2/30專題5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（舉一反三講義）【人教A版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用】 2【題型2三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用】 3【題型3幾何中的三角函數(shù)模型】 5【題型4用擬合法建立三角函數(shù)模型】 7【題型5三角函數(shù)新定義】 9知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用1．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中各量的物理意義在物理中，描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量，如振幅、周期和頻率等都與函數(shù)中的常數(shù)有關(guān).振幅振幅A是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離周期，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間頻率，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)相位ωx+φ稱為相位初相x=0時(shí)的相位φ稱為初相2．三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用(1)三角函數(shù)應(yīng)用的步驟(2)三角函數(shù)的常見應(yīng)用類型

①三角函數(shù)在物體簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用.

物體的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種常見的運(yùn)動(dòng)，它的特點(diǎn)是周而復(fù)始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

②三角函數(shù)在幾何、實(shí)際生活中的圓周運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用.

物體的旋轉(zhuǎn)顯然具有周期性，因此也可以用三角函數(shù)來模擬這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

③三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用.

大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解決這些問題.【題型1三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用】【例1】（24-25高一下·江西上饒·階段練習(xí)）某個(gè)彈簧振子在完成一次全振動(dòng)的過程中的位移y（單位：mm）與時(shí)間t（單位：s）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=20sin10π3t?A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s【變式1-1】（2025·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）交流電的瞬時(shí)值隨時(shí)間周期性變化，正負(fù)號(hào)表示電流方向的交替變化.電流強(qiáng)度I（安）隨時(shí)間t（秒）變化的函數(shù)I=Asinωt+φA>0,ω>0,0<φ<π2A．?5安 B．5安 C．?53安 D．5【變式1-2】（2025高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置，我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖（1）．由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開平衡位置的位移y（單位：m）和時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為y=sinωt+φω>0,φ<π，如圖（2）．若該阻尼器在擺動(dòng)過程中連續(xù)三次到達(dá)位置y0（?1<y0<1）的時(shí)間分別為t1，t2，t3A．13?s B．23?s 【變式1-3】（24-25高一下·廣東廣州·期末）如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在t秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h厘米由關(guān)系式ht=Asinωt+φ確定，其中A>0，ω>0，A．hB．t=9秒與t=5C．當(dāng)0<t<t0D．當(dāng)0<t1<t【題型2三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用】【例2】（24-25高一下·山東棗莊·期末）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今仍在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中發(fā)揮作用，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理．一半徑為2m的筒車水輪如圖，水輪圓心O距離水面1m，已知水輪每30s逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開始計(jì)時(shí)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)P再次進(jìn)入水中用時(shí)20sB．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)25s時(shí)，點(diǎn)P處于最低點(diǎn)C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)28.75s時(shí)，點(diǎn)P距離水面2D．點(diǎn)P第三次到達(dá)距水面1+3【變式2-1】（24-25高一下·江西·階段練習(xí)）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位H（單位：m）隨時(shí)間t（單位：h,0≤t<24）的變化近似滿足關(guān)系式Ht=A+BA．12h B．14h C．16h D．18h【變式2-2】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈fx=Asinωx+φ+bA>0,ω>0,φ<π2的模型波動(dòng)（x為月份），已知3月份達(dá)到最高價(jià)A．fB．fC．fD．f【變式2-3】（24-25高一上·江蘇徐州·期末）如圖，摩天輪的半徑為60m，點(diǎn)O距地面的距離為70m，摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每18min轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最高點(diǎn)處，則在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，（A．轉(zhuǎn)動(dòng)9min后點(diǎn)P距離地面B．第16min和第38min點(diǎn)C．轉(zhuǎn)速減半時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所需的時(shí)間變?yōu)樵瓉淼?D．轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)P距離地面的高度不低于100m的時(shí)長(zhǎng)為【題型3幾何中的三角函數(shù)模型】【例3】（24-25高三上·河北保定·期末）如圖，點(diǎn)P為射線y=3x與以原點(diǎn)O為圓心的單位圓的交點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)在圓O上以點(diǎn)P為起始點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，每2秒轉(zhuǎn)一圈．則該動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)ft關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)的解析式是（A．ft=sinC．ft=cos【變式3-1】（24-25高一上·山東煙臺(tái)·期末）如圖，直線AB與單位圓相切于點(diǎn)O，射線OP從OA出發(fā)繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在此過程中，記∠AOP=x(0<x<π)，射線OP經(jīng)過的單位圓O內(nèi)陰影部分的面積為S，則對(duì)函數(shù)S=f(x)說法正確的是（A．當(dāng)x=π2B．?x1C．對(duì)?x∈0,πD．對(duì)?x∈0,π【變式3-2】（24-25高一下·山東聊城·期中）在校園美化?改造活動(dòng)中，要在半徑為15m，圓心角為2π3的扇形空地EOF的內(nèi)部修建一矩形觀賽場(chǎng)地ABCD，如圖所示.取CD的中點(diǎn)M，記(1)寫出矩形ABCD的面積S與角θ的函數(shù)關(guān)系式；(2)求當(dāng)角θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出最大面積.【變式3-3】（24-25高一上·廣東廣州·期末）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=2π3，半徑OA=2.在弧AB上取一點(diǎn)C，向半徑OA、OB分別作垂線，與線段OA、OB分別相交于D、E，得到一個(gè)四邊形（1）設(shè)∠COD=x，將四邊形CDOE的面積S表示成x的函數(shù)；（2）求四邊形CDOE的面積S的最大值.【題型4用擬合法建立三角函數(shù)模型】【例4】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）某港口水深y（米)是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：t（小時(shí)）03691215182124y（米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asin

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出y=Asinωt+b(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間？（忽略離港所用的時(shí)間）【變式4-1】（24-25高一下·四川涼山·期末）某地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增.下表是2024年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：月份1月份2月份3月份4月份收購(gòu)價(jià)格（元/斤）8987養(yǎng)殖成本（元/斤）55.5866.32現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型：①y=Asinωx+φ+B，（A>0，ω>0，?(1)請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個(gè)函數(shù)模型解析式；(2)按照你選定的函數(shù)模型，分析今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在5，6，7，8月份分別是盈利還是虧損？【變式4-2】（24-25高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩(shī)展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，通過實(shí)地考察某港口水深y（米）與時(shí)間0≤t≤24（單位：小時(shí)）的關(guān)系，經(jīng)過多次測(cè)量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時(shí)）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請(qǐng)你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時(shí)間段的建議．【變式4-3】（24-25高一下·湖北黃岡·階段練習(xí)）某市某日氣溫y(°C)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))t（時(shí)）03691215182124y(°C15.714.015.720.024.226.024.220.015.7根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)y=Asin(wt+φ)+b(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試求函數(shù)y=Asin(wt+φ)+b(2)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，某種特殊商品在室外銷售可獲得3倍于室內(nèi)銷售的利潤(rùn)，但對(duì)室外溫度的要求是氣溫不能低于23°【題型5三角函數(shù)新定義】【例5】（24-25高一下·吉林·期末）對(duì)于函數(shù)f(x)，在使f(x)≥M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值稱為函數(shù)f(x)的“下確界”.若函數(shù)f(x)=3cos2x?π3+1，x∈?πA．?π6,π2 B．?π【變式5-1】（24-25高二下·福建漳州·期末）對(duì)于集合A=θ1,θ2,?,θn和常數(shù)θ0，定義：μ=1nA．23 B．1 C．53【變式5-2】（24-25高一下·河南·階段練習(xí)）對(duì)于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)t（t∈R），使得f(x+t)+tf(x)=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則稱f(x