實(shí)用文檔

直線的方程一一點(diǎn)斜式

1.教材分析

從研究直線方程開始，學(xué)生對(duì)“解析幾何”的學(xué)習(xí)進(jìn)入了實(shí)質(zhì)性階段，“直線與方

程”關(guān)系的研究，是“曲線與方程”的關(guān)系研究的前奏和基礎(chǔ)，所以本節(jié)課教學(xué)的效果

直接決定了整個(gè)“解析幾何”教學(xué)的效果.

剛剛接觸“解析幾何”的學(xué)生，幼稚懵懂的心理致使他們還不能理解“解析幾何”

的實(shí)質(zhì)，而本節(jié)課則以比較淺顯的問題開啟了“解析幾何”學(xué)習(xí)的先河，他們可漸漸地

逐步深刻地認(rèn)識(shí)到直線上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而可理解“兩個(gè)獨(dú)立條

件確定一條直線”這個(gè)本質(zhì)規(guī)律，從而自然地構(gòu)建出本節(jié)課研究的內(nèi)容.兩種直線方程

形式中的關(guān)鍵字“點(diǎn)、斜”與“斜、截”分別是“兩個(gè)獨(dú)立條件”的高度概括，是對(duì)直

線方程特征的本質(zhì)提煉.這些都是“解析幾何”，乃至全部數(shù)學(xué)內(nèi)容的精髓，引導(dǎo)學(xué)生深

刻理解、熟練掌握這些，對(duì)于提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益.

貫穿“解析幾何”始終的一個(gè)重要問題就是由曲線求其方程和由方程研究曲線性

質(zhì)，而本節(jié)課則以簡(jiǎn)單問題為載體，揭示了解決這個(gè)問題的基本方法和步驟，為進(jìn)一步

解決后繼的問題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

“解析幾何”中處處滲透了各種數(shù)學(xué)思想，特別是數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，本節(jié)

課則以生動(dòng)的具體事例有效地促進(jìn)學(xué)生樹立、鞏固和熟練應(yīng)用這些數(shù)學(xué)思想.

教學(xué)是以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維為重要目標(biāo)，本節(jié)課則在優(yōu)化數(shù)學(xué)思維的多種特征上

有著獨(dú)特的功能.

綜上，本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中極為關(guān)鍵的內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)和實(shí)施優(yōu)質(zhì)的教學(xué)程序，在

一定程度上影響著今后高中數(shù)學(xué)教學(xué)的成敗.

2.教學(xué)目標(biāo)

2.1知識(shí)與技能

(1)知道由?個(gè)點(diǎn)和斜率可以確定一條直線，探索并掌握直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程;

(2)能根據(jù)條件熟練地求出直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程，并能化為一般式.

2.2過程與方法

(1)讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究能力；

(2)使學(xué)生進(jìn)一步理解直線的方程與方程的直線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合等

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數(shù)學(xué)思想.

2.3情感態(tài)度與價(jià)值觀

(1)使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)化歸的思想，逐步培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力；

(2)利用多媒體課件的精彩演示，增強(qiáng)圖形美感,使學(xué)生享受數(shù)學(xué)美，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)的情趣.

3.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)直線的方程與方程的直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解.

4.教學(xué)方法

(1)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，師生互動(dòng)為主線.

(2)通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、轉(zhuǎn)化、抽象來實(shí)現(xiàn)直線的點(diǎn)斜式教

學(xué)，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

5.教學(xué)過程

5.1問題情境(了解數(shù)學(xué))

問題1(1)若同學(xué)小李說，有一條鐵路經(jīng)過徐州市，你能知道這條鐵路的具體位置

嗎？(不知道，因?yàn)椴恢肋@條鐵路的方向)

(2)若同學(xué)小王說，有一條鐵路是正南正北方向，你能知道這條鐵路的具體位置嗎？

(不知道，因?yàn)椴恢肋@條鐵路經(jīng)過哪座城市)

(3)若同學(xué)小張說，有一條鐵路經(jīng)過徐州市，且是正南正北方向，你能知道這條鐵

路的具體位置嗎？(知道了)

問題2(1)過已知點(diǎn)力(-1,3)的直線有多少條？(無數(shù)條)

(2)斜率為-2的直線有多少條？(無數(shù)條)

(3)過已知點(diǎn)力(-1,3),且斜率為-2的直線有多少條？(一條)

問題3確定一條直線需要幾個(gè)獨(dú)立條件？你能舉例說明嗎？

學(xué)生可能的回答：

(1)已知直線上的一點(diǎn)和直線的方向(斜率或傾斜角)；

(2)已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)qa1,必),6(乙,y2)?

問題4若6區(qū),必),￡(工2)2)(“k%2)，則直線6巴的斜率為.

若，則直線82的斜率.

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5.2學(xué)生活動(dòng)（體驗(yàn)數(shù)學(xué)）

探究：若直線/經(jīng)過點(diǎn)力（-1,3）,斜率為-2,點(diǎn)尸在直線/上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)夕的坐

標(biāo)（x,田應(yīng)滿足什么樣條件？

當(dāng)點(diǎn)P（x,y）在直線/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸與定點(diǎn)4（-1,3）所確定的直線的斜率等于-2,

y-3

故有(1)

x-(-l)

即廠3=-2[%-（-1）],（2）

即2x+y-l=0.（3）

問題5點(diǎn)、A（-1,3）的坐標(biāo)滿足上述各方程嗎？

答：方程（1）中xw-l,丟掉了點(diǎn)力；

方程（2）及（3）中產(chǎn)-1,補(bǔ)上點(diǎn)H

問題6直線/上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與方程（2）（或（3））的解有什么關(guān)系？

答:當(dāng)點(diǎn)P在直線/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其坐標(biāo)（x,y）滿足2"廠1二0.反過來，以方程為+）L1=0

的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線，上.

5.3數(shù)學(xué)理論（建構(gòu)數(shù)學(xué)）

直線的點(diǎn)斜式方程：

一般地，設(shè)直線/經(jīng)過點(diǎn)＜區(qū),必），斜率為4,直線/上任意一點(diǎn)。的坐標(biāo)為（小J）.

當(dāng)點(diǎn)P（x,y）在直線/上運(yùn)動(dòng)時(shí)，尸々的斜率恒等于攵，即

―—―=kf除點(diǎn)q外）（丟掉了點(diǎn)尸）

x-x]

即.一切="（》一再）,（'=再,包括點(diǎn)耳）（補(bǔ)上點(diǎn)PJ（比較重要的內(nèi)容）

方程》-必=%。-芭）叫做直線的點(diǎn)斜式方程.（“點(diǎn)”和“斜”是兩個(gè)獨(dú)立條件的

濃縮概括，一個(gè)極為傳神精準(zhǔn)的命名）

說明：（1）可以驗(yàn)證，直線/上的每個(gè)點(diǎn)（包括點(diǎn)＜）的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；反

過來，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線/上；

（2）當(dāng)直線/與x軸垂直時(shí)，斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因?yàn)?上每一

點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于修，所以它的方程是x=x-

當(dāng)直線/與少軸垂直時(shí)，斜率為0,其方程能用點(diǎn)斜式表示.但因?yàn)?上每一點(diǎn)的縱坐

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標(biāo)都等于乂，所以它的方程是^二%，

實(shí)際上可寫為廠乃二0(r0).

特別地，X軸、y軸所在的直線的方程分別為尸0和產(chǎn)0.

問題7這兩個(gè)方程是否是直線的點(diǎn)斜式方程？

(此間目的：加深對(duì)直線的點(diǎn)斜式方程的理解)

5.4數(shù)學(xué)應(yīng)用〈鞏固數(shù)學(xué))

例1.(1)經(jīng)過點(diǎn)尸(2,-3),且與；v軸垂直的直線的方程為.

(2)經(jīng)過點(diǎn)P(2,-3),且與y軸垂直的直線的方程為.

(3)已知直線經(jīng)過點(diǎn)尸(-2,3),斜率為2,求這條直線的方程.

解：(3)由直線的點(diǎn)斜式方程，得所求直線的方程為

尸3=2(x+2),即以―y+7=0.

例2(課本P71例2)已知直線/的斜率為攵，與了軸的交點(diǎn)是尸(0,b),求直線/的

方程.

解：由直線的點(diǎn)斜式方程，得所求直線的方程為

y-b-k(x-0),

即y=kx+b.

5.5數(shù)學(xué)理論(建構(gòu)數(shù)學(xué))

直線的斜截式方程：

方程度依+b叫做直線的斜截式方程.(“斜”和“截”又是兩個(gè)獨(dú)立條件的濃縮概

括，乂一個(gè)極為傳神精準(zhǔn)的命名)

問題8由直線的斜截式方程可以聯(lián)想到我們學(xué)習(xí)過的哪類函數(shù)？

說明：

(1)直線的斜截式方程是直線點(diǎn)斜式方程的一種特殊情況，即給出了直線與y軸交

點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而給出了交點(diǎn)坐標(biāo)(0,6)；

(2)直線的斜截式方程、點(diǎn)斜式方程適用范圍：直線的斜率存在：

(3)直線的斜截式方程產(chǎn)於+6與一次函數(shù)的表達(dá)式產(chǎn)去訪雖然有著相同的,'面孔”,

但有著本質(zhì)的區(qū)別，前者的人可以為0,后者的々卻不可為0.即集合｛一次函數(shù)的嚴(yán)履+6

的圖象｝是集合｛斜截式方程產(chǎn)奴+力表示的直線｝的真子集.

(4)直線的斜截式方程度區(qū)+6中的“力”及直線”在歹軸上的截距”，也叫“縱截距”.

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名稱中雖然有個(gè)“距”字，但這里的“6”卻既可以為正、為負(fù)，也可以為0.但距離是

恒為非負(fù)的，所以有“截距非距”之說.

（5）如何記憶這兩類直線方程？（“斜率公式一點(diǎn)斜式一斜截式”，理順?biāo)鼈冎g的

邏輯關(guān)系，使學(xué)生形成自然的記憶）

5.6數(shù)學(xué)應(yīng)用（鞏固數(shù)學(xué)）

練習(xí)：根據(jù)下列條件，分別寫出直線的方程：

（1）經(jīng)過點(diǎn)（4,-2）,斜率為3；

尹2二30-4）,即3QT4=0.

（2）經(jīng)過點(diǎn)（3,1）,斜率為-2；

y-l=-2（x-3）,即2戶y7=0.

（3）斜率為-2,在y軸上的截距為-2；

y=-2x-2.

（4）斜率為2,與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1.

y0=2\_x-（-1）]?即2x~y^2=0.

說明：

練習(xí)（4）中，直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，我們對(duì)稱地稱之為直線“在x軸上的截距”,

也可稱“橫截距”.（與縱截距呼應(yīng)，形成對(duì)偶關(guān)系）

5.7合作探究（感悟數(shù)學(xué)）

探究1在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線產(chǎn)2,產(chǎn)x+2,產(chǎn)r+2,

y=3x+2,產(chǎn)-3x+2,…

這些方程表示的直線有什么共同特點(diǎn)？你能用一個(gè)方程表示出它們來嗎？（為研究

方程產(chǎn)區(qū)+2作鋪墊）

推測(cè)：當(dāng)左取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程尸6+2表示的直線都經(jīng)過點(diǎn)（0,2）,它們是--組

共點(diǎn)直線.

問題9這組直線包括所有過點(diǎn)（0,2）的直線嗎？

答：不含過點(diǎn)（0,2）的直線k0.

探究2在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線戶2x,廣2x+l,y=2x~U

y=2x+4,y=2x~4,???

這些方程表示的直線有什么共同特點(diǎn)？你能用一個(gè)方程表示出它們來嗎？（為研究

方程尸2x十力作鋪墊）

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推測(cè)：當(dāng)b取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程廣2x+8表示的直線彼此平行，它們是一組平行直

線，它們斜率相等，縱截距不等.

5.8數(shù)學(xué)應(yīng)用（鞏固數(shù)學(xué)）

練習(xí)1.當(dāng)〃取任何實(shí)數(shù)值時(shí)，

（1）直線y-kx^恒過點(diǎn).

（2）直線y=k（x+5）恒過點(diǎn).

（3）直線廠2二屋廠4）恒過點(diǎn).

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識(shí)？

①直線的點(diǎn)斜率式方程---y-y\=；