PAGE121.2解一元二次方程題型一直接開平方法解一元二次方程1．（23-24九年級上·廣西河池·期中）解方程：2．（24-25九年級上·廣東佛山·期中）解下列方程：．3．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）解方程：．4．（24-25九年級上·甘肅蘭州·期末）解方程：題型二配方法解一元二次方程1．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）解方程：．2．（24-25九年級上·北京西城·階段練習(xí)）解方程：．3．（24-25九年級上·湖南邵陽·期中）解方程：4．（24-25九年級上·湖北荊州·期中）配方法解方程：．題型三公式法解一元二次方程1．（24-25九年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）用公式法解方程．2．（24-25九年級上·寧夏吳忠·期末）解方程：．3．（24-25九年級上·甘肅隴南·期末）解方程：．4．（24-25九年級上·陜西西安·期中）用公式法解方程：．題型四因式分解法解一元二次方程1．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)．(2)．2．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)．(2)．3．（24-25九年級上·青海西寧·期中）解方程(1)(2)．4．（24-25九年級上·重慶永川·期中）解下列方程：(1)(2)題型五根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（24-25九年級上·四川南充·階段練習(xí)）關(guān)于一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法判斷2．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．3．（24-25九年級上·福建泉州·期中）下列一元二次方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．4．（24-25九年級上·河南信陽·期末）已知，，為常數(shù)，點(diǎn)在第四象限，則關(guān)于的方程的根的情況是．5．（24-25九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知a，b，c為三角形的三邊，試判別方程的根的情況為．題型六根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（23-24九年級上·廣東江門·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是2．（24-25九年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．3．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為．4．（24-25九年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．題型七一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1．（23-24九年級上·陜西咸陽·期中）已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值2．（24-25九年級上·貴州遵義·期中）關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，．(1)求m的取值范圍；(2)若，求m的值．3．（24-25九年級上·廣東肇慶·期中）已知關(guān)于的方程，(1)當(dāng)取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?(2)設(shè)、是方程的兩根，且，求的值．4．（24-25九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程的根為，，求代數(shù)式的值．題型一配方法的應(yīng)用1．（21-22九年級上·遼寧錦州·期中）閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，吳老師在求代數(shù)式的最小值時(shí)，利用公式，對式子作如下變形：，因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí)，有最小值，最小值為1．通過閱讀，解下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為；(2)求代數(shù)式的最大或最小值．2．（24-25九年級上·貴州六盤水·期末）閱讀以下材料：將代數(shù)式進(jìn)行如下變形：．，．當(dāng)時(shí)，存在最小值2．根據(jù)以上材料，完成下列問題：(1)_____；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)求代數(shù)式的最值．3．（24-25九年級上·山東德州·期末）閱讀材料：教科書中提到和這樣的式子叫做完全平方式．有些多項(xiàng)式不是完全平方式，我們可以通過添加項(xiàng)，湊成完全平方式，再減去這個(gè)添加項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這樣也可以將多項(xiàng)式進(jìn)行分解，并解決一些最值問題．例如：求代數(shù)式的最小值．，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值．結(jié)合以上材料解決下面的問題：(1)如果（

）是一個(gè)完全平方式，則括號內(nèi)的常數(shù)應(yīng)為______．(2)當(dāng)x為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，最小值是多少？(3)當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，最小值是多少？4．（24-25九年級上·山西晉中·期中）閱讀與思考用配方法求代數(shù)式的最值我們通常把和稱為完全平方式，完全平方式的最小值為0．有些多項(xiàng)式不是完全平方式，可以通過添加項(xiàng)湊成完全平方式，再減這個(gè)添加的項(xiàng)，使原多項(xiàng)式的值不變，這種方法叫做“配方法”用配方法不僅可以解一元二次方程，還可以求代數(shù)式的最值．如：求代數(shù)式的最值．解：．，．代數(shù)式的最小值為3．(1)以上解答過程，主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是_______；A．方程思想

B．轉(zhuǎn)化思想

C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

D．統(tǒng)計(jì)思想(2)已知，則a的值為_______，b的值為_______；(3)求代數(shù)式的最值．題型二換元法解一元二次方程1．（24-25九年級上·河南商丘·期中）閱讀材料：為了解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，設(shè)，那么原方程可化為，解得，．當(dāng)時(shí)，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故原方程的解為，，，．解答問題：請利用以上知識解方程：．2．（24-25九年級上·甘肅定西·階段練習(xí)）如果讓你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么對于方程，我們應(yīng)該如何去解呢？我們不防將看成一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為．①解得．當(dāng)y=1時(shí)，，，．

當(dāng)y=4時(shí)，，，．即該方程的根為．問題：(1)在由原方程得到①的過程中，利用達(dá)到降次的目的，表現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；(2)解方程．3．（24-25九年級上·廣東江門·階段練習(xí)）閱讀下列材料：解方程：．這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變形為，解得，．當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，所以原方程有四個(gè)根：，，，．在這個(gè)過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)解方程時(shí)，若設(shè)，則原方程可轉(zhuǎn)化為______，并求出；(2)利用換元法解方程：．4．（24-25九年級上·廣西南寧·期中）閱讀并填空：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，原方程化為______①解得______．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．原方程的解為．在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了“降次”和“整體”的數(shù)學(xué)思想．請你利用上述材料中的方法解方程：．1．（24-25九年級上·福建泉州·階段練習(xí)）定義：若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，分別以，為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)，則稱點(diǎn)M為該一元二次方程的衍生點(diǎn)．已知關(guān)于x的一元二次方程為．(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)求衍生點(diǎn)M的軌跡的解析式；(3)直線：與x軸交于點(diǎn)A，直線過點(diǎn)B，且與相交于點(diǎn)C，若衍生點(diǎn)M在的內(nèi)部，求m的取值范圍；(4)若無論為何值，關(guān)于x的方程的衍生點(diǎn)M始終在直線的圖象上，求b，c滿足的關(guān)系．2．（24-25九年級上·福建廈門·期中）閱讀材料：若關(guān)于x的一元二次方程的根均為整數(shù)，則稱方程為“快樂方程”通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)“快樂方程”的判別式一定為完全平方數(shù)．現(xiàn)規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”．例如“快樂方程”，的兩根均為整數(shù)．其“快樂數(shù)”．(1)“快樂方程”的“快樂數(shù)”為_________；(2)若關(guān)于x的一元二次方程（m為整數(shù)，且）是“快樂方程”，求m的值，并求該方程的“快樂數(shù)”；(3)若有另一個(gè)“快樂方程”的“快樂數(shù)”．且滿足，則稱與互為“開心數(shù)”．若關(guān)于x的一元二次方程與（m、n均為整數(shù)）都是“快樂方程”，且其“快樂數(shù)”互為“開心數(shù)”，求n的值．3．（24-25九年級上·江西吉安·期中）定義：我們把關(guān)于的一元二次方程與稱為一對“友好方程”．如的“友好方程”是．(1)寫出一元二次方程的“友好方程”________；(2)已知一元二次方程的兩根為，，它的“友好方程”的兩根________，________．根據(jù)以上結(jié)論，猜想的兩根，，與其“友好方程”的兩根，之間存在的一種特殊關(guān)系為________；(3)已知關(guān)于的方程的兩根是，，請利用（2）中的結(jié)論，求出關(guān)于的方程的兩根．4．（23-24九年級上·福建三明·期中）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程的兩個(gè)根是和，則一元二次方程是“倍根方程”．(1)根據(jù)上述定義，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，則______．(2)如果關(guān)于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值．(3)若關(guān)于的一元二次方程是“倍根方程”，則之間滿足什么樣的關(guān)系？說明理由．21.2解一元二次方程題型一直接開平方法解一元二次方程1．（23-24九年級上·廣西河池·期中）解方程：【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用直接開方法解一元二次方程即可．【詳解】解：或解得，．2．（24-25九年級上·廣東佛山·期中）解下列方程：．【答案】或．【分析】本題考查了解一元二次方程．運(yùn)用直接開平方法解一元二次方程，即可作答．【詳解】解：整理得，∴，即或，解得：或．3．（24-25九年級上·陜西渭南·期中）解方程：．【答案】，【分析】本題考查了平方根，解一元二次方程，把方程化為：，再利用平方根的含義解方程即可．【詳解】解：，移項(xiàng)，得，方程兩邊同時(shí)除以2，得，開平方，得，解得：，．4．（24-25九年級上·甘肅蘭州·期末）解方程：【答案】，【分析】本題考查利用直接開平方法解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．先把方程變?yōu)榈男问?，若則利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：，移項(xiàng)，得：，兩邊同時(shí)除以，得：，直接開平方，得：，解得：，．題型二配方法解一元二次方程1．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）解方程：．【答案】，．【分析】本題考查了解一元二次方程．利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：，移項(xiàng)得，配方得，即，開方得，解得，．2．（24-25九年級上·北京西城·階段練習(xí)）解方程：．【答案】【分析】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．利用配方法解答即可．【詳解】解：解得：3．（24-25九年級上·湖南邵陽·期中）解方程：【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方，再解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．4．（24-25九年級上·湖北荊州·期中）配方法解方程：．【答案】，【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解決此題的關(guān)鍵．利用配方法解方程即可得解．【詳解】解：，，，，，，或，，．題型三公式法解一元二次方程1．（24-25九年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）用公式法解方程．【答案】，【分析】此題考查了公式法解一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的一般形式得到，，，計(jì)算得到，代入求根公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，解得，．2．（24-25九年級上·寧夏吳忠·期末）解方程：．【答案】，【分析】本題考查了一元二次方程的求解，先找出，再利用公式法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，，，，，．3．（24-25九年級上·甘肅隴南·期末）解方程：．【答案】，【分析】本題考查公式法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，并可以根據(jù)方程特征用選用適當(dāng)方法求解是解題的關(guān)鍵．利用公式法求解即可．【詳解】解：，其中，，，，，則方程的解為，則，．4．（24-25九年級上·陜西西安·期中）用公式法解方程：．【答案】，【分析】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，先求出，再代入公式進(jìn)行化簡，即可作答．【詳解】解：，，，，，，，．題型四因式分解法解一元二次方程1．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)．(2)．【答案】(1)，(2)【點(diǎn)撥】（1）先移項(xiàng)，再提取公因式；（2）可以把看作一個(gè)整體，再因式分解．【解】（1）移項(xiàng)，得，即．因式分解，得，或，解得，．（2）因式分解，得，，解得．2．（25-26九年級上·全國·課后作業(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)．(2)．【答案】(1)，(2)，【詳解】解：（1）因式分解，得，或，解得，．（2）移項(xiàng)，得．因式分解，得，或，解得，．3．（24-25九年級上·青海西寧·期中）解方程(1)(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解答的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：由得，∴或，∴，；（2）解：由得，∴，∴或，∴，．4．（24-25九年級上·重慶永川·期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查因式分解法解一元二次方程，選取適當(dāng)?shù)姆椒軌蛘_的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）先移項(xiàng)，利用因式分解解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：∴，∴，解得：；（2）解：∴，∴，∴，解得：．題型五根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（24-25九年級上·四川南充·階段練習(xí)）關(guān)于一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法判斷【答案】C【分析】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1），方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2），方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3），方程沒有實(shí)數(shù)根．根據(jù)根的判別式即可求出答案．【詳解】解：∵，∴方程沒有實(shí)數(shù)根．故選：C．2．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：由A選項(xiàng)可知：，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意；由B選項(xiàng)可知：，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意；由C選項(xiàng)可知：，所以有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意；由D選項(xiàng)可知：，所以沒有實(shí)數(shù)根，故符合題意；故選D．3．（24-25九年級上·福建泉州·期中）下列一元二次方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)符合題意；B、化為一般式為，，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不符合題意；C、化為一般式為，，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不符合題意；D、化為一般式為，，則原方程無實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．4．（24-25九年級上·河南信陽·期末）已知，，為常數(shù)，點(diǎn)在第四象限，則關(guān)于的方程的根的情況是．【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程根的判別式，由點(diǎn)在第四象限，得出，，從而可得，再由一元二次方程根的判別式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵點(diǎn)在第四象限，∴，，∴，,∴，∴關(guān)于的方程的根的情況是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．5．（24-25九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知a，b，c為三角形的三邊，試判別方程的根的情況為．【答案】無實(shí)數(shù)根【分析】證明方程的根的判別式即可．本題考查了根的判別式，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵方程，∴∵a，b，c為三角形的三邊，∴，∴，故沒有實(shí)數(shù)根，故答案為：沒有實(shí)數(shù)根．題型六根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（23-24九年級上·廣東江門·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】且【分析】此題考查的是根據(jù)一元二次方程根的情況，求參數(shù)的取值范圍，掌握一元二次方程的定義以及根的判別式是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式即可求出答案．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴解得：，又，則a的取值范圍是且，故答案為：且．2．（24-25九年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根的定義，根據(jù)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出，，再代入數(shù)值計(jì)算，即可作答．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，，即，且．故答案為：且．3．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得，求出答案即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得．故答案為：．4．（24-25九年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查根的判別式．根據(jù)根的判別式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，，不為，解得且，故答案為：．題型七一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1．（23-24九年級上·陜西咸陽·期中）已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值【答案】4048【分析】本題主要考查一元二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，將代入得，再由，即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意，得，

∴．2．（24-25九年級上·貴州遵義·期中）關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，．(1)求m的取值范圍；(2)若，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義得到，然后解不等式即可得到m的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入，可求m的值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，解得．故m的取值范圍為；（2）解：根據(jù)題意得，∵，∴，解得．3．（24-25九年級上·廣東肇慶·期中）已知關(guān)于的方程，(1)當(dāng)取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?(2)設(shè)、是方程的兩根，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解；（2）由題意易得，然后代入進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：；（2）解：由題意得：，∴，解得：．4．（24-25九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，方程的根為，，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識，牢記兩根之和等于，兩根之積等于是解題的關(guān)鍵；（1）由題意可得，再求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，一元二次方程為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．，解得：；（2）解：∵∴當(dāng)時(shí)，一元二次方程為，，．題型一配方法的應(yīng)用1．（21-22九年級上·遼寧錦州·期中）閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，吳老師在求代數(shù)式的最小值時(shí)，利用公式，對式子作如下變形：，因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí)，有最小值，最小值為1．通過閱讀，解下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為；(2)求代數(shù)式的最大或最小值．【答案】(1)(2)最大值為10【分析】本題考查配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法，以及完全平方的非負(fù)性，是解題的關(guān)鍵：（1）仿照題干的方法進(jìn)行求解即可；（2）仿照題干的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：；∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；（2）；∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為10．2．（24-25九年級上·貴州六盤水·期末）閱讀以下材料：將代數(shù)式進(jìn)行如下變形：．，．當(dāng)時(shí)，存在最小值2．根據(jù)以上材料，完成下列問題：(1)_____；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)求代數(shù)式的最值．【答案】(1)4，2．(2)1(3)最大值為．【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，將多項(xiàng)式變形為完全平方式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式的常數(shù)項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)絕對值一半的平方即可得出結(jié)論，（2）將多項(xiàng)式加再減，利用配方法后可得結(jié)論；（3）將多項(xiàng)式改寫為，再配方可得結(jié)論．【詳解】（1），故答案為：4，2．（2），．當(dāng)時(shí)，存在最小值1．（3），，，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最大值．3．（24-25九年級上·山東德州·期末）閱讀材料：教科書中提到和這樣的式子叫做完全平方式．有些多項(xiàng)式不是完全平方式，我們可以通過添加項(xiàng)，湊成完全平方式，再減去這個(gè)添加項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這樣也可以將多項(xiàng)式進(jìn)行分解，并解決一些最值問題．例如：求代數(shù)式的最小值．，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值．結(jié)合以上材料解決下面的問題：(1)如果（

）是一個(gè)完全平方式，則括號內(nèi)的常數(shù)應(yīng)為______．(2)當(dāng)x為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，最小值是多少？(3)當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，最小值是多少？【答案】(1)9(2)當(dāng)為4時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，最小值是(3)當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，最小值是2【分析】本題考查了配方法，完全平方式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方式的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方式的定義，添加常數(shù)項(xiàng)，把原式配成完全平方式即可；（2）仿照示例，把變形為，從而得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，把原式變形為，可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：，故答案為：9；（2）解：，，∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，答：當(dāng)為4時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，最小值是；（3）解：，，，∴當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，最小值是2．4．（24-25九年級上·山西晉中·期中）閱讀與思考用配方法求代數(shù)式的最值我們通常把和稱為完全平方式，完全平方式的最小值為0．有些多項(xiàng)式不是完全平方式，可以通過添加項(xiàng)湊成完全平方式，再減這個(gè)添加的項(xiàng)，使原多項(xiàng)式的值不變，這種方法叫做“配方法”用配方法不僅可以解一元二次方程，還可以求代數(shù)式的最值．如：求代數(shù)式的最值．解：．，．代數(shù)式的最小值為3．(1)以上解答過程，主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是_______；A．方程思想

B．轉(zhuǎn)化思想

C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

D．統(tǒng)計(jì)思想(2)已知，則a的值為_______，b的值為_______；(3)求代數(shù)式的最值．【答案】(1)B(2)，(3)代數(shù)式的最大值為5【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，解答過程主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，即可得解；（2）根據(jù)題意可得，從而得出，，計(jì)算即可得解；（3）根據(jù)題意得出，即可得解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，解答過程主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，故選：B；（2）解：，∴，，解得：，；（3）解：，∵，∴，∴，∴代數(shù)式的最大值為5．題型二換元法解一元二次方程1．（24-25九年級上·河南商丘·期中）閱讀材料：為了解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，設(shè)，那么原方程可化為，解得，．當(dāng)時(shí)，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故原方程的解為，，，．解答問題：請利用以上知識解方程：．【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程次方程的解，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)，得到，求出的值，再求出的值即可．【詳解】解：設(shè)，那么原方程可化為，解得，．當(dāng)時(shí)，，即．∵，，，，∴此一元二次方程無解．當(dāng)時(shí)，，即．∵，，，，∴，故原方程的解為，．2．（24-25九年級上·甘肅定西·階段練習(xí)）如果讓你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么對于方程，我們應(yīng)該如何去解呢？我們不防將看成一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為．①解得．當(dāng)y=1時(shí)，，，．

當(dāng)y=4時(shí)，，，．即該方程的根為．問題：(1)在由原方程得到①的過程中，利用達(dá)到降次的目的，表現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；(2)解方程．【答案】(1)換元，轉(zhuǎn)化(2)【分析】本題考查解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會用換元法解方程．（1）換元法的目的是降次；（2）利用換元法解決問題．【詳解】（1）解：在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，表現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；故答案為：換元，轉(zhuǎn)化；（2）解：設(shè)，那么原方程可化為，則，所以，，∴，解得，．3．（24-25九年級上·廣東江門·階段練習(xí)）閱讀下列材料：解方程：．這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變形為，解得，．當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，所以原方程有四個(gè)根：，，，．在這個(gè)過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)解方程時(shí)，若設(shè)，則原方程可轉(zhuǎn)化為______，并求出；(2)利用換元法解方程：．【答案】(1)；，(2)，，，【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解分式方程，換元法解方程，對于（1），根據(jù)換元法思想，令，把原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，從而得到原方程的解；對于（2），利用換元法，把原方程轉(zhuǎn)化為，解該分式方程后，再得到原方程的解．【詳解】（1）解：，設(shè)，∴原方程變?yōu)椋海獾?，?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，可知，無解.所以原方程的解是；（2），設(shè)，則∴原方程可變形為：，即，解得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，所有解均是方程的根，∴，.4．（24-25九年級上·廣西南寧·期中）閱讀并填空：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，原方程化為______①解得______．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．原方程的解為．在由原方程得到方程①的過程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了“降次”和“整體”的數(shù)學(xué)思想．請你利用上述材料中的方法解方程：．【答案】；或；【分析】本題主要考查了換元法和因式分解法解一元二次方程，先根據(jù)題意填空，再設(shè)，最后仿照題干過程解方程即可．【詳解】解：設(shè)，原方程化為①，∴，解得或．當(dāng)時(shí)，，∴，；當(dāng)時(shí)，，∴，；原方程的解為．設(shè)，則原方程可化為，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解；當(dāng)時(shí)，，∴，．1．（24-25九年級上·福建泉州·階段練習(xí)）定義：若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，分別以，為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)，則稱點(diǎn)M為該一元二次方程的衍生點(diǎn)．已知關(guān)于x的一元二次方程為．(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)求衍生點(diǎn)M的軌跡的解析式；(3)直線：與x軸交于點(diǎn)A，直線過點(diǎn)B，且與相交于點(diǎn)C，若衍生點(diǎn)M在的內(nèi)部，求m的取值范圍；(4)若無論為何值，關(guān)于x的方程的衍生點(diǎn)M始終在直線的圖象上，求b，c滿足的關(guān)系．【答案】(1)詳見解析(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想及數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．（1）依據(jù)題意，關(guān)于x的一元二次方程為，計(jì)算判別式，進(jìn)而可以判斷得解；（2）依據(jù)題意，由可得，故，，則該一元二次方程的衍生點(diǎn)，再令，進(jìn)而可以得解；（3）依據(jù)題意，結(jié)合圖象，直線與x軸交于點(diǎn)A，可得，又M在直線上，可得在直線上，剛好和的邊交于點(diǎn)（，又令，則，從而，結(jié)合，進(jìn)而可以得解；（4）依據(jù)題意，由直線，過定點(diǎn)，從而兩個(gè)根為再由根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：，∵，∴不論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：，解得：，，方程的衍生點(diǎn)為．令，，∴；（3）解：如圖，直線與x軸交于點(diǎn)A，當(dāng)，則，∴∴，又M在直線上，∴在直線上，剛好和的邊交于點(diǎn)．令，則，∴，∴．∴；（4）解：由題意，∵直線，∴過定點(diǎn)，∴兩個(gè)根為，∴，∴∴，即．2．（24-25九年級上·福建廈門·期中）閱讀材料：若關(guān)于x的一元二次方程的根均為整數(shù)，則稱方程為“快樂方程”通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)“快樂方程”的判別式一定為完全平方數(shù)．現(xiàn)規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”．例如“快樂方程”，的兩根均為整數(shù)．其“快樂數(shù)”．(1)“快樂方程”的“快樂數(shù)”為_________；(2)若關(guān)于x的一元二次方程（m為整數(shù)，且）是“快樂方程”，求m的值，并求該方程的“快樂數(shù)”；(3)若有另一個(gè)“快樂方程”的“快樂數(shù)”．且滿足，則稱與互為“開心數(shù)”．若關(guān)于x的一元二次方程與（m、n均為整數(shù)）都是“快樂方程”，且其“快樂數(shù)”互為“開心數(shù)”，求n的值．【答案】(1)(2)，(3)n的值為0或3【分析】本題考查一元二次方程根的判別式以及“快樂方程”的定義，讀懂題目中“快樂方程”，“快樂數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“快樂數(shù)”的定義即可求出“快樂方程”的“快樂數(shù)”；（2）先計(jì)算，根據(jù)“快樂方程”的定義，得到為完全平方數(shù)，根據(jù)，得到，即可求出或36，根據(jù)m為整數(shù)，即可求出m的值，即可求其“快樂數(shù)”；（3）關(guān)于x的一元二次方程是“快樂方程”，即可求出m的值，求出方程