考研工學(xué)2025年信號與系統(tǒng)沖刺試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.下列信號中，()是周期信號。A.e^(-t)*sin(10πt)B.cos(t)+sin(2t)C.t*cos(5t)D.u(t)*sin(πt)2.已知信號f(t)的傅里葉變換為F(jω)，則信號g(t)=f(2t-1)的傅里葉變換G(jω)為：A.(1/2)*F(j(ω-π/2))B.F(j(ω/2-π/2))C.2*F(jω/2)*e^(-jω/2)D.(1/2)*F(jω/2)*e^(-jω/2)3.若Laplace變換F(s)=(s+2)/(s^2+3s+2)，則其反變換f(t)的初值f(0+)為：A.1B.2C.3D.無法確定4.已知Laplace變換對e^(-at)*u(t)←1/(s+a)，則Laplace變換{u(t)-u(t-2)}的值為：A.1-e^(-2s)B.1/s-e^(-2s)/sC.1/s-e^(-2s)/s+e^(-2s)D.1/s-e^(-2s)/s-e^(-2s)5.線性時不變系統(tǒng)，若其輸入為f(t)，輸出為y(t)。現(xiàn)輸入為2f(t)，則其輸出為：A.2y(t)B.y(t)/2C.y(2t)D.2y(2t)二、填空題（每小題3分，共15分。請將答案填在題后的橫線上）6.已知信號f(t)=[cos(2πt)]*[u(t+π)-u(t-π)]，則其在一個周期內(nèi)的能量E為__________。7.若信號f(t)的傅里葉變換為F(jω)，則信號f(-2t)的傅里葉變換為__________。8.已知Laplace變換對t*e^(-at)*u(t)←1/(s+a)^2，則Laplace變換{(t-1)*e^(-t)}*u(t-1)的值為__________。9.系統(tǒng)函數(shù)H(s)=1/(s+3)，則該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)為__________。10.若系統(tǒng)的輸入信號為f(t)，輸出信號為y(t)，且滿足y'(t)+2y(t)=f(t)，則該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)（零極點形式）為__________。三、計算題（每小題8分，共32分）11.已知信號f1(t)=u(t)和f2(t)=e^(-t)*u(t)，求f1(t)*f2(t)的解析表達式。12.求信號f(t)=cos(3t)*sinc(t)的傅里葉變換F(jω)。13.已知系統(tǒng)函數(shù)H(s)=(s+4)/(s^2+5s+6)，求該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)y(t)（提示：可先求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)）。14.已知系統(tǒng)函數(shù)H(s)=1/(s+1)(s+2)，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。四、綜合應(yīng)用題（每小題10分，共20分）15.已知信號f(t)的傅里葉變換為F(jω)=2*[u(ω+2)-u(ω-2)]，求信號g(t)=f(t)*f(t)的傅里葉變換G(jω)，并簡述你的推理過程。16.一個線性時不變系統(tǒng)，當(dāng)輸入為單位階躍信號u(t)時，其零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)=(1-e^(-2t))*u(t)。(1)求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。(2)若該系統(tǒng)輸入為f(t)=e^(-3t)*u(t)，求其零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。試卷答案一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.B2.C3.B4.B5.A二、填空題（每小題3分，共15分。請將答案填在題后的橫線上）6.π7.(1/2)*F(jω/2)*e^(-jω/4)8.e^(-s)/(s+1)^29.e^(-3t)*u(t)10.H(s)=1/(s+2)(或H(s)=(1/(s+2)))三、計算題（每小題8分，共32分）11.解析思路：利用卷積公式f1(t)*f2(t)=∫[從-∞到+∞]f1(τ)*f2(t-τ)dτ。由于f1(t)=u(t)且f2(t)=e^(-t)*u(t)，則f2(t-τ)=e^(-(t-τ))*u(t-τ)=e^(-t+τ)*u(t-τ)。當(dāng)t<0時，u(t-τ)=0，卷積結(jié)果為0。當(dāng)t≥0時，卷積結(jié)果為∫[從0到t]e^(-t+τ)dτ=e^(-t)*∫[從0到t]e^τdτ=e^(-t)*[e^τ]|_(0)^(t)=e^(-t)*(e^t-1)=1-e^(-t)。所以f1(t)*f2(t)=(1-e^(-t))*u(t)。答案：f1(t)*f2(t)=(1-e^(-t))*u(t)12.解析思路：利用傅里葉變換的性質(zhì)。已知f(t)=cos(ω0t)←(ω0/2)*[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]和sinc(t)←π*[δ(ω)+δ(ω-1)+δ(ω+1)]。利用頻域卷積定理，F(xiàn)(jω)=(ω0/2)*[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]*π*[δ(ω)+δ(ω-1)+δ(ω+1)]。展開并利用δ函數(shù)的卷積特性δ(a)*δ(b)=δ(a+b)，得到F(jω)=(π*ω0/2)*[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0-1)+δ(ω-ω0-1)+δ(ω+ω0+1)+δ(ω-ω0+1)]。將ω0=3代入，得到F(jω)=(3π/2)*[δ(ω+3)+δ(ω-3)+δ(ω+2)+δ(ω-2)+δ(ω+4)+δ(ω-4)]。答案：F(jω)=(3π/2)*[δ(ω+3)+δ(ω-3)+δ(ω+2)+δ(ω-2)+δ(ω+4)+δ(ω-4)]13.解析思路：首先將系統(tǒng)函數(shù)分解為H(s)=(s+4)/[(s+1)(s+2)]=A/(s+1)+B/(s+2)。求部分分式系數(shù)A和B：A=(s+4)|_(s=-1)=3，B=(s+4)|_(s=-2)=1。所以H(s)=3/(s+1)+1/(s+2)。求單位階躍響應(yīng)Y(s)=H(s)*(1/s)=[3/(s+1)+1/(s+2)]*(1/s)=[3/s(s+1)+1/s(s+2)]。對每項進行部分分式分解并求反變換：3/s(s+1)=3/(s+1)-3/s，1/s(s+2)=1/(s+2)-1/s。Y(s)=[3/(s+1)-3/s]+[1/(s+2)-1/s]=3/(s+1)+1/(s+2)-4/s。求反變換y(t)=3e^(-t)*u(t)+e^(-2t)*u(t)-4*u(t)。合并同類項，y(t)=[3e^(-t)+e^(-2t)-4]*u(t)。答案：y(t)=[3e^(-t)+e^(-2t)-4]*u(t)14.解析思路：利用部分分式展開法求反變換。H(s)=1/(s+1)(s+2)=A/(s+1)+B/(s+2)。求部分分式系數(shù)A和B：A=(s+1)|_(s=-1)=1，B=(s+2)|_(s=-2)=-1。所以H(s)=1/(s+1)-1/(s+2)。求反變換h(t)=L^-1{H(s)}=L^-1{1/(s+1)}-L^-1{1/(s+2)}=e^(-t)*u(t)-e^(-2t)*u(t)。答案：h(t)=(e^(-t)-e^(-2t))*u(t)四、綜合應(yīng)用題（每小題10分，共20分）15.解析思路：利用傅里葉變換的頻域卷積定理。已知f(t)←F(jω)，則f(t)*f(t)←(1/2π)*[F(jω)*F(jω)]=(1/2π)*|F(jω)|^2。已知F(jω)=2*[u(ω+2)-u(ω-2)]，這是一個頻帶寬度為4(從-2到2)的矩形門函數(shù)G(jω)=2[u(ω+2)-u(ω-2)]。根據(jù)矩形門函數(shù)的性質(zhì)，其自卷積|F(jω)|^2=|G(jω)|^2=2*[u(ω+2)-u(ω-2)]*2*[u(ω+2)-u(ω-2)]=4*[u(ω+2)-u(ω-2)]^2=4*[u(ω+2)*u(ω+2)-2u(ω+2)u(ω-2)+u(ω-2)u(ω-2)]=4*[u(ω+2)-2δ(ω)u(ω+2)+u(ω-2)]=4[u(ω+2)+u(ω-2)-2δ(ω)]。所以G(jω)*G(jω)=4[u(ω+2)+u(ω-2)-2δ(ω)]。根據(jù)傅里葉變換對f(t)*f(t)←(1/2π)*|F(jω)|^2，得到g(t)*g(t)←(1/2π)*4[u(ω+2)+u(ω-2)-2δ(ω)]。利用傅里葉變換對F(jω)←f(t)推出(1/2π)*F(jω)←f(t)/(2π)。因此，(1/2π)*|F(jω)|^2←(1/2π)*(2π)*f(t)=f(t)。所以g(t)*g(t)←(1/2π)*|F(jω)|^2=f(t)。已知F(jω)=2[u(ω+2)-u(ω-2)]，其反變換f(t)=2*sinc(2t)。因此，G(jω)*G(jω)的反變換g(t)*g(t)=f(t)=2*sinc(2t)。根據(jù)時移性質(zhì)，g(t)=sinc(2t)，所以g(t)*g(t)=sinc(2t)*sinc(2t)=(sinc^2(2t))*(2π)=2π*sinc^2(2t)。所以G(jω)=2π*sinc^2(2t)。答案：G(jω)=2π*sinc^2(2t)16.解析思路：(1)單位沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)在輸入為單位沖激信號δ(t)時的零狀態(tài)響應(yīng)。由于L{δ(t)}=1，零狀態(tài)響應(yīng)的Laplace變換Y(s)=H(s)*1=H(s)。根據(jù)題意，單位階躍響應(yīng)y(t)=(1-e^(-2t))*u(t)。求y(t)的Laplace變換Y(s)=L{y(t)}=L{(1-e^(-2t))*u(t)}=L{1}-L{e^(-2t)}=1/s-1/(s+2)。因此，Y(s)=H(s)=1/s-1/(s+2)。求H(s)的反變換得到h(t)=L^-1{H(s)}=L^-1{1/s}-L^-1{1/(s+2)}=u(t)-e^(-2t)*u(t)=(1-e^(-2t))*u(t)。(2)輸入f(t)=e^(-3t)*u(t)，求零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。先求f(t)的Laplace變換F(s)=L{e^(-3t)*u(t)}=1/(s+3)。零狀態(tài)響應(yīng)Y(s)=H(s)*F(s)=[1/s-1/(s+2)]*[1/(s+3)]=[1-s/(s+2)]*[1/(s+3)]=(s+2-s)/[(s+2)(s+3)]=2/[(s+2)(s+3)]。將Y(s)分解為部分分式：Y(s)=A/(s+2)+B/(s+3)。求A=[2/(s+3)]|_(s=-2)=2/1=2。求B=[2/