景德鎮(zhèn)市2026屆高三第一次質(zhì)量檢測試題

數(shù)學

命題景德鎮(zhèn)一中江寧胡閔紅昌江一中占星

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.

第1卷(選擇題)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)z=-i(2-i),則z的共軛復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第()象限

A.一B.二C.三D.四

2.已知集合A={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},集合,則A∩B=(.)

A.B.{-4,-3,-2,-1,0,4}

C.{1,2,3,4}D.{12,3}

3.一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，第三項等于第四項和第五項之和，則公比9等于()

B.2D.

4.“關于x,y的方程x2+y2+2mx+2y+5=0的曲線表示圓”是“m>2”的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

5

BD.

6.甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得一分，負者得0分，比賽進行到有一人比對

方多2分或打滿4局時停止，設甲在每局中獲勝的概率為乙在每局中獲勝的概率為

且各局勝負互相獨立，則比賽停止時已打局數(shù)X的期望E(X)為()

ABCD.3

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7.雙曲線C:,過點P(2,3)作C的兩條漸近線的平行線，分別與漸近線相交于

A,B兩點，則平行四邊形OAPB的面積是()

B.IC.√3D.2

8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)-f(-x)=sinx,又當x≤0時，恒成立，若

,則實數(shù)θ的取值范圍為()

BCD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，下列說法正確的有()

A.A?B?//平面BC?DB.AD?//平面BC?D

C.BD⊥平面ACC?AD.BD?⊥平面ACC?A

10.已知函數(shù)f(x)=asin2x+bcos2x(a>0,b∈R)在.處取得極大值2,則()

A.f(x)的最小正周期為πB.b=1

C.f(x)的一個遞增區(qū)間為

D.將f(x)的圖象向左平移·個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)為偶函數(shù)

11.已知0為坐標原點，點M的軌跡與y軸的交點分別為P(0,1),Q(0,-1),當點M與P,

Q均不重合時，點M到點P和到定直線y+1=0距離的平方和為4,則下列說法正確的是

()

A.點M的軌跡方程為B.|OM|的最大值為√2

C.當點M與P,Q均不重合時，直線MP,MQ的斜率之積為定值-2

D.B,C是點M的軌跡上的兩點，,若AB,AC斜率互為相反數(shù)，則BC的

斜率為

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第II卷(非選擇題)

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量a=(2,0),b=(k,4),且a與6的夾角是135°,則k=

13.已知數(shù)列{a?}的前n項和為S。,a?=2,且數(shù)列{nS。}為等差數(shù)列，若S?+a?+a?=1,則

14.已知函數(shù),對于任意x?,x?∈R,滿足|x?-x?≤21n2時，|f(x?)-f(x?)|·

的取值范圍為·

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

“贛超是”江西省于2025年推出的全新的業(yè)余足球賽事，采用“政府主導+地方協(xié)同+協(xié)會運營”

的模式組織，旨在增強城市榮譽感和群眾參與度，賽事口號為“以球為名，為城而戰(zhàn)”。該聯(lián)

賽以城市為單位組隊參賽，全省11個設區(qū)市組成南北兩個賽區(qū)，全程66場比賽，賽程長達

110天，比賽均安排在周末。2025年7月12日在南昌八一體育場開幕，南昌隊對陣景德鎮(zhèn)隊，

現(xiàn)場觀眾達14521人，忒閑了賽事的高關注度。

現(xiàn)收集了已進行的6場比賽的場次順序和對應球迷人數(shù)(千人)數(shù)據(jù)如下

場次x123456

球迷人數(shù)y(千人)151723232931

(1)求球迷人數(shù)對場次x的線性回歸方程y=bx+a,數(shù)據(jù)保留小數(shù)點后兩位；

(2)某公司組織城市知識問答活動，活動共有5個問題，其中3個為城市歷史知識，2個為

陶瓷制作工藝，答對4個問題可獲得球賽門票一張.甲答對每個城市歷史知識問題的概率為

答對每個陶瓷制作工藝問題的概率為·,求甲贏得門票的概率.

參考數(shù)據(jù)：

參考公式：

高三數(shù)學第3頁共4頁

16.(本小題滿分15分)

記銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的外接圓半徑為1,

設△ABC面積為S,且2S=√3[cos(A-B)+cosC]

(1)求角C;(2)求a2+b2的最大值.

17.(本小題滿分15分)

已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F(1,0),過點Q(3,0)的直線1交拋物線E于A,B兩

點，點C(4,4),若直線AC,BC分別與直線x=-3交于M,N兩點，

(1)求拋物線E的方程；(2)求以MN為直徑的圓在x軸上截得的弦長.

18.(本小題滿分17分)

如圖，在正四棱柱ABCD-AB?C?D?中，AB=AD=1,DD?=√2,點E在棱DD?上，

D?B//平面ACE.

(1)證明：B?D⊥平面ACE;

(2)在棱AA?上是否存在一點F,使得三棱錐C-AEF的外接球

表面積為,求AF的長；

(3)在第(2)問的條件下，求直線DD?與平面CEF所成角的正弦值.

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx,

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a=0時，求曲線f(x)與曲線g(x)的公切線方程；

(3)設函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的存在兩個極值點為x?,x?,(x?<x?)

求證：關于x的方程4a2-(x?x?+x?+x?-3)a+e?=0有唯一解

高三數(shù)學第4頁共4頁

景德鎮(zhèn)市2026屆高三第一次質(zhì)檢試題

數(shù)學參考答案

第I卷(選擇題共58分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.

12345678

BDCBBCAB

1.【答案】B

【解析】:z=-i(2-i)=-2i+i2=-1-2iz=-1+2i,則z的共軛復數(shù)2在復平

面內(nèi)對應的點(-1,2)為第二象限…選B

2.【答案】D

【解析】∵則

A∩B={1,2,3}.選D

3.【答案】C

【解析】由題意得，a?=a?+a?,∴a?=a?q+a?q2即q2+q-1=0,

4>0.選C

4.【答案】B

【解析】x2+y2+2mx+2y+5=0化成標準方程(x+m)2+(y+1)2=m2-4,所以

m2-4>0,所以m>2或m<-2:選B

【解析】

6.【答案】C

【解析】,所以

高三數(shù)學答案第1頁共11頁

7.【答案】A

【解析】PA方程為y=√3(x-2)+3,與漸近線y=-√3x聯(lián)立，得

,:|0A|=2-√3;點P(2,3)到y(tǒng)=-√3x的距離，,∴平行

四邊形OAPB的面積，∴選A

8.【答案】B

【解析】令g(x),則g(x)-g(-x)=0,即g(x)為偶函數(shù)，

當x≤0時，恒成立，所l

所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，又因為

所以,所以|,所以

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，滿分18分.

91011

BCACDABD

9.【答案】BC

【解析】AD?IBC,BC?c平面BC?D且AD?α平面BC,D,故AD?1平面BC?D,B正確；

ABIA?B?,AB?不平行于平面BC?D,A錯誤；記AC∩BD=0,連結(jié)OC?,所以BDIAC,

BC?=DC?,○為BD的中點，則BDIOC?,且OC?∩AC=0,所以BD1平面ACC?A,C

正確，D錯誤.故選BC.

10.【答案】ACD

【解析】易知f(x)的最小正周期為π,A選項正確；

依題意，

,所以a=-√3b,

高三數(shù)學答案第2頁共11頁

所以-2b=2,所以b=-1,B選項錯誤；故

由,k∈Z

令k=1,則區(qū)間為,則C選項正確；

將f(x)的圖象向左平移·個單位長度，所得函數(shù)為偶函數(shù)，

D選項正確，故選ACD.

11.【答案】ABD

【解析】由題意，,A正確；

|oM|的最大值為a=√2,B正確；

當點M與P,Q均不重合時，,所以C

錯誤；

設AB方程與1聯(lián)立得

同理得，所以

;所以D正

確.

第II卷(非選擇題共92分)

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分.

12.-413.-714.[0,1]

高三數(shù)學答案第3頁共11頁

12.【答案】-4

【解析】,所以k=-4

13.【答案】-7

【解析】∵S?+a?+a?=1:S?+S?-S?=1即2S?-S?=1.:4S?-2S?=2∵數(shù)列{nS,}為等差

數(shù)列：數(shù)列{nS}的公差為1,∴nS,=2+(n-1)=n+1:

14.【答案】[0,1]

解：在R上單調(diào)遞增，不妨設x?≤x?,記x?-x?=1,t∈[0,2In2]

所以當t=0時，|f(x?)-f(x?)|取得最小值0;

當t=21n2時，If(x?)-f(x?)|取得最大值

If(x?)-f(x?)|的取值范圍為[0,1]

四、解答題：本大題共5小題，滿分77分.

15.(本小題滿分13分)

解：(1)因為,y=23

………3分

………5分

所以回歸方程為y=3.31x+11.40…………6分

高三數(shù)學答案第4頁共11頁

(備注：若學生用b的近似值計算a,得到11.41或11.42,也給分)

(2)①甲答對5題的概率為……8分

②甲3個城市歷史知識都答對，2個陶瓷制作工藝問題只答對一個的概率為

……………10分

③甲3個城市歷史知識只答對2個，2個陶瓷制作工藝問題都答對的概率為

…………12分

所以甲贏得門票的概………13分

16.(本小題滿分15分)

解：(1)因為A+B+C=π,

所以cos(A-B)+cos(π-A-B)=cos(A-B)-cos(A+B)=2sinAsinB……………3分

所以,又由正弦定理，a=2sinA,b=2sinB,

,……5分

ABC

,因為△為銳角三角形，所以………7分

(2)由正弦定理，

c=2sinC=√3,…………10分

由余弦定理，c2=a2+b2-ab=3,…………12分

………………

由基本不等,當且僅當a=b=√3

時，等號成立.…………14分

綜上所述，a2+b2的最大值為6.………15分

(備注：漏了等號條件的，扣一分)

高三數(shù)學答案第5頁共11頁

17.(本小題滿分15分)

【解析】(1)由題意，得y2=4x……3分

(2)設直線l的方程為x=my+3,與y2=4x聯(lián)立，消去x得，y2-4my-12=0,

設A(x?,y?),B(x?,y?),則y?+y?=4m,y?y?=-12;………5分

,C(4,4)

………6分

∴直線AC的方程為………7分

令x=-3,則

同理，……9分

設以MN為直徑的圓與x軸的交點T(t,0),則

,且MT·NT=0………………10分

………………11分

……12分

∴t=2√3-3或t=-2√3-3…………14分

以MN為直徑的圓在x軸上截得的弦長2√3-3-(-2√3-3)=4√3…………15分

高三數(shù)學答案第6頁共11頁

18.(本小題滿分17分)

證明：(1)依題意，DB=√2,所以四邊形DBB?D,為正方形，

所以B?DID?B,連接DB交AC于0,則0為DB的中點，

由D?BI平面ACE可知，D?BIEO,所以E為DD?的中點，

因為D?BIEO,所以B?D1EO,………………3分

因為DBIAC,B?BIAC,DBIBB?=B,

所以AC1平面DBB?,……………………4分

因為B?Dc平面DBB?,所以ACIB?D,

所以B?D1平面ACE………………5分

解：(2)方法(一)設|AF|=21,由分析可知，三棱錐C-AEF的外接球的球心必在過CF

中點且垂直面AFC的直線l上，且BD,設球心為0點，三棱錐C-AEF的外接球表

面積則三棱錐C-AEF的外接球的半徑

…………8分

由分析可知點○到面ABC的距離為t,再設點○到DD?的距離為x,直線l與DD的交點

為H,則,球心0到CF中點的距離為,則有

代入上述方程組中的第一個式子，可得1,又因為|AF|=2t,則

………………12分

高三數(shù)學答案第7頁共11頁

方法(二)建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,由已知可得

A(1,0,0),C(0,1,0),且t>0,設球心(x,y,z),則由分析可知

F(L,0,),

……………12分

(3)建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,

則D(0,0,0),D(0,0,√2),C(0,1,0),

則DD?=(0,0,√2),,EF=(1,0,0)……13分

設的法向量

由即：

令z=2,則y=√2,

戶……………15分

所以直線DD?與平面CEF所成角的正弦值為…………17分

高三數(shù)學答案第8頁共11頁

19.(本小題滿分17分)

解：(1)f'(x)=1+Inx,所以f(x)在(上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增

………4分

(2)設f(x)的切點為(m,f(m)),則f(x)的切線為y=(1+Inm)x-m

設g(x)的切點為(n,f(n)),則g(x)的切線

………5分

所以m=e”-1,所以

……6分

,所以p'(x)=e??1-x,p"(x)=e??1-1

所以p'(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增

……………7分

所以p'(x)≥p'(1)=0,所以p(x)在R上單調(diào)遞增，且p(-1)=0,

……………8分

所以方程有唯一解n=-1

………9分

所以公切線方程為……10分

證明方法一：(3)關于x的方程4a2-(x,x?+x?+x?-3)a+e?=0有唯