PAGE122.3實際問題與二次函數(shù)（六大題型提分練）題型一、面積問題1．（23-24九年級上·北京密云·期中）用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為，它的鄰邊長為，矩形的面積為，當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x、S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系2．（2024·河北石家莊·二模）如圖，某農(nóng)場計劃修建三間矩形飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室一面靠現(xiàn)有墻（墻可用長），中間用兩道墻隔開，已知計劃中的修筑材料可建圍墻總長為，設(shè)飼養(yǎng)室寬為，占地總面積為，則三間飼養(yǎng)室總面積有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值3．（23-24九年級上·山東煙臺·期末）為充分發(fā)揮勞動教育的綜合育人功能，某校想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用長的籬笆圍出一塊矩形蔬菜種植園（籬笆只圍兩邊）．(1)若種植園的面積為，求的長；(2)點P處有一棵銀杏樹，它與墻的距離分別是和，要將這棵樹圍在種植園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），求種植園面積的最大值．4．（23-24九年級上·天津·階段練習(xí)）如圖所示是某養(yǎng)殖專業(yè)戶建立的一個矩形場地，一邊靠墻，另三邊除大門外用籬笆圍成．已知籬笆總長為，門寬是，若設(shè)這塊場地的寬為．(1)求場地的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出自變量的取值范圍．題型二、圖形運動問題5．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在中，，，，點P在邊上，從點A向點C移動，點Q在邊上，從點C向點B移動，若點P，Q均以的速度同時出發(fā)，且當(dāng)一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接，則線段的最小值是（

）A． B． C． D．6．（23-24九年級上·山東德州·期中）如圖，在中，，，．動點從點開始沿邊向點以1cm/s的速度移動，動點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動．若，兩點分別從，兩點同時出發(fā)，在運動過程中，的最大面積是（）A． B． C． D．7．（22-23九年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，矩形的兩邊長，，點、分別從A、B同時出發(fā)，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運動，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運動．當(dāng)?shù)竭_點時，、停止運動．設(shè)運動時間為秒，的面積為．(1)填空：，（用含的代數(shù)式表示）；(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(3)當(dāng)為何值時，的面積的最大，最大值是多少？8．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在矩形中，，點P在線段上，點P從點A開始沿邊以的速度向點B移動；E是的中點，點Q從點E開始，沿以的速度向點C移動，如果點分別從點A、E同時出發(fā)．(1)請?zhí)骄康拿娣e與運動時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t的取值范圍；(2)畫出此函數(shù)的圖像．題型三、銷售問題9．（23-24九年級上·陜西延安·期中）某種商品每天的銷售利潤元與單價元之間的函數(shù)關(guān)系式為，則這種商品每天的最大利潤為（

）A．50元 B．60元 C．40元 D．30元10．（22-23九年級上·山西運城·階段練習(xí)）2022年在中國舉辦的冬奧會和殘奧會令世界矚目，冬奧會和殘奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品．某商家以每套34元的價格購進一批冰墩墩和雪容融套件．若該產(chǎn)品每套的售價是48元時，每天可售出200套；若每套售價每提高2元，則每天少賣4套．設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價定為x元時，則該商品每天銷售套件所獲利潤w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）．A． B．C． D．11．（2024·甘肅天水·三模）一家商店于春節(jié)后購進了一批新款春裝，從銷售中記錄發(fā)現(xiàn)，平均每天可售出件，每件盈利元為把握換季營銷，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r活動，以擴大銷售量，增加盈利市場調(diào)研認為，若每件降價元，則平均每天就可多售出2件．(1)若活動期間平均每天的銷售量為件，求每件春裝盈利是多少元？(2)要想平均每天銷售這款春裝能盈利元，又能盡量減少庫存，那么每件應(yīng)降價多少元？(3)平均每天銷售這款春裝盈利的最大值是多少元？12．（2024·云南楚雄·三模）2023年“五一”假期，昆明校場路藍花楹主題公園成為熱門網(wǎng)紅打卡地后，公園開始售賣藍花楹主題雪糕，每根成本價為3元，經(jīng)調(diào)查，每天的銷售量（根）與每根的售價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖所示．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)每天的總利潤（元），若每根雪糕的售價為整數(shù)，則售價定為多少元時，獲利最大？最大利潤是多少？題型四、投球問題13．（2024·山西忻州·三模）“科教興國，強國有我”．某中學(xué)在科技實驗活動中，設(shè)計制作了“水火箭”升空實驗，已知“水火箭”的升空高度與飛行時間滿足函數(shù)表達式．已知“水火箭”飛行和飛行時的升空高度相同，飛行時的升空高度為，則“水火箭”升空的最大高度為（

）A． B． C． D．14．（2024·天津?qū)氎妗ざ＃┤鐖D，以某速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球在時落地，小球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，）．有下列結(jié)論：①值為；②小球的飛行高度最高可達到；③小球有兩個飛行的時間使小球的高度剛好達到．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．315．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）對于向上拋的物體，如果空氣阻力忽略不計，有下面的關(guān)系式：（h是物體離起點的高度，是初速度，g是重力系數(shù)，取，t是拋出后經(jīng)過的時間）．雜技演員拋球表演時，以的初速度把球向上拋出．(1)1.2秒時球離起點的高度是多少？(2)幾秒后球離起點的高度達到？16．（2024·河南信陽·三模）亮亮同學(xué)喜歡課外時間做數(shù)學(xué)探究活動．他使用內(nèi)置傳感器的“智能小球”進行擲小球活動，“智能小球”的運動軌跡可看作拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標系，“智能小球”從出手到著陸的過程中，豎直高度與水平距離可以用二次函數(shù)刻畫，將“智能小球”從斜坡點處拋出，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫．某次活動時，小球能達到的最高點的坐標為．(1)請求出和的值；(2)“智能小球”在斜坡上的落點是，求點的坐標；(3)若“智能小球”在自變量的值滿足的情況時，與其對應(yīng)的函數(shù)值的最大值為，直接寫出的值為________．題型五、噴水問題17．（2022九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，陽光中學(xué)教學(xué)樓前噴水池噴出的拋物線形水柱，其解析式為y＝﹣（x﹣2）2+6，則水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+18．（2022·湖北荊州·一模）如圖，在池中心豎直水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，高度為，水柱落地處離池中心，水管的長為（

）A． B． C． D．19．（2024·四川成都·一模）為了美化校園，某校準備在校園廣場中心安裝一個圓形噴水池，噴水池中央設(shè)置一柱形噴水裝置高2米，點處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下．位于圓形噴水池中心的水面處，按照如圖所示建立直角坐標系，該設(shè)計水流與的水平距離為1米處時，噴出的水柱可以達到最大高度3米．(1)求出該拋物線的函數(shù)表達式；(2)為了使噴出的水流不至于濺落在圓形噴水池外，需要在水流落回水面處的外側(cè)預(yù)留1米距離，則該圓形噴水池的半徑至少設(shè)計為多少米合理？20．（23-24九年級上·寧夏銀川·期末）如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度(噴水頭距噴灌架底部的距離)是1米，當(dāng)噴射出的水流與噴漲架的水平距離為米時，達到最大高度6米，現(xiàn)將噴灌架置于坡地底部點處，草坡上距離的水平距離為米處有一棵高度為米的小樹，垂直水平地面且點到水平地面的距離為3米．(1)計算說明小樹是否會對水流澆灌到樹后面的草坪造成影響?(2)求水流的高度與斜坡鉛垂高度差的最大值．題型六、拱橋問題21．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖2所示建立坐標系，在正常水位時水面寬米，當(dāng)水位上升5米時，則水面寬米，則函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．22．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）有一拱橋洞呈拋物線狀，這個橋洞的最大高度是16m，跨度為40m，現(xiàn)把它的示意圖(如圖)放在平面直角坐標系中，則拋物線的表達式為（）A． B．C． D．23．（2024·貴州·模擬預(yù)測）“4.20蘆山地震”發(fā)生后，各地積極展開抗震救援工作，一支救援車隊經(jīng)過如圖1所示的一座拱橋，拱橋的輪廓是拋物線型，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m，將拋物線放在所給的直角坐標系中（如圖2所示），拱橋的拱頂在y軸上．(1)求拱橋所在拋物線的解析式；(2)求支柱的長度；(3)拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2米的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高2.4m的三輛汽車（隔離帶與內(nèi)側(cè)汽車的間隔、汽車間的間隔、外側(cè)汽車與拱橋的間隔均為0.5m）？請說說你的理由．24．（2024·陜西商洛·二模）根據(jù)以下素材，探索解決下列問題．素材1：圖①中有一個大棚苗木種植基地及其截面圖，其下半部分是一個長為，寬為的矩形，其上半部分是一條拋物線，現(xiàn)測得，大棚頂部的最高點距離地面．以矩形長的中點為原點O，豎直方向為y軸，水平方向為x軸，建立如圖②所示的平面直角坐標系，大棚頂部的最高點為P．素材2：為了讓苗木更好的生長需要在大棚內(nèi)安裝補光燈，補光燈采用吊裝模式懸掛在頂部，已知補光燈在距離地面時補光效果最好．(1)求大棚上半部分形狀所在拋物線的函數(shù)表達式；(2)若在距離B處水平距離的地方掛補光燈，為了使補光效果最好，求補光燈懸掛部分的長度．（燈的大小忽略不計）一、單選題1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度（單位：）與足球被踢出后經(jīng)過的時間（單位：）之間的關(guān)系如下表：01234567…08141820201814…下列結(jié)論正確的是（）A．足球飛行路線的對稱軸是直線B．足球距離地面的最大高度為C．足球被踢出時落地D．足球被踢出時，距離地面的高度是2．（2024·廣東佛山·一模）據(jù)科學(xué)計算，運載“神十八”的“長征二號”火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為，第二秒時共通過了的路程，第三秒時共通過了的路程，在這一過程中路程與時間成二次函數(shù)關(guān)系，在達到離地面的高度時，火箭程序拐彎，則這一過程需要的時間大約是（

）．A．10秒鐘 B．13秒鐘 C．15秒鐘 D．20秒鐘3．（23-24八年級下·浙江金華·期中）已知點D與點，，，是一平行四邊形的四個頂點，則的最小值是（

）A．10 B． C． D．94．（2024·河北石家莊·二模）如圖所示，和均為邊長為4的等邊三角形，點從點運動到點的過程中，和相交于點，和相交于點，為縱坐標，點移動的距離為橫坐標，則與關(guān)系的圖象大致為（

）A．B．C． D．5．（2024·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）如圖，菱形的邊長為，，動點E從點B出發(fā)，以的速度沿射線方向運動，動點F同時從B出發(fā)，以的速度沿邊向點C運動，點F到達點C時點E同時停止運動，若點F運動的時間為t秒，的面積為，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象是（

）A． B．C． D．二、填空題6．（2024·吉林白城·一模）如圖，一個橫截面為拋物線的隧道，其底部的寬為，拱高為．該隧道為雙向車道，且兩車之間有的隔離帶，一輛寬為的貨車要安全通過這條隧道，需保持其頂部隧道有不少于的空隙，則該貨車能夠安全通行的最大高度是m．7．（2024·吉林長春·二模）長春公園擬建一個噴泉景觀，在一個柱形高臺上裝有噴水管，水管噴頭斜著噴出水柱，經(jīng)過測量水柱在不同位置到水管的水平距離和對應(yīng)的豎直高度呈拋物線型，當(dāng)噴水管離地面3.2米噴水時，水柱在離水管水平距離3米處離地面豎直高度最大，最大高度是5米．此噴水管可以上下調(diào)節(jié)，噴出的水柱形狀不變且隨之上下平移，若調(diào)節(jié)后的落水點（水落到地面的距離）向內(nèi)平移了1米，則噴水管需要向下平移米．8．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測）小王和小李先后從地出發(fā)沿同一直道去地設(shè)小李出發(fā)第時，小李、小王離地的距離分別為、，與之間的函數(shù)表達式是，與之間的函數(shù)表達式是．（1）小李出發(fā)時，小王離地的距離為．（2）小李出發(fā)至小王到達地這段時間內(nèi)，當(dāng)小李出發(fā)時兩人相距最近這個最近距離是．9．（2024·安徽合肥·二模）如圖，某校師生要在空地上修建一個矩形勞動教育基地，該基地一邊靠墻（墻長米），另三邊用總長40米的柵欄圍成．（1）當(dāng)時，勞動教育基地的最大面積為；（2）當(dāng)勞動教育基地的最大面積為150平方米時，的值為．10．（2024·浙江杭州·三模）“冪勢既同，則積不容異”是我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出的體積計算原理，稱作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一種求面積的方法：“夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形，被平行于這兩條平行線的任意直線所截，如果被截得的兩條線段長總相等，那么這兩個平面圖形的面積相等”．（1）如圖1，夾在直線與之間的矩形與曲邊形滿足：，．一平行于的直線交矩形于M，N，交曲邊形的曲邊于，，且無論在何位置都有，則曲邊形的面積為．（2）如圖2，記函數(shù)的圖象在第一象限圍成的曲邊形（陰影部分）為Ω，則Ω的面積為．三、解答題11．（2024·河北石家莊·三模）一次足球訓(xùn)練中，小華從球門正前方的A處射門，足球射向球門的運行路線呈拋物線，當(dāng)球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高OB為，現(xiàn)以O(shè)為原點建立如圖所示直角坐標系．(1)求出拋物線的函數(shù)解析式并說明此次射門在不受干擾的情況下能否進球；(2)若防守隊員小明跳起后能摸到的最大高度為2.25米，他此時站在離球門3米遠的位置，求小明至少后退多少米才能防守住這次射門？(3)在射門路線的形狀、最大高度均保持不變情況下，適當(dāng)靠近球門進球的把握會更大，小華決定將足球向球門方向移動一定距離后再射門，他最多可以向球門移動__________．（填序號即可，）①；

②；

③．12．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）為培養(yǎng)學(xué)生勞動實踐能力，某學(xué)校在校西南角開辟出一塊勞動實踐基地．如圖①是其中蔬菜大棚的橫截面，它由拋物線和矩形構(gòu)成．已知矩形的長米，寬米，拋物線最高點E到地面的距離為8米．(1)按圖①所示建立平面直角坐標系，求拋物線的解析式；(2)冬季到來，為防止大雪對大棚造成損壞，學(xué)校決定在大棚兩側(cè)安裝兩根垂直于地面且關(guān)于y軸對稱的支撐柱和，如圖②所示．①若兩根支撐柱的高度均為米，求兩根支撐柱之間的水平距離；②為了進一步固定大棚，準備在兩根支撐柱上架橫梁，搭建成一個矩形“腳手架”，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿的長度之和w的最大值，請你幫管理處計算一下．13．（2024·湖北·模擬預(yù)測）某次軍訓(xùn)中，借助小山坡的有利地勢，優(yōu)秀學(xué)員小華在教官的指導(dǎo)下用手榴彈（模擬手榴彈）進行一次試投：如圖所示，把小華投出的手榴彈的運路線看成一條開口向下的拋物線，拋物線過原點，手榴彈飛行的最大高度為10米，此時它的水平飛行距離為20米，山坡的坡度為，坡頂A處的水平距離為30米．(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)小華投出的手榴彈能否越過坡頂A？請說明理由；(3)若，坡上趴著幾位“敵軍”同學(xué)，手榴彈落地后會爆炸，爆炸后距落地點米范圍內(nèi)會受波及，問手榴彈落地爆炸后是否會波及斜坡？請說明理由．14．（2024·湖北黃石·三模）某工廠生產(chǎn)某種玩具的成本價為36元件，工廠決定采取電商銷售和門店銷售兩種方式銷售該玩具．前20天電商銷售：售價為62元件；后20天門店銷售：第20天售價為62元件，此后售價每天比前一天每件降低0.5元．已知兩種銷售方式第天的銷售數(shù)量（件均滿足且為整數(shù)）．(1)求門店銷售方式每天的售價y（元/件）與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該玩具銷售過程中，在第幾天獲得的利潤W（元）最大？最大利潤是多少？(3)該玩具銷售過程中，請直接寫出日銷售利潤不低于3510元的天數(shù)．15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）2024年4月，國際乒聯(lián)單打世界杯在中國澳門舉行，馬龍以的成績逆轉(zhuǎn)高遠，獲得男單冠軍．優(yōu)秀成績的取得與平時的刻苦訓(xùn)練和精準的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數(shù)據(jù)：水平距離0105090130170230豎直高度28.7533454945330(1)根據(jù)上面表格信息，求滿足條件的拋物線解析式；(2)技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓(xùn)練．如圖②．乒乓球臺長為，球網(wǎng)高為．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球高度的值約為，請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．22.3實際問題與二次函數(shù)（六大題型提分練）題型一、面積問題1．（23-24九年級上·北京密云·期中）用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為，它的鄰邊長為，矩形的面積為，當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x、S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 D．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系【答案】A【分析】根據(jù)長方形的周長公式和面積公式得出y與x、S與x的關(guān)系式即可做出判斷．【詳解】解：由題意可得：，，∴，，∴y與x是一次函數(shù)關(guān)系，S與x是二次函數(shù)關(guān)系，故選A．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的識別、矩形的周長與面積公式，理清題中的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2024·河北石家莊·二模）如圖，某農(nóng)場計劃修建三間矩形飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室一面靠現(xiàn)有墻（墻可用長），中間用兩道墻隔開，已知計劃中的修筑材料可建圍墻總長為，設(shè)飼養(yǎng)室寬為，占地總面積為，則三間飼養(yǎng)室總面積有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，設(shè)飼養(yǎng)室寬為，則長為，根據(jù)長方形面積公式即可得，由墻可用長可得的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解．【詳解】解：設(shè)飼養(yǎng)室寬為，則長為，，，；在時，隨的增大而減小，當(dāng)時，，即最大值為，故選：C．3．（23-24九年級上·山東煙臺·期末）為充分發(fā)揮勞動教育的綜合育人功能，某校想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用長的籬笆圍出一塊矩形蔬菜種植園（籬笆只圍兩邊）．(1)若種植園的面積為，求的長；(2)點P處有一棵銀杏樹，它與墻的距離分別是和，要將這棵樹圍在種植園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），求種植園面積的最大值．【答案】(1)或(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用：（1）設(shè)，則，根據(jù)題意，列出方程，即可求解；（2）設(shè)種植園面積為，根據(jù)題意，列出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，則，由題意，得．解得：，．所以的長為或．（2）解：設(shè)種植園面積為，則．由題意，得，∴．在中，∵，∴當(dāng)時，S隨x的增大而增大．∴當(dāng)時，S有最大值為．所以種植園面積的最大值為．4．（23-24九年級上·天津·階段練習(xí)）如圖所示是某養(yǎng)殖專業(yè)戶建立的一個矩形場地，一邊靠墻，另三邊除大門外用籬笆圍成．已知籬笆總長為，門寬是，若設(shè)這塊場地的寬為．(1)求場地的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出自變量的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）根據(jù)矩形的面積列出關(guān)系式；（2）根據(jù)邊長大于，寬大于門寬，列出不等式組，解不等式組，即可求解．【詳解】（1）由題意得；（2），，又門寬是，，．題型二、圖形運動問題5．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在中，，，，點P在邊上，從點A向點C移動，點Q在邊上，從點C向點B移動，若點P，Q均以的速度同時出發(fā)，且當(dāng)一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接，則線段的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、勾股定理，設(shè)運動時間為，理解題意，列出與時間的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)運動時間為，則，，根據(jù)題意，，∵，，∴當(dāng)時，有最小值，最小值為，故選：C．6．（23-24九年級上·山東德州·期中）如圖，在中，，，．動點從點開始沿邊向點以1cm/s的速度移動，動點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動．若，兩點分別從，兩點同時出發(fā)，在運動過程中，的最大面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)點P和Q的速度表示和的長，設(shè)的面積為S，利用直角三角形的面積公式列關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求最值即可．【詳解】解：由題意得：，，，設(shè)的面積為S，則，∴，∴當(dāng)時，S有最大值為9，即當(dāng)時，的最大面積為，故選：C．7．（22-23九年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，矩形的兩邊長，，點、分別從A、B同時出發(fā)，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運動，在邊上沿方向以每秒的速度勻速運動．當(dāng)?shù)竭_點時，、停止運動．設(shè)運動時間為秒，的面積為．(1)填空：，（用含的代數(shù)式表示）；(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(3)當(dāng)為何值時，的面積的最大，最大值是多少？【答案】(1)，(2)；(3)的最大面積是．【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)題意表示出、的長度是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意表示出、的長即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；（3）把函數(shù)關(guān)系式整理成頂點式解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．【詳解】（1）解：由題意得，，故答案為：，；（2）解：∵，，，∴，即；（3）解：由（2）知，，∴，∵，當(dāng)時，隨的增大而增大，而，∴當(dāng)時，，即的最大面積是．8．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在矩形中，，點P在線段上，點P從點A開始沿邊以的速度向點B移動；E是的中點，點Q從點E開始，沿以的速度向點C移動，如果點分別從點A、E同時出發(fā)．(1)請?zhí)骄康拿娣e與運動時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t的取值范圍；(2)畫出此函數(shù)的圖像．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）的面積，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解，注意得到的相關(guān)線段為非負數(shù)即可．（2）根據(jù)五點作圖法，先列表再描點連線，即可作答．本題考查了二次函數(shù)與幾何運動內(nèi)容，畫二次函數(shù)的圖象，解決本題的關(guān)鍵是找到所求的三角形的面積的等量關(guān)系，注意求自變量的取值應(yīng)從線段長度為非負數(shù)考慮．【詳解】（1）解：由題意，得∴．∵，點P、Q運動的速度均為，∴，∴．（2）解：∵∴列表如下：0123618160畫出函數(shù)的圖象，如圖題型三、銷售問題9．（23-24九年級上·陜西延安·期中）某種商品每天的銷售利潤元與單價元之間的函數(shù)關(guān)系式為，則這種商品每天的最大利潤為（

）A．50元 B．60元 C．40元 D．30元【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)解析式可知二次函數(shù)開口向下，則在對稱軸處取得最大值，即60，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵某種商品每天的銷售利潤元與單價元之間的函數(shù)關(guān)系式為，，∴當(dāng)時，y有最大值，最大值為60，∴這種商品每天的最大利潤為60元，故選B．10．（22-23九年級上·山西運城·階段練習(xí)）2022年在中國舉辦的冬奧會和殘奧會令世界矚目，冬奧會和殘奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品．某商家以每套34元的價格購進一批冰墩墩和雪容融套件．若該產(chǎn)品每套的售價是48元時，每天可售出200套；若每套售價每提高2元，則每天少賣4套．設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價定為x元時，則該商品每天銷售套件所獲利潤w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意找出等量關(guān)系：總利潤=單個利潤×數(shù)量，即可列出函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)得實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確地根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出函數(shù)表達式．11．（2024·甘肅天水·三模）一家商店于春節(jié)后購進了一批新款春裝，從銷售中記錄發(fā)現(xiàn)，平均每天可售出件，每件盈利元為把握換季營銷，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r活動，以擴大銷售量，增加盈利市場調(diào)研認為，若每件降價元，則平均每天就可多售出2件．(1)若活動期間平均每天的銷售量為件，求每件春裝盈利是多少元？(2)要想平均每天銷售這款春裝能盈利元，又能盡量減少庫存，那么每件應(yīng)降價多少元？(3)平均每天銷售這款春裝盈利的最大值是多少元？【答案】(1)元(2)元(3)最大值元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，（1）利用每件新款春裝的銷售利潤為：盈利減去增加銷量的一半，即可得；（2）設(shè)每件新款春裝應(yīng)降x元，則每件盈利元，平均每天可售出件，根據(jù)題意得：，進行計算即可得；（3）設(shè)每件新款春裝應(yīng)降價元，每天銷售這款春裝盈利元，根據(jù)題意得，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得；理解題意，掌握一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：（元）．（2）解：設(shè)每件新款春裝應(yīng)降價元，則每件盈利元，平均每天可售出件，根據(jù)題意得：，整理得：，，解得：，，∵要盡量減少庫存，．（3）解：設(shè)每件新款春裝應(yīng)降價元，每天銷售這款春裝盈利元，根據(jù)題意得，即最大值元，答．平均每天銷售這款春裝盈利的最大值是元．12．（2024·云南楚雄·三模）2023年“五一”假期，昆明校場路藍花楹主題公園成為熱門網(wǎng)紅打卡地后，公園開始售賣藍花楹主題雪糕，每根成本價為3元，經(jīng)調(diào)查，每天的銷售量（根）與每根的售價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖所示．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)每天的總利潤（元），若每根雪糕的售價為整數(shù)，則售價定為多少元時，獲利最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)每根雪糕的售價定為9元時或者10元時，獲利最大，最大利潤是420元【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，一次次函數(shù)的解析式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（2）由題意得出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得對稱軸為直線，當(dāng)或者10時，有最大值，代入求值，即可作答．【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，將代入，得，解得，所以與的函數(shù)關(guān)系式為．（2）解：由題意，可知：，∵，∴該拋物線開口向下，∴對稱軸為直線∵為整數(shù)，，∴當(dāng)或者10時，有最大值，最大值為，答：每根雪糕的售價定為9元時或者10元時，獲利最大，最大利潤是420元．題型四、投球問題13．（2024·山西忻州·三模）“科教興國，強國有我”．某中學(xué)在科技實驗活動中，設(shè)計制作了“水火箭”升空實驗，已知“水火箭”的升空高度與飛行時間滿足函數(shù)表達式．已知“水火箭”飛行和飛行時的升空高度相同，飛行時的升空高度為，則“水火箭”升空的最大高度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式為：，再將其化為頂點式，問題隨之得解．【詳解】根據(jù)題意有：，解得：，∴函數(shù)表達式為：，將化為頂點式為：，當(dāng)時，函數(shù)有最大值，且為：，即則“水火箭”升空的最大高度為，故選：C．14．（2024·天津?qū)氎妗ざ＃┤鐖D，以某速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球在時落地，小球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，）．有下列結(jié)論：①值為；②小球的飛行高度最高可達到；③小球有兩個飛行的時間使小球的高度剛好達到．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分析即可得到答案．【詳解】解：由題意得，解得，①結(jié)論正確；函數(shù)關(guān)系，∵，∴小球的飛行高度最高可達到，②結(jié)論錯誤；解方程，得或，∴小球有兩個飛行的時間使小球的高度剛好達到，③結(jié)論正確．故選：C．15．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）對于向上拋的物體，如果空氣阻力忽略不計，有下面的關(guān)系式：（h是物體離起點的高度，是初速度，g是重力系數(shù)，取，t是拋出后經(jīng)過的時間）．雜技演員拋球表演時，以的初速度把球向上拋出．(1)1.2秒時球離起點的高度是多少？(2)幾秒后球離起點的高度達到？【答案】(1)秒時球離起點的高度是；(2)秒或秒后球離起點的高度達到．【分析】本題為二次函數(shù)實際應(yīng)用問題，解答時注意將相應(yīng)的函數(shù)值或自變量值代入函數(shù)關(guān)系式中求解即可．（1）把代入即可求解；（2）把代入求t即可．【詳解】（1）解：由題意，將分別代入函數(shù)關(guān)系式，得，當(dāng)時，代入解得，∴秒時球離起點的高度是；（2）解：當(dāng)時，，解得．故秒或秒后球離起點的高度達到．16．（2024·河南信陽·三模）亮亮同學(xué)喜歡課外時間做數(shù)學(xué)探究活動．他使用內(nèi)置傳感器的“智能小球”進行擲小球活動，“智能小球”的運動軌跡可看作拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標系，“智能小球”從出手到著陸的過程中，豎直高度與水平距離可以用二次函數(shù)刻畫，將“智能小球”從斜坡點處拋出，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫．某次活動時，小球能達到的最高點的坐標為．(1)請求出和的值；(2)“智能小球”在斜坡上的落點是，求點的坐標；(3)若“智能小球”在自變量的值滿足的情況時，與其對應(yīng)的函數(shù)值的最大值為，直接寫出的值為________．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題主要考查二次函數(shù)的運用，掌握二次函數(shù)對稱軸的計算，二元一次方程組的計算，不同自變量的取值函數(shù)最值的計算方法時解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)對稱軸，頂點坐標即可求解；（2）聯(lián)立方程解二元一次方程組即可求解；（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸，分類討論，當(dāng)時，取到最大值；當(dāng)時，取到最大值；由此即可求解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的對稱軸為，∵小球達到的最高的的坐標為，∴，∴二次函數(shù)解析式為，當(dāng)時，，∴；（2）解：根據(jù)題意聯(lián)立方程組得，，解得，（不符合題意，舍去）或，∴；（3）解：已知二次函數(shù)的頂點坐標為，∴當(dāng)時，隨的增大而增大；∵時的最大值為，∴當(dāng)時取到最大值，且，即，∴，解得，，（不符合題意，舍去）；∴；當(dāng)時，隨的增大而減小，∴當(dāng)時取得最大值，且，，∴，解得，（不符合題意，舍去），，∴；綜上所述，的值為或，故答案為：或．題型五、噴水問題17．（2022九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，陽光中學(xué)教學(xué)樓前噴水池噴出的拋物線形水柱，其解析式為y＝﹣（x﹣2）2+6，則水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在頂點處取最值即可．【詳解】解：∵拋物線形水柱，其解析式為y＝﹣（x﹣2）2+6，∵a=-1＜0∴當(dāng)x=2時，水柱的最大高度是：6．故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用—噴水問題．根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到拋物線頂點坐標是解決此類問題的關(guān)鍵．18．（2022·湖北荊州·一模）如圖，在池中心豎直水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，高度為，水柱落地處離池中心，水管的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了實際問題與二次函數(shù)，根據(jù)圖象得拋物線經(jīng)過，對稱軸為直線，則設(shè)拋物線的解析式為：，代入可求得，令，解得，進而可求解，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由于在距池中心的水平距離為時達到最高，高度為，拋物線經(jīng)過，對稱軸為直線，則設(shè)拋物線的解析式為：，代入，求得：，將值代入得到拋物線的解析式為：，令，則，則水管長為，故選C．19．（2024·四川成都·一模）為了美化校園，某校準備在校園廣場中心安裝一個圓形噴水池，噴水池中央設(shè)置一柱形噴水裝置高2米，點處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下．位于圓形噴水池中心的水面處，按照如圖所示建立直角坐標系，該設(shè)計水流與的水平距離為1米處時，噴出的水柱可以達到最大高度3米．(1)求出該拋物線的函數(shù)表達式；(2)為了使噴出的水流不至于濺落在圓形噴水池外，需要在水流落回水面處的外側(cè)預(yù)留1米距離，則該圓形噴水池的半徑至少設(shè)計為多少米合理？【答案】(1)；(2)該圓形噴水池的半徑至少設(shè)計為米合理．【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）設(shè)水流所在拋物線解析式為：，把代入解析式，求出的值即可得到答案；（2）令，得到，求出的值即可．【詳解】（1）解：噴出的水流距柱子1米處時達到最大高度3米，拋物線的頂點坐標為，設(shè)水流所在拋物線解析式為：，米，，將代入得：，解得：，水流所在拋物線解析式為；（2）解：當(dāng)時，，解得：，（不符合題意，舍去），，答：該圓形噴水池的半徑至少設(shè)計為米合理．20．（23-24九年級上·寧夏銀川·期末）如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度(噴水頭距噴灌架底部的距離)是1米，當(dāng)噴射出的水流與噴漲架的水平距離為米時，達到最大高度6米，現(xiàn)將噴灌架置于坡地底部點處，草坡上距離的水平距離為米處有一棵高度為米的小樹，垂直水平地面且點到水平地面的距離為3米．

(1)計算說明小樹是否會對水流澆灌到樹后面的草坪造成影響?(2)求水流的高度與斜坡鉛垂高度差的最大值．【答案】(1)不會，理由見解析(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握建模的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)該拋物線的解析式為，將點代入即可求出解析式；求出當(dāng)時的函數(shù)值，即可判斷；（2）由題意得直線的解析式為：，確定水流的高度與斜坡鉛垂高度差的函數(shù)關(guān)系式即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：該拋物線的頂點坐標為，設(shè)該拋物線的解析式為：，將點代入得：，解得：∴當(dāng)時，∴水流能澆灌到樹后面的草坪，小樹不會對水流澆灌到樹后面的草坪造成影響（2）解：由題意得，∴直線的解析式為：水流的高度與斜坡鉛垂高度差，∴水流的高度與斜坡鉛垂高度差的最大值為題型六、拱橋問題21．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖2所示建立坐標系，在正常水位時水面寬米，當(dāng)水位上升5米時，則水面寬米，則函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及解析式，先根據(jù)圖象性質(zhì)設(shè)函數(shù)表達式為，然后得出，，再代入進行列式計算，即可作答．【詳解】解：設(shè)函數(shù)表達式為，∵設(shè)點∵當(dāng)水位上升5米時，則水面寬米∴把，分別代入得出解得∴函數(shù)表達式為，故選：B．22．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）有一拱橋洞呈拋物線狀，這個橋洞的最大高度是16m，跨度為40m，現(xiàn)把它的示意圖(如圖)放在平面直角坐標系中，則拋物線的表達式為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意，得到拋物線的頂點坐標為，經(jīng)過原點，設(shè)出頂點式，將原點坐標代入求解即可．【詳解】解：由題意，拋物線的頂點坐標為，經(jīng)過原點，∴設(shè)．∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得，∴此拋物線的表達式為，即．故選B．23．（2024·貴州·模擬預(yù)測）“4.20蘆山地震”發(fā)生后，各地積極展開抗震救援工作，一支救援車隊經(jīng)過如圖1所示的一座拱橋，拱橋的輪廓是拋物線型，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m，將拋物線放在所給的直角坐標系中（如圖2所示），拱橋的拱頂在y軸上．(1)求拱橋所在拋物線的解析式；(2)求支柱的長度；(3)拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2米的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高2.4m的三輛汽車（隔離帶與內(nèi)側(cè)汽車的間隔、汽車間的間隔、外側(cè)汽車與拱橋的間隔均為0.5m）？請說說你的理由．【答案】(1)；(2)支柱的長度是米；(3)不能并排行駛這樣的三輛汽車，見解析【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實際問題是解題根本，求出二次函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目可知．，的坐標，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解；（2）設(shè)點的坐標為可求出支柱的長度；（3）設(shè)是隔離帶的寬，是三輛車的寬度和，作垂直交拋物線于，求出則可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題目條件，、、的坐標分別是、、．將、的坐標代入，得解得，．所以拋物線的表達式是；（2）解：可設(shè)，于是．從而支柱的長度是米；（3）解：設(shè)是隔離帶的寬，是三輛車最內(nèi)側(cè)與最外側(cè)的寬度和，則點坐標是，過點作垂直交拋物線于，則，根據(jù)拋物線的特點，可知一條行車道不能并排行駛這樣的三輛汽車．24．（2024·陜西商洛·二模）根據(jù)以下素材，探索解決下列問題．素材1：圖①中有一個大棚苗木種植基地及其截面圖，其下半部分是一個長為，寬為的矩形，其上半部分是一條拋物線，現(xiàn)測得，大棚頂部的最高點距離地面．以矩形長的中點為原點O，豎直方向為y軸，水平方向為x軸，建立如圖②所示的平面直角坐標系，大棚頂部的最高點為P．素材2：為了讓苗木更好的生長需要在大棚內(nèi)安裝補光燈，補光燈采用吊裝模式懸掛在頂部，已知補光燈在距離地面時補光效果最好．(1)求大棚上半部分形狀所在拋物線的函數(shù)表達式；(2)若在距離B處水平距離的地方掛補光燈，為了使補光效果最好，求補光燈懸掛部分的長度．（燈的大小忽略不計）【答案】(1)(2)補光燈懸掛部分的長度應(yīng)是【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：（1）根據(jù)圖象，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)時，得，進而可求解；熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)圖中的坐標系以及題意可得，點P的坐標為，點B的坐標為，拋物線的頂點坐標為點，可設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，把點代入，得，解得：．拋物線的函數(shù)表達式為．（2），當(dāng)時，，，補光燈懸掛部分的長度應(yīng)是．一、單選題1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度（單位：）與足球被踢出后經(jīng)過的時間（單位：）之間的關(guān)系如下表：01234567…08141820201814…下列結(jié)論正確的是（）A．足球飛行路線的對稱軸是直線B．足球距離地面的最大高度為C．足球被踢出時落地D．足球被踢出時，距離地面的高度是【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和題意可以求得相應(yīng)的函數(shù)解析式，從而可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．解題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】解：設(shè)該拋物線的解析式為，代入表中前三對值得，解得，∴，∴足球飛行路線的對稱軸是直線，故選項A的結(jié)論正確，符合題意；當(dāng)時，取得最大值，此時，∴足球距離地面的最大高度為，故選項B的結(jié)論錯誤，不符合題意；當(dāng)時，得或，∴足球被踢出時落地，故結(jié)論C的結(jié)論錯誤，不符合題意；當(dāng)時，，∴足球被踢出時，距離地面的高度是，故選項D的結(jié)論錯誤，不符合題意；故選：A．2．（2024·廣東佛山·一模）據(jù)科學(xué)計算，運載“神十八”的“長征二號”火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為，第二秒時共通過了的路程，第三秒時共通過了的路程，在這一過程中路程與時間成二次函數(shù)關(guān)系，在達到離地面的高度時，火箭程序拐彎，則這一過程需要的時間大約是（

）．

A．10秒鐘 B．13秒鐘 C．15秒鐘 D．20秒鐘【答案】C【分析】本題考查求二次函數(shù)的函數(shù)解析式，先根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，然后令求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，由題可得二次函數(shù)圖象過，，，∴，解得，∴，當(dāng)時，，解得（舍去），∴這一過程需要的時間大約是15秒鐘，故選C．3．（23-24八年級下·浙江金華·期中）已知點D與點，，，是一平行四邊形的四個頂點，則的最小值是（

）A．10 B． C． D．9【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)求解，坐標與圖形，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意可以分析出當(dāng)為平行四邊形的一條邊，以及為對角線兩種情況，分別作出圖形利用平行四邊形性質(zhì)進行分析求解即可．【詳解】解：有兩種情況，

如圖，當(dāng)為平行四邊形的一條邊時，，，，，如圖，當(dāng)為平行四邊行的對角線時，過點作軸，過點D作軸，過點B作，

，，，，即，，，，，，，當(dāng)時，有最小值，，的最小值為10故選：A．4．（2024·河北石家莊·二模）如圖所示，和均為邊長為4的等邊三角形，點從點運動到點的過程中，和相交于點，和相交于點，為縱坐標，點移動的距離為橫坐標，則與關(guān)系的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過作于，過作于，證明四邊形為平行四邊形，可得，，求解，，同理可得：，再利用面積公式建立函數(shù)關(guān)系式即可判斷．【詳解】解：如圖，過作于，過作于，由題意可得：，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵和均為邊長為4的等邊三角形，，∴，而，∴為等邊三角形，同理：為等邊三角形，∵，∴，，同理可得：，∴，故選B【點睛】本題考查的是動態(tài)問題的函數(shù)圖象，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．5．（2024·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）如圖，菱形的邊長為，，動點E從點B出發(fā)，以的速度沿射線方向運動，動點F同時從B出發(fā)，以的速度沿邊向點C運動，點F到達點C時點E同時停止運動，若點F運動的時間為t秒，的面積為，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查動點的函數(shù)圖象問題，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，分點在上，三種情況進行討論求解即可．【詳解】解：∵菱形的邊長為，，∴，過點作，則：，①當(dāng)點在上運動，即：時，，過點作，則：，∴，圖象為過原點，開口向上的一段拋物線；②當(dāng)點在上運動，即：時，此時點到的距離為定值的長，∴，圖象為一段上升的直線；③當(dāng)點在上運動，即：，過點作，則，∵菱形，∴，∴，∴，∴，此時圖象為開口向下的一段拋物線；故選D．二、填空題6．（2024·吉林白城·一模）如圖，一個橫截面為拋物線的隧道，其底部的寬為，拱高為．該隧道為雙向車道，且兩車之間有的隔離帶，一輛寬為的貨車要安全通過這條隧道，需保持其頂部隧道有不少于的空隙，則該貨車能夠安全通行的最大高度是m．【答案】．【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．建立坐標系，利用待定系數(shù)法求得該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；求出時，y的值，根據(jù)貨車頂部與隧道間有不少于的空隙即可求解．【詳解】解：建立如圖的平面直角坐標系，，拋物線頂點坐標，設(shè)拋物線的解析式為：，依題意得：，解得，∴拋物線的解析式為：．∵，當(dāng)時，，當(dāng)時，．故答案為：．7．（2024·吉林長春·二模）長春公園擬建一個噴泉景觀，在一個柱形高臺上裝有噴水管，水管噴頭斜著噴出水柱，經(jīng)過測量水柱在不同位置到水管的水平距離和對應(yīng)的豎直高度呈拋物線型，當(dāng)噴水管離地面3.2米噴水時，水柱在離水管水平距離3米處離地面豎直高度最大，最大高度是5米．此噴水管可以上下調(diào)節(jié)，噴出的水柱形狀不變且隨之上下平移，若調(diào)節(jié)后的落水點（水落到地面的距離）向內(nèi)平移了1米，則噴水管需要向下平移米．【答案】1.8【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵.依據(jù)題意，由表格數(shù)據(jù)即可作圖；結(jié)合圖象，設(shè)函數(shù)的解析式為再將代入求出后即可得解，依據(jù)題意,令即:從而解得后，即可判斷原拋物線的落水點，然后求出新拋物線的落水點，再設(shè)噴水管需要向下平移米，故新拋物線的表達式為又將代入得求后即可得解.【詳解】解：建立平面直角坐標系為：設(shè)與之間的函數(shù)表達式為觀察圖象可知，頂點坐標為，代入得，將代入得，∴解得:，∴拋物線的表達式為，由題意，拋物線與軸相交，令即，解之得：(不合題意，舍去)?！嘣瓛佄锞€的落水點為.∴新拋物線的落水點為即.設(shè)噴水管需要向下平移米，∴新拋物線的表達式為，將代入得,，∴解得:，答：噴水管需要向下平移米，故答案為：．8．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測）小王和小李先后從地出發(fā)沿同一直道去地設(shè)小李出發(fā)第時，小李、小王離地的距離分別為、，與之間的函數(shù)表達式是，與之間的函數(shù)表達式是．（1）小李出發(fā)時，小王離地的距離為．（2）小李出發(fā)至小王到達地這段時間內(nèi)，當(dāng)小李出發(fā)時兩人相距最近這個最近距離是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)在行程中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)小李出發(fā)時，時間為零，代入計算即可求解；（2）設(shè)兩人相距，根據(jù)題意可得，結(jié)合二次函數(shù)最值的計算方法即可求解．【詳解】解：（1）小李：，小王：，當(dāng)時，小李：，小王：，∴（米）；（2）設(shè)小李和小王相距米，∴，∴當(dāng)時，小李與小王相距最近，最近為米，∴小李出發(fā)分鐘時兩人相距最近，最近距離為米，故答案為：，，．9．（2024·安徽合肥·二模）如圖，某校師生要在空地上修建一個矩形勞動教育基地，該基地一邊靠墻（墻長米），另三邊用總長40米的柵欄圍成．（1）當(dāng)時，勞動教育基地的最大面積為；（2）當(dāng)勞動教育基地的最大面積為150平方米時，的值為．【答案】30或10【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，實際問題往往是有限制條件的，列出的表達式需考慮自變量的取值范圍，運用函數(shù)性質(zhì)解題時更要注意這點．（1）已知矩形的長和周長可表示寬，運用公式表示面積，根據(jù)墻寬得的取值范圍；（2）求當(dāng)時的值，根據(jù)自變量的取值范圍回答問題；【詳解】解：（1）當(dāng)時，另三邊總長40米，設(shè)，則，勞動教育基地的面積為y，根據(jù)題意得：，∴；∴當(dāng)時，有最大值，最大值．（2）當(dāng)最大值時，即，∴，解得：，∵，∴或．故答案為：200；30或10．10．（2024·浙江杭州·三模）“冪勢既同，則積不容異”是我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出的體積計算原理，稱作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一種求面積的方法：“夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形，被平行于這兩條平行線的任意直線所截，如果被截得的兩條線段長總相等，那么這兩個平面圖形的面積相等”．（1）如圖1，夾在直線與之間的矩形與曲邊形滿足：，．一平行于的直線交矩形于M，N，交曲邊形的曲邊于，，且無論在何位置都有，則曲邊形的面積為．（2）如圖2，記函數(shù)的圖象在第一象限圍成的曲邊形（陰影部分）為Ω，則Ω的面積為．【答案】43【分析】本題考查了祖暅原理，正確理解祖暅原理，利用祖暅原理將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)祖暅原理，得出曲變形的面積等于矩形的面積；（2）根據(jù)祖暅原理，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形面積進行求解．【詳解】解：（1）∵祖暅原理，∴曲變形的面積＝矩形的面積，∴曲變形的面積，故答案為：4；（2）如圖，聯(lián)立方程組，解得，，∴,同理可得，，∴,由祖暅原理得，如圖，將二次函數(shù)的圖象向上平移2個單位，，，,，，∵平行于，平行于的直線在平移前后圖象上截得的線段長是2，∴平移前后拋物線與線段、所圍成的圖形的面積等于矩形的面積，陰影部分面積，故答案為：3．三、解答題11．（2024·河北石家莊·三模）一次足球訓(xùn)練中，小華從球門正前方的A處射門，足球射向球門的運行路線呈拋物線，當(dāng)球飛行的水平距離為時，球達到最高點，此時球離地面．已知球門高OB為，現(xiàn)以O(shè)為原點建立如圖所示直角坐標系．(1)求出拋物線的函數(shù)解析式并說明此次射門在不受干擾的情況下能否進球；(2)若防守隊員小明跳起后能摸到的最大高度為2.25米，他此時站在離球門3米遠的位置，求小明至少后退多少米才能防守住這次射門？(3)在射門路線的形狀、最大高度均保持不變情況下，適當(dāng)靠近球門進球的把握會更大，小華決定將足球向球門方向移動一定距離后再射門，他最多可以向球門移動__________．（填序號即可，）①；

②；

③．【答案】(1)，此次射門在不受干擾的情況下能進球(2)小明至少后退才可能防守住這次射門(3)②【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的平移，根據(jù)拋物線的頂點式設(shè)出解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線為．將代入解析式得到，令，得到，即可解題；（2）根據(jù)小明的最大起跳高度是，代入解析式求解，即可解題；（3）根據(jù)題意設(shè)小華帶球向正前方移動bm，得到移動后的解析式為．將B代入求解，即可解題．【詳解】（1）解：由題意，拋物線的頂點為，可設(shè)拋物線為．又拋物線過，．．所求拋物線為．又令，．此次射門在不受干擾的情況下能進球．（2）解：由題意，結(jié)合（1），拋物線的解析為，又小明的最大起跳高度是，．或．小明需要站在拋物線左側(cè)防守，，m,即小明至少后退才可能防守住這次射門．（3）解：由題意，設(shè)小華帶球向正前方移動bm，移動后的解析式為．又B為，．或2.4（，舍去）．小華最多可以向球門移動約．故答案為：②．12．（2024·山西太原·模擬預(yù)測）為培養(yǎng)學(xué)生勞動實踐能力，某學(xué)校在校西南角開辟出一塊勞動實踐基地．如圖①是其中蔬菜大棚的橫截面，它由拋物線和矩形構(gòu)成．已知矩形的長米，寬米，拋物線最高點E到地面的距離為8米．(1)按圖①所示建立平面直角坐標系，求拋物線的解析式；(2)冬季到來，為防止大雪對大棚造成損壞，學(xué)校決定在大棚兩側(cè)安裝兩根垂直于地面且關(guān)于y軸對稱的支撐柱和，如圖②所示．①若兩根支撐柱的高度均為米，求兩根支撐柱之間的水平距離；②為了進一步固定大棚，準備在兩根支撐柱上架橫梁，搭建成一個矩形“腳手架”，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿的長度之和w的最大值，請你幫管理處計算一下．【答案】(1)拋物線的解析式為：(2)①兩根支撐柱之間的水平距離為9米；②“腳手架”三根支桿的長度之和w的最大值為米．【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、求二次函數(shù)的最值等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得、、，設(shè)拋物線的解析式為，將代入解析式求得a即可解答；（2）①根據(jù)題意可得，解方程即可得到，從而即可算出兩根支撐柱之間的水平距離；②設(shè)N點坐標為，則，，進而得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可