線性代數(shù)方程組考試及答案

線性代數(shù)方程組試卷一、填空題（10題，每題1分）1.對于線性方程組$Ax=b$，若$A$是$m×n$矩陣，當$r(A)=r(A,b)\ltn$時，方程組有_______解。2.已知齊次線性方程組$x_1+x_2+kx_3=0$，$x_1+kx_2+x_3=0$，$kx_1+x_2+x_3=0$有非零解，則$k$的值為_______。3.設(shè)線性方程組$Ax=b$的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為$\begin{pmatrix}1&2&0&3\\0&0&1&-1\\0&0&0&a-1\end{pmatrix}$，則當$a=$_______時，方程組有解。4.已知線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1+2x_2+ax_3=0\\x_1+4x_2+a^2x_3=0\end{cases}$有非零解，則$a$的值為_______。5.若線性方程組$Ax=0$只有零解，則$r(A)$_______未知數(shù)的個數(shù)。6.設(shè)$A$為$3$階方陣，$r(A)=2$，則齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為_______。7.已知線性方程組$Ax=b$的兩個解為$\xi_1=(1,2,3)^T$，$\xi_2=(2,3,4)^T$，則$\xi_1-\xi_2$是_______的解。8.若線性方程組$Ax=b$有唯一解，那么$Ax=0$有_______解。9.設(shè)$A$是$4×5$矩陣，$r(A)=3$，則齊次線性方程組$Ax=0$的解空間的維數(shù)是_______。10.對于非齊次線性方程組$Ax=b$，若$r(A)\ltr(A,b)$，則方程組_______解。二、單項選擇題（10題，每題2分）1.設(shè)$A$是$m×n$矩陣，齊次線性方程組$Ax=0$僅有零解的充分必要條件是（）A.$A$的列向量組線性無關(guān)B.$A$的列向量組線性相關(guān)C.$A$的行向量組線性無關(guān)D.$A$的行向量組線性相關(guān)2.已知非齊次線性方程組$Ax=b$的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為$\begin{pmatrix}1&2&0&3&1\\0&0&1&-1&2\\0&0&0&0&k-3\end{pmatrix}$，則當$k$（）時，方程組有解。A.$=3$B.$\neq3$C.$=0$D.$\neq0$3.設(shè)$A$是$n$階方陣，若$r(A)=n-1$，則齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為（）A.$0$B.$1$C.$n-1$D.$n$4.若線性方程組$Ax=b$中方程的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)，則（）A.$Ax=b$必有無窮多解B.$Ax=b$必有唯一解C.$Ax=0$必有非零解D.$Ax=0$只有零解5.設(shè)$A$是$3×4$矩陣，$r(A)=2$，則齊次線性方程組$Ax=0$的解空間的維數(shù)是（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$6.已知線性方程組$Ax=b$有解，若系數(shù)矩陣$A$的秩為$3$，則增廣矩陣$(A,b)$的秩為（）A.$2$B.$3$C.$4$D.不確定7.設(shè)$\xi_1$，$\xi_2$是齊次線性方程組$Ax=0$的兩個解，則（）A.$\xi_1+\xi_2$不是$Ax=0$的解B.$k_1\xi_1+k_2\xi_2$（$k_1$，$k_2$為任意常數(shù)）是$Ax=0$的解C.只有$k_1=k_2=0$時，$k_1\xi_1+k_2\xi_2$才是$Ax=0$的解D.$k_1\xi_1+k_2\xi_2$一定不是$Ax=0$的解8.若線性方程組$Ax=b$的導(dǎo)出組$Ax=0$只有零解，則$Ax=b$（）A.必有唯一解B.必有無窮多解C.必定無解D.解的情況不確定9.設(shè)$A$是$m×n$矩陣，$r(A)=r$，則齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)為（）A.$m-r$B.$n-r$C.$r$D.$m+n-r$10.已知線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=2\\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases}$無解，則$a$的值為（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$三、多項選擇題（10題，每題2分）1.對于線性方程組$Ax=b$，下列說法正確的有（）A.若$Ax=b$有解，則$Ax=0$一定有解B.若$Ax=0$只有零解，則$Ax=b$有唯一解C.若$Ax=b$有唯一解，則$Ax=0$只有零解D.若$Ax=b$有無窮多解，則$Ax=0$有非零解2.設(shè)$\xi_1$，$\xi_2$，$\xi_3$是齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系，則（）A.$\xi_1$，$\xi_2$，$\xi_3$線性無關(guān)B.$k_1\xi_1+k_2\xi_2+k_3\xi_3$（$k_1$，$k_2$，$k_3$為任意常數(shù)）是$Ax=0$的通解C.$\xi_1+\xi_2$，$\xi_2+\xi_3$，$\xi_3+\xi_1$也可作為$Ax=0$的基礎(chǔ)解系D.$\xi_1$，$\xi_2$，$\xi_3$的任意線性組合都是$Ax=0$的解3.已知線性方程組$Ax=b$有解，下列說法正確的是（）A.若$r(A)=n$（$n$為未知數(shù)個數(shù)），則$Ax=b$有唯一解B.若$r(A)\ltn$，則$Ax=b$有無窮多解C.若$Ax=0$只有零解，則$Ax=b$有唯一解D.若$Ax=0$有非零解，則$Ax=b$有無窮多解4.設(shè)$A$是$m×n$矩陣，$r(A)=r$，則（）A.當$r=n$時，齊次線性方程組$Ax=0$只有零解B.當$r\ltn$時，齊次線性方程組$Ax=0$有非零解C.當$r=m$時，非齊次線性方程組$Ax=b$一定有解D.當$r\ltm$時，非齊次線性方程組$Ax=b$一定無解5.對于非齊次線性方程組$Ax=b$，以下結(jié)論正確的是（）A.若$Ax=b$有解，則其解是唯一的當且僅當$Ax=0$只有零解B.若$Ax=b$有解，則其解是無窮多的當且僅當$Ax=0$有非零解C.若$Ax=b$無解，則$Ax=0$只有零解D.若$Ax=0$有非零解，則$Ax=b$有無窮多解6.設(shè)$\xi_1$，$\xi_2$是線性方程組$Ax=b$的兩個解，則（）A.$\xi_1-\xi_2$是$Ax=0$的解B.$\frac{1}{2}(\xi_1+\xi_2)$是$Ax=b$的解C.$k\xi_1+(1-k)\xi_2$（$k$為任意常數(shù)）是$Ax=b$的解D.$\xi_1+\xi_2$是$Ax=2b$的解7.已知齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系含有$s$個向量，則（）A.$r(A)=n-s$（$n$為未知數(shù)個數(shù)）B.基礎(chǔ)解系中的向量線性無關(guān)C.任意$s$個線性無關(guān)的解向量都可作為基礎(chǔ)解系D.基礎(chǔ)解系中的向量個數(shù)是唯一確定的8.設(shè)$A$是$3×4$矩陣，$r(A)=2$，則（）A.齊次線性方程組$Ax=0$的解空間維數(shù)為$2$B.齊次線性方程組$Ax=0$有非零解C.非齊次線性方程組$Ax=b$可能無解D.非齊次線性方程組$Ax=b$一定有無窮多解9.若線性方程組$Ax=b$和$Cx=d$同解，則（）A.$r(A)=r(C)$B.它們的導(dǎo)出組$Ax=0$和$Cx=0$同解C.增廣矩陣$(A,b)$和$(C,d)$等價D.系數(shù)矩陣$A$和$C$等價10.對于線性方程組$Ax=b$，若$r(A)=r(A,b)=r\ltn$（$n$為未知數(shù)個數(shù)），則（）A.方程組有無窮多解B.方程組的通解可表示為$x=x_0+k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$，其中$x_0$是$Ax=b$的一個特解，$\xi_1$，$\xi_2$，$\cdots$，$\xi_{n-r}$是$Ax=0$的基礎(chǔ)解系C.基礎(chǔ)解系中含有$n-r$個向量D.方程組的解是唯一的四、判斷題（10題，每題1分）1.若線性方程組$Ax=b$有解，則其導(dǎo)出組$Ax=0$一定有解。（）2.若齊次線性方程組$Ax=0$只有零解，則非齊次線性方程組$Ax=b$一定有唯一解。（）3.若線性方程組$Ax=b$有無窮多解，則其導(dǎo)出組$Ax=0$有非零解。（）4.設(shè)$\xi_1$，$\xi_2$是齊次線性方程組$Ax=0$的解，則$\xi_1+\xi_2$也是$Ax=0$的解。（）5.若線性方程組$Ax=b$的增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩，則方程組無解。（）6.齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系是唯一的。（）7.若線性方程組$Ax=b$有唯一解，則其導(dǎo)出組$Ax=0$只有零解。（）8.設(shè)$A$是$m×n$矩陣，若$r(A)=n$，則非齊次線性方程組$Ax=b$一定有解。（）9.若線性方程組$Ax=b$和$Cx=d$同解，則它們的系數(shù)矩陣$A$和$C$一定相等。（）10.對于非齊次線性方程組$Ax=b$，若$r(A)=r(A,b)=n$（$n$為未知數(shù)個數(shù)），則方程組有唯一解。（）五、簡答題（4題，每題5分）1.簡述線性方程組$Ax=b$有解的充要條件。2.什么是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系？3.說明線性方程組$Ax=b$的解與它的導(dǎo)出組$Ax=0$的解之間的關(guān)系。4.如何判斷一個向量組是否可以作為齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系？六、討論題（4題，每題5分）1.討論線性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=2\\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases}$解的情況。2.已知齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系含有兩個向量，討論非齊次線性方程組$Ax=b$解的情況。3.設(shè)$A$是$m×n$矩陣，$r(A)=r$，討論齊次線性方程組$Ax=0$解的情況。4.討論線性方程組$Ax=b$在什么條件下有唯一解、無窮多解和無解。答案一、填空題1.無窮多2.$1$或$-2$3.$1$4.$1$或$2$5.等于6.$1$7.$Ax=0$8.零9.$2$10.無二、單項選擇題1.A2.A3.B4.C5.B6.B7.B8.D9.B10.B三、多項選擇題1.ACD2.ABCD3.AB4.ABC5.AB6.ABCD7.ABD8.ABC9.ABC10.ABC四、判斷題1.√2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.√五、簡答題1.線性方程組$Ax=b$有解的充要條件是系數(shù)矩陣$A$的秩等于增廣矩陣$(A,b)$的秩，即$r(A)=r(A,b)$。2.齊次線性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系是指該方程組解空間的一個極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系中的向量線性無關(guān)，且方程組的任意解都可由基礎(chǔ)解系線性表示。3.若$\eta_1$，$\eta_2$是$Ax=b$的解，則$\eta_1-\eta_2$是$Ax=0$的解；若$\xi$是$Ax=0$的解，$\eta$是$Ax=b$的解，則$\xi+\eta$是$Ax=b$的解。$Ax=