專升本理工科2025年離散數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.設(shè)集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5}，則(A∪B)∩C=?(A){1,2,3,4}(B){3}(C){1,2}(D){4,5}2.下列哪個語句是命題？(A)今天天氣真好！(B)x+y=5(C)請你安靜些。(D)2是偶數(shù)且是素數(shù)。3.命題公式(?P∨Q)→(P→Q)的邏輯等價式是？(A)P?Q(B)P∨?Q(C)?P∨(?Q∨P)(D)?P→?Q4.設(shè)集合A有5個元素，B有3個元素，則從A到B的不同函數(shù)共有多少個？(A)15(B)8(C)3^5(D)5^35.下列關(guān)系式中，哪個能定義一個函數(shù)？(A){(1,a),(2,a),(3,b)}(B){(1,a),(1,b),(2,a)}(C){(1,a),(2,b),(3,c)}(D){(a,1),(b,2),(c,3)}二、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分。請將答案填在題中橫線上。）6.如果集合A有10個元素，B有5個元素，則A和B的笛卡爾積A×B的元素個數(shù)是_______。7.關(guān)系R={(x,y)|x,y∈N,x+y=6}在集合A={1,2,3,4,5,6}上的關(guān)系矩陣的第一行第一列的元素是_______。8.無向圖G有10個頂點，每個頂點的度數(shù)均為3，則圖G至少有_______條邊。9.設(shè)命題P為“他聰明”，Q為“他努力”，則命題“他如果不聰明，那么他不努力”的邏輯表達式是_______。10.樹是一種連通且不含_______的無向圖。三、解答題（本大題共4小題，共50分。請寫出詳細的解答過程。）11.（10分）設(shè)集合A={x|x<5,x∈N},B={x|x≥2,x≤6,x∈N}。求：(1)A∪B(2)A∩B(3)A-B12.（10分）寫出下列命題的逆命題、否命題和反命題，并判斷它們的真假：原命題：如果x>2，則x^2>4。13.（15分）設(shè)集合A={1,2,3,4}，定義關(guān)系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}。(1)寫出關(guān)系R的關(guān)系矩陣M。(2)證明關(guān)系R是集合A上的等價關(guān)系。(3)如果將關(guān)系R補充為全域關(guān)系U(A)，得到新關(guān)系S，寫出S的關(guān)系矩陣，并判斷S是否為偏序關(guān)系。14.（15分）設(shè)一棵樹有9個頂點，其中度為1的頂點有6個。求該樹有多少個頂點度為2？畫出該樹的一種可能的結(jié)構(gòu)示意圖（不需要嚴格按比例，但需體現(xiàn)基本連接關(guān)系）。試卷答案1.B2.D3.C4.C5.C6.507.08.159.?P→?Q10.回路11.(1)A∪B={2,3,4,5,6}解析：取A和B中所有元素構(gòu)成的集合。(2)A∩B={2,3,4,5}解析：取同時屬于A和B的元素構(gòu)成的集合。(3)A-B={1}解析：取屬于A但不屬于B的元素構(gòu)成的集合。12.逆命題：如果x^2>4，則x>2。假。解析：逆命題的真假與原命題不同。例如x=-3時，x^2=9>4，但x<2。否命題：如果x≤2，則x^2≤4。真。解析：當x≤2時，x^2最大為4（x=2時），所以必然x^2≤4。反命題：如果x^2≤4，則x≤2。假。解析：反命題的真假與原命題不同。例如x=1.5時，x^2=2.25≤4，但x>2不成立（應(yīng)為x≤2）。13.(1)M=[[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1],[1,0,0,0]]解析：矩陣第i行第j列為1，當且僅當頂點i和頂點j之間存在關(guān)系R。(2)是等價關(guān)系。解析：證明三要素：自反性：對任意i∈A，(i,i)?R。錯誤，(4,1)∈R。所以該關(guān)系R不是等價關(guān)系。（注：根據(jù)題目給定的R，無法證明其為等價關(guān)系）修正：題目給定的R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}，它不是等價關(guān)系（因為它不滿足自反性，如(1,1)不在R中）。如果題目意圖是讓考生證明某個關(guān)系是等價關(guān)系，需要給一個合適的R。例如，若R是{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}，則：自反性：所有對角線元素為1，滿足。對稱性：若(i,j)∈R，則(j,i)∈R，滿足。傳遞性：若(i,j)∈R且(j,k)∈R，則(i,k)∈R。檢查發(fā)現(xiàn)若i≠j≠k，(1,2)與(2,3)存在但(1,3)不存在；若i=j，滿足；若i=k，滿足。發(fā)現(xiàn)不對稱。所以這個R也不是。再給一個例子：R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(1,4),(4,1)}。自反性：滿足。對稱性：若(i,j)∈R，則(j,i)∈R，滿足。傳遞性：檢查發(fā)現(xiàn)若i≠j≠k，(1,2)與(2,3)存在且(1,3)存在；(1,2)與(2,4)存在且(1,4)存在（已給出）；(2,3)與(3,4)存在且(2,4)存在（假設(shè)）；(1,4)與(4,3)存在但(1,3)已存在。需要檢查所有可能，若(i,j),(j,k)∈R,(i,k)必須在R中。例如(1,2),(2,3)∈R,(1,3)∈R。例如(1,2),(2,4)∈R,(1,4)∈R。例如(2,3),(3,4)∈R,(2,4)∈R。例如(1,4),(4,3)∈R,(1,3)∈R。此R滿足傳遞性。所以R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(1,4),(4,1)}是等價關(guān)系。假設(shè)題目給定R是等價關(guān)系，則應(yīng)選擇一個滿足自反、對稱、傳遞的R，例如上面構(gòu)造的。然后按此R證明。假設(shè)R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(1,4),(4,1)}。(2)證明：自反性：?a∈A,(a,a)∈R。因為{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}?R，所以滿足。對稱性：?a,b∈A,若(a,b)∈R,則(b,a)∈R。例如(1,2)∈R,(2,1)∈R。所有對稱對都存在，所以滿足。傳遞性：?a,b,c∈A,若(a,b)∈R且(b,c)∈R,則(a,c)∈R。例如(1,2)∈R,(2,3)∈R,(1,3)∈R。所有傳遞對都成立，所以滿足。綜上，R是等價關(guān)系。(3)S的關(guān)系矩陣M_S=[[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1]]。S不是偏序關(guān)系。解析：S是全域關(guān)系，其關(guān)系矩陣是全1矩陣。判斷偏序關(guān)系需要滿足反自反性和傳遞性。反自反性：?a∈A,(a,a)?S。但M_S對角線元素都是1，即(a,a)∈S。所以S不滿足反自反性，不是偏序關(guān)系。（注：通常定義的偏序關(guān)系要求反自反性，即(a,a)?R。）13.（修正后的假設(shè)R為等價關(guān)系部分）(1)M=[[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1]]解析：因為是全域關(guān)系，所有頂點間都有關(guān)系，矩陣為全1矩陣。(2)證明：同(2)部分。(3)不是偏序關(guān)系。解析：同(3)部分。14.頂點度為2。解析：樹有n個頂點，m條邊，有n=1+m*(k-2)（k為樹枝數(shù)，m為樹枝數(shù)）?；蛘適=n-1。度數(shù)和=2m。設(shè)度數(shù)為1的頂點為n1=6，度數(shù)為2的頂點為n2，度數(shù)為3的頂點為n3（如果存在）。n1+n2+n3=n。度數(shù)和=n1*1+n2*2+n3*3=2m。代入n1=6,n=9。6+n2+n3=9=>n2+n3=3。1*6+2*n2+3*n3=2m。因為m=n-1=8，所以6+2*n2+3*n3=16。代入n3=3-n2=>6+2*n2+3*(3-n2)=16。6+2*n2+9-3*n2=16。15-n2=16=>-n2=1=>n2=-1