2025年高中物理競賽評價性試題專項訓練（三）一、力學綜合應用題（一）多體耦合系統(tǒng)的動態(tài)演化題目：如圖所示，質量為M=3kg的光滑滑塊靜止于水平地面，滑塊上表面為半徑R=1m的1/4光滑圓弧軌道，軌道底端與水平地面相切。質量m=1kg的小球從軌道頂端由靜止釋放，與靜止在地面上的質量m?=0.5kg的彈性小球發(fā)生正碰（碰撞時間極短）。已知重力加速度g=10m/s2，所有接觸面均光滑。求：（1）小球滑至圓弧底端時的速度大小；（2）若兩小球碰撞后交換速度，求碰撞后m?的速度；（3）碰撞后滑塊M能獲得的最大速度。解題思路：動量守恒與機械能守恒：小球下滑過程中，滑塊與小球組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，機械能守恒。設小球滑至底端時速度為v?（水平向右），滑塊速度為v?（水平向左），則：水平動量守恒：(mv?-Mv?=0)機械能守恒：(mgR=\frac{1}{2}mv?2+\frac{1}{2}Mv?2)聯(lián)立解得：(v?=\sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}=\sqrt{\frac{2×3×10×1}{3+1}}=\sqrt{15}≈3.87,\text{m/s})，(v?=\frac{m}{M}v?=\frac{1}{3}×3.87≈1.29,\text{m/s})。彈性碰撞規(guī)律：兩小球發(fā)生彈性碰撞且交換速度，碰撞前m速度為v?，m?靜止，故碰撞后m速度為0，m?速度為v?=3.87m/s?；瑝K速度分析：小球碰撞后靜止，滑塊因無水平外力作用，保持原有速度v?=1.29m/s，故最大速度為1.29m/s。易錯點：忽略滑塊與小球的水平動量守恒，直接對小球應用機械能守恒導致結果錯誤；誤認為碰撞后滑塊速度會變化，未意識到滑塊與小球碰撞時已分離，水平方向動量不再關聯(lián)。（二）非線性振動系統(tǒng)的奇異點分析題目：一“柔索-滑塊-彈簧”耦合系統(tǒng)如圖所示，質量為m的滑塊通過勁度系數(shù)k的彈簧連接于墻面，水平柔索一端固定于滑塊，另一端繞過定滑輪懸掛質量為M的重物，系統(tǒng)靜止時彈簧無形變。已知柔索不可伸長且質量不計，滑輪與柔索間無摩擦，重力加速度為g。若給滑塊一水平初速度v?，試通過拉格朗日方程推導系統(tǒng)運動的奇異點條件（即滑塊加速度突變的位置）。解題思路：廣義坐標選?。阂曰瑝K偏離平衡位置的水平位移x為廣義坐標，此時彈簧伸長量為x，重物上升高度為x，系統(tǒng)動能為：(T=\frac{1}{2}m\dot{x}2+\frac{1}{2}M\dot{x}2=\frac{1}{2}(m+M)\dot{x}2)勢能為：(V=\frac{1}{2}kx2-Mgx)（重力勢能以平衡位置為零點）。拉格朗日方程：(\fracfvtxvlt{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{x}})-\frac{\partialL}{\partialx}=0)，其中(L=T-V=\frac{1}{2}(m+M)\dot{x}2-(\frac{1}{2}kx2-Mgx))。代入得：((m+M)\ddot{x}+kx-Mg=0)，即(\ddot{x}=\frac{Mg-kx}{m+M})。奇異點條件：加速度突變對應柔索張力為零的位置，此時重物失重，柔索無拉力，系統(tǒng)退化為彈簧振子。張力(T=Mg-m\ddot{x})，當T=0時：(Mg=m\ddot{x}=m·\frac{Mg-kx}{m+M})，解得(x=\frac{Mgm}{k(m+M)})，此即奇異點位置。易錯點：未考慮柔索張力為零的臨界狀態(tài)，直接將系統(tǒng)視為線性振動；廣義坐標選擇錯誤，引入多余變量導致拉格朗日方程復雜。二、電磁學綜合應用題（一）時變電磁場中的能量轉化題目：如圖所示，間距L=0.2m的平行金屬導軌固定在傾角θ=30°的絕緣斜面上，導軌上端接有R=1Ω的定值電阻，下端通過開關S與電容C=200μF的電容器相連。整個裝置處于垂直斜面向上的勻強磁場中，磁感應強度B=0.5T。質量m=0.1kg的金屬棒ab垂直導軌放置，與導軌間的動摩擦因數(shù)μ=√3/6?，F(xiàn)閉合開關S，將金屬棒由靜止釋放，已知重力加速度g=10m/s2，導軌和金屬棒電阻不計。求：（1）金屬棒下滑過程中的最大速度v?；（2）當金屬棒達到最大速度后，斷開開關S，求此后電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q；（3）若從釋放金屬棒到斷開開關的過程中，電容器充電至電壓U=0.4V，求此過程中金屬棒下滑的距離x。解題思路：最大速度分析：閉合S時，金屬棒切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢(E=BLv)，電容器充電電流(I=C\frac{dE}{dt}=CBL\frac{dv}{dt})。金屬棒受力：重力沿斜面分力(mg\sinθ)，摩擦力(f=μmg\cosθ)，安培力(F_A=BIL=B2L2C\frac{dv}{dt})。由牛頓第二定律：(mg\sinθ-μmg\cosθ-B2L2C\frac{dv}{dt}=m\frac{dv}{dt})當加速度a=0時速度最大，此時(mg\sinθ=μmg\cosθ)（代入μ=√3/6，θ=30°驗證：(\sin30°=0.5)，(μ\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}=0.25)，等式不成立，需考慮穩(wěn)定時電容器充電結束，I=0，安培力為零）。修正：穩(wěn)定時電容器電壓U=BLv?，電流I=0，故(mg\sinθ=μmg\cosθ)，解得(v?=\frac{mg(\sinθ-μ\cosθ)R}{B2L2}=\frac{0.1×10×(0.5-0.25)×1}{0.52×0.22}=5,\text{m/s})。焦耳熱計算：斷開S后，電容器放電，能量全部轉化為電阻R的焦耳熱：(Q=\frac{1}{2}CU2=\frac{1}{2}×200×10??×(0.4)2=1.6×10??,\text{J})。下滑距離計算：對金屬棒應用動量定理，合外力沖量等于動量變化：((mg\sinθ-μmg\cosθ)t-BILt=mv?)其中(It=Q_C=CU)（電容器充電電荷量），代入得：(mg(\sinθ-μ\cosθ)t-BLCU=mv?)又(x=\frac{1}{2}at2)，且(a=\frac{v?}{t})，聯(lián)立解得(x=\frac{mv?2+BLCUv?}{mg(\sinθ-μ\cosθ)v?}=2.5,\text{m})。易錯點：忽略電容器充電時的電流特性，誤將安培力表達式寫為(F_A=B2L2v/R)；動量定理應用時遺漏安培力沖量項(BILt=BQ_CL)。（二）電磁波在梯度折射率介質中的傳播題目：一圓柱形光纖的折射率沿徑向分布為(n(r)=n?\exp(-αr2))，其中n?=1.5，α=0.1mm?2。若光以波長λ=600nm的TE波（橫電波）沿光纖軸線傳播，試計算其截止頻率f_c及能流密度分布I(r)。解題思路：截止頻率計算：TE波在柱坐標系下滿足亥姆霍茲方程(\frac{1}{r}\fraczvbznlj{dr}(r\frac{dE_φ}{dr})+(k?2n2(r)-β2-\frac{1}{r2})E_φ=0)，其中(k?=2π/λ)，β為傳播常數(shù)。截止條件對應β=0，此時方程退化為(\frac{d2E_φ}{dr2}+\frac{1}{r}\frac{dE_φ}{dr}+(k?2n?2\exp(-2αr2)-\frac{1}{r2})E_φ=0)。采用漸近近似（r→∞時n(r)→n?），解得截止波數(shù)(k_c=\sqrt{2α}n?k?)，截止頻率(f_c=\frac{c}{λ}·\sqrt{2α}n?/2π≈1.2×101?,\text{Hz})。能流密度分布：由坡印廷矢量(S=\frac{1}{μ?}E×B)，TE波中(B_z=\frac{β}{ω}E_φ)，故(I(r)=|S_z|=\frac{β}{μ?ω}|E_φ|2)。結合貝塞爾函數(shù)解，可得(I(r)∝r2\exp(-2αr2))，呈高斯分布。易錯點：混淆TE波與TM波的場分量，錯誤代入縱向電場表達式；未考慮折射率的徑向變化，直接套用均勻介質光纖公式。三、熱學與近代物理綜合應用題（一）梯度溫度場中的布朗運動熵產(chǎn)率題目：在沿x軸正方向的梯度溫度場(T(x)=T?+αx)中，質量為m的布朗粒子做一維運動，其朗之萬方程為(m\frac{dv}{dt}=-γv+ξ(t))，其中γ為黏滯系數(shù)，ξ(t)為隨機力。試推導粒子的熵產(chǎn)率表達式(\frac{dS}{dt})。解題思路：Fokker-Planck方程：粒子的概率密度分布滿足(\frac{\partialP}{\partialt}=D\frac{\partial2P}{\partialx2}+\frac{1}{mγ}\frac{\partial}{\partialx}(m\frac{dU}{dx}+k_BT\frac{d\lnT}{dx})P)，其中(D=\frac{k_BT}{mγ})為擴散系數(shù)，U(x)為外力勢能（此處U=0）。熵產(chǎn)率公式：由非平衡態(tài)熱力學，熵產(chǎn)率(\frac{dS}{dt}=k_B\intdx(\frac{J}{D})2D=k_BD\intdx(\frac{\partial\lnP}{\partialx}+\frac{1}{2k_BT}\frac{dT}{dx})2)，積分后得(\frac{dS}{dt}=\frac{k_Bα2}{4D})。易錯點：忽略溫度梯度對概率分布的影響，未引入(\frac{d\lnT}{dx})項；混淆熵產(chǎn)率與熵流，誤將熱傳導熵變計入粒子熵產(chǎn)率。（二）量子糾纏態(tài)的退相干過程題目：兩電子組成的量子系統(tǒng)初始處于貝爾態(tài)(|Φ??=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01?+|10?))，若環(huán)境導致其中一個電子發(fā)生相位退相干，密度矩陣變?yōu)?ρ=\frac{1}{2}(|01??01|+|10??10|+e^{-γt}|01??10|+e^{-γt}|10??01|))，其中γ為退相干速率。求t=1/γ時系統(tǒng)的糾纏度（以并發(fā)度C表示）。解題思路：并發(fā)度公式：兩量子比特系統(tǒng)的并發(fā)度(C=\max(0,\sqrt{λ?}-\sqrt{λ?}-\sqrt{λ?}-\sqrt{λ?}))，其中λ?,λ?,λ?,λ?為矩陣(ρ\tilde{ρ})的特征值，(\tilde{ρ}=(σ_y?σ_y)ρ^*(σ_y?σ_y))。特征值計算：代入ρ得(ρ\tilde{ρ}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1&0&0&e^{-2γt}\0&0&0&0\0&0&0&0\e^{-2γt}&0&0&1\end{pmatrix})，特征值為(\frac{1±e^{-2γt}}{4})（二重根）。糾纏度結果：t=1/γ時，(e^{-2γt}=e^{-2}≈0.135)，故(C=\sqrt{\frac{1+0.135}{4}}-\sqrt{\frac{1-0.135}{4}}≈0.53-0.46=0.07)。易錯點：錯誤計算(ρ\tilde{ρ})的矩陣元，混淆直積與普通乘積；未考慮特征值的二重性，導致并發(fā)度公式應用錯誤。四、波動光學與流體力學應用題（一）雙縫干涉中的薄膜效應題目：用波長λ=600nm的單色光做雙縫干涉實驗，雙縫間距d=0.2mm，光屏到雙縫的距離D=1m?，F(xiàn)將一厚度e=6μm、折射率n=1.5的透明薄膜覆蓋在其中一條縫上，求：（1）零級明紋移動的方向及距離Δx；（2）覆蓋薄膜后，原第三級明紋處現(xiàn)在的條紋級數(shù)k。解題思路：零級明紋移動：薄膜引入光程差(Δ=(n-1)e=(1.5-1)×6μm=3μm=5λ)，零級明紋向覆蓋薄膜的縫側移動，移動距離(Δx=\frac{DΔ}bbxvvth=\frac{1×3×10??}{0.2×10?3}=15,\text{mm})。條紋級數(shù)變化：原第三級明紋位置滿足(Δx?=\frac{3Dλ}znjrplt)，覆蓋薄膜后光程差(Δ'=3λ-5λ=-2λ)，故(k=-2)（即第二級暗紋）。易錯點：誤將光程差計算為ne，忽略薄膜厚度與空氣的差值；條紋移動方向判斷錯誤，認為向未覆蓋縫側移動。（二）流體沖擊問題題目：某水庫泄洪道為直徑d=2m的柱形管道，出口處水流速度v=10m/s，水流垂直沖擊下游水平放置的固定平板，已知水的密度ρ=1×103kg/m3，重力加速度g=10m/s2。求：（1）泄洪道的流量Q及水流對平板的沖擊力F；（2）若平板與水平面成θ=60°角，沖擊力大小F'。解題思路：流量與沖擊力：