保密★啟用前

2025—2026學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

高三數(shù)學(xué)試題(A)

2025.11

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前考生務(wù)必將姓名、班級等個(gè)人信息填寫在答題卡指定位置.

3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題

卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題

的答題區(qū)域內(nèi)作答.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={-2,1,2},B={-1,-2,2},則(C4)UB=

A.{-1}B.-1,-2}C.{-1,-2,2}D.{-1,-2,Q,2}

2.

A.iB.-iC.1D.-1

3.已知非零向量a=(m,m),b=(m,1),則“m=1”是“a116”成立的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)y=f(x)的定義域和值域分別為[-2,2]和[4,9],則函數(shù)y=f(x-1)的定義域和值

域分別為

A.[-3,-1]和[3,8]B.[-3,-1]和[4,9]

C.[-1,3]和[3,8]D.[-1,3]和[4,9]

5.已知函數(shù)f(x)=sin(wx+φ)(w>0,-π<φ<π)在上單調(diào)遞減，且為f(x)的

一條對稱軸，是f(x)的一個(gè)對稱中心，當(dāng)時(shí)，f(x)的最小值為

A.B.C.1D.0

高三數(shù)學(xué)試題(A)第1頁(共4頁)

6.“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》,“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互

垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓

形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，然后將這塊圓形木板截

成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角α滿

足,則這塊四邊形木板面積的最大值為

A.20cm2B.20√3cm2

C.50cm2D.50√3cm2

7.已知函數(shù),x=-1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，且f(x)在[-2,2]上有且僅

有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

A.B.

D.

8.已知函數(shù)若方程f(x)-2af(x)+4=0有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

數(shù)a取值范圍是

B.C.(-1,2)D.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分)

9.如圖，已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為1,O是它的中

心，則

A.BC與HE不能構(gòu)成一組基底

B.OB+OD=√2OC

C.AG在AB上的投影向量的模為√2

D.

10.將函數(shù)f(x)=sinwx(w>0)的圖象向左平移φφ>0)個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)=cosox

的圖象.設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),若φ的最小值勾.則

A.w=3B.直線是h(x)圖象的一條對稱軸

C.點(diǎn))是h(x)圖象的一個(gè)對稱中心D.h(x)在上單調(diào)遞增

高三數(shù)學(xué)試題(A)第2頁(共4頁)

11.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x+1)為奇函數(shù)，f(x-1)為偶函數(shù)，當(dāng)

x∈[-1,1]時(shí)，f(x)=1-|x,則

A.f(2026)=-1B.f(x)在[2,3]上單調(diào)遞減

C.y=f(x+5)為奇函數(shù)D.方程f(x)=1g|x|僅有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上)

12.若直線y=2x是曲線y=Inx+x+a的切線，則a=

13.△ABC中，,AB=a,AC=6,則AE=.(用a,b

表示),若|AE|=1,AE⊥CB,則AE·CD=_

14.在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)，CP=1,∠ACP=30°,∠BCP=45°,

AP=λBP,∠CPB=θ.當(dāng)△ABC面積最小時(shí)，tanθ=·

四、解答題(本犬題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(13分)已知函數(shù)f(x)=ax3-bx2+c,其中實(shí)數(shù)ax0,beR,c∈R.

(1)若時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)；

(2)若a=1時(shí)，在x∈[1,2]上恒成立，求b的取值范圍.

16.(15分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c..已知

(1)求角B的大??；

(2)若△ABC為銳角三角形，求sinA+sinC的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)試題(A)第3頁(共4頁)

17.(15分)已知f(x)=Acos(wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<π),函數(shù)y=f(x)的圖象與y軸的

交點(diǎn)為(0,-√3),,它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x?,2)和

(1)求函數(shù)y=fl)的表達(dá)式及x?的值；

(2)已知a,b∈R,若函數(shù)y=af(x)+b,的值域?yàn)閇0,3],求a,b的值.

18.(17分)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費(fèi)馬點(diǎn)”,即平

面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).托里拆利確定費(fèi)馬點(diǎn)的方法如下：

①當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，滿足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O為費(fèi)馬點(diǎn)；

②當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大矛或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).

請用以上知識解決下面的悶題：已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)鳥點(diǎn)，cos2B-cos2C=2sin2A.

(1)求角C;

(2)若ab=2,求MA·MB+MB·MC+MA·MG;

(3)在(2)的條件下，若a=b,且點(diǎn)P為△ABC平面上任意一點(diǎn)，求

CP-CB|+|CP-CA|+|PB-CA|的最小值.

19.(17分)已知函數(shù)f(x)=ax-(e*)2.

(1)a≠1射，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)x?,x?,且x?<x?.

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：x?+x?>1.

高三數(shù)學(xué)試題(A)第4頁(共4頁)

高三數(shù)學(xué)試題(A)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1—5DACDB6—8CCB

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分)

9.ABD10.AC11.ACD

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上)

12.113.(2分)(3分)14.√3+1

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(13分)

解：(1)因?yàn)?所以

則f'(x)=3ax2-3ax=3ax(x-1),2分

因?yàn)閍>0,

所以f'(x)>0→x<0或x>1,f'(x)<0,得0<x<1,

所以f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，………………4分

所以0是f(x)的極大值點(diǎn)，1是f(x)的極小值點(diǎn).……………5分

(2)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x3-hx2+c,又因?yàn)閤∈(1,2),

所以x21nx≥x3-bx2-2x,7分

所,x∈(1,2).……………8分

,x∈[1,2],

………………10分

所以h(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

所以h(x)mx=h(2)=1-1n2,……………12分

所以b≥1-1n213分

高三數(shù)學(xué)答案(A)第1頁(共6頁)

16.(15分)

解：(1)………………2分

又A∈(0,π),則sinA≠0,,……………4分

化簡得tanB=√3,……6分

又B∈(0,π),故;………7分

(2)sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sinAcosB+sinBcosA,9分

因?yàn)?/p>

………1分

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以所以,………13分

,所

所以sinA+sinC的取值范圍.…15分

17.(15分)

解：(1)因?yàn)樵摵瘮?shù)在V軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x?,2)和

,所以A=2,周期T滿足從而解得W=2.…………2分

由函數(shù)v=f(x)的圖像與V軸的交點(diǎn)為(0,-√3),

可得f(0)=Acosφ=2cosφ=-√3,即

考慮到,解得或…4分

當(dāng)

時(shí)，該函數(shù)的表達(dá)式為

即得

當(dāng)k=0時(shí)，,即為x?的值.……5分

高三數(shù)學(xué)答案(A)第2頁(共6頁)

當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的表達(dá)式為

此時(shí)函數(shù)圖像在V軸右側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為,第一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)是

,不合題意?！?分

綜上，,該函數(shù)表達(dá)式為

(2)當(dāng)時(shí)，,………………8分

,即-2≤f(x)≤1..………………10分

令t=f(x),則函數(shù)表達(dá)式可寫成y=at+b,t∈[-2,1].

設(shè)g(t)=at+b,t∈[-2,1].

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)鄉(xiāng)=b不合題意，舍去.…………12分

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)V=g(t)在[-2,1]上為嚴(yán)格增函數(shù)，原來的函數(shù)值域?yàn)閇0,3],

即

解得a=1,b=2;13分

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=g(t)在[2,]上為嚴(yán)格減函數(shù)，原來的函數(shù)值域?yàn)閇0,3],

即

解得a=1,b=1.……14分

綜上可得a=1,b=2或a=-1,b=115分

18.(17分)

解：(1)因?yàn)閏os2B-cos2C=2sin2A,

所以1-2sin2B-(1-2sin2C)=2sin)A,1分

所以sin2A+sin2B=sin2C,……………2分

所以a2+b2=c2,.……………3分

所以C=90°..………………4分

高三數(shù)學(xué)答案(A)第3頁(共6頁)

(2)由費(fèi)馬點(diǎn)定義知，∠AMB=∠BMC=∠AMC=120°,

設(shè)Ma|=m,|MB|=n,|MC|=t,m>0,n>0,t>0,

由S△AMB+S△BMc+S△AMc=S△ABC,…………7分

整理,…………8分

(3)在△ABC中，AC=BC=√2,,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB、CA所在直線分

別為x、軸建立平面直角坐標(biāo)系，…………11分

則C(0,0)、B(√2,0)、A(0,√2),設(shè)點(diǎn)P(x,y),則CP-CB=(x-√2,y),

CP-CA=(x,y-√2),PB-CA=(√2-x,-y)-(0,√2)=(√2-x,-y-√2).……12分

所以|CP-CB|+CE-Ca+|PB-CA|=

√(x-√2)+y2+√2+(y-√2)+√(x-√2)2+(y+√2),13分

則|CP-CB+|CP-Cl+|PB-CA的凡何意義是點(diǎn)P到點(diǎn)B(√2,0),4(0,√2),

D(√2,-√2)的距離之和，…………14分

因?yàn)镃B|=|CA,BC⊥AC,則△ABC為等腰直角三角形，故∠ABC=45°,

易知BC⊥BD,故∠ABD=∠ABC+∠CBD=45°+90°=135°,15分

所以，△ABD的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)B,故C|P-CB+|CP-CA+|PB-CA|的最小值為

BA|+|BD|=2+√2.…17分

19.(17分)

解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x-(e*)2,………………1分

則f'(x)=1-2(e*)2,…………2分

則f'(0)=-1,且f(0)=-1,……………3分

則切點(diǎn)(0,-1),且切線的斜率為-1,………4分

故函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=-x-1.分

高三數(shù)學(xué)答案(A)第4頁(共6頁)

(2)(i)令f(x)=ax-(e*)2=0,x=0時(shí)，f(x)=0不成立，

x≠0時(shí)，得…………6分

設(shè)…