高一下學(xué)期《復(fù)數(shù)》期末復(fù)習(xí)綜合練習(xí)

知識點回顧

復(fù)數(shù)的基本概念

1、虛數(shù)單位i

數(shù)i叫做虛數(shù)單位，它的平方等于T,即/=一］.

知迨點詮釋：

（1）i是-1的一個平方根，即方程丁=-1的一個根，方程丁=-1的另一個根是T；

（2），可與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.

2、復(fù)數(shù)的概念

形如a+bi（a,b￡R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作：z=a+bi（a,beR）；

其中：。叫復(fù)數(shù)的實部，。叫復(fù)數(shù)的虛部，i是虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集,

用字母C表示.

知識點詮釋：

復(fù)數(shù)定義中，a,bwR容易忽視,但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù).

3、復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)z=a+初（ageR）

若〃=0,則抗為實數(shù)，若匕工0,則a+4?為虛數(shù)，若a=0且人/0,則人為純虛數(shù).

分類如下：

實數(shù)S=o）

z=a+bi(a,bwR)-純虛數(shù)（”0）

虛數(shù)SwO>

非純虛數(shù)（。工0）

用集合表示如下圖

4、復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系

N押2Q?RC（其中N為自然數(shù)集，Z為整數(shù)集，Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為

復(fù)數(shù)集.）

復(fù)數(shù)的幾何意義

I、復(fù)平面、實軸、虛軸：

如圖所示，復(fù)數(shù)z=a+〃(a,〃eH)可用點Z(a力)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的

平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，”軸叫做實軸，軸叫做虛軸

知識點詮釋：

實軸上的點都表示實數(shù).除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).

2、復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系

按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)

的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即

復(fù)數(shù)z=。+〃/?<-型J復(fù)平面內(nèi)的點Z(.,〃)

這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

3、更數(shù)集與復(fù):平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)

數(shù)是一一對應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù).

設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點4。的)表示復(fù)數(shù)z=〃+〃QbwR),向顯應(yīng)由點Z(a份唯一確定；反過

來，點也可以由向量02唯一確定.

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量位所成的集合是一一對應(yīng)的，即

復(fù)數(shù)z=a+〃_平面向量52

這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.

4、復(fù)數(shù)的模

設(shè)。2=4+歷(〃,AeR),則向量02的長度叫做復(fù)數(shù)z="+4的模，記作|。+研.

Iz|=|0Z|=\la2+b220

知識點詮釋：

①兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小.

②復(fù)平面內(nèi)，表示兩個共扼復(fù)數(shù)的點關(guān)于x軸對稱，并且他們的模相等.

考點探究

復(fù)數(shù)的概念

例1、若復(fù)數(shù)z滿足z(l-2i)=5,則()

A.z=l-2Z

B.z+1是純虛數(shù)

C.空數(shù)z在燈平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限

D.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在角。的終邊上，則cosa=@

5

【答案】D

【解析】由題設(shè)，z=3=l+2i且對應(yīng)點在第一象限，A、C錯誤：

1-21

z+l=2+2i不是純虛數(shù)，B錯誤；

由z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,2),所以cosa=半，D正確.

故選：D

例2、已知下列三個命題：①若復(fù)數(shù)zl,z2的模相等，則zl,z2是共扼復(fù)數(shù);②zl,z2都

是復(fù)數(shù)，若zl+z2是虛數(shù)，則zl不是z2的共枕復(fù)數(shù)；③復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z=5.

則其中正確命題的個數(shù)為

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【解析】運用復(fù)數(shù)的模、共扼復(fù)數(shù)、虛數(shù)等知識對命題進行判斷.對于①中復(fù)數(shù)Z和Z2的模

相等，例如和句是共知復(fù)數(shù)是錯誤的;對于②句和都是復(fù)數(shù)，若馬+是

Z=l+i,z2=y/2iM4227

虛數(shù),則其實部互為相反數(shù)，則4不是々的共貌復(fù)數(shù)，所以②是正確的；

對于③復(fù)數(shù)z是實數(shù)，令z=a,則5所以z=5,反之當(dāng)z=3時，亦有復(fù)數(shù)z是實數(shù)，故復(fù)數(shù)z

是實數(shù)的允要條件是z=5是正確的.綜上正確命題的個數(shù)是2個.

故選c

復(fù)數(shù)的四則運算

例(1)化簡(3-2i)(l+i)；

(2)已知兔數(shù)的Z=2+L求」.

1z

【解析](1)(3-2i)(l+i)=3+3i-2i-2i2=5+i；

(2)由已知得Z=2+!=2+[=2T,

1r

1_I2+i_2+i2i_

?*,z-2^i-(2+i)(2-i)-_5__5+5*

復(fù)數(shù)的幾何意義

例1、已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（3,-4j,則同為

【答案】1

【解析】由已知得該復(fù)數(shù)z=3-4i,

則?5(3+4i)

=1,

Z(3-4i)(3+4i)

故答案為：1.

復(fù)數(shù)方程

例1、若關(guān)于X的方程f+（4+i）x+3+〃i=0無實根，則實數(shù)p的取值范圍是

【答案】（f』）U（L3）U（3,y）

【解析】若方程丁+（4+1卜+3+加=0無實根，即：￡+4x+3+（x+〃）i=0無實根,

假定方程有實數(shù)根，而〃為實數(shù)，則%+〃=。，且V+4x+3=0,

解得〃=1或〃=3,因此原方程無實數(shù)根時，〃工1且〃羊3,

故實數(shù)p的取值范圍是（一8,1”（1,3”（3,拔）.

故答案為：（-oo,l）U（l,3）0（3,+oo）

例2、設(shè)關(guān)于x的實系數(shù)方程/_g+3=0的兩個虛根為a、B,則同+披=

【答案】2百

【解析】由題可知，皿=3,

設(shè)a=a+〃i,P=a-b\,a,b《R,

則。/?=3=>/+/=3,

則同+網(wǎng)=2yla2+b2=25.

故答案為：2#>

復(fù)數(shù)最值問題

例1.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+3i|=|z-i|,則|z+I+2i|的最小值為()

A.1B.3C.75D.5/5

【答案】A

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,

因為復(fù)數(shù)z滿足|z+3i|=|z-i|,

所以由系數(shù)的幾何意義可如，點Z到點(。,-3)和(O.【)的距離相等，

所以在復(fù)平面內(nèi)點Z的軌跡為y=-i,

又|z+1+2i|表示點Z到點(T-2)的距離,

所以問題轉(zhuǎn)化為V=7上的動點Z到定點(-1,-2)距離的最小值，

當(dāng)Z為(-1,-1)時，到定點(-1,-2)的距離最小，最小值為1,

所以|z+l+2i|的最小值為1,

故選：A.

例2、已知復(fù)數(shù)z滿足回=1,則|z+3-4i|(i為虛數(shù)單位)的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】由曰=1可設(shè)：z=cose+isin。，

/.z+3-4i=(cos62+3)+(sin-4)i,

.\|z+3-4i|=J(cos3+3f+(sin6_4)2_/於?3+sin」8+(6cos"8sine)+25

=j26+lOcos(O+0)(其中cos^>=—,sin(f>=—),

,、34

.,.當(dāng)cos(6+°)=1時，Upz=---iH-,

|2+3-4以=126+10=6.

故選：C.

專題練習(xí)

一、單選題

1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程/-2%+2=0的兩個根分別為巧，巧，則|5+2司=()

A.1B.75C.>/7D.VlO

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于直線)，=x對稱，若馬=2+匕則區(qū)+1-同=()

A.>/29B.5C.75D.1

3.如圖，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為歷，且|z-i|=5,則向量場在向量即上的投影向量的坐標(biāo)

4.己知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足忖=1.則卜+1)(5-可取最大值時，在復(fù)平面上以三對應(yīng)

的點，4(7,0),8(0,1)為頂點的三角形的形狀是()

A.等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

5.已知卬z?都是復(fù)數(shù)，其共擾復(fù)數(shù)分別為2,三，則下列說法錯誤的是()

A.Z|+Z2=Z|+Z2B.以囚二㈤同

C.若|Z[+Z2|=L-Z2|,則乎2=。D.z,-z2=^-z^

6.復(fù)數(shù)z=a+0i他力eR.i是慮數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z,設(shè)r=|。殊0是以x軸的非

負半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z=a-優(yōu)=Ncos0+isinO),把

NcosO+isin，)叫做復(fù)數(shù)“十方的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進行復(fù)數(shù)的指數(shù)運算,

［廠(cos〃+isin6)T=r"(cos〃e+isin〃e)(〃￡N),例如:

=cos27t+isin27t=1,

復(fù)數(shù)Z滿足：z3=l+i，則Z可能取值

為（）

B.同cos羽+isin嗎

A.V[2T\cos—71+i.s.in—It

I1212I44J

7.已知設(shè)z=x+yi(x,)，eR),則I(x-3)+(y+3)i|=2,則|z+11的最小值為()

A.3B.4C.5D.6

8.已知復(fù)數(shù)z=cos慈+isin燕,則(zf卜2-1)?(血-1)=()

A.2022B.2023C.-2022D.-2023

9.已知復(fù)數(shù)Z-z2和z滿足團=閆=1,若憶-22|=|馬-1|=卜2-2|,則忖的最大值為（）

A.2石B.3C.GD.I

0.已知復(fù)數(shù)Z滿足|z|=l,且有j+z=l，求7=()

A.-+-iB.—±1/C.-±—ZD.都不對

222222

二、多選題

11.已知復(fù)數(shù)4，Z2（Z?+0）,下列命題中正確的是（）

A.若z；eR,則Z|CRB.若芻wR,則

z2

C.若［Z,Z2|=2Z2，則44=4D.若2仔2=卜「，則4=4

12.已知復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù)為云，下列說法正確的是（）

A.z-彳可能為虛數(shù)

B.z2+（z）2為實數(shù)

C.|z|+|z|>|z+z|

D.若z為一元二次方程d—6x+12=0的一個復(fù)數(shù)根，則J+二=:

zz2

13.下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)2=止-i（i為虛數(shù)單位）的虛部為-2

1

B.已知復(fù)數(shù)不々，若z；+z；=O,則4=z=0

C.若|z|=l,zwC,則|z-2|的最小值為1

D.已知復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)4的虛部不為0,則五二國

22㈤

14.下列命題中正確的是（）

A.若z=l-2i,則忖=，5

B.若23+1,則z二=-2

C.己知R,i是關(guān)于x的方程Y+〃?”+〃=0的一個根，則〃7+〃=1

D.若復(fù)數(shù)z滿足|z—l|=2,則|z+i|的最大值為2+&

15.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)疝應(yīng)的點為Z,原點為O,i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）

A.若|z?（2+i）|=J布，則z-N=2

B.若點Z的坐標(biāo)為（-3,2）,且z是關(guān)于x的方程f+px+,/=（）（p,qeR）的一個根，則

p+q=\9

C.若復(fù)數(shù)z=一1,則復(fù)數(shù)5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限

1+1

D.若復(fù)數(shù)z滿足|z-l+2i|=l,則目的最小值為方-1

三、填空題

16.已知虛數(shù)z,其實部為1,且z+：=〃?（/〃eR）,則實數(shù)小為

17.已知復(fù)數(shù)z=l-i（i是虛數(shù)單位），則z2-4的共枕奧數(shù)是

Z

18.己知,，巧是方程——x+2=（）的兩根，則x：+*=,|*一司=

19.設(shè)z為復(fù)數(shù),若|z—2i|=l,則|z|的最大值為

20.已知三個復(fù)數(shù)Z-z2fZ3,且團=同|=2,閭=0,Z一向所對應(yīng)的向量西，OZ；

滿足鬲?西=0；則卜-4-馬|的最大值為

四、解答題

21.已知復(fù)數(shù)Z1=2sin?—Gi,4=l+（2cos，）i,6c

（1）若2為實數(shù),求6的值;

⑵設(shè)及數(shù)Z/2在更平面由對應(yīng)的向后分別是a若（2"/；）乂”沙），求cos,-5的

值.

22.已知復(fù)數(shù)馬=4+不~=4+33為虛數(shù)單位，其中“是實數(shù).

⑴若至是實數(shù)，求。的值；

Z2

⑵若復(fù)數(shù)zg在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求。的取值范圍.

23.設(shè)復(fù)數(shù)Z]=l-〃i(aeR),Z2=3-4i.

(I)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4-無對應(yīng)的點在第二象限，求a的取值范圍;

⑵若三是純虛數(shù)，求|zj.

Z|

24.已知好數(shù)4=co*0_i,u=sinG+i,其中OcR.

(I)^z1z1+z2z2的值;

⑵求|z%|的最大值并說明取得最大值時e的取值集合.

25.設(shè)復(fù)數(shù)z=l-ai（4€R）,Z2=3-4/.

⑴若馬+4是實數(shù)，求Z1?2；

⑵若曼數(shù)(zj2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)。的取值范圍;

⑶若復(fù)數(shù)Z滿足|z-W=l,求|z|的最小值.

26.已知復(fù)數(shù)Z1=4+i,z2=l-?i,(awR,i是虛數(shù)單位).

⑴若4-々在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，求實數(shù)”的取值范圍:

(2)若Z1是實系數(shù)一元一次方程“2_2x+2=0的根.求實數(shù)a的值：

(3)若Z|=W，且2；+〃/+〃(〃2,〃6#是實數(shù)，求實數(shù)川的值.

27.已知復(fù)數(shù)z=3短+（/+同產(chǎn)（xeR）的實部與虛部的和為〃江

⑴若/。）=8,且%>0,求復(fù)數(shù)iz的虛部；

⑵當(dāng)/（“取得最小值時，且馬=25+-^-如?i在第四象限，求機的取值范圍.

in-\m+\

28.歐拉公式：e1'=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位，xeR）,是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的.它

將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到了復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽為“數(shù)

學(xué)中的天橋”.

⑴根據(jù)歐拉公式計算e3;

V

⑵設(shè)函數(shù)/3=?…+丫+?—七）2,求函數(shù)?。┰谟H與上的值域.

29.任意一個復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式都可寫成復(fù)數(shù)三角形式，即z=a+加=〃(cose+isin。)，其

中i為虛數(shù)單位，r=\z\=y/a2+b2>0,。，2n).棣莫弗定理由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667?

1754)創(chuàng)立.設(shè)兩個復(fù)數(shù)用三角函數(shù)形式表示為：Zj=/;(cos6>+isin6(),z2=/;(cosft+isin6>2),

則：馬22=格卜0$(4+幻+15吊(4+02)].如果令馬=22=...=ZM=Z,則能導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公

式：z"二/(cosno+isin地).請用以上知識解決以下問鹿.

(1)試將z=G-3i寫成三角形式；

(2)試應(yīng)用復(fù)數(shù)乘方公式推導(dǎo)三倍角公式：sin3〃=3sinO-4sin:0；cos36=4cos3cos。：

(3)計算:cos46>+cos4(6+120。)+8s4(6-120。)的值.

30.現(xiàn)定義“〃維形態(tài)復(fù)數(shù)z"”：z”=cos〃，+isin〃，，其中i為虛數(shù)單位，〃eN<,"0.

⑴當(dāng)0=2時，證明：“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“1維形態(tài)復(fù)數(shù)”之間存在平方關(guān)系；

⑵若“2維形態(tài)復(fù)數(shù)”與“3維形態(tài)復(fù)數(shù)”相等，求sin|e+：）的值；

⑶若正整數(shù)加，〃（加滿足與=4，z*z3證明：存在有理數(shù)心使得

參考答案

1.D

【分析】先求出兩復(fù)數(shù)根，再根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運算及復(fù)數(shù)的模的公式即可得解.

【詳解】根據(jù)題意可得

=±i,即x=l土i,

x

當(dāng)玉=1-i,々=l+i時，\+2x2=3+i,

22

.?.|X,+2X2|=V1+3=V10,

當(dāng)％=1+i,占=1一i時，-V)+2x,=3-i,

22

.\|x,+2x2|=Vl+3=ViO,

綜上，4-2.r2|=Vi0.

故選：D.

2.C

【分析】由z.Z2關(guān)于直線y=x對稱求出z2,再根據(jù)更數(shù)模的定義計算即可.

【詳解】因為馬=2+i,所以其對應(yīng)點為(2,1),

（2,1）關(guān)于直線），=工對稱的點為（1,2）,則z?=l+2i,

所以|z2+l—3i|=|l+2i+l-3i|=|2-i|=VFIF=^,

故選：C.

3.D

【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義設(shè)出復(fù)數(shù)z=T〃+〃zi(〃?>0),再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，即

可求解加，再代入向量的投影公式，即可求解.

【詳解】由題圖可知，z=r〃+〃7i(〃?>0),則=卜〃?+(/〃一l)i卜Qm2+(〃—)"=5，

解得〃?=4=一3舍去)，

一，、一，、__OZOP0P

所以O(shè)Z=(-4,4),OP=(2,4),則向量oz在向量。戶上的投影向量為，廂，

所以其坐標(biāo)為齒、黑48

V20V20b5》

故選：D

4.D

【分析】假設(shè)z=cosO+isinO,根據(jù)模長公式構(gòu)造關(guān)于/(z)的函數(shù),從而可確定當(dāng)/(z)取最

大值時，0的取值，從而求得口利用兩點間距離公式表示出所構(gòu)成三角形的三邊長，從而

可確定三角形形狀.

【詳解】因為卜l=L所以可設(shè)z=cosO+isin。，

所以(z+l)(z-i)=(cos6+isine+I)(cos6-isin6-i)

=cos20-icosOsinO-icosO+cosO-isinO-i+icosOsinO+sin?0+sinO

=(cose+sin〃+l)-i(cosO+sin?+1),

所以/(z)=J(cose+sin》+l『+(cose+sin8+l)2=^2(1+V2sin(^+^)]:,

當(dāng)sin(6i；)=l時，/(z)取最大值，

4

即當(dāng)e+U+2H,AeZ,即。=1+2而,&wZ時，/(z)取最大值，

424

此時z=2招■也

2222

所以之對應(yīng)的點z(￥，_曰),

所以|"『=(_]_曰)2+(0+當(dāng))2=2+應(yīng)，|Ze|2=(0-^y)2-(l+^y)2=2+>/2,

|AZ?|2=(i-O)2+(O-l)2=2,

所以|物=|24|,|冽2+|孫2,|叫2,根據(jù)各邊關(guān)系易知各邊對應(yīng)角為銳角，

所以該圖形為等腰三角形.

故選：D.

5.C

【分析】設(shè)4=々+阮22=。+皿〃〃.0“￡1<).利用復(fù)數(shù)的運算及共腕復(fù)數(shù)的概念判斷人。.

根據(jù)更數(shù)乘積運算及模的運算判斷B,舉反例判斷C.

【詳解】對于A,設(shè)4="+〃i,Z2=c+M(?/?,c,d￡R),z+z2=(a+c)+(〃+d)i,

則a+z2=(a+c)—(Z?+d)i,而Z1+z2=a-bi+c-ch=(a+c)-(b+d)i,

故Z]+z2=馬+馬,故A正確;

對于

B,z1-z2=(a+bi)(c^-di)=ac-bd+(ad+bc)i,

則|Z|-z2|=|?c-bd+(ad+be)i|=^(ac-bd)~+(ad+bc)~

=《(ac)"+(bd7+(ad+(/〃：)?

又區(qū)卜|z2|=+〃」?de2+」」=+(bd『+[+(be?,

所以上勾=|21Hz2.故B正確;

對于C,令4=l+i、z2=I-i,則4+z?=2,Z]-2=2i,所以歸+zj=憶-z2],

但是ZR2=(l+i)(l-i)=2,故C錯誤;

對于D,z,?z,=ac-hd—\ad+bc)\,又z(-z2=(a—〃i)(c—M)=ac—Z>d—(ad+〃c)i,

所以Z］得2=4-Zj,故D正確.

故選：C

6.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形及運算，利用復(fù)數(shù)相等可得

2knit2kn兀

z=V2cos----+一+isin----十一,kwZ,即可得解.

312312

【詳解】設(shè)z=?cos〃+isin。），

則/=1+i=V2cos：+isin：J=，(cos3e+isin36),

所以，?=啦，36=2E+；,AeZ,g|J6>=^+^JeZ.

6尻「(2E7i\.(2knn\]

所以z=12cost----11+isin----1—|,攵EZ

1312/\312/J

故&=2時，皆，故z可取啦[os詈+isin詈)，

故選：D

7.A

【分析】先求得復(fù)數(shù)z實部與虛部的關(guān)系，再去求|z+l|的最小值即可解決.

x=2cosa+3

【詳解】由|。-3)+()，+3)”=2,可得&-3)2+(>+3)2=4,可令<

y=2sina-3

則Iz+11="(x+l)2+)?=7(2cosa+4)2+(2sin<7-3)2

=j29+16cosa-12sina=j29+20sin(e-e)(。為銳角，且tan^=—)

由一1Wsin(。-a),可得34j29+20sin(°-a)W7

則Iz+11的最小值為3.

故選：A

8.B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)運算可得%的方程產(chǎn)23_1=()的根為l,z/2,…,Z2022,進而整理可

得(11心—?)…(X-？°")=|+工+...+/22,取工=1即可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)z=cos---+isin-~~-,〃eN,〃K2022,

“20232023

2”?兀..2n-n

則z產(chǎn)cos----+1sin----(2”?Ji)+isin(2"?，=1

20232023

由題意可得：z°=l,za=z\〃cN\〃<2022

可得關(guān)于X的方程守23T=0的根為Lz—…,zM2,

故產(chǎn)-1=(X-1)(XT(.Z)(-ZM2),

整理得(x-z?-z2)…卜一也”^^川+工+…+產(chǎn)：

A1

令J=l,可得("zXl-z)?(l-z2°22)=i+i+...+i2O22=2023,

且2022為偶數(shù)，所以(zT”一］)L(z2022-1)=2023.

故選：B.

9.B

【分析】先利用包:數(shù)的模與加減法的幾何意義，及三角形兩邊之和大于第三邊得到忖《3,

再將同=3時各復(fù)數(shù)的取值取出，即可得到忖的最大值.

【詳解】根據(jù)題意，得冏=%一2)-22|斗2-2|+閭=憶—1|+04|+1+1=3,

當(dāng)Z|=-l,z2=l,z=3時，|z「Z2卜匕一1|=卜2—|=2,此時忖=3,

所以|zL=3.

故選:B.

10.A

【解析】根據(jù)題意可設(shè)z=cose+isin。（i為虛數(shù)單位）；然后再利用棣莫佛公式，可得

cos17^+cos0=\

(cos17<9+cos0)+/(sin178+sin0)=1,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，可得,,利用三

sin17^+sin^=0

角函數(shù)同角關(guān)系，即可求出〃的值，進而求出結(jié)果.

【詳解】因為|W=1,設(shè)2=85。+汴由。（i為虛數(shù)單位）;

由棣莫佛公式，可得

z"+Z=cosl7e+isin17e+cose+isin%(cosl7e+cose)+j(sinl7e+sin。)，

所以(cos17〃Icos0)li(sin17〃lsin0)=1

cos17。+cos0=\cos170=1-cos夕

所以,即4

sin17。+sin6=0sin1719=-sin

因為(sinWe):+(cos178)2=1，

所以(sin17<9)2+(cosl=(一sin8『+(I-cos<9)2=I；

化簡可得sin2618s202cos—0?即1—2cos〃=0

所以cos”?,所以sin9=±J1-cos?夕=±且；

22

所以z=，士i.

22

故選：A.

11.BC

【分析】舉例說明判斷AD；利用復(fù)數(shù)運算及共扼復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的意義計算判斷BC.

【詳解】對于A,取z.=i,z.2=-leR,而4史R,A錯誤；

對于B,設(shè)Z[=百十卯/2=巧+刃，不凹，毛，＞2WR，考+才工°，

A=%+卯=（%+.甲）（占一）4）y+呼?由2R

Z2x2+y2i（x,+y2i）（x2+y2i）*+￡x；+yl'出z,

得々)i一不必二°，ZjZ2=(x)-JiiXx,+y2i)=4-y)^-x}y2)\=x[x2+yIy2eR,B正

確；

對于C,由kW=2z2及已知得z?=a>0,設(shè)4=c+$,c,dwR,

22

Iz21=\a(c+t/i)|=a\lc+d=2a,解得^+1二人

則NR]=(c+(h)(c-(Ji)=c2+d2=4,C正確：

2

對于D,取Z1=i,Z2=-i,z,z2=l=|z1|,而z產(chǎn)Z2,D錯誤.

故選：BC

12.BD

【分析】設(shè)z=a+陽a/eR),與，利用復(fù)數(shù)的乘法、平方、模長可判斷A、B、C,

運用韋認(rèn)定理判斷D.

【詳解】設(shè)z=a+/(a/eR),則下=〃-加,z-z=(a-^b'\)(a-b'\)=a2+b2,

因為4,beR,所以即Z,ZWR，故A錯誤；

222222

2+(z)=(a+b\)+(a-bi)=2a-2beR,故B正確；

|z|+|z|=>Ja2+h2+\Ja2+h2=2y]a2+b2,

\z+z\=\a+bi+a-bi\=2\a\,當(dāng)力=0時，|z[十閏=|z十司，故C錯誤；

若z為一元二次方程f-6x+12=0的一個復(fù)數(shù)根，

則)為一元二次方程V—6x+12=0的另一個復(fù)數(shù)根，

所以z+z=—；=6,zz=^=12,

-+L=^-=—=Lf故D正確.

zzz-z122

故選：BD.

13.ACD

【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)得兒何意義檢驗各選項即可判斷.

【詳解】對于A,2=上出-i=05-i=l-2i的虛部為-2,則A正確；

iii

對于B,令Z=i,z2=-i,滿足z：+z；=0,故B錯誤，

對于C,設(shè)z=a+Z?i,則/+Z?2=1,且一由z-2="一2+加，得

2222

|z—2|=5/(t/—2)+/?=\ja+b-4a+4=y/5—4a>所以z—21m=】，故CIE確:

對于D,

^(flc+M)2+(bc-ad)2

z(_a+b\_ac+bd+(be,-ad)i二J(L+陰(/+才)J/+6二㈤

c+dic2+d~\lc2+d2區(qū)|

,則D正確

故選：ACD

14.ACD

【分析】A.直接求模判斷：B.直接利用復(fù)數(shù)乘法運算求解；C.代入x=i,利用復(fù)數(shù)相等列式

計算；口設(shè)2=%+爐，求出X)，的關(guān)系并利用基本不等式求工+)，的最大值，然后代入|z+“計

算即可.

【詳解】對于A：若z=l-2i,則忖=JIT5=6，A正確;

對于B：若2=1+1,則z5=。+。(—i+l)=2,B錯誤；

對于C：由已知i2+〃2i+〃=“_l+/M=O,所以〃-1=(),〃?=(),

所以m=0,〃=1,即〃?+〃=1,C正確；

對于D：i^z=x+)i,則|zT=|xT+.yi|=2,所以(彳_1『+,2=4，

所以x'+y=3+2x,且4=(x7『+)尸2(-一；/),HPX+y<2>/2+1,當(dāng)且僅當(dāng)

x=&+1,y=&時等號成立，

所以|z+i|=J/+(y+l)2=j3+2x+2.y+l?J6+4夜=2+夜,D正確.

故選：ACD.

15.ABD

【分析】對于A：設(shè)z=〃+bi,根據(jù)復(fù)數(shù)的運算和模長可得/+6=2,即可得結(jié)果；對于

B：可知z=-3+2i,結(jié)合復(fù)數(shù)的運算可得’..即可得結(jié)果；對于C：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法

結(jié)合匆:數(shù)的幾何意義分析判斷；對于D：根據(jù)復(fù):數(shù)的幾何意義分析可知數(shù)z對應(yīng)的點是以點

(1,-2)為圓心，1為半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.

【詳解】對于A,設(shè)z=a+Z?i(。，Z?eR),

nJ得z(2+\)=(a+bi)(2+,\)=2a+2l7\+ai-b=(<2a-b)+[2b+a)\,

則|z(2+i)=小伽一方了+儂+力=而,化簡得/+62=2，

所以z-5=(a+〃i)(a-〃i)=/+〃=2,故A正確；

對于B,若點Z的坐標(biāo)為(-3,2),可知z=-3+2"

則(一3+2i『+(—3+2i)〃+q=0,整理得5+g-3〃+(2〃—12)i=0,

,5+q—3〃=0如，fp=6

可得。二仆，解得解，所以〃+。=19,故B正確；

2p-12=0(<7=13

ii(l-i)i-i21111

對于c中：因為所以轉(zhuǎn)5方,

所以復(fù)數(shù)［在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(：,一：｝在第四象限，故C不正確；

對于D中：根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，|z-l+2i|=l表示復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)i—2i對應(yīng)兩點間的

距離為1,

所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點是以點(1,-2)為圓心，1為半徑的圓，

又因為|z|表示圓上的點到原點的距離，

所以目的最小值為"+(_2)'-1=4-1，故D正確；

故選：ABD.

16.2

【分析】設(shè)z=l+〃i,直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.

【詳解】設(shè)z=l+bi,8eR且b#0.

2(ZF+3](hy-b\

則Z+—=1+M+

T+bi

從+3

?/zweR,解得小=2,

故答案為：2.

17.-1+31

2

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運算法則，求得z2—-=-l-3i,結(jié)合共擾復(fù)數(shù)的概念，即

Z

可求解.

【詳解】因為z=l-i,所以z2=(l_i)2=_2i且22(1；)]+i,

Z1-1(1-1)(]+1)

2

所以z?——=—2i—l—i=-l—3i,則其共挽復(fù)數(shù)為-l+3i.

Z

故答案為:-l+3i.

18.-3不

【分析】首先求出方程的兩根七，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方及復(fù)數(shù)的模計算可得.

【詳解】因為演，演是方程--x+2=0的兩根，又(x-gj=-5=土生

1不.

x=—+—Ix=------1

122T122

即L或，

?幣.I療.'

x,=一+—1

[-22-22

1"

=—+——1

22

不妨令，

1

=------1

22

1V7.Yfl出、1".71幣.7

所以=—+---1+------1=—+---1---+------1----3;

22Z\22/424424

所以歸-x,|=>/7.

故答案為：-3；幣

19.3

【分析】設(shè)2=。+8i,利用模的公式求出“為關(guān)系，利用。口關(guān)系消元求解忖的最大值.

【詳解】設(shè)z=a+陽a,/?cR),

則z-2i=a+M—2)i,又z—2i|=l,

所以〃2+(〃_2『=1,

所以(〃一2)飛1,即1443

所以。2+從=1一(。-2『+匕2=4/2—3￡4〉3—3=9,

所以|z|=Ja?+〃~<>/9=3.

故答案為：3.

20.372

【分析】依題意設(shè)馬=2,々=2i,Z3=JJcos夕+(J5*in〃)i,即可表示出Z3-4-z2,再由

更數(shù)的模、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

因為㈤=憶|=2且z,z?所對應(yīng)的向量誣,區(qū)滿足西.四=0,即鬲_L因,

不妨令4(2,0),5(0,2),則々=2,芻=2匕

又闖=友,設(shè)。(應(yīng)cosa&sin8)(ewR),即q=0cos?+(&sin6)i

則z3-z(-z2=>/5cose+(\/5sin9)i—2-2i=(V5cose—2)+(夜sin8-2)i,

所以Z一4一z?I='(夜cos?-2、+(&sin6-2)

=72COS2^+2sin2^-4>/2cos^-4>/2sin^+8

=^10-4>/2(cos0+sin0)

=J10-8sinf6>+->|,

VI■

所以當(dāng)sin(0+：)=—1時％-z「馬I取得最大值，即|Z3—z.—z2/=炳=3人.

故答案為：3c

21.(1)1

(2)|

【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求解；

（2）利川復(fù)數(shù)的幾何意義和平面向量的數(shù)量積運算求解.

【詳解】（1）解:因為馬=2sin6-后,z2=l+（2cos^）i,

所以4七=（2sin6-后）l+（2cos6）i]

=（2sin0+2\/5cos0）+Hsin0cos0-x/5）i,且z/z2為實數(shù)，

所以4sin〃cos夕一G=0,UPsin26^=?

2

,.....7TI-..-（7T5JT

又因為?所以,

<66；133J

所以2。=竽，則8=].

（2）由題意可得，a=（2sin。,一百），5=（I,2COS6）,因為（2A3）J.涕），所以

（2〃_萬）?（〃_〃）=2/+*2_5〃.q=0,

即2(4sin2。+3)+2(1+4cos26>)-5(2sin0-2&os。)=0,

化簡可得sin。-6cos0=:,所以sin(0.)=3,

-e、，小，九5兀1…八7t(n7ty

又因為,則夕-彳￡一工，7，

V6673\62J

所以cos?一升卜不一務(wù)|.

22.⑴牛

（2）（-00,-3）

【分析】（1）由復(fù)數(shù)的除法和乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)的意義計算即可；

（2）由共桅復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計算即可;

4+4i(?+4i)(4-3i)4a+12+(16-3a)i

【詳解】（1）7_-4+3i-(4+3i)(4-3i)-25"

因為五是實數(shù)，則16-3。=0,/.。=當(dāng)

Z23

(2)z1z2=(a+4i)(4-3i)=4t/-3ai+16i+12=(4〃+12)+(16-3a)i,

67<-3

4?+12<0_

因為復(fù)數(shù)ZZ在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則<16-3?>0=>16n4<—3,

a<—

3

故a的取值范圍為（—，-3）.

23.⑴”4；

嗚

【分析】（1）求出復(fù)數(shù)4-4及所對應(yīng)的點，再列出不等式求解即得.

（2）利用復(fù)數(shù)除法運算求出復(fù)數(shù)三，再由純虛數(shù)的意義求出“，進而求出模.

【詳解】（I）由Z=1-ai,Z2=3-4i,得z/Z2=-2+（4-a）i,

由復(fù)數(shù)z「z?對應(yīng)的點（-2,4-。）在第二象限，得4-a>0,解得”4,

所以a的取值范圍是a<4.

z,3-4i（3-4i）（l+ai）3+4a+（3a-4）i

（2）依題意，-^-=——..—7；=——1工一人是純虛數(shù)，

2

z1l-ai+\+a

3+4a=033

因此13加4工O,解得”-“則+/

所以閔=庖17T

24.（1）3

（2）y3;1I6八>|i6八>=—k九+—7TfGZr-

【分析】（1）根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)概念以及復(fù)數(shù)乘法規(guī)則運算即可.

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長和復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)合降新公式即可求解.

【詳解】⑴由題馬馬=（cose-i）（cose+i）=cos2。一i?=cos?0+l；

222

22Z2=（sinO+i）（sin0-i）=sin0-i=sin0+l，

所以Z[Z]H-ZJZJ=cos20+sin20+2=3.

(2)由題得卜122|=|(8$6—1)(a11。+。|=忖11。0080+1+(0086—5皿。)，

=V(sin0cos0+1)2+(cosO-sin0)'=Vsin_0cos20+2=七sin，26+2,

又6GR,所以當(dāng)sin26=±l即2。=版+宏壯2時，|zR取得最大值為=

故問最大值為：，此時e的取值構(gòu)成的集合為卜|0吟+?Mcz}.

25.(l)19+8i；

(2)?<-I:

(3)4.

【分析】(1)由復(fù)數(shù)加法及結(jié)果特征求出“，再利用復(fù)數(shù)乘法計算得解.

(2)由復(fù)數(shù)乘方求出(4)2,再由對應(yīng)點的特征列出不等式組，求解即得.

(3)利用給定等式的幾何意義，結(jié)合圓上的點與定點距離最值問題求解即得.

【詳解】(1)復(fù)數(shù)4=1-疝，Z2=3-4i,則Z1+z2=4+(p-4)i,由4+Z2是實數(shù),得—a—4=0,

解得a=-4，

z,=l+4i,因此馬?馬=(1+4i)(3-4i)=19+8i.

(2)(z,)2=(l-?i)2=l-d2-26/i,依題意，(1—/,_2a)在第二象限，于是Y解得

-2a>0

a<-\,

所以實數(shù)。的取值范圍是av-L

(3)顯然|z-Z2|=l是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點Z與表示復(fù)數(shù)z?的點Z?(3,-4)的距離為1,

因此點Z在以點22(3,-4)為圓心，I為半徑的圓上，而|z|是點Z到原點。的距離，

而|CZ2|=j32+(-4)2=5〉l，即原點在上述的圓外，貝IJIOZ1nm=10/1—1=4,

所以|z|的最小值是4.

26.

⑵。=1

(3)/7/=-2

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運算和幾何意義建立關(guān)于a的不等式組，解之即可求解；

(2)將4=a+i代入方程，根據(jù)相等復(fù)數(shù)的條件建立關(guān)于a的方程組，解之即可求解:

(3)由共規(guī)復(fù)數(shù)的概念與運算求出a,結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念即可求解.

【詳解】(1)Vz1-z2=?-I+(l+?)i,

則4-4在復(fù)平面對應(yīng)的點坐標(biāo)為(4-1」+〃)，4-4在復(fù)平面對應(yīng)的點落在第一象限,

[a-\>0

解得。＞1.

[1+?>0

(2)???4=a+i是方程f一2工+2=0的根,

則(a+i)2—2(a+i)+2=0,即-2a+l)+(2a-2)i=0,

a2-2a+l=0

所以＜解得4=1.

2a-2=0

(3)因為4=4，則々=1.于是4=l+i,

代入z：+g+〃，得(I+if+6(1+i)+〃，

即(m+〃)+(2+m)i是實數(shù),

2+m=0,解得〃？=—2.

27.(1)20

【分析】(1)化簡復(fù)數(shù)z=(/+x)-3,vi,得到〃x)=/-2x,根據(jù)/(刈=8,求得x=4,

得到z=20—12i,求得iz=12+20i,即可求解;

(2)由(1)知，函數(shù)/㈤得到z=2-3i,化簡得到馬=竺一+”不，

結(jié)合4在第四象限，列出不等式組，即可求解.

【詳解】⑴解：根據(jù)題意，復(fù)數(shù)z=3短+(x2+x)i2O24=(＞+x)-3ExeR),

所以當(dāng)數(shù)z的實部為f+x,虛部為一3工，則/(x)=(f+x)—3x=『—2犬

因為/W=8,可得/一”_8=0,又因為x>0,解得火=4,

所以z=20-12i,可得iz=i（20-12i）=12+20i,所以復(fù)數(shù)。的虛部為20.

（2）解：由（1）知，函數(shù)=—

則當(dāng)x=l時，/（X）取得最小值，此時z=2-3i,

c-14〃？+9....14m+9..1(.4/w+9Y

貝nlUz=2z+------------1=4+6i+------------1=4+----+6-------i

1m-1//i+lin-1m+\拓一11m+1)

4，〃-32m-3.

=-----+------1,

m-1m+\