分．

2

1

p2=+C2×=．

經(jīng)過三輪投球，甲累計(jì)得分低有四種情況：-1-1-1；-1-1+0；-1+0+0；-1-1+1．

3222

212

P3=+C3×+C3×+C3×=

=a

②將P0，P1，P2，P3的值分別代入Pi=aPi+1+bPi-1，得

=a+b

6

得a=6，b=1．

77

∴Pi=Pi+1+Pi-1，即Pi+1-Pi=(Pi-Pi-1)

又P1-P0=，所以{Pn-Pn-1}是首項(xiàng)、公比都是的等比數(shù)列．

n

∴Pn-Pn-1=，

∴數(shù)列{pn}的通項(xiàng)公式為pn=1-．

14一只螞蟻在如圖所示的棱長為1米的正四面體的棱上爬行，每次當(dāng)它到達(dá)四面體頂點(diǎn)后，會(huì)

在過此頂點(diǎn)的三條棱中等可能的選擇一條棱繼續(xù)爬行(包含來時(shí)的棱)，已知螞蟻每分鐘爬行1

米，t=0時(shí)螞蟻位于點(diǎn)A處．

(1)2分鐘末螞蟻位于哪點(diǎn)的概率最大；

(2)記第n分鐘末螞蟻位于點(diǎn)A，B，C，D的概率分別為Pn(A)，Pn(B)，Pn(C)，Pn(D)．

①求證：Pn(B)=Pn(C)=Pn(D)；

②辰辰同學(xué)認(rèn)為，一段時(shí)間后螞蟻位于點(diǎn)A、B、C、D的概率應(yīng)該相差無幾，請(qǐng)你通過計(jì)算10分

鐘末螞蟻位于各點(diǎn)的概率．解釋辰辰同學(xué)觀點(diǎn)的合理性．

910910

附：≈5.1×10-5≈1.7×10-5≈2.0×10-3≈9.8×10-4．

概率統(tǒng)計(jì)32題11mm

解：(1)解：由題可知，在1鐘末螞蟻位于A、B、C、D點(diǎn)的概率分別為0，，，

故2分鐘末位于A點(diǎn)的概率P(A)=.+.+.=，

位于B的概率等于P(B)=

同理，位于C、D的概率也等于，

2分鐘末螞蟻位于A點(diǎn)的概率最大．

(2)①證明：記第n分鐘末螞蟻位于A、B、C、D點(diǎn)的概率分別為Pn(A)、Pn(B)、Pn(C)、Pn(D)，

則Bn+1=(An+Cn+Dn)=(1-Bn)，

-

=(-)-=(-)-=(-n1

同理：Cn+11Cn，相減得Bn+1Cn+1-BnCnBnCnB1C1).(-，

又B1=C1=，Bn-?n=0，Bn=?n，同理可得?n=Dn，∴Bn=?n=Dn，

故Pn(B)=Pn(C)=Pn(D)．

②解：∵An+1=(1-An)，∴An+1-=-An-，

r

∴數(shù)列An-{是公比為-的等比數(shù)列，

--

-=--=--n1=+--n1

A1，An(，An(，

∴=9=9

A10+(--，同理B10+-，

9910

∴-=+--+-=-≈×-5

A10B10(((1.710，

又Bn=?n=Dn，∴10分鐘末螞蟻位于A、B、C、D點(diǎn)的概率相差無幾，

第n(n>10)分鐘末螞蟻位于A、B、C、D點(diǎn)的概率之差將會(huì)更小，所以辰辰的話合理．

15某種電子玩具啟動(dòng)后，屏幕上的LED顯示燈會(huì)隨機(jī)亮起紅燈或綠燈．在玩具啟動(dòng)前，用戶

可對(duì)p1(0<p1<1)賦值，且在第1次亮燈時(shí)，亮起紅燈的概率為p1，亮起綠燈的概率為1-p1．隨

后若第n(n∈N*)次亮起的是紅燈，則第n+1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為；

若第n次亮起的是綠燈，則第n+1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為．

(1)若輸入p1=，記該玩具啟動(dòng)后，前3次亮燈中亮紅燈的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)在玩具啟動(dòng)后，若某次亮燈為紅燈，且亮紅燈的概率在區(qū)間，內(nèi)，則玩具會(huì)自動(dòng)唱一

首歌曲，否則不唱歌．現(xiàn)輸入p1=，則在前20次亮燈中，該玩具最多唱幾次歌？

●12

解：(1)據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，

當(dāng)X=0時(shí)，前3次亮燈的顏色為“綠綠綠”，則P(X=0)=××=，

當(dāng)X=1時(shí)，前3次亮燈的顏色為“紅綠綠”，或“綠紅綠”，或“綠綠紅”，則P(X=1)=××

1221124

+××+××=，

2332339

當(dāng)X=2時(shí)，前3次亮燈的顏色為“紅紅綠“或“紅綠紅”或“綠紅紅”，

則P(X=2)=××+××+××=，

當(dāng)X=3時(shí)，前3次亮燈的顏色為“紅紅紅”，則P(X=3)=××=，

所以X的分布列為：

X0123

P1441

189918

E(X)=0×+1×+2×+3×=；

(2)記第n次亮燈時(shí)，亮起紅燈的概率為pn，由題設(shè)，pn+1=pn×+(1-pn)×=-pn+，

則pn+1-=-pn-，因?yàn)閜1=，

則，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

p1-=-{r(pn-r{(--

則n-1

pn-=-×(-，

所以n

pn=+×(-，

n

由pn<0，所以n為奇數(shù)，

由pn

因?yàn)閚為奇數(shù)，則<，即3n>2021，則n≥7，

當(dāng)n≤20時(shí)，n=7，9，11，13，15，17，19．因?yàn)橥婢咴谶@7次亮燈中亮紅燈是隨機(jī)事件，所以在

前20次亮燈中，該玩具最多唱7次歌．

16某校數(shù)學(xué)興趣小組由水平相當(dāng)?shù)膎位同學(xué)組成他們的學(xué)號(hào)依次為1，2，3，…,n．輔導(dǎo)老師

安排一個(gè)挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)填空題的活動(dòng)，活動(dòng)中有兩個(gè)固定的題，同學(xué)們對(duì)這兩個(gè)題輪流作答，每位同

學(xué)在四分鐘內(nèi)答對(duì)第一題及四分鐘內(nèi)答對(duì)第二題的概率都為，每個(gè)同學(xué)的答題過程都是相互

獨(dú)立的挑戰(zhàn)的具體規(guī)則如下：

①挑戰(zhàn)的同學(xué)先做第一題，第一題做對(duì)才有機(jī)會(huì)做第二題；

②挑戰(zhàn)按學(xué)號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)開始第1輪挑戰(zhàn)；

③若第i(i=1，2，3，…,n-1)號(hào)同學(xué)在四分鐘內(nèi)未答對(duì)第一題，則認(rèn)為第i輪挑戰(zhàn)失敗，由第i+

1號(hào)同學(xué)繼續(xù)挑戰(zhàn)；

④若第i(i=1，2，3，…,n-1)號(hào)同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對(duì)了第一題，滿四分鐘后，輔導(dǎo)老師安排該生

答第二題，若該生在四分鐘內(nèi)又答對(duì)第二題，則認(rèn)為挑戰(zhàn)成功挑戰(zhàn)在第i輪結(jié)束；若該生在四分鐘

內(nèi)未答對(duì)第二題，則也認(rèn)為第i輪挑戰(zhàn)失敗，由第i+1號(hào)同學(xué)繼續(xù)挑戰(zhàn)；

概率統(tǒng)計(jì)32題13mm

⑤若挑戰(zhàn)進(jìn)行到了第n輪，則不管第n號(hào)同學(xué)答對(duì)多少題，下輪不再安排同學(xué)挑戰(zhàn)．

令隨機(jī)變量Xn表示n名挑戰(zhàn)者在第Xn(Xn=1，2，3，…,n)輪結(jié)束．

(1)求隨機(jī)變量X4的分布列；

(2)若把挑戰(zhàn)規(guī)則①去掉，換成規(guī)則⑥：挑戰(zhàn)的同學(xué)先做第一題，若有同學(xué)在四分鐘內(nèi)答對(duì)了第一

題，以后挑戰(zhàn)的同學(xué)不做第一題，直接從第二題開始作答．

令隨機(jī)變量Yn表示n名挑戰(zhàn)者在第Yn(Yn=1，2，3，…,n)輪結(jié)束．

*

(i)求隨機(jī)變量Yn(n∈N，n≥2)的分布列；

(i)證明：E(Y2)<E(Y3)<E(Y4)<E(Y5)<…<E(Yn)<…<3．

解：P(X1=k，P(X

因此X4的分布列為

X41234

P

………………(4分)

*

(2)(i)Yn=k(1≤k≤n-1，k∈N)時(shí)，第k人必答對(duì)第二題，

k+1

若前面k-1人都沒有一人答對(duì)第一題，其概率為pk，

若前面k-1人有一人答對(duì)第一題，其概率為p，

k+1

故P=pk,+p．

當(dāng)Yn=n時(shí)，

若前面n-1人都沒有一人答對(duì)第一題，其概率為pn，

n

若前面n-1人有一人答對(duì)第一題，其概率為p，

n

故P=pn,+p．Yn的分布列為：

Yn123…n-1n

P…

……………………(8分)

n+1n+1nn+1

法+(n-n(n=(n>0，

故E(Y2)<E(Y3)<E(Y4)<E(Y3)<…<E(Yn)<…，

求得E，

故E(Yn)=E(Y2)+[E(Y3)-E(Y2)]+[E(Y4)-E(Y3)]+…+[E(Yn)-E(Yn-1)]，

14

故E(Y2)<E(Y3)<E(Y4)<E(Y5)<…<E(Yn)<…<3．………………(12分)

k+1k

法2：令k=(ak2+bk+c-[a+c，

則k2=2(ak2+bk+c)-[ak2+(2a+b)k+(a+b+c)]=ak2+(b-2a)k+(c-a-b)，

-

1k+1nn

22

因此：E(Yn)=k+n(nn+2n+n(n=3-

k=1

nn+1n+1

又E-(n=(n>0，

故E(Y2)<E(Y3)<E(Y4)<E(Y5)<…<E(Yn)<…<3．………………(12分)

17射擊是使用某種特定型號(hào)的槍支對(duì)各種預(yù)先設(shè)置的目標(biāo)進(jìn)行射擊，以命中精確度計(jì)算成績

的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)．射擊運(yùn)動(dòng)不僅能鍛煉身體，而且可以培養(yǎng)細(xì)致、沉著、堅(jiān)毅等優(yōu)良品質(zhì)，有益于

身心健康．為了渡過愉快的假期，感受體育運(yùn)動(dòng)的美好，法外狂徒張三來到私人靶場(chǎng)體驗(yàn)射擊運(yùn)

動(dòng)．

(1)已知用于射擊打靶的某型號(hào)步槍的彈夾中一共有