【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第52講隨機事件的概率與古典概型（精講）

題型目錄一覽

①隨機事件關(guān)系與運算

?頻率與概率

③互斥事件與對立事件

④古典概型I■簡單的古典概型問

題

⑤古典概型H-與排列組合結(jié)合

一、知識點梳理

一、隨機試驗

我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母石表示.

我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：

1.試驗可以在相同條件下重復進行；

2.試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；

3.每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.

二、樣本空間

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，一般地，

用.C.表示樣本空間，用3表示樣本點，如果一個隨機試驗有〃個可能結(jié)果電，g,…，穌，則稱樣

本空間C=｛例,g,…，①“｝為有限樣本空間.

三、隨機事件和確定事件

1.一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將

樣本空間Q的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.當且僅當A中

某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.

2.C作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以?？倳l(fā)生，我們

稱Q為必然事件.

3.空集0不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為0為不可能事件.

4.確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對隨機事件的確定事件.

四、事件的關(guān)系與運算

①包含關(guān)系：一般地，對于事件A和事件8,如果事件A發(fā)生，則事件8一定發(fā)生，這時稱事件8包含事

件A（或者稱事件A包含于事件B）,記作8=4或者與兩個集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示:

不可能事件記作0,任何事件都包含不可能事件.

②相等關(guān)系：一般地，若8衛(wèi)A且A2B,稱事件A與事件8相等.與兩個集合的并集類比，可用下圖表示:

③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件4與事件8的并

事件（或和事件），記作AU3（或A+3）.與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：

④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件8發(fā)生，則稱此事件為事件人與事件8的交

事件（或積事件），記作Ap|8（或AB）.與兩個集合的交集類比，可用下圖表示：

o

五、互斥事件與對立事件

1.互斥事件：在一次試驗中，事件A和事件8不能同時發(fā)生，即人口8=0,則稱事件A與事件8互斥，可

用下圖表示：

如果A，兒中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件A，.4.....4彼此互斥.

2.對立事件：若事件人和事件4在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即=O不發(fā)生，AD8=0則

稱事件4和事件“互為對立事件，事件A的對立事件記為其.

3.互斥事件與對立事件的關(guān)系

①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一

必須有一個發(fā)生.

②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而

“對立"則是''互斥"的充分不必要條件.

六、概率與頻率

1.頻率：在〃次重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)々稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)人與總次數(shù)”的比值叫

n

做事件A發(fā)生的頻率.

2.概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率K總是接近于某個常數(shù)，并且在它附近擺動，這時，

n

就把這個常數(shù)叫做事件4的概率，記作P(A).

3.概率與頻率的關(guān)系：對于給定的隨機事件A,由于事件A發(fā)生的頻率人隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率

n

P(A),因此可以用頻率收來估計概率P(A).

n

七、隨機事件的概率

對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

八、古典概型

1.定義：一般地，若試驗E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

2.古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間。包含〃個樣本點，事件A包含其中的大個樣本點，則定義事件A

的概率P(A)=A=坐.

注：(I)解決古典概型的問題要注意清楚以下三個方面

①本試驗是否具有等可能性；

②本試驗的基本事件有多少個；

③事件A是什么.

(2)一般解題步驟：

①仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

②判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設出所求事件A;

③分別求出基本事件的個數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m;

④利用公式P(A)=二包色立臂藜蜉個數(shù)求出事件A的概率.

A.“點數(shù)為4”B.“點數(shù)為3或4”

C.“點數(shù)為偶數(shù)”D.“點數(shù)為大于2小于5”

5.從1,2,3,4這4個數(shù)中，任取2個數(shù)求和，那么“這2個數(shù)的和大于4”為事件A,“這2個數(shù)的和為

偶數(shù)”為事件B,則4+8和AB包含的樣本點數(shù)分別為（）

A.1；6B,4；2C.5；1D.6；1

6.若某群體中的成員會用現(xiàn)金支付的概率為0.60,會用非現(xiàn)金支付的概率為0.55,則用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)

金支付的概率為（）

A.0.10B.0.15C.0.40D.0.45

7.對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設A=｛兩次都擊中飛機｝,8=｛兩次都沒擊中飛

機｝,。=｛恰有一彈擊中飛機｝,。=｛至少有一彈擊中飛機｝,下列關(guān)系不正確的是（）

A.B.8口力二。

C.A<JC-DD.

8.48兩個元件組成一個串聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A=”A元件正常“，元件正常”，

用人蒼分別表示兩個元件的狀態(tài)，用（百,&）表示這個串聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件

失效.下列說法正確的個數(shù)是（）

①樣本空間C=｛（1,1）,（1,0）,（0,1）,（0,0）｝；②事件8=｛（0,1）,（1,1）｝；

③事件“電路是斷路”可以用Nc石（或而）表示；

④事件“電路是通路”可以用AD3（或A+ZO表示，共包含3樣本點.

A.0B.2C.3D.4

二、填空題

9.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球觀察顏色.設事件A為“所取兩個球至少有一個白球”,

事件8為“所取兩個恰有一個紅球”，則Ac8表示的事件為.

10.打靶3次，事件4=“擊中i發(fā)”，其中/?=（）/,2,3.那么A=AUAU4表示.

11.已知在一次隨機試驗E中，定義兩個隨機事件A,從且P（A）=0.4,P（B）=0.3,P（A3）=0.3,則

P（A+B）=.

12.A、8兩個元件組成一個串聯(lián)電路，每個元件可能正常或失效.設事件4=”A元件正?！保?="8元件

正?！?，用々、4分別表示A、8兩個元件的狀態(tài)，用（內(nèi),9）表示這個串聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，

0表示元件失效.下列說法正確的是.

①樣本空間。。）,（0,1）,（0,。）｝;

②事件8=｛（0,1）,（14）｝；

③事件，，電路是斷路”可以用（或反石）表示；

④事件“電路是通路”可以用（或A+8）表示，共包含3個樣本點.

_nri——\~B~\——

ji--------

13.根據(jù)以往經(jīng)驗，小張每次考試語文成績及格的概率為0.8,數(shù)學成績及格的概率為0.9,語文和數(shù)學同

時及格的概率為0.75,則至少有一科及格的概率為.

題型二頻率與概率

多策略方法

1.概率與頻率的關(guān)系

頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值.通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,

有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值.

2.隨機事件概率的求法

利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某

一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率.

【施例1】（單選題）手機支付已經(jīng)成為人們常用的付費方式，某大型超市為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨

機抽取了100名顧客進行調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果整理如下，

顧客年齡（歲）20歲以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)70歲及以上

手機支付人數(shù)312149520

其他支付方式人數(shù)0021327121

從該超市顧客中隨機抽取I人，估計該顧客年齡在［40,60）內(nèi)且未使用手機支付的概率為（）

A.1

B-5D*

10-I

【題型訓練】

一、單選題

1.某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有100名志愿者服用此藥.結(jié)果：體重減輕的人數(shù)為59人，體

重不變的21人，體重增加的20人.如果另外有一人服用此藥，請你估計這個人體重減輕的概率為（）

A59n21"1c4

A-B?----C?-D?一

10010055

2.經(jīng)過市場抽檢，質(zhì)檢部門得知市場.上食用油合格率為8（）%,經(jīng)調(diào)查，某市市場.上的食用油大約有80個品

牌，則不合格的食用油品牌大約有（）

A.64個B.640個

C.16個D.160個

3.天氣預報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩

天下雨的概率.用1,2,3,4,5,6表示下雨，用計算機產(chǎn)生了10組隨機數(shù)180,792,454,417,165,

8（）9,798,386,196,206據(jù)此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（）

3217

A.-B.-C.~D.—

55210

4.某同學做立定投籃訓練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：

第一組第二組第三組合計

投籃次數(shù)100200300600

命中的次數(shù)68124174366

命中的頻率0.680.620.580.61

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，則使誤差較小、可能性大的估計值是（）

A.0.58B.0.61C.0.62D.0.68

5.對敏感性問題調(diào)查的關(guān)鍵是要設法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能如實回答問題.為調(diào)查學生是否有在

校使用手機的情況時，某校設計如下調(diào)查方案：調(diào)查者在沒有旁人的情況下，獨自從一個箱子中隨機抽一

只球，看過顏色后即放回，若抽到白球，則回答問題A：抽到紅球，則回答問題8,且箱子中只有白球和紅

球.

問題A：你的生日的月份是否為偶數(shù)？（假設生日的月份為偶數(shù)的概率為方）

問題8：你是否有在校使用手機？

已知該校在一次實際調(diào)查中，箱子中放有白球2個，紅球3個，調(diào)查結(jié)束后共收到1000張有效答卷，其中有

270張回答“是“，如果以頻率估計概率，估計該校學生有在校使用手機的概率是（精確到0.01）（）

A.0.09B.0.12C.0.20D.0.27

6.手機支付已經(jīng)成為人們幾乎最常用的付費方式.某大型超巾為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨機抽取了100

名顧客進行調(diào)查，記錄結(jié)果整理如下表.從這100名顧客中隨機抽取I人，則該顧客年齡在［40,60）內(nèi)且未使

用手機支付的概率為（）.

顧客年齡（歲）20歲以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)70歲及以上

手機支付人數(shù)31214132790

其他支付方式人數(shù)0029551

7.給出下列四個命題：

①設有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05,則從中任取200件，必有10件是次品：

②做100次拋硬幣的試驗，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是R；

IUV

③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個院機事件發(fā)生的概率；

9

④拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點的潁率是4.

其中正確命題有（）

A.①B.②C.③D.@

8.一個袋中裝有大小與質(zhì)地相同的3個白球和若干個紅球，某班分成20個小組進行隨機摸球試驗，每組

各做5（）次，每次有放回地摸1個球并記錄顏色.統(tǒng)計共摸到紅球619次，則袋中紅球的個數(shù)最有可能為（）

A.3B.5C.7D.9

9.用木塊制作的一個四面體，四個面上分別標記1,2,3,4,重復拋擲這個四面體200次，記錄每個面落

在地上的次數(shù)（如下表）.下列說法正確的是（）

四面體的面1234

頻數(shù)44364278

A.該四面體一定不是均勻的B.再拋擲一次，估計標記2的面落地概率0.72

C.再拋擲一次，標記4的面落地D.再拋擲一次，估計標記3的面落地概率0.2

二、多選題

10.利用計算機模擬拋擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數(shù)分別為20,100,500時各做5組試驗，得到事

件“一枚正面朝匕一枚反面朝上''發(fā)牛的頻數(shù)和頻率情況如下表：

72=20w=100n=500

序號

頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率

1120.6560.562610.522

290.45500.52410.482

3130.65480.482500.5

470.35550.552580.516

5120.6520.522530.506

根據(jù)以上信息，下面說法正確的有（）

A.試驗次數(shù)相同時，頻率可能不同，說明隨機事件發(fā)生的須率具有隨機性

B.試驗次數(shù)較小時，頻率波動較大；試驗次數(shù)較大時，頻率波動較小，所以試驗次數(shù)越多越好

C.隨機事件發(fā)生的頻率會隨著試驗次數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在一個固定值附近

D.我們要想得到某事件發(fā)生的概率，只需要做一次隨機試臉，得到事件發(fā)生的頻率即為概率

11.某超市隨機選取100。位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下面的統(tǒng)計表,

其中表示購買，“x”表示未購買.

顧客人數(shù)甲乙丙T

100qXq

217XXq

200774X

3007X7X

85XXX

98XqXX

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的有（）

A.顧客購買乙商品的概率最大

B.顧客同時購買乙和丙的概率約為0.2

C.顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率約為0.3

D.顧客僅購買I種商品的概率不大于0.2

12.小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了10次,每次朝上的點數(shù)都是6,則卜列說法正確的是（）

A.朝上的點數(shù)是6的概率和頻率均為1

B.若拋擲10000次，則朝上的點數(shù)是6的頻率約為?

C.拋擲第11次，朝上的點數(shù)一定不是6

D.拋擲6000次，朝上的點數(shù)為6的次數(shù)大約為1000次

三、填空題

13.某同學做立定投籃訓練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表所示.

第一組第二組第三組合計

投籃次數(shù)100200300600

命中的次數(shù)68125176369

命中的頻率0.680.6250.5870.615

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計一次投籃命中的概率，那么使誤差較小的可能性大的估計值是—.

14.在一次男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設每局比賽甲獲

勝的概率為0.6,現(xiàn)采用隨機模擬方法估計甲獲得冠軍的概率，先由計算機產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，指定1,

2,3表示一局比賽中甲勝，4,5表示一局比賽中乙勝、經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為

15.“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣在網(wǎng)絡上大放厥詞的一種現(xiàn)

象.某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對“鍵盤俠”的認可程度進行調(diào)查：在隨機抽取的50人中，有14人持認可態(tài)

度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有7600人，則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠''持反對態(tài)度的有人.

16.某事件A的概率是0.97,下列說法正確的是.

（1）A發(fā)生的可能性是97%；

（2）在10000個試驗中，事件A發(fā)生9700次；

（3）隨著試驗次數(shù)的不斷增大，A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到0.97,且在它附近擺動.

17.某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機抽取100個進行檢查，測得每個乒乓球的直徑（單位：mm）,

將數(shù)據(jù)分組如下：

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)1()0.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合計1001.00

若用上述頻率近似概率，已知標準乒乓球的直徑為40.00mm,貝!這批乒乓球的直徑誤差不超過（）.03mm的概

率是.

18.為了解某中學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調(diào)查部門在該校進行了如下的隨機調(diào)查，

向被調(diào)查者提出兩個問題：（I）你的學號是奇數(shù)嗎？（2）在過路口時你是否闖過紅燈?要求被調(diào)杳者背對著

調(diào)查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面,就回答第一個問題,否則就回答第一個問題被調(diào)查者不必告訴調(diào)

查人員自己回答的是哪一個問題，只需回答“是”或“不是”，因為只有調(diào)查者本人知道回答了哪一個問題，所

以都如實地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的1200人（學號從I至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估計這1200

人中闖過紅燈的人數(shù)是.

題型三互斥事件與對立事件

金策略方法

1.判斷互斥、對立事件的兩種方法

（1）定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事

件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.

（2）集合法：①由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥.

②事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補

集.

2.復雜事件的概率的兩種求法

（1）直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運用互斥事件的概率求和公式計算.

（2）間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P（A）=1—P（力）求解（正難則反），特別

是“至多，，”至少，，型題目，用間接求法就比較簡便.

【典例1］（單選題）2022件12月20日，聯(lián)合國世界旅游組織公布2022年“最住旅游鄉(xiāng)村”名單，中國廣

西大寨村和重慶荊竹村成功入選.遼寧綠江村也以景色別致的油菜花海吸引了眾多游客.小明準備利用假

期從中選一個鄉(xiāng)村游玩，記事件A：小明選大寨村，事件8：小明選荊竹村，事件C：小明選綠江村.已知

P（A）=0.3,P倒）=0.6,則P（A+3）=（）

A.0.12B,0.18C.0.7D.0.9

【題型訓練】

一、單選題

1.在試驗“拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣”中，事件4=“至少有一枚便幣正面朝上“，事件8=”兩枚硬幣正面均

朝上"，事件C=”兩枚硬幣正面均朝下”，則（）

A.A與8互斥B.A與C對立

C.B與C不互斥D.8與C對立

2.某超市舉行有獎促銷活動，活動中設置一等獎、二等獎、幸運獎三個獎項，其中中幸運獎的概率為0.3,

中二等獎的概率為0.2,不中獎的概率為0.38,則中一等獎的概率為（）

A.0.16B.0.22C.0.12D.0.1

3.在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件.下列各種情況是互斥事件的有（）

①4”所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件為次品”；

②4“所取3件中有一件為次品”，B：“所取3件中有二件為次品”；

③4”所取3件中全是止品”，8：“所取3件中至少有一件為次肪”：

?A："所取3件中至多有2件次品“，&“所取3件中至少有一件是正品”；

A.①③B.②③C.②④D.③④

4.下列敘述正確的是（）

A.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一定越來越接近一個確定數(shù)值

B.若隨機事件A發(fā)生的概率為尸（4）,則0<P（A）vl

C.若事件A與事件8互斥，則P0+5）=P（5）

D.若事件A與事件8對立,則尸（A）+事3）=1

5.在一個不透明的盒子中，放有除顏色外完全相同的2個白球和3個紅球，搖勻后，從中任意取出兩個球，

下列說法與“取出的兩個球都是白球”是互斥但不是對立的事件是（）

A.取出兩球同色B.取出的兩球異色

C.取出的兩球至少有一個紅球D.取出的兩球至少一個白球

6.已知隨機事件A和8互斥，且P（AU3）=0.8/（8）=0.3,則P0）等于（）

A.0.8B.0.7C.0.5D.0.2

7.已知隨機事件A和8互斥，A和。對立，且。（Au4）=O.5,P（0=O.2,則P（C）=（）

A.0.8B.0.7C.0.6D.0.5

8.從一批產(chǎn)品中隨機抽取3件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測.記“3件產(chǎn)品都是次品”為事件A.“3件產(chǎn)品都不是次品”

為事件8,“3件產(chǎn)品不都是次品”為事件C,則下列說法正確的是（）

A.任意兩個事件均互斥

B.任意兩個事件均不互斥

C.事件A與事件C對立

D.事件A與事件“對立

9.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）

A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與都是紅球

C.恰有一個黑球與恰有兩個黑球D.至少有一個黑球與至少有一個紅球

10.已知事件人與B互斥，且P（A）=0.4,P（8）=0.5,則（）

A.P（AB）=0.2B.P（4D8）=0.9C.網(wǎng)可=0.5D.P（B）=0.6

11.設A,4為同一隨機試驗中的兩個隨機事件，A,4的對立事件分別為彳，片,64）=05,

P（5）=/2（O<7?<1）,下列說法正確的是（）

A.若〃=0.6,則事件A與B互斥

B.若〃=0.7,則事件A與8一定互斥

C.若-=0.6,則一（而）的值為0.3

D.若事件A與8相互獨立且同時發(fā)生的概率為0.4,則〃=0.2

二、多選題

12.一個盒子中裝有5支鋼筆，其中3支一等品，2支二等品，從中不放回的依次隨機取出2支，則下列說

法正確的是（）

A.事件“至少有一支一等品”與“至少有一支二等品”是互斥事件

B.事件“至少有一支一等品”與“都是二等品”是對立事件

C.記事件A“至多有一支一等品“，事件8”兩支都是二等品“，則A=

D.記事件A“至多有一支一等品”，事件C“至多有一支二等品"，則P（AC）=g

13.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點數(shù)，設事件A=”記下的點數(shù)為3”，事件3="記

下的點數(shù)為偶數(shù)“，事件C="記下的點數(shù)小于3"，事件。="記下的點數(shù)大于2”，則（）

A.事件A與6互斥B.事件A與C互斥

C.事件8與。對立D.事件C與。對立

14.設人B為兩個互斥的事件，且P（A）>0,P（B）>0,則（）

A.P（AB）=（）B.尸（A8）=P（A）P（8）

C.P（A|J?）=ID.P（AU8）=P（A）+P（8）

15.下列敘述正確的是（）

A.互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件

B.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，至少有一個黑球與至少有一個紅球是兩個互斥而

不對立的事件

c.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為5，甲獲勝的概率是!，則甲不輸?shù)母怕蕿?

236

D.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么事件”至多一件一等品”的概率為《

三、填空題

16.已知事件M與事件N互斥，若P（"）=0.2,P（N）=0.6,那么P（M（JN）=.

11o

17.已知事件A,B,C兩兩互斥，若尸（A）=jP（C）=]P（AU8）=E，則尸（8DC）=.

18.一個盒子內(nèi)裝有若干個大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45,

摸出白球的概率是（）.25,那么從盒中摸出I個球，摸出黑球或紅球的概率是.

19.已知事件A與事件8互斥，如果P（A）=0.4,P（B）=0.3,那么P（HJZ）=.

20.已知A4是隨機事件，則“P（A）+P（8）vl”是“A與8互斥而不對立”的條件.（填“充分不必

要X必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

21.設為三個隨機事件，若4與3是互斥事件，4與C是相互對立事件，且尸（A）=；,P（C）$,

則P（A+8）=_.

1?

22.社會實踐課上，老帥讓甲、乙法同學獨立地完成某項任務，已知兩人能完成該項任務的概率分別為3G,

則此項任務被甲、乙兩人中至少一人完成的概率為.

題型四古典概型

至策略方法用公式法求古典概型的概率就是用所求事件4所含的基本事件個數(shù)除以基本事

件空間。所含的基本事件個數(shù)求解事件A發(fā)生的概率尸（A）.解題的關(guān)鍵如下：

①定型，即根據(jù)古典概型的特點一有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型.

②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間。及事件A所含的基本事件數(shù).

③求值，代入八式尸⑷-基本事件的總數(shù)求值?

【典例1】（單選題）從2名男生和3名女生中任選2人參加學校志愿服務，則選中的2人中恰有一名男生

的概率為（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【典例2】（單選題）書籍是人類進步的階梯，數(shù)學名著更是如此，《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》

《海島算經(jīng)》是我國古代數(shù)學領域影響深遠的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》

被稱為“古希臘三大數(shù)學書”，代表了文藝復興之前歐洲數(shù)學的最高成就，這些著作對后世的數(shù)學發(fā)展有著深

遠而廣泛的影響.現(xiàn)從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國數(shù)學名著的概率為（）

4

D.—

A-715

【題型訓練I-簡單的古典概型問題】

一、單選題

1.某學校舉辦作文比賽，共設6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文.則甲、乙兩位參

賽同學抽到相同主題的概率為（）

A.-B.\C.1D.-

6326

2.某對新婚夫婦響應國家號召，計劃生育3個孩子，若每胎只有一個孩子，且每胎生男生女的概率相同，

記事件A為“3個孩子中有男有女”，則P（A）=（）

A.-B.1C.\D.-

3234

3.從長度為1,3,5,7,9的5根木棒中任選3根，能構(gòu)成三角形的概率為（）

A.—B.-C.1D.—

105210

4.從2,3,5,7這四個數(shù)中隨機地取2個不同的數(shù)相乘，其結(jié)果能被10整除的概率是（）

A.-B.1C.1D.1

6323

5.為紀念12.9運動，高一（5）班需要從班級朗誦隊里的4名男生和2名女生中隨機選取兩名，代表班級

參加朗誦比賽，則恰好選取一名男生和一名女生的概率為（）

4283

A.——B.-C.——D.—

155155

6.“仁義禮智信”為儒家“五?！庇煽鬃犹岢觥叭?、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”,董仲舒擴充為“仁、

義、禮、智、信”.將“仁、義、禮''排成一排,其中“義'’不在首位的概率為（）

A-|B.|C.|D.1

7.袋子中裝有4個大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個紅球、1個黃球、2個藍球.從中任取2個小球，則

這兩個小球的顏色不同的概率為（）

8.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)

可以表示為兩個素數(shù)的和“，如20=3+17.在不超過15的素數(shù)（素數(shù)是指在大于I的自然數(shù)中，除了1和自

身外沒有其他因數(shù)的自然數(shù)）中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率是（）

9.甲、乙兩位同學將高一6次物理測試成績（成績?yōu)檎麛?shù)，滿分為100分）記錄如下表，其中乙的第5次

成績的個位數(shù)被污損.

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

甲958788929385

乙858686999?88

則甲同學的平均成績高「乙同學平均成績的概率是（）

10.在一個不透明的袋子里裝有四個小球，球上分別標有4,5,6,7四個數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同.小

紅、小明兩人玩"猜數(shù)字''游戲，小紅先從袋中任意摸出一個小球，將小球上的數(shù)字記為〃?，再由小明猜這個

小球上的數(shù)字，記為〃.如果加，〃滿足帆-那么就稱小紅、小明兩人“心心相印”，則兩人“心心相印”

的概率是（）

A.-B.1C.；D.-

4828

11.某大學為了了解學生課外圖書閱讀量的情況，從大二學生中抽取50名，統(tǒng)計他們今年上半年閱讀的書

籍數(shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書不低于6本的人數(shù)占12%,不低于8本的人數(shù)占4%.現(xiàn)從讀書不低于6本的學生中隨機

地選取2名進行座談，則這2名學生1名讀書低于8本且不低于6本，I名讀書不低于8本的概率為（）

1「8-3n7

A.—B.—C.-D.—

515515

12.某中學團委為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，舉行了以“弘‘五四’精神，揚青春風采”為主題的文藝匯演，初中部推

薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現(xiàn)從這6位主持人中隨機選2位主持文藝匯演，則選中的2

位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（）

A.-B.1C.-D.—

33415

13.若連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別是〃L則點。（也〃）在直線2x-），=6上的概率是（）

14.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設“第一次向上的點數(shù)是2”為事件A,“第二次向上的點數(shù)是奇數(shù)”為事

件8,“兩次向上的點數(shù)之和能被3整除”為事件C,則下列說法正確的是（）

A.事件A與事件4互為對立事件B.P（C）=7

C.P（BC）=5D.事件B與事件C相互不獨立

6

二、多選題

15.在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1,2,3的三個小球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每

個球被取出的可能性相等.下列說法正確的是（）

4

A.取出的兩個球上標號為不同數(shù)字的概率為§

B.取出的兩個球上標號之積能被3整除的概率為3

C.取出的兩個球上標號為相同數(shù)字的概率為g

D.甲盒中取出的球上標號比乙盒中取出的球上標號大的概率為g

16.一個盒子裝有標號1,2,3,45的5張標簽，則（）

A.有放回的隨機選取兩張標簽，標號相等的概率為1

B.有放回的隨機選取兩張標簽，第一次標號大于第二次的概率為:

4

C.無放回的隨機選取兩張標簽，標號之和為5的概率為:

D.無放回的隨機選取兩張標簽，第一次標號大于第二次的概率為g

三、填空題

17.從甲、乙等5名同學中隨機選擇3名參加志愿者活動，則甲、乙兩人中恰有一人參加的概率為.

18.在用隨機數(shù)（整數(shù)）模擬“有5個男生和5個女生，從中抽選4人，求選出2個男生2個女生的概率”

時，可讓計算機產(chǎn)生0~9的隨機整數(shù)，并且0~4代表男生，用5?9代表女生.因為是選出4個，所以每4

個隨機數(shù)作為一組.通過模擬試驗產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：

6830321570566431784045237834260453460952

6837981657344725657859249768605191386754

由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為

19.某對新婚夫婦響應國家號召，計劃生育3個孩子.假設每胎只有一個小孩，旦每胎生男生女的概率相

等，記事件A為“該夫婦兒女雙全”，則尸（4=.

20.根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時期，我國勞動人民就普遍使用算籌進行計數(shù).算籌計數(shù)法就是用一根

根同樣長短和粗細的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示.如果用算籌隨機擺出一個不含數(shù)字0

的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，則個位和十位上的算籌不i樣多的概率為.

縱式IIHImimuTITurnn

橫式：一二三三-Li=

123456789

21.2023年10月國慶節(jié)旅游黃金周期間，自駕游愛好者甲、乙、丁3家組團自駕去杭州旅游，3家人分別乘

坐3輛車，滬昆高速杭州入口有人民。共3個不同的窗口，則每個窗口恰好都有一位該團的自駕車在等候

的概率為.

22.將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，

則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為6的概率是.

【題型訓練n.與排列組合結(jié)合】

一、單選題

1.口袋中有5個白球，3個紅球和2個黃球，小球除顏色不同，大小形狀均完全相同，現(xiàn)從中隨機摸出2

個小球，摸出的2個小球恰好顏色相同的概率為（）

1422I

A.—B.；C.；D.-

45393

2.江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南潺古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風貌最具

代表的城鎮(zhèn)，它們以具深遽的歷史文化底蘊、消麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風貌、古樸的吳儂軟語民俗風情，在世

界上獨樹一幟，馳名中外，這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處.某家庭計劃今年暑假從這6個古鎮(zhèn)

中挑選2個去旅游，則至少選一個蘇州古鎮(zhèn)的概率為（）

A.-B.1C.-D.-

5255

3.第19屈亞運會的樣物由“琮琮”“宸宸”和“蓮蓮”三類組成，現(xiàn)有印著三類吉祥物的掛件各2個（同類吉舉

物完全相同，無區(qū)別），若把這6個掛件分給3位同學，每人2個，則恰好有一位同學得到同類吉祥物掛件

的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4577

4.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一個大于2