線性代數(shù)復(fù)習(xí)題

填空題：

0111

2022

L行列式C

3303-

4440

答：-72

0222

2.行列式3:033

4404

5550

答：-360

234

3.行列式;678

023~

0045

答：-4

2345

4579

4.行列式

068

0057

答：-4

」23](2

5.設(shè)4=23I.8=2貝ijAR=

、312J12

87,=____

’12-5、

勺21212、

答：12-4

15-4-3

J2T)?

1288

131827

6.行列式

143264

1550125

答：24

/21

7.設(shè)配&是非齊次線性方程組AX=/的兩個解向量，則A

答：P

422、

8.設(shè)3階方陣A=2a2的秩為2,則a二

、22?

答:-4

X1I1

9.行列式；x11

1X1

11%

答：(A+3)(X-1)3

x-1222

2x-122

10.行列式

22x-2

222x-1

答：(X+5)(X-3)3

1300

2500_

1L行列式

2412~

1347

答：1

x+3222

2x+322

12.若行列式=0,則x=

22x+32

222x+3

答：-9或-1

q

13.設(shè)A=a28=伯也也),JS!1AB=，BA=

哂、

a2b3，(aq+b2al+b3a3)

"1-12A(12、

14.設(shè)A=01-2,B=01,則AB=_______________

「112)11

T,

15.設(shè)7九%是齊次線性方程組AX=0的兩個解向量，則A（3/-5%）=

答：0

16.設(shè)是非齊次線性方程組AX=4的兩個解向量，則A2。+342

答：P5

T23](0]、

17.設(shè)4=023,8=1-1,則A8=

03；[1

<01」

B5=—

’52、

453、

答：51,

J13,

、33,

18.設(shè)7,％是齊次線性方程組。=0的兩個解向量，則A（37-2%）=

答：0

19.設(shè)3階方陣A的行列式同=2,則總?cè)耍?=o

20.設(shè)3階方陣A的行列式同=-12,A的兩個二重特征值4=4=-2,則4的

第三個特征值4=。

答：-3

2300

4500

21.行列式］=O

257-----------

3468

答：4

22.設(shè)A為正交矩陣，則|A卜

答：±1

單選題

1.設(shè)5元齊次線性方程組AX=0,如果,?（A）=1則基礎(chǔ)解系含有（）個向量

A.5B.4C.3D.1

答：B

1200、

(0013)

'7-200、'-7200、

-41004-100

B.

003-500-35

0-12><0012

(-7200、<7-200

4-100-4100

c.D.

003-500-35

b

J)0-12；01-2

答：c

100、

7400

3.設(shè)A二則=()o

0013，

025,

(4-100、(4100、

-72007-200

A.B.

005-300-53

、。0-21J02

(^-100、(-4100、

-72007-200

C.D.

00-53005-3

02-I00-2

答:c

T30()]

2500

4.設(shè)A二,則A-1()o

0021

<0074,

(5-300、「-5300

-2I002-100

A.B.

004-100-4

J)0-72)J)07-2J

'-5300、(5-300、

2-100-2100

C.D.

004-100-41

<00-72,、007一2」

答：C

5.設(shè)3階方陣A的3個特征值為1,2,-4,則4的43個特征值為()。

A.-8,-4,2B.8,4,-2C.1,2,-4D.1,--

24

答：A

%11、

6.設(shè)A=1a1的秩為2,則。=（）o

<11W

A.。0―2且。工1B.a=—2C.a=\D.a=-2或。=1

答：B

解下列各題:

200、

1.設(shè)4=140,求矩陣8,使得AB-2A=3B。

J14;

答：

由AB-24=3B,.\（A-3E）B=2A

100、

,/A-3E=110可逆:.B=（A-3E）~l2A

1b

"100（800、'800、

:.B=-110280-680

、0-11人228,-68,

r30T、

2.設(shè)A=141,求矩陣8,使得45一2A=2區(qū)

J。3,

答：由AB—2A=2B,:.（A-2E）B=2A

U0-1、

vA-2E=121可逆

JOI,

]_

0

22r30-1W402

:.B=（A-2E）~l2A=0----2141=04-2

U

o1。3）「204

,1

I22J

3.問攵取何值時，向量組%=(1，1),4=(2,3,4),4=(2,2次)線性無關(guān)，又為

何值時線性相關(guān)。

111

答：???0=234=(2-2)(2+2)

22k

當(dāng)k。2時。。0/.%,a2，巴線性無關(guān)

當(dāng)女=2時。=0「.%,a2，a3線性相關(guān)

4.問h/取何值時，向量組%=(1,2,3),%=(2#,6),4=(2,5,/)線性無關(guān)，又

為何值時線性相關(guān)。

123

答：令。=2k6=(^-4)(/-6)

25I

當(dāng)且//6時。/0，%,出，。3線性無關(guān)

當(dāng)2=4或/=6時。=0.?.%,%，內(nèi)線性相關(guān)

5.問—取何值時，向量組1=(1,2,-1),4=(2/3)，%=(3,6/)線性相關(guān)，又

為何值時線性無關(guān)。

答：

12-1

令。=2k3=(/+3)(%—4)

36I

當(dāng)/=-3或攵=4時力=0/0,4，%線性相關(guān)

當(dāng)/H-3且Zw4時。。0,4,4線性無關(guān)

6.問ab取何值時，向量組[=(〃/[)，%=(1,“)，%=(2,342)線性無關(guān)，

又為何值時線性相關(guān)。

a\1

答：令。=1b1=—/?(?—1)

23b2

當(dāng)aw1且Z?￥0時。。0.?.q,%，內(nèi)線性無關(guān)

當(dāng)。=1或人=0時。=0.?.%,。2，。3線性相關(guān)

7.問2取何值時，向量組1=(1,1,丸+1),a2=(A,1,O),4=(LZ。)線性相關(guān)，又

為何值時線性無關(guān)。

答：

112+1

令10=(2+1)2(2-1)

120

當(dāng)2=1或兄=一1時。=0「.ai，%，陽線性相關(guān)

當(dāng)2x1且4#一1時DKO即%,內(nèi)線性無關(guān)

8.求向量組（I）%=（1,1,一1,2）,4=（2,3,T5）,a3=（-1,2,-3,4）,

4=（4,5,-6,9）的秩，并求出它的一個極大無關(guān)組。

答：

’11-12）（\1-12、

23-4501-21

令A(yù)=—

-12-340023

k45-69；（0000,

.?1（4）=3=R（I）極大無關(guān)組為四,a2，巴

9.求向量組％=(1,1,1,1),02=(2,3,3,4),4=(4,5,6,7),4=(3,4,4,5)的秩,

并求出它的一個極大無關(guān)組。

答：

71In（\?1r

23340112

令A(yù)=4

567o11

、344V1°0（）0,

.”(A)=3=向量組的秩極大無關(guān)組為四,見，。3

10.求向量組(I)a,=(1,1,1,-2),4=(3,2,1,-4),4=(2,3,4,0),a4=(5,4,3-8)

的秩，并求出它的一個極大無關(guān)組。

<111-2、‘1I1-2、

4人321-40-1-22

答：令4=

23400006

<543-8；“000,

.?.r(y4)=3=Z?(I)極大無關(guān)組為名,%，%

1L求向量組(I)?=(1,2,-1,3),&=(2,3,-3,4),4=(4,7,-6,7),

4=(3,5,-4,7)的秩，并求出它的一個極大無關(guān)組。

答：

2-13、

人23-1-2

令4

7-1-3

、35。0,

.?,（A）=3=R（I）極大無關(guān)組為囚,見，。3

內(nèi)+工2+S+七=0

12.求齊次線性方程組2玉+3J+4/+5%=0的基礎(chǔ)解系及通解。

3玉+4X2+5X3+6X4=0

答:

」111、」0-1-2、

A=2345―>f0123

、3456>、°00

r（4）=2<4有無窮多解

同解方程組為＜

x,+

(］、

-2

二.基礎(chǔ)解系為7二］,

。

通解為X=匕〃］+22〃2其中K，自wR

X1+x,++2%=3

13.求非齊次線性方程組2占+3/+5&+7%=5的全部解(用基礎(chǔ)解系表

5工1+6.r2+8JV3+13JT4=14

示)。

答:

;11123、0-2-1

A=235757->0133

、5681314?eo00

vr（A）=r（^4）=2<4有無窮多解

X一2七-x=4

同解方程組為《4

x2+3芻+3工4=-1

「4、

-1

，特解為x導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為7=

00

全部解為X=X。+%+其中W￡R

玉+/+2&-％=2

14.求非齊次線性方程組，2王+3々+芻-4.!=5的全部解（用特解與導(dǎo)出組

4玉+5X2+5X3-6X4=9

的基礎(chǔ)解系表示）。

答：

I2-1210511

A=231-4501-3-21

J55-6900000

vr（A）=r（A）=2<4有無窮多解

X+5/+x=1

同解方程組為4

x2-3玉-2X4=1

1

???特解為X。二導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為〃產(chǎn)

0

O

全部解為X=Xo+k[%+k2n2其中勺/2wR

x1+x2+x3-2X4=4

15.非齊次線性方程組2M+x2+=7的全部解（用基礎(chǔ)解系表示）。

5x}+4X2+8為-5/=19

答:

」11-24(\0433、

A=215177?,701-3-51

、548-5190000

1°>

vr（A）=r（A）=2<4有無窮多解

同解方程組為*

1

二.特解為X。導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為7

0

全部解為X=X。+5+k2rj2其中4,他￡R

XI+X2+X3+A4=2

16.問〃取何值時線性方程組-3%+2々+看+5%”5有解？有解時，求出全部解

4%+3X2+2&+6X4=a

（特解及導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。

答：

T1112、10-i31

A=32155->->02-21

\43260000a-7

當(dāng)々=7時〃(A)==2<4有無窮多解

x-x+3x=1

同解方程組為}34

々+2&-2X4=1

V,1、

1導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為〃產(chǎn)；2

特解為X。=，%=

00

O

全部解為X=X。+k"+k2%其中4,&eR

x,+2X2+x3=2

17.求解線性方程組'2玉+5占+3退=5

4%+7X2+5X3=11

答:

212、i002、

A=2535——>0I0-1

I。

、4755012,

Xi=2

vr（A）=r（A）=3=n有唯一解

x2=-1為所求

W=2

X[+々+工3=6

18.求解線性方程組J2玉-w+3&=9。

2玉+3X2-2X3=2

答:

116、U00n

A=2-1390102

123-22,、0013,

玉二1

*:?*(A)=r(A)=3=/7.?.有唯一解

X2=2為所求

犬3=3

設(shè)（%,七,七占

19.f）=x；+W-6%-6LX3-6X2X2）

（1）求一正交變換化了為標(biāo)準形（2）判定了的正定性

答:

‘1-3-3、

(1)/的矩陣A=-31-3

「3-31,

2-133

\AE-A\=32-13=(A+5)(2-4)2

33A-l

.*.4=4=44=—5

-I’1、

對于4=%=4得七=1x2=1已正交單位化

6

得G=專

0

對于4=-5得X3=1單位化，得。3=

令正交矩陣。=（。］,。2，。3）

則正交變換X=CY化/=4犬+4￡-5）。

(2),??〃=2<3/./不正定

20.設(shè)/(5,9,不)=3x；+3x；+3%；+2xtX2+2xix3+2占當(dāng)

(1)求一正交變換化/為標(biāo)準形

(2)判定/的正定性

答：

‘311、

(1)/的A=131

J13,

A-3-1-1

\AE-A\=-12-3-1=(2-5)(2-2)2

-1—14—3

「?4=4=24=5

r-r

對于4=2得X1=1已正交單位化

O

1!\

一'

療

1

得G

正

C一

。2

7—

>/6

f—

（1

對于&=5得Xj=1單位化，得。3=f

耳

令正交矩陣C=（G，G，C3）

則正交變換X=CY化/=2），：+2y；+5y；

（2）vp=3為正定二次型

21.設(shè)/（%,32，七）=%；+e+后+4%x2+4%&+4工/3

（1）求一正交變換化了為標(biāo)準形

⑵判定了的正定性

」22、

答：(1)/的矩陣人=212

Q2"

2-1-2-2

\AE-A\=-22-1-2=(/l+l)2(/l-5)

-2-22-1

\=A,=-14=5

'叫[1

對于4=4=7得X=1,x2=i已正交單位化

I"1-2；

1\

（1

#一

一正

1

得喪

一

726

一

0卡

7

1

耳

1

對于4=5得X,單位化，得。3=耳

1

耳

令正交矩陣C=（G，G，G）

則正交變換X=CY化f=-），；-￡+5

（2）p=l<3/不正定

'3-1-r

22.設(shè)A=-13-1

「1-13)

1.求一正交矩陣Q,使得。ZQ為對角形。

2.寫出A對應(yīng)的二次型/,并判定/的正定性。

答：

2-3I

(1)|/IE-A|=12-31=(/l-l)(A-4)2

112-3

4=幾=