2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)—一元二次方程組的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)及答案一、一元二次方程1．如圖，A、B、C、D為矩形的4個頂點，AB＝16cm，BC＝6cm，動點P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點A、C同時出發(fā)，點Q從點C向點D移動．(1)若點P從點A移動到點B停止，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，問經(jīng)過2s時P、Q兩點之間的距離是多少cm？(2)若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，問經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？(3)若點P沿著AB→BC→CD移動，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間△PBQ的面積為12cm2？【答案】（1）PQ=6cm；（2）s或s；（3）經(jīng)過4秒或6秒△PBQ的面積為12cm2．【解析】試題分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的長度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）設(shè)x秒后，點P和點Q的距離是10cm．在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程（16-5x）2=64，通過解方程即可求得x的值；（3）分類討論：①當(dāng)點P在AB上時；②當(dāng)點P在BC邊上；③當(dāng)點P在CD邊上時．試題解析：（1）過點P作PE⊥CD于E．則根據(jù)題意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴PQ=6cm；∴經(jīng)過2s時P、Q兩點之間的距離是6cm；（2）設(shè)x秒后，點P和點Q的距離是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=，x2=；∴經(jīng)過s或sP、Q兩點之間的距離是10cm；（3）連接BQ．設(shè)經(jīng)過ys后△PBQ的面積為12cm2．①當(dāng)0≤y≤時，則PB=16-3y，∴PB?BC=12，即×（16-3y）×6=12，解得y=4；②當(dāng)＜x≤時，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，則BP?CQ=（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-（舍去）；③＜x≤8時，QP=CQ-PQ=22-y，則QP?CB=（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．綜上所述，經(jīng)過4秒或6秒△PBQ的面積為12cm2．考點：一元二次方程的應(yīng)用．2．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實驗，把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個正方形．(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？(2)李明認(rèn)為這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2，你認(rèn)為他的說法正確嗎？請說明理由．【答案】(1)李明應(yīng)該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段；(2)李明的說法正確，理由見解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)剪成的較短的這段為xcm，較長的這段就為（40﹣x）cm．就可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）設(shè)剪成的較短的這段為mcm，較長的這段就為（40﹣m）cm．就可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就說明李明的說法錯誤，否則正確．試題解析：設(shè)其中一段的長度為cm，兩個正方形面積之和為cm2，則，（其中），當(dāng)時，，解這個方程，得，，∴應(yīng)將之剪成12cm和28cm的兩段；（2）兩正方形面積之和為48時，，，∵，∴該方程無實數(shù)解，也就是不可能使得兩正方形面積之和為48cm2，李明的說法正確．考點：1．一元二次方程的應(yīng)用；2．幾何圖形問題．3．解下列方程：（1）x2﹣3x=1．（2）（y+2）2﹣6=0．【答案】(1);(2)【解析】試題分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接開方法解即可；試題解析：解：（1）將原方程化為一般式，得x2﹣3x﹣1=0，∵b2﹣4ac=13＞0∴．∴．（2）（y+2）2=12，∴或，∴4．如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度向B點移動，點Q從B點出發(fā)，以2cm/s的速度向C點移動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【答案】經(jīng)過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【解析】【分析】作出輔助線，過點Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=×PB×QE，有P、Q點的移動速度，設(shè)時間為t秒時，可以得出PB、QE關(guān)于t的表達(dá)式，代入面積公式，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝?PB?QE．設(shè)經(jīng)過t秒后△PBQ的面積等于4cm2，則PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根據(jù)題意，?（6﹣t）?t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．當(dāng)t＝4時，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，取t＝2．答：經(jīng)過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【點睛】本題考查了一元二次方程的運(yùn)用，注意對所求的值進(jìn)行檢驗，對于不合適的值舍去．5．已知：關(guān)于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判斷方程的根的情況；(2)若△ABC為等腰三角形，BC＝5，另外兩條邊是方程的根，求此三角形的周長．2【答案】(1)有兩個不相等的實數(shù)根（2）周長為13或17【解析】試題分析：（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△=4＞0，由此可得出：無論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，將x=5代入原方程可求出m值，通過解方程可得出方程的解，在利用三角形的周長公式即可求出結(jié)論．試題解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴無論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）∵△＞0，△ABC為等腰三角形，另外兩條邊是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．將x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．當(dāng)m=2時，原方程為x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能夠組成三角形，∴該三角形的周長為3+5+5=13；當(dāng)m=3時，原方程為x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能夠組成三角形，∴該三角形的周長為5+5+7=17．綜上所述：此三角形的周長為13或17．點睛：本題考查了根的判別式、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）代入x=5求出m值．6．已知關(guān)于的方程和，是否存在這樣的值，使第一個方程的兩個實數(shù)根的差的平方等于第二個方程的一整數(shù)根？若存在，請求出這樣的值；若不存在，請說明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，用含n的式子表示出兩個實數(shù)根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整數(shù).【詳解】若存在n滿足題意.設(shè)x1，x2是方程①的兩個根，則x1+x2=2n，x1x2=，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2，由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n=不是整數(shù)，舍.②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)，綜上所述，n=0.7．解方程：．【答案】x=或x=1【解析】【分析】設(shè)，則原方程變形為y2-2y-3=0,解這個一元二次方程求y，再求x．【詳解】解：設(shè)，則原方程變形為y2-2y-3=0．解這個方程，得y1=-1,y2=3,∴或．解得x=或x=1．經(jīng)檢驗：x=或x=1都是原方程的解．∴原方程的解是x=或x=1．【點睛】考查了還原法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．8．y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=1.7x（x≤m）;或(x≥m)；9．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有兩根α，β．（1）求m的取值范圍；（2）若，則m的值為多少？【答案】（1）；（2）m的值為3．【解析】【分析】（1）根據(jù)△≥0即可求解,（2）化簡,利用韋達(dá)定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.【詳解】解：（1）由題意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，解得：m≥-；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∵即=-1,∴=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0解得：m1=﹣1，m1=3，由（1）知m≥-，∴m1=﹣1應(yīng)舍去，∴m的值為3．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及韋達(dá)定理，對根進(jìn)行判斷是正確解題的關(guān)鍵.10．已知關(guān)于的一元二次方程.（1）當(dāng)取什么值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)時，求方程的解.【答案】（1）當(dāng)且時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2），.【解析】【分析】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根，，代入求m取值范圍即可，注意二次項系數(shù)≠0；（2）將代入原方程，求解即可.【詳解】（1）由題意得：=，解得.因為，即當(dāng)且時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.（2）把帶入得，解得，.【點睛】本題考查一元二次方程根的情況以及求解，熟練掌握根的判別式以及一元二次方程求解是加大本題的關(guān)鍵.11．解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.【答案】x1＝＋，x2＝－.【解析】試題分析：根據(jù)方程的特點，根據(jù)平方差公式化為一般式，然后可根據(jù)公式法求解即可.試題解析：(x＋1)(x－1)＝2xx2-2x-1=0∵a=1，b=-，c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴x==±∴x1＝＋，x2＝－.12．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)當(dāng)k≤時，原方程有兩個實數(shù)根(2)不存在實數(shù)k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立【解析】試題分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式列出不等式，解之即可；（2）本題利用韋達(dá)定理解決.試題解析：（1），解得（2）由，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：代入得：，化簡得：，得.由于的取值范圍為，故不存在k使．13．關(guān)于x的一元二次方程．（1）.求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）.若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)情況與根的判別式關(guān)系可以證出方程總有兩個實數(shù)根.(2)根據(jù)題意利用十字相乘法解方程，求得，再根據(jù)題意兩個根都是正整數(shù)，從而可以確定的取值范圍，即求出嗎的最小值.【詳解】(1)證明：依題意，得．，∴．∴方程總有兩個實數(shù)根．由．可化為：得，∵方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，∴．∴．∴的最小值為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式與根的個數(shù)關(guān)系和利用十字相乘法解含參數(shù)的方程，熟知根的判別式大于零方程有兩個不相等的實數(shù)根，判別式等于零有兩個相等的實數(shù)根或只有一個實數(shù)根，判別式小于零無根和十字相乘法的法則是解題關(guān)鍵.14．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）當(dāng)b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根．【答案】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）b=-2，a=1時，x1=x2=﹣1．【解析】【詳解】分析：（1）求出根的判別式，判斷其范圍，即可判斷方程根的情況.（2）方程有兩個相等的實數(shù)根，則，寫出一組滿足條件的，的值即可.詳解：（1）解：由題意：．∵，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）答案不唯一，滿足（）即可，例如：解：令，，則原方程為，解得：．點睛：考查一元二次方程根的判別式，當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根.當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根.15．已知：關(guān)于x的一元二次方程.（1）若此方程有兩個實數(shù)根，求沒的最小整數(shù)值；（2）若此方程的兩個實數(shù)根