2.6.1利用一元二次方程解決平均增長率（降低率）問題教學設計2024-2025學年北師大版數學九年級上冊授課專業(yè)和授課專業(yè)和年級授課章節(jié)XxXx題目Xx授課時間2025年10月設計意圖本節(jié)課旨在通過北師大版數學九年級上冊中一元二次方程的應用，引導學生解決平均增長率（降低率）問題。通過實際案例的解析，讓學生深刻理解一元二次方程在現實生活中的應用，提高學生的數學思維能力和問題解決能力。核心素養(yǎng)目標1.發(fā)展邏輯推理能力，通過建立和求解一元二次方程，理解平均增長率（降低率）問題的數學模型。

2.培養(yǎng)數學建模意識，學會從實際問題中提取數學信息，建立數學模型。

3.提升應用意識，理解數學與生活的聯系，能夠在實際問題中運用數學知識解決問題。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在進入本節(jié)課之前，已掌握了一元二次方程的基本概念、解法，以及簡單的應用問題解決能力。他們對函數、方程的概念有初步的理解，并能進行基本的代數運算。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

學生對數學的興趣因人而異，但普遍對實際問題解決和應用題較為感興趣。學習能力方面，部分學生能快速理解和掌握新知識，而另一部分可能需要更多的指導和支持。學習風格上，有的學生偏好通過視覺和動手操作來學習，有的則更傾向于邏輯推理和抽象思維。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學生在解決平均增長率（降低率）問題時，可能難以將實際問題轉化為數學模型，或者在建立方程時遇到困難。此外，解一元二次方程時可能對求解過程和公式記憶不牢固，影響解題效率。同時，學生在分析方程解的實際意義時，可能難以準確理解增長率與降低率的關系。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有北師大版數學九年級上冊教材，以便查閱相關內容。

2.輔助材料：準備與一元二次方程相關的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，以幫助學生直觀理解概念。

3.教學工具：準備計算器、黑板或電子白板，用于展示解題過程和方程求解。

4.教室布置：設置分組討論區(qū)，方便學生進行合作學習；確保實驗操作臺整潔，為可能的小組實驗做準備。教學流程（一）導入新課（用時5分鐘）

1.結合生活實例，提出問題：某商品原價為100元，連續(xù)兩年降價，第一年降了10%，第二年又降了10%，現在的價格是多少？

2.引導學生回顧一元二次方程的解法，并提問：如何用一元二次方程表示這個問題？

3.提出本節(jié)課的學習目標：學習利用一元二次方程解決平均增長率（降低率）問題。

（二）新課講授（用時15分鐘）

1.講解一元二次方程在解決平均增長率（降低率）問題中的應用，舉例說明如何建立數學模型。

-舉例：某商品連續(xù)兩年增長，第一年增長了20%，第二年增長了15%，求這兩年的平均增長率。

-分析：設第一年的價格為x元，則第二年的價格為x(1+20%)=1.2x元，第三年的價格為1.2x(1+15%)=1.38x元。設平均增長率為r，則x(1+r)^2=1.38x，解得r。

2.講解一元二次方程的求解方法，包括配方法、公式法、因式分解法等。

-舉例：解方程x^2-5x+6=0。

-分析：通過因式分解法，將方程分解為(x-2)(x-3)=0，得到x1=2，x2=3。

3.講解增長率與降低率的關系，以及如何根據實際問題確定方程的系數。

（三）實踐活動（用時15分鐘）

1.學生獨立完成練習題，鞏固所學知識。

-練習題：某商品原價為200元，連續(xù)兩年降價，第一年降了20%，第二年又降了20%，現在的價格是多少？

2.學生分組討論，分析不同情況下的增長率（降低率）問題。

-討論內容：如何確定增長率（降低率）問題的方程系數？如何根據實際問題求解增長率（降低率）？

3.學生展示解題過程，教師點評并總結。

（四）學生小組討論（用時10分鐘）

1.學生分組討論如何將實際問題轉化為數學模型。

-舉例回答：某城市人口連續(xù)兩年增長，第一年增長了5%，第二年增長了3%，求這兩年的平均增長率。

2.學生討論一元二次方程的求解方法，并分享各自的解題思路。

-舉例回答：解方程x^2-6x+9=0，學生可分享配方法、公式法、因式分解法等解題方法。

3.學生討論如何根據實際問題確定方程的系數。

-舉例回答：某商品連續(xù)兩年降價，第一年降了15%，第二年又降了15%，求這兩年的平均降低率。

（五）總結回顧（用時5分鐘）

1.回顧本節(jié)課的學習內容，強調一元二次方程在解決平均增長率（降低率）問題中的應用。

2.總結本節(jié)課的重難點，強調如何將實際問題轉化為數學模型，以及如何求解一元二次方程。

3.布置課后作業(yè)，鞏固所學知識。

教學流程用時總計：45分鐘。教學資源拓展1.拓展資源：

-介紹一元二次方程的幾何意義，如拋物線的性質，通過圖形幫助學生理解方程的解與幾何圖形的關系。

-探討一元二次方程在實際生活中的應用，如物理學中的拋體運動、經濟學中的增長模型等。

-引入復數和虛數單位i的概念，解釋一元二次方程解的幾何意義，以及復數在電子工程、量子物理等領域的應用。

2.拓展建議：

-學生可以嘗試解決一些歷史數學問題，如費馬大定理的證明思路，以了解一元二次方程在數學發(fā)展史上的地位。

-鼓勵學生通過編程軟件（如GeoGebra、Desmos等）來可視化一元二次方程的圖形，觀察參數變化對圖形的影響。

-提供一些在線數學資源，如KhanAcademy、Mathway等，供學生自主學習和練習，以加深對一元二次方程的理解。

3.拓展活動：

-組織學生進行小組項目，要求他們選擇一個與一元二次方程相關的實際問題，如設計一個拋物線模型來模擬拋體運動。

-設計一個“數學競賽”環(huán)節(jié)，讓學生在規(guī)定時間內解決一系列一元二次方程問題，以增強他們的解題技巧和速度。

-安排一次“數學講座”，邀請數學老師或專業(yè)人士來講解一元二次方程在現代科學和技術中的應用。

4.拓展閱讀：

-推薦閱讀《數學之美》等書籍，了解數學在各個領域的應用和數學思維的重要性。

-引導學生閱讀《幾何原本》等經典數學著作，了解一元二次方程的起源和發(fā)展。

5.拓展實踐：

-安排學生進行實地測量活動，如測量拋物線軌跡，通過實際操作來驗證一元二次方程的解。

-鼓勵學生參與數學建模競賽，將一元二次方程應用于解決實際問題，如人口增長、資源消耗等。重點題型整理1.題型：已知某商品原價和連續(xù)兩年降價的百分比，求現在的價格。

例題：某商品原價為200元，連續(xù)兩年降價，第一年降了15%，第二年又降了15%，現在的價格是多少？

答案：設現在的價格為x元，則有200(1-0.15)^2=x，解得x=147.00元。

2.題型：已知某商品連續(xù)兩年的增長率，求這兩年的平均增長率。

例題：某商品連續(xù)兩年增長，第一年增長了20%，第二年增長了15%，求這兩年的平均增長率。

答案：設平均增長率為r，則有(1+0.2)(1+0.15)^2=(1+r)^2，解得r≈0.197，即平均增長率為19.7%。

3.題型：已知某商品的現價和連續(xù)兩年的增長率，求原價。

例題：某商品現價為120元，連續(xù)兩年增長，第一年增長了10%，第二年增長了5%，求原價。

答案：設原價為x元，則有x(1+0.1)(1+0.05)=120，解得x=100元。

4.題型：已知某商品連續(xù)兩年的降低率，求這兩年的平均降低率。

例題：某商品連續(xù)兩年降低，第一年降低了20%，第二年降低了15%，求這兩年的平均降低率。

答案：設平均降低率為r，則有(1-0.2)(1-0.15)^2=(1-r)^2，解得r≈0.224，即平均降低率為22.4%。

5.題型：已知某商品的現價和連續(xù)兩年的降低率，求原價。

例題：某商品現價為150元，連續(xù)兩年降低，第一年降低了10%，第二年降低了5%，求原價。

答案：設原價為x元，則有x(1-0.1)(1-0.05)=150，解得x=200元。板書設計①一元二次方程解決平均增長率（降低率）問題

-平均增長率（降低率）的定義

-一元二次方程的應用

-建立數學模型的方法

②關鍵步驟

-確定增長率（降低率）的方程系數

-列出并解一元二次方程

-分析方程解的實際意義

③公式與計算

-平均增長率（降低率）的計算公式

-一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）

-復數解的應用（如果涉及）教學評價與反饋1.課堂表現：

-觀察學生在課堂上的參與度，包括提問、回答問題、小組討論等。

-評估學生的注意力集中程度，以及對于新知識的接受和理解能力。

2.小組討論成果展示：

-評價學生在小組討論中的表現，如是否能夠積極參與、是否能夠正確應用所學知識解決問題。

-觀察小組合作的效果，包括溝通能力、分工合作和解決問題的能力。

3.隨堂測試：

-通過隨堂測試評估學生對一元二次方程解決平均增長率（降低率）問題的掌握程度。

-測試可能包括選擇題、填空題和簡答題，以全面評估學生的理解能力和應用能力。

4.學生自