第48講隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型

------------------^夯實(shí)基礎(chǔ)"G

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率

的區(qū)別.

2.掌握對(duì)事件類型的準(zhǔn)確判斷；熟練掌握概率的計(jì)算.

3.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.

4.了解幾何概型的意義，了解隨機(jī)數(shù)的意義.

【基礎(chǔ)檢測(cè)】

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲、乙二人比賽，甲勝的概率為E則比賽5場(chǎng)，甲勝3場(chǎng)

0

B.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10樂前.9個(gè)病人沒有治愈，則第10個(gè)病人一定治

愈

仁隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等

D.天氣預(yù)報(bào)中，預(yù)報(bào)明天降水概率為9（）缸是指降水的可能性是90%

【解析】力選項(xiàng)，此概率只說(shuō)明發(fā)生的可能性大小，具有隨機(jī)性，并非一定是5場(chǎng)勝3

場(chǎng)；4選項(xiàng)，此治愈率只說(shuō)明發(fā)生的可能性大小，具有隨機(jī)性，并非10人一定有人治愈；C

選項(xiàng)，試驗(yàn)的頻率可以估計(jì)概率，并不等于概率；〃選項(xiàng)，概率為90%,即可能性為90%.

【答案】〃

2.甲；A\,Az是互斥事件；乙：A”總是對(duì)立事件，那么（）

A.甲是乙的充分但不必要條件

/A甲是乙的必要但不充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

【解析】?jī)蓚€(gè)事件是對(duì)立事件，則它們一定互斥，反之不一定成立.

【答案】B

3.有2個(gè)男生和2個(gè)女生一起乘車去抗日戰(zhàn)爭(zhēng)紀(jì)念館參加志愿者服務(wù)，他們依次上車,

則第二個(gè)上車的是女生的概率為（）

A.聲/；

J/J

【解析】設(shè)兩男兩女分別為a”a2,bi,b2?則基本事件分別是⑶,a2）,（a】，bi）,（aH

b?）,（32>3i）9（a2,bi）,［a?,b?）,（bi>a?）,（bi,aj,（b］，b?）,（b2,32）,（bz,a］），（b?,

E）,基本事件總數(shù)n=12,其中第二個(gè)上車的是女生的基本事件共有m=6,所以概率P=1

【答案】B

4.A地的天氣預(yù)報(bào)顯示，A地在今后的三天中，每一天有強(qiáng)濃券的概率為30%,現(xiàn)用隨

機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率，先利用計(jì)算器產(chǎn)生0?9之間整數(shù)

值的隨機(jī)數(shù)，并用0,1,2,3,4,5,6表示沒有強(qiáng)濃器，用7,8,9表示有強(qiáng)濃霧，再以

每3個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，代表三天的天氣情況，產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

402978191925273842812479569683

231357394027506588730113537779

則這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率近似為（）

1271

A.-fi.-C.TTZZ7

45105

【解析】由題意知模擬這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組

隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的有：978,479,588,779,共

4組隨機(jī)數(shù)，

所求概率為強(qiáng)=，.

【答案】D

5.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則它在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2

的區(qū)域內(nèi)的概率為（）

小-落姆

64

64

【解析】滿足條件的正三角形如圖所示,

RC

其中正三角形ABC的面積S△ABC^^X16=4^3，

滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A,B,C的距離都大于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,

則S陰=2%

則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離都大于2的概率為：

【答案】A

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.隨機(jī)事件和確定事件

(1)在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的必然事件.

⑵在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的不可能事件.

(3)必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為確定事件.

(4)在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,叫做隨機(jī)事件.

(5)確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件.一般用大寫字母A,R,C,…表示.

2.頻率與概率

(1)在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件力是否出現(xiàn)，稱〃次試驗(yàn)中事件力

出現(xiàn)的次數(shù)m為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例￡(4)=作為事件A出現(xiàn)的頻率.

n

(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件人如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件月發(fā)生的三冷￡(⑷穩(wěn)

定在某個(gè)上，那么把這個(gè)常數(shù)記作PC4),稱為事件力的概率.

由定義可知OWP(/1)W1,顯然必然事件的概率是1,不可能事件一的概率是0.

3.隨機(jī)數(shù)

(1)隨機(jī)數(shù)的概念

隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的.

(2)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法

①利用函數(shù)計(jì)算器可以得到0?1之間的隨機(jī)數(shù)；

②在Sc"仍語(yǔ)言中，應(yīng)用不同的函數(shù)可產(chǎn)生0?1或a?b之間的隨機(jī)數(shù).

4.古典概型

⑴古典概型的兩大特點(diǎn)：

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)一;

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的相等.

⑵古典概型的概率計(jì)算公式：

A包含的基本事件個(gè)數(shù)m.?甘一土山人派.出人人出㈠田弟、

P（A）=邙的基本事件個(gè)數(shù)=、（n為基本事件個(gè)數(shù)，m為事件A的結(jié)果數(shù)）.

5.幾何概型

（1）幾何概型的概念

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的（面積或體積）成比例，則稱這

樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.

（2）幾何概型的概率公式

p小構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）

“A，一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）

----------------------典例剖析"心】

考點(diǎn)1隨機(jī)事件關(guān)系的判斷

例1（D從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件

是（）

A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”

B.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”

C.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”

D.“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”

【解析】A中的兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個(gè)事件是對(duì)立事件；C

中的兩個(gè)事件都包含“一個(gè)黑球一個(gè)紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個(gè)事件是互斥

而不對(duì)立的關(guān)系.

【答案】D

（2）在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,彼此互斥的事件A,B,C,I）的概率分別為0.2,0.2,0.3,0.3,

則下列說(shuō)法正確的是()

A.AUB與C是互斥事件，也是對(duì)立事件

B.BUC與D是互斥事件，也是對(duì)立事件

C.AUC與BUD是互斥事件，但不是對(duì)立事件

D.A與BUCUD是互斥事件，也是對(duì)立事件

【解析】由于A,B,C,I)彼此互斥，且AUBUCUD是一個(gè)必然事件，故事件間的關(guān)系

可由如圖所示的韋恩圖表示，由圖可知，任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事件必然是對(duì)立

事件，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件.

【答案】I)

【點(diǎn)評(píng)】判別互斥、對(duì)立事件的2種方法

(1)定義法

判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩

個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.

(2)集合法

①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥.

②事件A的對(duì)?立事件彳所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集

合的補(bǔ)集.

考點(diǎn)2隨機(jī)事件的概率

例2近年來(lái)，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可.回收物和

其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽

取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)：

“可回收物”“其他垃圾”

“廚余垃圾”箱

箱箱

廚余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；

(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率.

【解析】(1)廚余垃圾投放正確的概率約為

“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量—400_2

廚余垃圾總量—400+100+10。一亍

(2)設(shè)生活垃圾投放錯(cuò)誤為事件A,則事件1表示生活垃圾投放正確.事件彳的概率約

為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃

圾量的總和除以生活垃圾總量，即P(八)約為"叱黑產(chǎn)=0.7,所以P(A)約為1一。.7=

0.3.

【點(diǎn)評(píng)】1.概率與頻率的關(guān)系

頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通

常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)牛的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)侑.

2.隨機(jī)事件概率的求法

利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù):試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨

近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.

考點(diǎn)3古典概型的求法

例3(1)有編號(hào)互不相同的五個(gè)祛碼，其中5克、3克、1克祛碼各一個(gè)，2克祛碼兩個(gè)，

從中隨機(jī)選取三個(gè)，則這三個(gè)祛碼的總質(zhì)量為9克的概率是________.

【解析】編號(hào)互不相同的五個(gè)祛碼，其中5克、3克、1克祛碼各一個(gè)，2克祛碼兩個(gè)，

從中隨機(jī)選取三個(gè)，3個(gè)數(shù)中含有1個(gè)2,2個(gè)2,沒有2,3種情況，

所有的事件總數(shù)為竊=10,

這三個(gè)祛碼的總質(zhì)量為9克的事件只有：5,3,1或5,2,2兩個(gè)，

91

所以這三個(gè)祛碼的總質(zhì)量為9克的概率是77=二

1U0

【答案4

0

(2)甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為a,再由乙猜甲剛才想的數(shù)

字，把乙猜的數(shù)字記為b,且a,b￡{0,1,2,…，9),若|a-b|Wl,則稱甲乙“心有靈

扉”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則二人“心有靈犀”的概率為.

【解析】甲乙兩人各有10種可能,基本事件總數(shù)為100,

當(dāng)甲取0或9時(shí)，乙各有兩種情況，共4種，

當(dāng)甲取1至8任意一個(gè)數(shù)字時(shí)，乙各有3種情況，共24種,

-4+247

所以P=100

25,

7

【答案】云

【點(diǎn)評(píng)】求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件

的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法,

具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.

例4某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工.根據(jù)這

50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：

［40,50),［50,60),…，［80,90),［90,100］.

頻率

(1)求頻率分布直方圖中a的值：

(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率：

(3)從評(píng)分在［40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評(píng)分都在［40,￡0)的

概率.

【解析】⑴因?yàn)?0.004+a+0.018+0.02202+0.028)X10=1,所以a=0.006.

(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評(píng)分不低于80的頻率為(0.022+

0.018)X10=0.4,所以該企業(yè)職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.

(3)受訪職工中評(píng)分在［50,60)的有50X0.006X10=3(人)，記為A”A2,拈；

受訪職工中評(píng)分在［40,50)的有50X0.004X10=2(人),記為R,B2.

從這5名受訪職工中璉機(jī)抽取2人,所有可能的結(jié)果共有10種：出，A3仇，AJ,

{A.,BJ,{A”B2},{A2,AJ,植2,Bi),{A2,B2},{A3,B,},{A3,B2),{B(,B2).又因?yàn)?/p>

所抽取2人的評(píng)分都在⑷)，50)的結(jié)果有1種：{Bi,B2),故所求的概率為看.

例5有7位歌手(1至7號(hào))參加一場(chǎng)歌唱比賽，由500名大眾評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)投票決定歌手名

次，根據(jù)年齡將大眾評(píng)委分為五組，各組的人數(shù)如下:

組另UABCDE

人數(shù)5010015015050

(1)為了調(diào)查評(píng)委對(duì)7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層油樣的方法從各組中抽取若干評(píng)委,

其中從B組中抽取了6人.請(qǐng)將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.

組另|JABCDE

人數(shù)5010015015050

抽取人數(shù)6

(2)在(1)中，若A,E兩組被抽到的評(píng)委中各有2人支持1號(hào)歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到

的評(píng)委中分別任選1人，求這2人都支持1號(hào)歌手的概率.

【解析】(1)由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%,所以各組抽取的人數(shù)如下表：

組別ABC1)E

人數(shù)5010015015050

抽取人數(shù)36993

(2)記從A組抽到的3個(gè)評(píng)委為a”a2,a3,其中a,aZ支持1號(hào)歌手：從B組抽到的6

個(gè)評(píng)委為bi?ba?b：〃bi,bs,b??其中bi,bz支持1號(hào)歌手.從(ai,a2>&｝和｛bi,bz?b：),

b”bs?bj中各抽取1人的所有結(jié)果為

由以上樹狀圖知所有結(jié)果共18種,其中2人都支持1號(hào)歌手的有a,b?a.b2,a2b?a2b2

共4種.

42

故所求概率P=^=c.

【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的?個(gè)重要題型，已成為高考

考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉

圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決.

考點(diǎn)4幾何概型的求法

例6(1)在區(qū)間［0,句上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件“一IWtanxW，？'發(fā)生的概率為

(-n3n

【解析】由題意得，,.?OWxS”，???由一iWtan得，OSxM7或二丁￡乂0n,

347

則事件“TWtanxWrp發(fā)生的概率為P=—————=行

JiU1乙

【答案】A

(2)某日，甲乙二人隨機(jī)選擇早上6：00-7：00的某個(gè)時(shí)刻到達(dá)七星公園早鍛煉，則甲

比乙提前到達(dá)超過20分鐘的概率為()

7221

A.§B./券3

【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，x,y軸分別表示甲乙兩人到達(dá)的時(shí)間，滿足題意時(shí)，

5X40X40

有y-x220,由幾何概型計(jì)算公式可得，甲比乙提前到達(dá)超過20分鐘的概率為P=

2

9.

【答案】B

(3)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—AEGDi中，點(diǎn)0為底面ABCD的中心，在正方體AECD一

ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)0的距離大于1的概率為______.

【解析】由題意,在正方體ABCD-ABCD內(nèi)任取一點(diǎn),滿足幾何概型,記“點(diǎn)P到點(diǎn)

0的距離大于1”為事件A,則事件A發(fā)生時(shí)，點(diǎn)P位于以0為球心，以1為半徑的半球外.

142

又V正方體ABCD—ABCD=2'=8,V小球=5?鼻式?一=可兀，

乙JJ

2

8—~n

3JT

???所求事件概率P(A)—=1--.

o1Z

【答案】1一卷

1乙

【點(diǎn)評(píng)】求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，從而

正確選擇合理的測(cè)度，進(jìn)而利用概率公式求解.

方法總結(jié)[P.O5

1.一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生，既有隨機(jī)性(對(duì)單次試驗(yàn))，又存在著統(tǒng)計(jì)規(guī)律(對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)),

這是偶然和必然的對(duì)立統(tǒng)一.

2.隨機(jī)事件A的概率P(A)滿足OWP(A)W1.

3.求解古典概型中等可能性事件A的概率一般遵循如下步驟:

(1)先確定一次試驗(yàn)是什么，此時(shí)一次試驗(yàn)的可能性結(jié)果有多少，即求出n.

(2)再確定所研究的事件A是什么，事件A包括結(jié)果有多少，即求出m.

⑶應(yīng)用等可能性事件概率公式P(A)=；計(jì)算.

4.幾何概型應(yīng)注意:

(1)求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度,

然后求解;

(2)依據(jù)幾何概型的特點(diǎn)判斷基本事件應(yīng)從“等可能”的角度入手，選擇恰當(dāng)合理的觀

察角度;

(3)求與角度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化成角度，然后求

解.

走進(jìn)高考【P105】

1.(2017?山東)從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次

抽取1張.則抽到的2張片片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()

5457

A---R—C—D—

18999

【解析】標(biāo)有1,2,…，9的9張卡片中，標(biāo)奇數(shù)的有5張，標(biāo)偶數(shù)的有4張，所以抽

c

到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是￡=：.

yAoy

【答案】C

2.（2018?全國(guó)卷I）下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三

個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.AABC的三

邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為川.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此

點(diǎn)取自I,H,HI的概率分別為⑶，P2,P3,則（）

BC

A.pi=p2B.pi=p；j

C.P2=P；JD.P1=P?+P3

【解析】法一：設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則區(qū)域1

22

的面積即aABC的面機(jī)為S（=1bc,區(qū)域H的面枳S2=1n+]x?—

"x（l）1=1n（c2+b2-a2）+1bc=1bc,所以Si=S2,由幾何概型的知識(shí)知p產(chǎn)P2.

_2r_

法二：不妨設(shè)aABC為等腰直角三角形，AB=AC=2,則BC=2鏡，所以區(qū)域【的面枳

即△,人[§（：的面積，為S1=[x2X2=2,區(qū)域II的面積S2="一』又泮，一一2=2,區(qū)

JTX（、口）29

域HI的面積S=----產(chǎn)——2=n-2.根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得p=p,=—77.

3乙1JIT乙

n—2

P3=五+2'所以P】WP3,DzWp：”PlWp：?+p3.

【答案】A

3.（2018?全國(guó)卷II）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成

果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不

超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）

1111

A?伊?砂史

【解析】不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個(gè)，隨機(jī)

選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有％=45種方法，因?yàn)?+23=11+19=13+17=30,所以隨機(jī)選

31

取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于3。的有3種方法，故概率為它正

【答案】C

A組題

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.任一事件的概率總在（0,1）內(nèi)

B.不可能事件的概率不一定為0

C.必然事件的概率一定為1

D.以上均不對(duì)

【解析】任一事件的概率總在［0,1］內(nèi)，其中不可能事件的概率為0,必然事件的概率

【答案】C

2.袋子中裝有形狀和大小完全相同的五個(gè)小球，每個(gè)小球上分別標(biāo)有

“1”“2”“3”“4”“6”這五個(gè)數(shù)，現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)小球，則所選的三個(gè)小球上的

數(shù)恰好能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列的概率是（）

【解析】'T“2”“3”“4”“6”這五個(gè)數(shù)中成等差數(shù)列的數(shù)有“1,2,3”,“2,3,

3

4”，“2,4,6”三組，從五個(gè)球中隨機(jī)選取三個(gè)小球的情況有d=10,故所求概率為人言.

【答案】A

3.在區(qū)間［0,4］上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)必y,使得的概率為（）

13,93

1）.-

【解析】由題意，在區(qū)間［0,4］上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)筋切對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積為16.

在區(qū)間［0,4］內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)％y,

2+4

則x+2j<8對(duì)應(yīng)的面積為^一義4=12,

193

所以事件X+2Z8的概率為訶=［.

【答案】D

4.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)果運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算機(jī)

給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,7,8,

9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨

機(jī)數(shù)：

752702937140985703474373863669471417

469803716233261680456011366195977424

76104281

根據(jù)以上數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為（）

A.0.852B.0.8192

C.0.8D.0.75

【解析】由題意知模擬射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)

數(shù)中表示射擊4次至少擊中3次的有7527,0293,9857,0347,4373,8636,6947,4698,

6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281,共15組隨機(jī)數(shù)，所以該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4

1R

次至少擊中3次的概率為A彳=0.75.

【答案】D

5.在邊長(zhǎng)為2的正方形力比Z?中，E,F,G,〃分別是正方形/麻刀四邊的中點(diǎn)，將均勻

的粒子撒在正方形中，則粒子落在如下圖所示的四個(gè)圖中陰影部分區(qū)域的概率依次為爪斗

A、R,則關(guān)于它們的大小比較，正確的是（）

A.4＜月=月＜AB.P《P2=P〈P\

C.P\=P?P＜P3I）.P\=P?P《P?

【解析】正方形/以力的面積為2X2=4,對(duì)于題圖①，陰影部分區(qū)域的面積為4—4X；

=2,所以概率為外=%最對(duì)于題圖②，陰影部分區(qū)域的面積為JT,所以概率為月=奉

1Q

對(duì)于題圖③，陰影部分區(qū)域的面積為4-2義5=3,所以概率為月=了對(duì)于題圖④，陰影部

乙A

121

分區(qū)域的面積為［X2><2=2,所以概率為汽=：=5故，；=月<月".

乙q乙

【答案】D

6.如圖，矩形力版中，點(diǎn)月在x軸上，點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（1,0）,且點(diǎn)。與點(diǎn)〃在函數(shù)

x+1,x20,

八*）={1「八的圖象上.若在矩形力應(yīng)力內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概

一/+1,xV0

率等于（）

【解析】先求。點(diǎn)的坐標(biāo)，再求〃點(diǎn)與力點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得矩形面積與陰影部分圖形

的面積，代入幾何概型概率公式求解.

x+1,>20,

因?yàn)?（/）=，1.小8點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），所以。點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）,〃點(diǎn)坐標(biāo)為（一

一尹+1,K0,

2,2）,力點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,0）,故矩形力四的面積為2X3=6,陰影部分的面積為）X3X1

【答案】B

7.連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為/〃和小記向量a=（/〃，〃）與向量〃=（1,一1）的夾

角為夕，則〃為銳角的概率是.

【解析】由題意得，連拋擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m,〃所組成的向量（〃/,力共有36

由于向量（m,〃）與向量（1，-1）的夾角。為銳角，所以（/〃，n）,（1,-1）>0,

即加,滿足題意的情況如下：

當(dāng)m=2時(shí)，/?=1；

當(dāng)/〃=3時(shí)，n=1,2；

當(dāng)m=4時(shí)，n=1,2,3；

當(dāng)m=5時(shí)，/?=1,2,3,4；

當(dāng)m=6時(shí)，n=\,2,3,4,5,共有15種，

I5弓

故所求事件的概率為我=%.

【答案】荷

8.一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外

完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為ab,

(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率；

(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,。不完全相同”的概率.

【解析】(1)由題意知，(a,b,。)所有的可能為

(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),

(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,

2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1；,(3,1,2),(3,1,3),(3,2,

1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.

設(shè)”抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+4?！睘槭录?

則事件/包括(1,L2),(1,2,3),(2,1,3)3個(gè)基本事件.

q1

所以久用=^=-

因此“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為

y

(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,。不完全相同”為事件8,

則事件8包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)3個(gè)基本事件.

QO

所以尸(以=1一戶㈤=1一方

O

因此“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,。不完全相同”的概率為手

B組題

1.如圖所示是一個(gè)算法程序框圖，在集合力={“|一104*〈10,”0處中隨機(jī)抽取一個(gè)

數(shù)值作為X輸入，則輸出的y的值落在區(qū)間［-5,3］內(nèi)的概率為()

x+3,水0,

【解析】根據(jù)程序框圖可知，其功能為計(jì)算尸，0,x=0，

,x—5?x>0,

???輸出的y值落在區(qū)間［-5,3］內(nèi)，即一5Wj<3,

①當(dāng)水0時(shí)，y=x+3,

???-5Wx+3W3,解得一8《求0,

故一8W晨0符合題意；

②當(dāng)x=0時(shí)，y=0￡［-5,3］,

故x=0符合題意；

③當(dāng)x〉0時(shí)，y=x—5,

???-5Wx-5W3,解得0<xW8,

故0<xW8符合題意.

綜合①②③可得，*的取值為［-8,8］,

,/在集合力={x|-ICWxW10,xQR}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)值做為x,

故輸出的y值落在區(qū)W［—5,3］內(nèi)的概率為W=0.8.

【答案】A

2.已知實(shí)數(shù)