2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)-抽象代數(shù)》考試模擬試題及答案解析?單位所屬部門：________姓名：________考場號(hào)：________考生號(hào)：________一、選擇題1.在群G中，對于任意元素a，其階數(shù)等于a生成子群的階數(shù)（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：根據(jù)群論基本定理，元素a生成子群的階數(shù)就是a的階數(shù)，因此該命題正確。2.有限群G的每個(gè)元素的階都是G的階的因子（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：根據(jù)拉格朗日定理，有限群G中任何元素的階都必定是群G的階的因子。3.交換群G中，若a和b是任意元素，則(ab)^n=a^nb^n對所有正整數(shù)n都成立（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：交換群中所有元素都滿足交換律，因此冪運(yùn)算滿足分配律，該等式對所有正整數(shù)n都成立。4.循環(huán)群必定是阿貝爾群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：循環(huán)群中所有元素對乘法都滿足交換律，因此循環(huán)群必定是阿貝爾群。5.階為p的群一定是循環(huán)群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：根據(jù)有限群結(jié)構(gòu)定理，階為素?cái)?shù)p的群一定是循環(huán)群。6.任何群G都存在一個(gè)子群與G同構(gòu)（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：群G的中心Z(G)總是與G同構(gòu)，因此該命題正確。7.兩個(gè)同階的循環(huán)群必定同構(gòu)（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：所有n階循環(huán)群都同構(gòu)于整數(shù)加法群Z/nZ，因此同階的循環(huán)群必定同構(gòu)。8.群G的每個(gè)子群都對應(yīng)G的一個(gè)陪集（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：根據(jù)拉格朗日定理，每個(gè)子群都對應(yīng)G的左陪集和右陪集的集合。9.阿貝爾群的每個(gè)子群都是正規(guī)子群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：在阿貝爾群中，任何子群都包含所有元素的積，因此必定是正規(guī)子群。10.非阿貝爾群的每個(gè)子群都必定是正規(guī)子群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：B解析：非阿貝爾群可能存在非正規(guī)子群，例如四元數(shù)群Q8中存在非正規(guī)子群。11.在群G中，若a和b是任意元素，則(ab)^2=a^2b^2成立，則G必定是阿貝爾群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：若(ab)^2=a^2b^2對所有a,b∈G成立，則abab=aabb，兩邊左消去a，右消去b得ab=ba，即G是阿貝爾群。12.有限群G的階為n，若n是奇數(shù)，則G中每個(gè)非單位元的階都是奇數(shù)（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：設(shè)a是G中任意非單位元，若a的階為偶數(shù)，則a^n=e，但n為奇數(shù)，矛盾。因此每個(gè)非單位元的階都是奇數(shù)。13.循環(huán)群的生成元是唯一的（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：B解析：循環(huán)群可能有多個(gè)生成元。例如，整數(shù)加法群Z/nZ中，k是n的任意一個(gè)小于n的正因子，kZ也是循環(huán)群，且k是它的生成元。14.群G的子群H的階是G的階的因子，當(dāng)且僅當(dāng)H是G的正規(guī)子群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：B解析：子群階是群階因子是拉格朗日定理的內(nèi)容，但這并不意味著子群一定是正規(guī)子群。例如，四元數(shù)群Q8的中心Z(Q8)={e,-e}，階為2，是正規(guī)子群；但子群V={e,i,j,k}階為4，不是正規(guī)子群。15.任何有限群G都有唯一的最小子階正規(guī)子群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：根據(jù)Sylow定理及其推論，任何有限群G都有唯一的最小階正規(guī)子群，稱為G的素?cái)?shù)階Sylow子群。16.若群G是阿貝爾群，且G的階為n，則G必定包含n階子群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，阿貝爾群的階為n時(shí)，它包含n階子群。例如，整數(shù)加法群Z/nZ本身就是n階子群。17.群G的正規(guī)子群H的商群G/H是群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：根據(jù)群論基本定理，群G的正規(guī)子群H的商集合G/H關(guān)于乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，稱為商群。18.兩個(gè)群G和G'的直積G×G'也是一個(gè)群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：群G和G'的直積G×G'關(guān)于元素對的無結(jié)合的乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，稱為G和G'的直積群。19.每個(gè)群都包含至少一個(gè)正規(guī)子群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：每個(gè)群都至少包含兩個(gè)正規(guī)子群，即平凡子群{e}和群自身G。20.有限群G的中心Z(G)是G的正規(guī)子群（）A.正確B.錯(cuò)誤答案：A解析：群G的中心Z(G)是G中所有與G中元素可換的元素的集合，Z(G)關(guān)于群G的乘法運(yùn)算是封閉的，因此是G的子群。并且Z(G)對G的乘法運(yùn)算是封閉的，即對于任意g∈G,z∈Z(G)，gzg^(-1)=z，因此Z(G)是G的正規(guī)子群。二、多選題1.下列關(guān)于群G的子群H的描述中，正確的有（）A.H是G的非空子集B.H對G的乘法運(yùn)算是封閉的C.H對G的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律D.H中每個(gè)元素a的逆元a^(-1)也在H中E.H的階必須整除G的階答案：ABCD解析：根據(jù)子群的定義，H是G的非空子集（A），對G的乘法運(yùn)算是封閉的（B），因此H的乘法運(yùn)算繼承了G的結(jié)合律（C）。由于H是G的子群，H中每個(gè)元素a的逆元a^(-1)也在H中（D）。H的階整除G的階是拉格朗日定理的內(nèi)容，但不是子群的定義要求（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCD。2.下列關(guān)于循環(huán)群的描述中，正確的有（）A.循環(huán)群是阿貝爾群B.循環(huán)群必定有生成元C.任何有限群都同構(gòu)于某個(gè)循環(huán)群D.無限循環(huán)群的同構(gòu)類唯一E.循環(huán)群的子群都是循環(huán)群答案：ABDE解析：循環(huán)群中所有元素對乘法都滿足交換律，因此是阿貝爾群（A）。循環(huán)群的定義就是存在一個(gè)生成元，使得所有元素都是該生成元的冪（B）。任何有限群都同構(gòu)于某個(gè)循環(huán)群是有限群結(jié)構(gòu)定理的內(nèi)容（C）。無限循環(huán)群都同構(gòu)于整數(shù)加法群Z，因此同構(gòu)類唯一（D）。循環(huán)群的子群都是循環(huán)群（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABDE。3.下列關(guān)于正規(guī)子群的描述中，正確的有（）A.正規(guī)子群是子群B.正規(guī)子群對左陪集運(yùn)算封閉C.正規(guī)子群對右陪集運(yùn)算封閉D.正規(guī)子群對商群運(yùn)算是封閉的E.G/N是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng)N是G的正規(guī)子群答案：ABCD解析：正規(guī)子群首先是G的子群（A）。根據(jù)正規(guī)子群的定義，對于任意g∈G和N的任意陪集gN，存在h∈G使得gN=hN，即gNh^(-1)∈N，這意味著正規(guī)子群對左陪集運(yùn)算封閉（B）。同樣，gN=Nh'對任意h'∈G也成立，即正規(guī)子群對右陪集運(yùn)算也封閉（C）。因此，商群G/N的乘法運(yùn)算是gN*hN=(gh)N，由于正規(guī)子群對左右陪集都封閉，這等于Nh'N，是G/N中的元素，因此正規(guī)子群對商群運(yùn)算是封閉的（D）。G/N是阿貝爾群意味著(gN)(hN)=(hN)(gN)，即ghN=hgN，即ghg^(-1)h^(-1)∈N，這當(dāng)且僅當(dāng)gh=hg，即g與h可換，但這對于所有g(shù),h∈G并不一定成立，除非G本身是阿貝爾群。例如，四元數(shù)群Q8的中心Z(Q8)={e,-e}是正規(guī)子群，但Q8不是阿貝爾群，G/Z(Q8)同構(gòu)于V_4是阿貝爾群。因此選項(xiàng)E錯(cuò)誤。因此，正確選項(xiàng)為ABCD。4.下列關(guān)于商群的描述中，正確的有（）A.商群G/N的元素是G的陪集B.商群G/N的乘法定義為gN*hN=(gh)NC.商群G/N的單位元是ND.商群G/N的逆元gN的逆元是g^(-1)NE.若G是阿貝爾群，則G/N也是阿貝爾群答案：ABCD解析：商群G/N的定義就是G的所有陪集的集合，因此其元素是G的陪集（A）。商群G/N的乘法定義為任意兩個(gè)陪集gN和hN的乘積是(gh)N（B）。商群G/N的單位元是包含單位元e的陪集Ne，通常簡記為N（C）。商群G/N中g(shù)N的逆元是(gN)^(-1)=(g^(-1))N，即g^(-1)N（D）。若G是阿貝爾群，則對于任意g,h∈G，gh=hg，因此對于任意gN,hN∈G/N，(gN)(hN)=(gh)N=(hg)N=(hN)(gN)，所以G/N也是阿貝爾群（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。5.下列關(guān)于直積群的描述中，正確的有（）A.直積群G×G'的元素是G和G'的元素對的集合B.直積群G×G'的乘法運(yùn)算是component-wise乘法C.直積群G×G'的單位元是(e_G,e_{G'})，其中e_G和e_{G'}分別是G和G'的單位元D.直積群G×G'的逆元(g,g')的逆元是(g^(-1),g'^(-1))E.若G和G'是阿貝爾群，則G×G'也是阿貝爾群答案：ABCDE解析：群G和G'的直積G×G'的元素是所有形如(g,g')的元素對的集合，其中g(shù)∈G,g'∈G'（A）。直積群G×G'的乘法定義為(g_1,g_2)*(h_1,h_2)=(g_1h_1,g_2h_2)，即component-wise乘法（B）。直積群G×G'的單位元是(e_G,e_{G'})，因?yàn)閷τ谌我?g,g')∈G×G'，(g,g')*(e_G,e_{G'})=(ge_G,gg')=(g,g')（C）。直積群G×G'中(g,g')的逆元是(g^(-1),g'^(-1))，因?yàn)?g,g')*(g^(-1),g'^(-1))=(gg^(-1),gg'^(-1))=(e_G,e_{G'})（D）。若G和G'是阿貝爾群，則對于任意(g_1,g_2),(h_1,h_2)∈G×G'，(g_1,g_2)*(h_1,h_2)=(g_1h_1,g_2h_2)=(h_1g_1,h_2g_2)=(h_1,h_2)*(g_1,g_2)，因此G×G'也是阿貝爾群（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。6.下列關(guān)于S_n的描述中，正確的有（）A.S_n是n階全排列的集合B.S_n關(guān)于排列的復(fù)合運(yùn)算是封閉的C.S_n關(guān)于排列的復(fù)合運(yùn)算滿足結(jié)合律D.S_n中每個(gè)排列的逆元也在S_n中E.S_n的階是n!答案：ABCDE解析：S_n是n個(gè)元素的集合的所有排列的集合（A）。排列的復(fù)合運(yùn)算滿足結(jié)合律，因此S_n關(guān)于排列的復(fù)合運(yùn)算是封閉的，構(gòu)成一個(gè)群（B,C）。S_n中每個(gè)排列a的逆元a^(-1)也是一個(gè)排列，因此也在S_n中（D）。S_n中包含n!個(gè)不同的排列，因此其階是n!（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。7.下列關(guān)于Sylow定理的描述中，正確的有（）A.Sylow定理只適用于有限群B.Sylowp-子群是指階為p^k的子群，其中p是素?cái)?shù)，k是非負(fù)整數(shù)C.Sylowp-子群是存在的D.任何有限群都至少包含一個(gè)Sylowp-子群E.不同Sylowp-子群是共軛的答案：ABCDE解析：Sylow定理是有限群論中的一個(gè)重要定理，只適用于有限群（A）。Sylowp-子群是指階為p^k的子群，其中p是素?cái)?shù)，k是最大的非負(fù)整數(shù)使得p^k整除群階n，k≥1（B）。Sylow定理斷言Sylowp-子群是存在的（C），并且Sylowp-子群的個(gè)數(shù)n_p滿足n_p≡1(modp)且n_p整除n（D）。根據(jù)Sylow定理的證明，任何兩個(gè)Sylowp-子群是共軛的（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。8.下列關(guān)于群同態(tài)的描述中，正確的有（）A.群同態(tài)f:G->G'滿足f(ab)=f(a)f(b)對所有a,b∈GB.群同態(tài)f:G->G'的核Ker(f)是G的一個(gè)子群C.群同態(tài)f:G->G'的像Im(f)是G'的一個(gè)子群D.單同態(tài)是同態(tài)且保持單位元E.滿同態(tài)是同態(tài)且像等于G'答案：ABCDE解析：群同態(tài)f:G->G'的定義就是滿足f(ab)=f(a)f(b)對所有a,b∈G（A）。同態(tài)f的核Ker(f)={g∈G|f(g)=e'}，其中e'是G'的單位元，由同態(tài)的性質(zhì)易知Ker(f)是G的一個(gè)子群（B）。同態(tài)f的像Im(f)={f(g)|g∈G}是G'的一個(gè)子集，由同態(tài)的性質(zhì)易知Im(f)關(guān)于G'的乘法運(yùn)算是封閉的，因此是G'的一個(gè)子群（C）。單同態(tài)是同態(tài)且滿足f(e_G)=e_{G'}，即保持單位元（D）。滿同態(tài)是同態(tài)且像包含G'的所有元素，即Im(f)=G'（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。9.下列關(guān)于群論基本定理的描述中，正確的有（）A.任何有限群G都同構(gòu)于一個(gè)置換群B.任何有限群G都可以表示為多個(gè)互不同構(gòu)的循環(huán)群的直積C.任何有限群G的結(jié)構(gòu)完全由其階及其Sylow子群的信息決定D.任何有限群G都可以表示為其所有Sylowp-子群的直積E.任何有限群G都包含至少一個(gè)正規(guī)子群答案：ACE解析：群論基本定理包含多個(gè)內(nèi)容。凱萊定理指出任何有限群G都同構(gòu)于一個(gè)作用在有限集合上的置換群（A）。有限群結(jié)構(gòu)定理指出任何有限群G都可以表示為其Sylowp-子群的直積（D），但這要求這些Sylow子群是兩兩共軛且彼此中心互素的，一般情況不成立。有限群的結(jié)構(gòu)由其階及其Sylow子群的信息（階、個(gè)數(shù)、共軛類等）決定（C），但這并不意味著可以簡單地表示為直積（D的條件一般不滿足）。任何有限群都包含至少一個(gè)正規(guī)子群，即平凡子群{e}和群自身G（E）。因此，正確選項(xiàng)為ACE。10.下列關(guān)于阿貝爾群的描述中，正確的有（）A.阿貝爾群就是交換群B.阿貝爾群的每個(gè)子群都是正規(guī)子群C.阿貝爾群的每個(gè)子群都同構(gòu)于某個(gè)整數(shù)加法群Z/nZ的子群D.阿貝爾群的階為n時(shí)，它必定包含n階子群E.阿貝爾群的中心等于群自身答案：ABD解析：阿貝爾群就是交換群，即群中所有元素對乘法都滿足交換律（A）。阿貝爾群的每個(gè)子群都是正規(guī)子群，因?yàn)閷τ谌我鈇∈G,b∈H，ab=ba，所以abhab^(-1)=baba^(-1)=bbb^(-1)=e∈H，因此bH=Hb，H是正規(guī)子群（B）。阿貝爾群的子群不一定同構(gòu)于整數(shù)加法群Z/nZ的子群，例如Z/nZ本身是阿貝爾群，但其子群可能不循環(huán)，無法與Z/nZ的子群同構(gòu)（C）。根據(jù)阿貝爾群的階為n時(shí)，它包含n階子群的標(biāo)準(zhǔn)，例如，n階循環(huán)群Z/nZ本身就是n階子群（D）。阿貝爾群的中心Z(G)={g∈G|gx=xg對所有x∈G}=G，因?yàn)閷τ谌我鈍,x∈G，gx=xg，因此所有元素都與所有其他元素可換（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABD。11.下列關(guān)于循環(huán)群的描述中，正確的有（）A.循環(huán)群是阿貝爾群B.循環(huán)群必定有生成元C.任何有限群都同構(gòu)于某個(gè)循環(huán)群D.無限循環(huán)群的同構(gòu)類唯一E.循環(huán)群的子群都是循環(huán)群答案：ABDE解析：循環(huán)群中所有元素對乘法都滿足交換律，因此是阿貝爾群（A）。循環(huán)群的定義就是存在一個(gè)生成元，使得所有元素都是該生成元的冪（B）。任何有限群都同構(gòu)于某個(gè)循環(huán)群是有限群結(jié)構(gòu)定理的內(nèi)容（C）。無限循環(huán)群都同構(gòu)于整數(shù)加法群Z，因此同構(gòu)類唯一（D）。循環(huán)群的子群都是循環(huán)群（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABDE。12.下列關(guān)于正規(guī)子群的描述中，正確的有（）A.正規(guī)子群是子群B.正規(guī)子群對左陪集運(yùn)算封閉C.正規(guī)子群對右陪集運(yùn)算封閉D.正規(guī)子群對商群運(yùn)算是封閉的E.G/N是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng)N是G的正規(guī)子群答案：ABCD解析：正規(guī)子群首先是G的子群（A）。根據(jù)正規(guī)子群的定義，對于任意g∈G和N的任意陪集gN，存在h∈G使得gN=hN，即gNh^(-1)∈N，這意味著正規(guī)子群對左陪集運(yùn)算封閉（B）。同樣，gN=Nh'對任意h'∈G也成立，即正規(guī)子群對右陪集運(yùn)算也封閉（C）。因此，商群G/N的乘法運(yùn)算是gN*hN=(gh)N，由于正規(guī)子群對左右陪集都封閉，這等于Nh'N，是G/N中的元素，因此正規(guī)子群對商群運(yùn)算是封閉的（D）。G/N是阿貝爾群意味著(gN)(hN)=(hN)(gN)，即ghN=hgN，即ghg^(-1)h^(-1)∈N，這當(dāng)且僅當(dāng)gh=hg，但這對于所有g(shù),h∈G并不一定成立，除非G本身是阿貝爾群。例如，四元數(shù)群Q8的中心Z(Q8)={e,-e}是正規(guī)子群，但Q8不是阿貝爾群，G/Z(Q8)同構(gòu)于V_4是阿貝爾群。因此選項(xiàng)E錯(cuò)誤。因此，正確選項(xiàng)為ABCD。13.下列關(guān)于商群的描述中，正確的有（）A.商群G/N的元素是G的陪集B.商群G/N的乘法定義為gN*hN=(gh)NC.商群G/N的單位元是ND.商群G/N的逆元gN的逆元是g^(-1)NE.若G是阿貝爾群，則G/N也是阿貝爾群答案：ABCD解析：商群G/N的定義就是G的所有陪集的集合，因此其元素是G的陪集（A）。商群G/N的乘法定義為任意兩個(gè)陪集gN和hN的乘積是(gh)N（B）。商群G/N的單位元是包含單位元e的陪集Ne，通常簡記為N（C）。商群G/N中g(shù)N的逆元是(gN)^(-1)=(g^(-1))N，即g^(-1)N（D）。若G是阿貝爾群，則對于任意g,h∈G，gh=hg，因此對于任意gN,hN∈G/N，(gN)(hN)=(gh)N=(hg)N=(hN)(gN)，所以G/N也是阿貝爾群（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。14.下列關(guān)于直積群的描述中，正確的有（）A.直積群G×G'的元素是G和G'的元素對的集合B.直積群G×G'的乘法運(yùn)算是component-wise乘法C.直積群G×G'的單位元是(e_G,e_{G'})，其中e_G和e_{G'}分別是G和G'的單位元D.直積群G×G'的逆元(g,g')的逆元是(g^(-1),g'^(-1))E.若G和G'是阿貝爾群，則G×G'也是阿貝爾群答案：ABCDE解析：群G和G'的直積G×G'的元素是所有形如(g,g')的元素對的集合，其中g(shù)∈G,g'∈G'（A）。直積群G×G'的乘法定義為(g_1,g_2)*(h_1,h_2)=(g_1h_1,g_2h_2)，即component-wise乘法（B）。直積群G×G'的單位元是(e_G,e_{G'})，因?yàn)閷τ谌我?g,g')∈G×G'，(g,g')*(e_G,e_{G'})=(ge_G,gg')=(g,g')（C）。直積群G×G'中(g,g')的逆元是(g^(-1),g'^(-1))，因?yàn)?g,g')*(g^(-1),g'^(-1))=(gg^(-1),gg'^(-1))=(e_G,e_{G'})（D）。若G和G'是阿貝爾群，則對于任意(g_1,g_2),(h_1,h_2)∈G×G'，(g_1,g_2)*(h_1,h_2)=(g_1h_1,g_2h_2)=(h_1g_1,h_2g_2)=(h_1,h_2)*(g_1,g_2)，因此G×G'也是阿貝爾群（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。15.下列關(guān)于S_n的描述中，正確的有（）A.S_n是n階全排列的集合B.S_n關(guān)于排列的復(fù)合運(yùn)算是封閉的C.S_n關(guān)于排列的復(fù)合運(yùn)算滿足結(jié)合律D.S_n中每個(gè)排列的逆元也在S_n中E.S_n的階是n!答案：ABCDE解析：S_n是n個(gè)元素的集合的所有排列的集合（A）。排列的復(fù)合運(yùn)算滿足結(jié)合律，因此S_n關(guān)于排列的復(fù)合運(yùn)算是封閉的，構(gòu)成一個(gè)群（B,C）。S_n中每個(gè)排列a的逆元a^(-1)也是一個(gè)排列，因此也在S_n中（D）。S_n中包含n!個(gè)不同的排列，因此其階是n!（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。16.下列關(guān)于Sylow定理的描述中，正確的有（）A.Sylow定理只適用于有限群B.Sylowp-子群是指階為p^k的子群，其中p是素?cái)?shù)，k是非負(fù)整數(shù)C.Sylowp-子群是存在的D.任何有限群都至少包含一個(gè)Sylowp-子群E.不同Sylowp-子群是共軛的答案：ABCDE解析：Sylow定理是有限群論中的一個(gè)重要定理，只適用于有限群（A）。Sylowp-子群是指階為p^k的子群，其中p是素?cái)?shù)，k是最大的非負(fù)整數(shù)使得p^k整除群階n，k≥1（B）。Sylow定理斷言Sylowp-子群是存在的（C），并且Sylowp-子群的個(gè)數(shù)n_p滿足n_p≡1(modp)且n_p整除n（D）。根據(jù)Sylow定理的證明，任何兩個(gè)Sylowp-子群是共軛的（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。17.下列關(guān)于群同態(tài)的描述中，正確的有（）A.群同態(tài)f:G->G'滿足f(ab)=f(a)f(b)對所有a,b∈GB.群同態(tài)f:G->G'的核Ker(f)是G的一個(gè)子群C.群同態(tài)f:G->G'的像Im(f)是G'的一個(gè)子群D.單同態(tài)是同態(tài)且保持單位元E.滿同態(tài)是同態(tài)且像等于G'答案：ABCDE解析：群同態(tài)f:G->G'的定義就是滿足f(ab)=f(a)f(b)對所有a,b∈G（A）。同態(tài)f的核Ker(f)={g∈G|f(g)=e'}，其中e'是G'的單位元，由同態(tài)的性質(zhì)易知Ker(f)是G的一個(gè)子群（B）。同態(tài)f的像Im(f)={f(g)|g∈G}是G'的一個(gè)子集，由同態(tài)的性質(zhì)易知Im(f)關(guān)于G'的乘法運(yùn)算是封閉的，因此是G'的一個(gè)子群（C）。單同態(tài)是同態(tài)且滿足f(e_G)=e_{G'}，即保持單位元（D）。滿同態(tài)是同態(tài)且像包含G'的所有元素，即Im(f)=G'（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABCDE。18.下列關(guān)于群論基本定理的描述中，正確的有（）A.任何有限群G都同構(gòu)于一個(gè)置換群B.任何有限群G都可以表示為多個(gè)互不同構(gòu)的循環(huán)群的直積C.任何有限群G的結(jié)構(gòu)完全由其階及其Sylow子群的信息決定D.任何有限群G都可以表示為其所有Sylowp-子群的直積E.任何有限群G都包含至少一個(gè)正規(guī)子群答案：ACE解析：群論基本定理包含多個(gè)內(nèi)容。凱萊定理指出任何有限群G都同構(gòu)于一個(gè)作用在有限集合上的置換群（A）。有限群結(jié)構(gòu)定理指出任何有限群G都可以表示為其Sylowp-子群的直積（D），但這要求這些Sylow子群是兩兩共軛且彼此中心互素的，一般情況不成立。有限群的結(jié)構(gòu)由其階及其Sylow子群的信息（階、個(gè)數(shù)、共軛類等）決定（C），但這并不意味著可以簡單地表示為直積（D的條件一般不滿足）。任何有限群都包含至少一個(gè)正規(guī)子群，即平凡子群{e}和群自身G（E）。因此，正確選項(xiàng)為ACE。19.下列關(guān)于阿貝爾群的描述中，正確的有（）A.阿貝爾群就是交換群B.阿貝爾群的每個(gè)子群都是正規(guī)子群C.阿貝爾群的每個(gè)子群都同構(gòu)于某個(gè)整數(shù)加法群Z/nZ的子群D.阿貝爾群的階為n時(shí)，它必定包含n階子群E.阿貝爾群的中心等于群自身答案：ABD解析：阿貝爾群就是交換群，即群中所有元素對乘法都滿足交換律（A）。阿貝爾群的每個(gè)子群都是正規(guī)子群，因?yàn)閷τ谌我鈇∈G,b∈H，ab=ba，所以abhab^(-1)=baba^(-1)=bbb^(-1)=e∈H，因此bH=Hb，H是正規(guī)子群（B）。阿貝爾群的子群不一定同構(gòu)于整數(shù)加法群Z/nZ的子群，例如Z/nZ本身是阿貝爾群，但其子群可能不循環(huán)，無法與Z/nZ的子群同構(gòu)（C）。根據(jù)阿貝爾群的階為n時(shí)，它包含n階子群的標(biāo)準(zhǔn)，例如，n階循環(huán)群Z/nZ本身就是n階子群（D）。阿貝爾群的中心Z(G)={g∈G|gx=xg對所有x∈G}=G，因?yàn)閷τ谌我鈍,x∈G，gx=xg，因此所有元素都與所有其他元素可換（E）。因此，正確選項(xiàng)為ABD。20.下列關(guān)于置換群的描述中，正確的有（）A.置換群都是阿貝爾群B.S_n是n階置換群C.任何有限群都同構(gòu)于某個(gè)置換群D.置換群的中心總是非平凡的E.對稱群S_n的階是n!答案：BCE解析：置換群不一定是阿貝爾群，例如S_3不是阿貝爾群（A）。S_n是n個(gè)元素的集合的所有排列組成的群，因此是n階置換群（B）。凱萊定理指出任何有限群G都同構(gòu)于一個(gè)作用在有限集合上的置換群（C）。置換群的中心可能是平凡的，例如S_3的中心是{e}（D）。對稱群S_n是n個(gè)元素的集合的所有排列組成的群，其階是n!（E）。因此，正確選項(xiàng)為BCE。三、判斷題1.在群G中，單位元的逆元仍然是單位元（）答案：正確解析：根據(jù)單位元的定義，e是群G的單位元，意味著對于任意a∈G，都有ea=ae=a。根據(jù)逆元的定義，存在a^(-1)∈G，使得aa^(-1)=a^(-1)a=e。將a=e代入上式，得到ee^(-1)=e^(-1)e=e，因此e^(-1)=e。所以單位元的逆元仍然是單位元。2.任何有限群的階都必定整除該群的子群的階（）答案：正確解析：根據(jù)拉格朗日定理，有限群G的任何子群H的階都必定整除G的階。3.交換群的每個(gè)子群都是正規(guī)子群（）答案：正確解析：在交換群中，對于任意g∈G和任意a∈H，都有g(shù)a=ag，因此gaH=Hg，即H是正規(guī)子群。4.循環(huán)群的子群仍然是循環(huán)群（）答案：正確解析：循環(huán)群的子群仍然是循環(huán)群。若G是由生成元g生成的循環(huán)群，則G的子群H必定由g的某個(gè)冪生成，因此H也是循環(huán)群。5.任何群都存在一個(gè)正規(guī)子群（）答案：正確解析：任何群都至少包含兩個(gè)正規(guī)子群，即平凡子群{e}和群自身G。6.兩個(gè)同階的循環(huán)群必定同構(gòu)（）答案：正確解析：所有n階循環(huán)群都同構(gòu)于整數(shù)加法群Z/nZ，因此同階的循環(huán)群必定同構(gòu)。7.若G是阿貝爾群，且H