4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)零點(diǎn)的定義,并會(huì)求簡單函數(shù)的零點(diǎn).2.了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.3.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn),了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

函數(shù)的零點(diǎn)1.代數(shù)定義:對(duì)于一般函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的

叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

2.幾何定義:函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的

.

3.方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).名師點(diǎn)睛1.函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)而是一個(gè)實(shí)數(shù).2.并不是每個(gè)函數(shù)都有零點(diǎn),如y=x2+1,y=2x等.實(shí)數(shù)x橫坐標(biāo)

思考辨析二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中,當(dāng)b2-4ac滿足什么條件時(shí)沒有零點(diǎn)?提示

當(dāng)b2-4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn).自主診斷1.函數(shù)y=6x2+x-1的零點(diǎn)是(

)C2.(北師大版教材習(xí)題)觀察下面的四個(gè)函數(shù)圖象,指出在區(qū)間(-∞,0)內(nèi),方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪個(gè)有解,并說明理由.解

f1(x)=0,f2(x)=0有解,理由如下:函數(shù)f1(x),f2(x)的圖象在(-∞,0)內(nèi)都與x軸有交點(diǎn),而函數(shù)f3(x),f4(x)的圖象在(-∞,0)內(nèi)都與x軸沒有交點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2

零點(diǎn)存在定理

曲線是間斷的,結(jié)論不一定成立如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.名師點(diǎn)睛定理要求具備兩個(gè)條件:(1)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的;(2)f(a)f(b)<0.兩個(gè)條件缺一不可.思考辨析1.若f(a)f(b)>0,則f(x)在[a,b]上有零點(diǎn)嗎?2.若f(x)在[a,b]上具有單調(diào)性,且f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)?提示

不一定.提示

有且只有一個(gè).自主診斷1.(多選題)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不間斷的,其部分對(duì)應(yīng)值如下表所示,x-3-2-101f(x)-26-915-3則函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是(

)A.(-3,-2) B.(-2,-1)C.(-1,0) D.(0,1)BD2.如圖所示,是一個(gè)二次函數(shù)y=f(x)的圖象.(1)寫出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn);(2)試比較f(-4)·f(-1),f(0)·f(2)與0的大小關(guān)系.解

(1)由圖象可知,函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是-3,1.(2)根據(jù)圖象可知,f(-4)·f(-1)<0,f(0)·f(2)<0.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)的定義

A

(2)方程|x-2|=lnx的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

由題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1=|x-2|(x>0),y2=ln

x(x>0)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖所示,由圖得兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),故原方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為2.故選B.規(guī)律方法

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)直接作出函數(shù)f(x)的圖象,圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,則兩個(gè)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(4)若證明一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)唯一,也可先由零點(diǎn)存在定理判斷出函數(shù)有零點(diǎn),再證明該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào).角度2.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式中的參數(shù)【例1—2】

(1)(多選題)已知函數(shù)f(x)=|2x-4|-a恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值可以是(

)A.1 B.2

C.3

D.4ABC解析

函數(shù)f(x)=|2x-4|-a有兩個(gè)零點(diǎn),則y=|2x-4|,y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),畫出函數(shù)y=|2x-4|和y=a的圖象,如圖所示.結(jié)合圖象可知0<a<4.故選ABC.(2)若函數(shù)f(x)=x2-ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3,則函數(shù)g(x)=bx2-ax-1的零點(diǎn)是

.

探究點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)存在定理

A

D

規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法:當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)=0易解時(shí),可先解方程,再看求得的根是否落在給定區(qū)間上.(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理:首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(3)數(shù)形結(jié)合法:通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.

C

變式訓(xùn)練1

(1)函數(shù)f(x)=log3x+2x-6的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)B解析

由函數(shù)f(x)=log3x+2x-6可知該函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增且連續(xù)不斷,f(1)=log31+2-6=-4<0,f(2)=log32+4-6=log32-2<0,f(3)=log33+6-6=1>0,f(4)=log34+8-6=log34+2>0,f(5)=log35+10-6=log35+4>0,結(jié)合選項(xiàng)所給區(qū)間,只有f(2)·f(3)<0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理知,f(x)=log3x+2x-6的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,3).故選B.(2)設(shè)函數(shù)f(x)=3ax-2a+1,a為常數(shù).若存在x0∈(0,1),使得f(x0)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

探究點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的分布角度1.根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)范圍【例3—1】

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+a2-4=0.(1)若方程有兩個(gè)不同的正根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(1,2)解析

畫出函數(shù)y=f(x)與y=m的圖象,如圖所示,注意當(dāng)x=-1時(shí),f(-1)=-1+2+1=2,f(0)=1.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-m有三個(gè)不同的零點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)與y=m的圖象有3個(gè)交點(diǎn),由圖象可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1,2).規(guī)律方法

已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有實(shí)根)求參數(shù)的方法(1)直接法:根據(jù)題設(shè)條